Методы экспериментальной оценки качества партии изделий с учетом степени риска

 
 
 
 
 
 
Н.Г. Назаров 

Методы экспериментальной оценки 
качества партии изделий  
с учетом степени риска 

Допущено Учебно-методическим объединением вузов  
по университетскому политехническому образованию  
в качестве учебного пособия  
для студентов высших учебных заведений, обучающихся  
по направлению подготовки 221700  
«Стандартизация и метрология» 
 
 
 

УДК 006.73 
ББК 30.10 
         Н192 
 

 
Рецензенты:  
доктор техн. наук, профессор МГТУ  
«СТАНКИН» Б.Н. Марков; 
доктор техн. наук, профессор МГУПИ В.Г. Гарипов  

 
    Назаров, Н. Г. 
Методы экспериментальной оценки качества партии изде-
лий с учетом степени риска : учебное пособие / Н. Г. Наза- 
ров. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015.  
— 95, [1] с. 

ISBN 978-5-7038-4233-1 
Рассмотрены три вида экспериментальной оценки качества пар-
тии однородных изделий: сплошной контроль, контроль с использо-
ванием случайной однократной выборки и случайной последова-
тельной выборки. Для всех видов оценки качества партии дан анализ 
затрат производителя партии, а также доходов и потерь потребителя. 
Обоснованы условия, при реализации которых производителю целе-
сообразно отказаться от оценки качества партии и выплатить потре-
бителю компенсацию за дефектные изделия. 
Учебное пособие предназначено для студентов вузов, осу-
ществляющих подготовку специалистов по направлению 221700 
Стандартизация и метрология. Может представлять интерес и для 
специалистов, разрабатывающих стандартные процедуры оценки 
соответствия с учетом степени риска. 
                                                                                                        
УДК 006.73 
ББК 30.10 
 
 
 
 
 
 
                            
© Назаров Н.Г., 2015 
© Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4233-1                                   МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

Н192 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие .......................................................................................  5 
Глава 1. Математические модели  затрат производителя и по- 
   требителя  при сплошном контроле качества  изделий  
   в партии .................................................................................................  9 
1.1. Условие отсутствия потерь потребителя  при приемке пар- 
       тии без экспериментальной оценки  ее качества ..................  9 
1.2. Анализ затратных операций производителя  при фор- 
       мировании технологической партии  и ее последующем     
     сплошном контроле .................................................................  13 
1.3. Анализ затрат производителя  при различных видах про- 
       изводства партии ......................................................................  17 
1.4. Возможные виды функции 
( ,
)
f    и методика оценки  
       их параметров ...........................................................................  20 
1.5. Методика обоснования ограничения на параметр 
q
  по  
       условию отсутствия потерь потребителя ...............................  30 

Контрольные вопросы .......................................................................  32 
Глава 2. Математические модели  затрат производителя и по- 
   требителя  при оценке качества партии изделий  на основе   
   случайной однократной выборки ...................................................  33 
2.1. Алгоритмы формирования оптимального  плана контроля   
       качества партии ........................................................................  33 
2.2. Анализ затратных операций производителя  при контроле  
       качества партии ........................................................................  42 
2.3. Анализ особенностей математических моделей  приведен-  
       ных затрат производителя .......................................................  51 
2.4. Обоснование пределов для параметров ξ0, ξ1, ξ2,  обеспе- 
       чивающих заданные ограничения  на безусловные вероят- 
       ности ошибок 1-го и 2-го рода ................................................  54 
2.5. Методика определения условия отсутствия  потерь потре- 
       бителя при оценке качества партии  производителем с ис- 
       пользованием оптимальной  однократной выборки .............  59 

Контрольные вопросы .......................................................................  67 
Глава 3. Математические модели затрат  производителя и по- 
   требителя при оценке качества партии с использованием   
   случайной последовательной выборки.. .......................................  69 

Оглавление 

4 

3.1. Алгоритм формирования оптимального  плана оценки  
       качества партии ......................................................................  69 
3.2. Оперативная характеристика  оптимального последова- 
       тельного плана  оценки качества партии .............................  73 
3.3. Анализ затратных операций производителя  при оценке  
       качества партии  с использованием оптимального  
       последовательного плана ......................................................  78 
3.4. Анализ особенностей математической модели  приведен- 
       ных затрат производителя .....................................................  83 
3.5. Методика определения  гарантированного дохода потре- 
       бителя  при оценке качества партии производителем ........  89 
Контрольные вопросы .....................................................................  93 
Литература ........................................................................................  93 
Приложения ......................................................................................  94 
 

 

Предисловие 

Современное производство однотипной продукции (холодильников, 
автомобилей, пылесосов, лекарственных препаратов, продуктов 
питания и т. п.) ориентировано на удовлетворение спроса 
огромного количества потребителей, а значит, является массовым. 
На рынки и в супермаркеты такая продукция от производителей 
поступает в виде больших партий. Поскольку не существует идеального (
бездефектного) производства, то в партии однородной 
продукции, производимой технологическим процессом, всегда 
присутствуют дефектные изделия, определяющие уровень дефектности 
партии xi. Обозначается такая партия (N, xi), где N — количество 
экземпляров продукции в партии (объем партии), и называется 
технологической. Уровень дефектности является скалярной 
количественной величиной, характеризующей качество партии, 
следовательно, и качество технологического процесса.  
В учебном пособии отражены следующие особенности экспе-
риментальной оценки качества партии продукции, имеющие инно-
вационный характер: 

 для производителя партии: виды дополнительных затрат при 
реализации различных вариантов контроля партий; обоснование 
условий, при которых производителю выгодно отказаться от конт-
роля качества партии и выплатить потребителю компенсацию; 
обоснование уровня компенсации; 

 для потребителя партии: анализ видов потерь, в том числе 
стоимость партии и потери от дефектных изделий; анализ видов 
доходов, в том числе доход от годных изделий и компенсация 
производителя за дефектные изделия. 
Изложенные в пособии процедуры оценки качества партий 
учитывают требования Федерального закона «О техническом ре-
гулировании» № 160-ФЗ от 23.06.2014: «Технический регламент 
должен содержать правила и формы оценки соответствия… опре-
деляемые с учетом степени риска» (ст. 7), риск определен как «ве-
роятность причинения вреда… с учетом тяжести вреда» (ст. 2). 
Производитель обязан экспериментально оценить качество 
технологической партии с учетом степени риска. В пособии рас-

Предисловие 

6 

смотрены три возможных способа экспериментальной оценки ка-
чества партии: сплошной контроль экземпляров продукции в пар-
тии, оценка с использованием случайной однократной выборки и 
оценка с использованием случайной последовательной выборки. 
В главе 1 изложены особенности использования сплошного 
контроля экземпляров продукции в технологической партии. Рас-
смотрены два вида потерь потребителя партии — потери, связан-
ные с покупкой партии, и потери, обусловленные потерей дохода 
от дефектных изделий, а также два вида доходов — доходы от 
годных изделий и доходы, обусловленные компенсацией произво-
дителем потери дохода от дефектных изделий.  
При анализе превышения дохода, приведенного относительно 
стоимости партии, над потерями потребителя использовались сле-
дующие допущения: 
– компенсация производителя потребителю определяется ком-
промиссным условием — возместить потери дохода потребителя 
от дефектных изделий; 
– доход потребителя от годного изделия превышает его цену. 
При этих допущениях показано, что потребитель не может из-
бежать потерь на всем диапазоне уровня дефектности 
 
[0,1]
ix 
 
только путем повышения дохода от годных изделий и потому заинтересован 
приобрести партию после экспериментальной оценки 
ее качества у производителя. 
Изложена методика обоснования ограничения дохода потребителя 
от годного изделия, при реализации которого потребитель не 
будет иметь потерь для 
 
 
[0,1].
ix


 
Обоснованы условия, при выполнении которых производителю 
по критерию минимума затрат выгодно отказаться от реализации 
сплошного контроля изделий в партии и выплатить потребителю 
компенсацию за дефектные изделия, и противоположные условия, 
при выполнении которых производителю выгодно реализовать 
такой контроль. 
В главе 2 изложены особенности использования для экспериментальной 
оценки качества партии с применением случайной однократ-
ной выборки.  Аргументом решающей функции выбрана случайная 
величина с гауссовским распределением, эквивалентным гипергеометрическому 
распределению по условиям равенства их математических 
ожиданий и дисперсий. 
Получено выражение для гауссовской оперативной характеристики, 
на основе которой предложены алгоритмы определения па-

Предисловие 

7 

раметров оптимального плана 

 
0
ˆ
ˆ
( ),
( ) ,
n
u


 где ˆ( )
n   — объем вы-
борки; 
0ˆ ( )
u   — параметр решающей функции для эксперимен-
тальной оценки качества партии с заданными ограничениями на 
вероятности ошибок 1-го и 2-го рода по критерию минимума объ-
ема выборки ˆ( ).
n   Разработан алгоритм, определяющий значение 
уровня дефектности x2 и характеризующий интервал 
 
 
2
[
,1],
ix
x

 на 
котором гауссовская оперативная характеристика равна нулю. По-
скольку оперативная характеристика определяет вероятность при-
нять гипотезу H0 (партия годная), то это означает, что на интервале 

 
 
2
[
,1]
ix
x

 принять гипотезу H0 невозможно. 
Таким образом, оптимальный план 

 
0
ˆ
ˆ
( ),
( )
n
u

  оценки качества 
партии гарантирует с вероятностью единица, что партии 
 
(
,
),
i
N x
 

 
2
[
,1]
ix
x

не попадут к потребителю. 
Доказано, что сплошной контроль изделий в партии гарантиру-
ет меньшее приведенное превышение дохода потребителя, чем 
оценка качества партии с использованием случайной однократной 
выборки при принятии гипотезы H1 на интервале 
 
 
2
[0,
].
ix
x

 
Предложена методика обоснования пределов параметров 

 
 
0
1
2
,
,
,

 
 при выполнении которых гарантируется реализация за-
данных ограничений на безусловные вероятности ошибок 1-го и  
2-го рода, характеризующие эффективность оценки качества пар-
тии 
 
(
,
)
i
N x
 при использовании случайной однократной выборки. 
Глава 3 посвящена анализу особенностей случайной последо-
вательной выборки. Реализация такой выборки обозначается 

 
( ,
),
k
k i
 где k — объем выборки; ki  — количество дефектных изде-
лий в выборке. Решающая функция в качестве аргумента исполь-
зует величину ki  и, в отличие от решающей функции случайной 
однократной выборки, предусматривает три возможных решения: 
принять гипотезу H0; принять гипотезу H1; выбрать случайным 
образом из партии следующий, 
1,
k
a 
 экземпляр продукции и оце-
нить его качество. Для принятия решения, какая из альтернатив-
ных гипотез имеет место, определены две границы, зависящие от 
объема k, а именно: a + ck — приемочная граница (принимается 
гипотеза H0); b + ck — браковочная граница (принимается гипотеза 
H1). Совокупность параметров (a, b, c) определяет последователь-
ный план оценки качества партии. В этой главе анализируются 

Предисловие 

8 

особенности методики определения оптимальных значений пара-
метров последовательного плана. 
По множеству реализаций выборок 
 
( ,
), 
1, 2, ...,
k
k i
k 
 где 
, 
,
k
k
k
K i
I


 K и Ik — случайные числа с математическими ожиданиями 
( )

i
m x  и 
 
(
)
i
i
m x x  соответственно. 
Особенность объема 
( )
i
m x  заключается в том, что max
(
)
i
i
x
m x


 
(
)
i
i
x
c
m x



( )
( ),
m c
m

  причем этот объем удовлетворяет условию 

ˆ
( )
( ).
m
n
 
  При анализе затрат производителя на оценку качества 
партии, а также доходов и потерь потребителя партии будет 
использоваться объем выборки 
( ).
m   При этом условии обеспечиваются 
меньшие затраты производителя на оценку качества последовательной 
выборки 

 
 
( ),
( ) i
m
m
x


 и восстановления содержащихся 
в ней дефектных изделий до годного состояния, чем при 
использовании случайной однократной выборки. 
Конкретизированы условия, при реализации которых производителю 
по критерию минимума приведенных затрат на оценку качества 
партии целесообразно отказаться от такой оценки, предъявить 
потребителю технологическую партию и выплатить компенсацию 
за снижение дохода от дефектных изделий. Обоснованы 
условия, при реализации которых приведенные затраты произво-
дителя на оценку качества партии при использовании случайной 
последовательной выборки не больше, чем аналогичные затраты 
при использовании случайной однократной выборки, как при при-
нятии гипотезы H0, так и гипотезы H1. 
Автор выражает искреннюю признательность рецензентам  
д. т. н., профессору Б.Н. Маркову и д. т. н., профессору В.Г. Гари-
пову за ценные замечания, способствовавшие улучшению содер-
жания пособия, и всем принимавшим участие в работе по подго-
товке этой рукописи к изданию. 

 

Предисловие 

9 

Глава 1 

 МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ  
ЗАТРАТ ПРОИЗВОДИТЕЛЯ И ПОТРЕБИТЕЛЯ  
ПРИ СПЛОШНОМ КОНТРОЛЕ КАЧЕСТВА  
ИЗДЕЛИЙ В ПАРТИИ 

1.1. Условие отсутствия потерь потребителя  
при приемке партии без экспериментальной оценки  
ее качества 

Обозначим изготовленную производителем технологическую 
партию изделий 



, 
, 
,
i
N i
N x

 где N — количество изделий в пар-
тии; i — количество в ней дефектных изделий; 
/
ix
i N

 — уровень 
дефектности партии — скалярная величина, характеризующая каче-
ство партии. Потребитель (заказчик) в контракте (техническом ре-
гламенте) всегда указывает требование на допустимый уровень де-
фектности в форме одностороннего ограничения 
1.
ix
x


 
По отношению к технологической партии производитель мо-
жет принять одно из двух возможных решений: 
– поставить технологическую партию 

, i
N x
 потребителю; 
– предварительно экспериментально оценить соответствие 
уровня дефектности этой партии требованию 
*
ix
x

 (далее оце-
нить качество партии) и, если соответствует, то поставить партию 
потребителю. 
Поскольку оценка качества партии изделий связана с дополни-
тельными затратами, производитель предпочел бы поставить пар-
тию без этой оценки. Последствия такого решения для потребите-
ля будут рассмотрены ниже. 
В том случае если производитель принял решение сначала вы-
полнить экспериментальную оценку качества и убедиться в том, 
что качество партии соответствует требованию 
,
ix
x

 и только 
после такого результата поставить партию потребителю, он дол-

 

Глава 1. Математические модели затрат при сплошном контроле 

10 

жен определиться с одним из возможных методов оценки качества 
партии: сплошной контроль изделий в партии, оценка качества 
партии на основе случайной однократной выборки, оценка качества 
партии с использованием случайной последовательной выборки.  

Рассмотрим последствия для потребителя поставки технологической 
партии 

, i
N x
 без оценки ее качества производителем. 
Остановимся на видах потерь потребителя: 
 потери, определяемые покупкой партии,  

0
,
CN
 
 

где C  — цена изделия в партии; 

 потери, обусловленные дефектными изделиями,  












 
 
 
 
 
1
,
i
i
C
N
x
Ci
i
C
x CN
N
C



 

 
 

где 




C

C


 
 — потеря дохода от дефектного изделия, приведенная 
относительно цены изделия ;
C  
C

 — потеря дохода от дефектного 
изделия в стоимостном выражении. 
Суммарная потеря дохода потребителя  

 





 

 
 
0
1
ˆ
1
.
i
i
i
x
x
x
CN

   

 
 
 (1.1) 

Рассмотрим виды доходов потребителя: 
 доход от годных изделий 





 
 

 

 
 
 
 
 
0
1
1
,
q
i
q
i
q
i
C
D
x
C
N
i
x
CN
x
CN
C




 

 

где 


q
q
C

C
 
 — доход от годного изделия, приведенный относительно 
цены изделия ;
C  
q
C  — доход от годного изделия в стоимостном 
выражении; 

 компенсация производителя за снижение дохода от дефектных 
изделий 








 
 
1
ˆ
,
k
i
k
k
i
C
i
D
x
C i
CN
x CN
N
C


 
 

1.1. Условие отсутствия потерь потребителя при приемке партии 

11 

где 

ˆ
k
k
C

C
 
 — компенсация за снижение дохода от дефектного 

изделия, приведенная относительно цены изделия ;
C
k
C  — компенсация 
в стоимостном выражении. 
Суммарный доход  










 

 
 
0
1
ˆ
1
i
i
i
q
i
k i
D x
D
x
D x
x
x CN


 

 
  




 

 
 
ˆ
.
q
k
q
ix CN
    
 

Превышение дохода над потерями потребителя можно записать 
так: 

 







 

 
 
 
 
ˆ
ˆ
1
i
i
q
k
q
i
i
D x
D x
x
x
x CN



    
  
  




 

 
 
ˆ
ˆ
1
.
q
k
q
ix CN
      
 

Логично предположить, что потребитель хочет получить от 

годного изделия доход, больший чем его цена, т. е. 


q
C
C

 или 


1.
q
q
C

C
 

 Компромисс между производителем и потребителем 

относительно компенсации снижения дохода от дефектного изделия 
сводится к условию 




 
ˆ
ˆ
.
k
k
C
C
  
 
 Тогда приведенное 

относительно цены партии превышение дохода потребителя CN  
над потерями составит 

 









 

 
ˆ  
ˆ
,

k

i
p
i
q
k
q
i
q i
D x
x
d
x
d
x
CN
 


 


    

 
  (1.2) 

где 
1
0, 
1.
q
q
d    
 
 Очевидно, что функция (1.2) для потре-
бителя должна удовлетворять условию 

 


0, 
0, 1 ,
q
i
i
d
x
x
 


 
 (1.3) 

так как при этом он не будет иметь потерь. 
Левая часть отношения (1.3) представляет собой линейную 
функцию с отрицательным коэффициентом и, следовательно, она 
имеет точку пересечения 
iq
x  с осью 0xi, которая является решением 
уравнения 
0:
q i
d
x
 

  

Глава 1. Математические модели затрат при сплошном контроле 

12 

0,
1,
1
1
1
1,
.

q
q
iq
q
q
q
q

d
x
 
 



 
 
  




 

Таким образом, 


0, 1
iq
x 
. 

Определим связь между 
q
  и 
.
iq
x
 Из равенства 
1
iq
q
q
x      
следует 

 



1,
0,
1
,
1.
1

iq
q
iq
iq
iq

x
x
x
x





 



 
  

График функции 


q
iq
x

 представлен на рис. 1.1. 

Рассмотрим функцию 


q
iq
x

 на интервале, на котором она не 
превосходит пятикратной стоимости изделия. Этому значению функции 
соответствует аргумент 
 
0, 8.
iq
x

 Тогда условие (1.3) запишется 
в виде 

 

 
0, если  
0, 8,
0, если  
0, 8.

i
q i
i

x
d
x
x



 
 


 

На рис. 1.2 представлен график функции (1.2) с учетом этого 
условия. 
 

Рис. 1.1. График функции  


q
iq
x

 
Рис. 1.2. График функции



p
i
q
x


 

Таким образом, выполненный анализ свидетельствует о том, 
что увеличение только параметра 
q
  не гарантирует потребителю 

отсутствие потерь для всех 


 
0,1 .
ix 
 Поэтому ему выгодно приобрести 
партию после экспериментальной оценки ее качества у 
производителя.