Основы расчетов прочностной надежности . В 2 частях. Часть 1

Министерство науки и высшего образования 
Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Л. П. Вязкова
Л. В. Мальцев
С. В. Парышев

ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ 
ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ

В 2 частях

Часть 1

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся
по направлениям подготовки:
14.05.02 — Атомные станции: проектирование,
эксплуатация и инжиниринг;
13.03.02 — Электроэнергетика и электротехника;
13.03.01 — Теплоэнергетика и теплотехника

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2019

УДК 539.3(075.8)
ББК 22.251я73
          В99
Рецензенты:
кафедра «Технология металлов и ремонт машин» Уральского государственно-
го аграрного университета (завкафедрой доц., канд. техн. наук В. А. Александров);
проф., канд. техн. наук Э. А. Бубнов (Уральский государственный архитектурно-
художественный университет)

Научный редактор доц., канд. техн. наук В. П. Новоселов

 
Вязкова, Л. П.
В99    Основы расчетов прочностной надежности . В 2 частях. Часть 1 : учебное посо-
бие / Л. П. Вязкова, Л. В. Мальцев, С. В. Парышев ; Мин-во науки и высшего об-
разования РФ. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2019. — 176 с.

ISBN 978-5-7996-2786-7 (ч. 1)
ISBN 978-5-7996-2785-0

Пособие соответствует программам курсов «Механика», «Детали машин и основы кон-
струирования», «Техническая механика», «Прикладная механика» и предназначено для 
студентов всех форм обучения, выполняющих курсовые проекты, курсовые работы, рас-
четно-графические работы и домашние задания по разделам «Теоретическая механика», 
«Сопротивление материалов» названных курсов.
Работа состоит из двух частей. В 1-й части приведены основные теоретические сведения, 
рассмотрены такие виды деформации, как растяжение и сжатие, сдвиг и кручение. Во 2-й 
части рассмотрен плоский поперечный изгиб, теория прочности, сложное сопротивление.

Библиогр.: 8 назв. Табл. 1. Рис. 40.

УДК 539.3(075.8)
ББК 22.251я73

Учебное издание

Вязкова Людмила Павловна, Мальцев Лев Витальевич, Парышев Сергей Владимирович

ОСНОВЫ РАСЧЕТОВ ПРОЧНОСТНОЙ НАДЕЖНОСТИ

В 2 частях

Часть 1

Редактор И. В. Коршунова
Верстка О. П. Игнатьевой

Подписано в печать 11.11.2019. Формат 70×100/16. Бумага офсетная. Цифровая печать. Усл. печ. л. 14,2.
Уч.-изд. л. 8,78. Тираж 40 экз. Заказ 326

Издательство Уральского университета. Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5. Тел.: +7 (343) 375-48-25, 375-46-85, 374-19-41. E-mail: rio@urfu.ru

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620083, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4. Тел.: +7 (343) 358-93-06, 350-58-20, 350-90-13. Факс: +7 (343) 358-93-06
http://print.urfu.ru

ISBN 978-5-7996-2786-7 (ч. 1) 
© Уральский федеральный 
ISBN 978-5-7996-2785-0 
     университет, 2019

Оглавление

Предисловие ..........................................................................................5

1. Равновесие тела под действием плоской системы сил ......................6
Задания для самопроверки ............................................................10

2. Основные теоретические сведения .................................................12

2.1. Модели прочностной надежности .........................................12
2.1.1. Модели материала .........................................................12
2.1.2. Модели формы ..............................................................13
2.1.3. Модели нагружения ......................................................14
2.1.4. Модели разрушения ......................................................15
2.2. Внутренние силы .....................................................................15
2.3. Напряжения ............................................................................17
2.4. Деформации и перемещения ..................................................19

3. Растяжение и сжатие ......................................................................22
3.1. Внутренние силовые факторы ................................................22
3.2. Напряжения при растяжении и сжатии .................................25
3.3. Определение деформаций и перемещений ............................27
3.4. Опытное изучение свойств материалов .................................28
3.5. Метод допускаемых напряжений ...........................................32
Задания для самопроверки ............................................................45

4. Сдвиг и кручение .............................................................................47
4.1. Сдвиг ........................................................................................47
4.2. Кручение ..................................................................................49

4.2.1. Деформации при кручении ...........................................52
4.2.2. Напряжения ...................................................................54
4.2.3. Полярные момент инерции и момент 
           сопротивления круга и кругового кольца .....................56
Задание для самопроверки ............................................................67

Оглавление

Задания ................................................................................................69
1. Равновесие тела под действием плоской системы сил ..................69
2. Растяжение и сжатие ......................................................................79
3. Кручение .........................................................................................94

Билеты для текущего контроля знаний .............................................. 106
1. Равновесие тела под действием плоской системы сил ................ 106
2. Растяжение и сжатие .................................................................... 116
3. Кручение ....................................................................................... 146

Библиографический список ............................................................... 176

Предисловие

У

чебное пособие составлено в соответствии с программами 
дисциплин «Механика», «Детали машин и основы конструи-
рования», «Техническая механика», «Прикладная механика» 
для студентов технологических специальностей всех форм обучения.
Пособие может быть использовано при изучении теоретических 
курсов, а также при выполнении курсовых работ и проектов.
Опыт преподавания по данным дисциплинам показывает, что наи-
большие затруднения у студентов связаны с решением задач. Следу-
ет заметить, что именно выполнение практической работы помогает 
студентам глубже и прочнее усвоить основные теоретические поло-
жения, разобраться в методах расчета конструкций, работающих при 
различных видах нагружений.
Для лучшего усвоения материала приведены теоретические пред-
посылки решения задач по основным темам курса.
Примеры решения предложены в том виде, в каком они должны 
быть представлены в студенческих работах.
Особая методическая составляющая приведена в дополнительном 
тексте, в котором для самостоятельной работы в системе самоконтроля 
размещены задания по темам: равновесие тела под действием плоской 
системы сил, растяжение и сжатие, кручение, плоский поперечный 
изгиб, сложное сопротивление и прочность при циклически изме-
няющихся напряжениях — и билеты для текущего контроля знаний.

1. Равновесие тела  
под действием плоской системы сил

Связи и реакции связей

Т

вердое тело называется свободным, если его перемещение 
в пространстве не ограничено другими телами. В противном 
случае такое тело называется несвободным. Твердые тела, ко-
торые ограничивают перемещение данного тела, в механике называют 
его жесткими связями. Силы, с которыми эти связи действуют на дан-
ное тело, называются реакциями связей.
При расчетах прочностной надежности внешние нагрузки (силы со-
средоточенные и распределенные и моменты), действующие на деталь 
машины или элемент конструкции, определяются взаимодействием 
с другими деталями (элементами конструкции). Технологические нагрузки 
и инерционные силы определяются при анализе работы конструкции. 
Связи, обеспечивающие фиксацию элемента конструкции 
в пространстве, называют опорами, а силы и моменты, действующие 
на них, — реакциями опор.
Конструкции опор многообразны, однако по принципу действия 
их можно свести к нескольким схемам (рис. 1.1).
Различают следующие типы опор:
· жесткое защемление-заделка (трехсвязная опора), исключающая 
осевые и угловые смещения и воспринимающая осевые силы 
и моментную нагрузку (рис. 1.1, а);
· шарнирно-неподвижная опора (двухсвязная опора), которая допускает 
лишь угловое смещение (поворот вокруг собственной оси) 
и поэтому не воспринимает моментные нагрузки (рис. 1.1, б);
· шарнирно-подвижная опора (односвязная опора), которая не допускает 
смещения стержня только в направлении одной из осей 

Связи и реакции связей

и поэтому передает нагрузки лишь в направлении этой оси 
(рис. 1.1, в);
· опора в виде жесткого стержня с шарнирным закреплением кон-
цов (рис. 1.1, г) — здесь реакция направлена вдоль оси стержня, 
который может быть как растянутым, так и сжатым;
· гибкая опора (веревка, трос, цепь и т. д.) — реакция направлена 
вдоль нити и работает только на растяжение (рис. 1.1, д);
· опора в виде гладкой поверхности (рис. 1.1, е) — реакция всегда на-
правлена по нормали к плоскости контакта;
· опора в виде ребра угла (точечная опора) — реакция направле-
на перпендикулярно гладкой поверхности опирающегося тела 
(рис. 1.1, ж).

Y
Y

Ry

Rx
X
X
X

Y

R

R

R
R

R

а
б
в

г
д
е
ж

М
Rx

Ry

Рис. 1.1

Определение реакций опор является первым этапом прочност-
ного расчета. При решении этой задачи полагают, что рассчитыва-
емый элемент конструкции является абсолютно жестким (недефор-
мируемым). При этом используют аксиому освобождения от связей: 
всякое несвободное тело можно считать свободным, если мысленно ос-
вободиться от связей, а их действие заменить соответствующими ре-
акциями.

1. Равновесие тела под действием плоской системы сил 

После освобождения от связей определяют неизвестные реакции, 
используя уравнения статического равновесия. Для плоской системы 
сил статическое равновесие определяется тремя уравнениями:
· равенство нулю сумм проекций всех сил на координатные оси:

 
Fxi =
е
0,

 
Fyi =
е
0;

· равенство нулю суммы моментов всех сил относительно любой 
точки плоскости:
 
Mi =
е
0.

Если число неизвестных реакций не превышает число уравнений 
статического равновесия (т. е. трех для плоской системы сил), то си-
стема является статически определимой. В противном случае систе-
ма статически неопределима. В этом случае для определения реакций 
используются условия совместности деформаций.
Для опор, схемы которых представлены на рис. 1.1, характерно сле-
дующее:
· жесткое защемление-заделка (см. рис. 1.1, а) приводит к трем 
неизвестным Rx, Ry и M;
· шарнирно-неподвижная опора приводит к двум неизвестным  
Rx, Ry (рис. 1.1, б);
· шарнирно-подвижная опора приводит к одной неизвестной R 
(рис. 1.1, в).
Также одна неизвестная реакция имеет место быть в остальных ти-
пах опор.
Ниже рассмотрим пример решения задачи.

Задача № 1
Определить опорные реакции рамы (рис. 1.2) по следующим ис-
ходным данным: М = 70 Н·м; F = 40 Н; q = 14 Н/м; a = 30 градус;  
l1 = 2 м; l2 = 1,5 м.

1. Выбираем систему координат осей X и Y (рис. 1.3).
2. Используя аксиому об освобождении от связей, заменяем действие 
связей их реакциями. В точке A — шарнирно-неподвижная опора, 
реакцию опоры А раскладываем на две составляющие: горизонтальную 
RxA и вертикальную RyA. В точке B — опора в виде жесткого 
стержня, реакция связи RB будет направлена вдоль оси стержня.

Связи и реакции связей

Имеем три неизвестных, для определения которых составляем три 
уравнения статического равновесия. Следовательно, система статически 
определима.

3. Распределенную нагрузку заменяем сосредоточенной силой, равной 
произведению интенсивности распределенной нагрузки на длину 
участка, на котором действует эта нагрузка. Точкой приложения распределенной 
нагрузки является середина этого участка.

q
B

F

М

A

l2
l2

l1
l1
α

Стержень

q

Y
RB

B

F

A
X

RyA

RxA

l1
l1

l2
l2

α

М

0,5l1

ql

                                  Рис. 1.2                                                                Рис. 1.3

Составляем уравнения равновесия и находим величины опорных 
реакций:
 
SM A = 0; SFx = 0; SFy = 0.

 
SM
M
Fl
ql
l
l
R l
A
B
=
-
-
+
ж

из

ц

шч +
=
2
1
1
1
1
2
0
sina
;

  R

Fl
ql
l
l
M

l
B =
+
+
ж
из

ц
шч -
=
Ч
+
Ч Ч
+
ж
из

ц
ш
2
1
1
1

1

2
40 1 5
30
14 2
2
2
2
sin
, sin
o
a
ч -
=
70

2
22 Н;

 
SF
F
R
x
xA
=
+
=
sin
;
a
0

 
R
F
xA = -
= -
= -
sin
sin
Н;
o
a
40
30
20

 
SF
F
R
ql
R
y
B
yA
= -
+
-
+
=
cos
;
a
1
0

 
R
F
ql
R
yA
B
=
+
-
=
+
Ч
-
=
cos
cos
,
Н.
o
a
1
40
30
14 2
22
40 6

1. Равновесие тела под действием плоской системы сил 

Значение опорной реакции RxA получилось отрицательным. На-
правление реакции, ранее принятое произвольно, необходимо изме-
нить на противоположное (рис. 1.3).
Следовательно, получаем:
· в опоре А усилие

 
R
R
R
A
xA
yA
=
+
=
+
=
2
2
2
2
20
40 6
45 3
,
,
;
H

· в опоре B реакцию RB = 22 Н.

Задания для самопроверки

Задача 1. Определить опорные реакции балки (рис. 1.4) по сле-
дующим исходным данным: М = 40 кН·м; F1 = 50 кН; F2 = 30 кН; 
q = 20 кН/м; a = 60 °; l1 = 2 м; l2 = 1 м; l3 = 1 м; l4 = 3 м.

B
A

l2
l3
l1
l4

q

F2

M

α

F1

Рис. 1.4

Ответ: опорная реакция в точке А равна 138,9 кН, в точке В рав-
на 183,3 кН.

Задача 2. Определить опорные реакции рамы (рис. 1.5) по сле-
дующим исходным данным: М = 30 кН·м; F = 20 кН; q1 = 10 кН/м; 
q2 = 20 кН/м; a = 30°; l1 = 2 м; l2 = 2 м; l3 = 3 м; l4 = 1 м.

Задания для самопроверки

l2
l3
l1

l4

α

F

M
q2

q1

Рис. 1.5

Ответ: опорная реакция в точке А равна 34,6 кН, момент в задел-
ке — 197,3 кН·м.

2. Основные теоретические сведения

2.1. Модели прочностной надежности

О

ценка прочностной надежности элемента конструкции начи-
нается с выбора расчетной модели. При выборе модели учи-
тывают наиболее значимые и отбрасывают несущественные 
факторы, которые не оказывают достаточно заметного влияния на ус-
ловия функционирования элемента конструкции (детали). Учет всех 
факторов принципиально невозможен в силу их неисчерпаемости.
Для определения прочностной надежности детали используют мо-
дели:
· материала;
· формы;
· нагружения;
· разрушения.

2.1.1. Модели материала

Элементы конструкций изготовляются из различных материалов — 
металлов, бетона, полимеров и др. Их структура и физические свойства 
могут быть весьма разнообразны. Однако в курсе «Механика» удобно 
пользоваться некоторым условным материалом, наделенным опреде-
ленными идеализированными свойствами:
· материал однороден, т. е. свойства любых сколь угодно малых его 
частиц тождественны. Такое допущение достаточно обосновано 
для металлокристаллических материалов, например стали, и ме-
нее обосновано для материалов типа чугуна;
· материал полностью заполняет весь объем тела без каких-либо 
пустот, т. е. тело рассматривается как сплошная среда. Допуще-