Компьютерное моделирование процессов обработки металлов давлением

Министерство образования и науки Российской Федерации

Уральский федеральный университет 

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ  
ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

Учебное пособие 

Под общей редакцией проф., д‑ра техн. наук А. А. Богатова 

Рекомендовано методическим советом  
Уральского федерального университета  
для студентов, обучающихся по направлению 
22.03.02, 22.04.02 — Металлургия, 
для аспирантов, обучающихся по направлению 
22.06.01 — Технология материалов

Екатеринбург 
Издательство Уральского университета 
2018 

УДК 621.73/.77:004.94(075.8)
ББК 34.62я73+32.97я73
          К63

Авторы: А. А. Богатов, Д. А. Павлов, М. В. Ерпалов, Д. Р. Салихянов, 
                 Д. Ш. Нухов, Г. В. Шимов

Рецензенты: 
кафедра «Процессы и машины обработки металлов давлением»  
ФГАОУ ВО «Южно-Уральский государственный университет (национальный 
исследовательский университет)» (завкафедрой — проф., 
д-р техн. наук В. Г. Шеркунов); 
директор института машиноведения УрО РАН д-р техн. наук С. В. Смирнов

К63
Компьютерное моделирование процессов обработки металлов давлением : 
учебное пособие/ А. А. Богатов [и др.] ; под общ. ред. 
проф., д-ра техн. наук А. А. Богатова. — Екатеринбург : Изд-во 
Урал. ун-та, 2018. — 248 с.
ISBN 978-5-7996-2390-6

Авторы в компактной форме представили физические основы и феноменологические 
модели трения на поверхности скольжения деформируемого 
металла, а также модели и методы исследования остаточных напряжений, 
которые продемонстрированы при решении задачи изгиба, скручивания 
и растяжения образцов.

Пособие будет полезно для студентов, аспирантов и заводских инженеров 

при изучении дисциплин, предусмотренных основными образовательными 
программами бакалавриата, магистратуры и аспирантуры по направлениям 
«Металлургия» и «Технология материалов».

Библиогр.: 16 назв. Табл. 27. Рис. 179.

УДК 621.73/.77:004.94(075.8)
ББК 34.62я73+32.97я73

ISBN 978-5-7996-2390-6
© Уральский федеральный  
     университет, 2018

ВВЕДЕНИЕ

М

етодологические основы теории обработки металлов давлением 
построены на применении методов механики сплошных 
сред. Благодаря работам В. Л. Колмогорова и других 

ученых во второй половине XX века сформировался наиболее сложный 
раздел механики — механика обработки металлов давлением, ос-
новной задачей которого является изучение больших пластических 
деформаций и конечного формоизменения заготовки, обладающей 
сложными реологическими свойствами. Это позволяло изучать про-
цессы упрочнения и разупрочнения, а также эволюцию структурно-
го состояния деформируемого тела. В механике обработки металлов 
давлением произошли качественные изменения в связи с развитием  
компьютерного моделирования технологических процессов, основан-
ных на применении метода конечных элементов (КЭ-метода). В пред-
лагаемом учебном пособии авторы постарались восполнить отсутствие 
в литературе теоретического обоснования методов компьютерного мо-
делирования для решения инженерных задач, а на конкретных приме-
рах анализа технологических процессов продемонстрировать их эф-
фективность практического применения.
В первой главе учебного пособия рассмотрены основы механики 

твердого деформируемого тела, включая теорию напряжений и де-
формаций, модели деформируемых сред, закономерности упрочне-
ния и разупрочнения сталей и сплавов цветных металлов при обра-
ботке давлением, физические основы и феноменологические модели 
трения, методы определения остаточных напряжений, методологиче-
ские основы конечно-элементного моделирования технологических 
процессов, развитие КЭ-метода с применением структурно-чувстви-
тельных моделей деформируемого тела. Материалы первой главы по-
собия частично использованы из книги: [Богатов А. А. Механические 

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

свойства и модели разрушения металла: учебное пособие / А. А. Бога-
тов. –Екатеринбург : УГТУ–УПИ, 2002. — 328 с.], часть материалов 
публикуется впервые.
Во второй главе представлены практические рекомендации для ре-

шения краевых задач ОМД в программах Q-Form и Deform.

В третьей главе рассмотрены примеры практического решения про-

изводственных проблем на основе компьютерного моделирования: ис-
следованы известные и разработаны новые технологические процессы, 
в том числе при деформации толстых слябов и плит, процессы с ин-
тенсивной знакопеременной деформацией; процессы винтовой про-
катки круглых заготовок и труб, продольной прокатки труб на оправке 
и без оправки; производства труб с высаженными концами; процессы 
лейнирования насосно-компрессорных труб; исследование остаточ-
ных напряжений при изготовлении холоднодеформированных труб. 
Все материалы главы публикуются впервые 

Первая глава написана А. А. Богатовым, вторая глава — Д. А. Павло-

вым. Разделы 3.1, 3.3 написаны Д. Ш. Нуховым, 3.2, 3.4, 3.5 — Д. А. Пав-
ловым, 3.6 — М. В. Ерпаловым, 3.7 и 3.8 — Д. Р. Салихяновым, 
3.9 — Г. В. Шимовым, под общей научной редакцией А. А. Богатова. 
Авторы выражают глубокую благодарность Е. В. Орловой за помощь 
в подготовке рукописи пособия, а Д. Р. Салихянову за верстку пособия.

1. НАУЧНЫЕ ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО 
МОДЕЛИРОВАНИЯ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ 
МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

Н

екоторые сведения из механики сплошной среды представле-
ны в учебном пособии для случая однородного и изотропно-
го деформируемого тела. Гипотеза о сплошности среды по-
зволяет обобщить уравнения сохранения массы, количества движения 
и энергии. Механические процессы рассмотрены лишь для медленно-
го изотермического течения, а определяющие уравнения механики, 
устанавливающие связь между напряжениями и деформациями, зави-
сят не только от степени и скорости деформации, но и от температу-
ры. Для определения механических характеристик сплошной среды, 
а также для изучения таких явлений, как вязкость, упругость, пластич-
ность, ползучесть, разрушение, используется понятие о материальной 
частице. Материальная частица имеет малые размеры, обладает плот-
ностью и энергией.

1.1. Напряженное состояние

Если деформируемое тело объемом V, ограниченное поверхностью 
S, нагружено системой сил, определенных в принятом базисе, то в лю-
бой точке тела в результате Кулонова взаимодействия частиц возни-
кают напряжения. Вектором напряжения 


f , действующего на эле-
менте поверхности dS, положение которого определено вектором 
нормали n , называют отношение 

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

 




f
dF
dS
=
,  
(1.1) 

где dF


 — вектор силы, действующей на элементе поверхности dS.
Для точки, расположенной внутри тела, вектор силы dF


 характери-

зует действие отброшенной части тела на элементе поверхности пло-
щадки dS. Напряжение 


f  на каждой площадке, проходящей через М, 

зависит от нормали n , следовательно, в рассматриваемой точке существует 
некоторая векторная функция от векторного аргумента 


 
f
A n
=
( ) , 

которую в ортогональной системе координат можно представить 
в виде:

 
f
n
i
ij
j
= s
.  
(1.2) 

Физический смысл выражения (1.2) исходит из принципа равновесия 
элементарного тетраэдра, выделенного в точке М. Коэффициенты 
sij  являются проекциями на координатные оси векторов напряжений 
si , действующих на трех гранях тетраэдра, нормалями к которым 
являются координатные оси. Коэффициенты sij  являются компонентами 
симметричного тензора напряжений второго ранга Ts , которые 
обычно записывают в виде матрицы (sij ). Компоненты тензора 
с индексами i = j (они располагаются по диагонали матрицы) 
называются нормальными напряжениями и обозначаются  σxx, σyy, 
σzz, а остальные компоненты с индексами i ≠ j — касательными напряжениями ( 
sxy , sxz , syz ). Линейное преобразование (1.2) имеет 
три собственных вектора ei  (i = 1, 2, 3), которые являются главными 
направлениями тензора напряжений, и три собственных значения, 
которые называются главными напряжениями и обозначаются 
s s s
1
2
3
,
,
. Площадки, нормалями к которым являются собственные 

векторы, называются главными площадками. Используя условие кол-
линеарности векторов напряжений 


fi  (i = 1, 2, 3) на главных площад-
ках собственным векторам ei  и принимая во внимание геометриче-
ское соотношение ei

ei  = 1, получим однородную систему линейных  
уравнений 

 
(
)
s
ld
ij
ij
jе
-
=

0 ,  
(1.3) 

где dij  — компоненты единичного вектора.

1. Научные основы компьютерного моделирования процессов обработки металлов давлением

Определитель системы (1.3) равен нулю:

 
s
ld
ij
ij
-
= 0 .  
(1.4) 

Решением кубического уравнения, полученного в результате рас-
крытия определителя (1.4), являются три действительных корня 
l
s l
s
l
s
1
1
2
2
3
3
=
=
=
,
,
. Подставляя их поочередно в систему (1.3), 

можно определить искомые значения ei  для каждого из главных на-
пряжений. Индексы при главных напряжениях назначают по алгебра-
ическому правилу s
s
s
1
2
3
і
і
. Касательные напряжения на главных 

площадках равны нулю, а матрица компонентов тензора имеет диа-
гональный вид. Главные нормальные напряжения инвариантны пре-
образованию координат.
Тензор Ts  однозначно определяет напряженное состояние в точке 

М — в этом заключается его физический смысл. Если известны ком-
поненты тензора sij , то можно подсчитать по формулам (1.2) напря-
жение на любой площадке dS, проходящей через точку М и имеющей 
нормаль n . Нормальное напряжение определяется при проектирова-
нии fi  на нормаль к площадке 

 
s
s
n
ij
i
j
n n
=
.  
(1.5) 

Тогда касательное напряжение на площадке равно 

 
t
s
n
n
f
=
-
(
)
2
2 1/2.  
(1.6) 

Наглядное представление о значениях нормального и касательно-

го напряжений в рассматриваемой точке в зависимости от нормали n  
дает диаграмма Мора (см. рис. 1.1, а).

Заштрихованная область вместе с полуокружностями Мора являют-
ся геометрическим местом точек, характеризующих возможные зна-
чения sn  и tn . Из бесчисленного множества площадок, которые мо-
гут проходить через точку М, заслуживают внимания три площадки 
с главными нормальными напряжениями s
s
s
1
2
3
,
,
, на которых ка-
сательные напряжения tn = 0 , а также шесть площадок с экстремаль-
ными касательными напряжениями t
t
t
1
2
3
,
,
.

Максимальные касательные напряжения t
s
s
2
1
3
0 5
=
-
, (
) действуют 

на двух ортогональных площадках (см. рис. 1.1, б), которые делят углы 
между координатными плоскостями с нормалями n1  и n3  пополам. Для 
оценки напряженного состояния используют показатель Лоде, который 
зависит от соотношения радиусов кругов Мора, 

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

 
m
s
s

s
s
s=
-
-
-
2
1
2
3

1
3

(
)
(
)
.  
(1.7) 

á

tn

t2
t2

s3
s1

s2

s3

à

s2
s1
sn

t2

t1
t3

á

tn

t2
t2

s3
s1

s2

s3

à

s2
s1
sn

t2

t1
t3

Рис. 1.1. Нормальные и касательные напряжения  

в точке деформируемого тела [1] 

Показатель μσ инвариантен преобразованию координат, величина 

его может принимать значения от –1 до +1.

Тензор напряжений можно представить в виде суммы двух тензоров 

шарового и девиатора, соответствующие компоненты которых связаны 
уравнениями 

 
s
sd
ij
ij
ij
S
=
+
, 
(1.8) 

где s
s d
s
=
=
1
3
1
3
ij
ij
ii  — среднее нормальное напряжение; Sij  — компоненты 
девиатора напряжений. В последнем выражении использо- 
вано правило суммирования по повторяющимся индексам,  
s
s
s
s
ii
xx
yy
zz
=
+
+
.

Очевидно, что среднее нормальное напряжение для девиатора 

1
3
0
Sii =
. Под воздействием шарового тензора напряжений изотропный 
материал изменяет только объем, а под воздействием девиатора 
тело изменяет форму без изменения объема.

Важное значение в механике деформируемого тела имеет величина 

 
T = (
)
1
2

1
2
S S
ij
ij
,  
(1.9) 

а
б

1. Научные основы компьютерного моделирования процессов обработки металлов давлением

которую называют интенсивностью касательных напряжений. Через 
компоненты тензора напряжений формула (1.9) будет иметь вид:

 
T =
-
+
-
+
-
+
1

6

2
2
2
[(
)
(
)
(
)
s
s
s
s
s
s
xx
yy
yy
zz
zz
xx
 

 
+
+
+
6

1
2
(
)]
s
s
s
xy
yz
zx
,  
(1.10) 

или в главных напряжениях 

 
T =
-
+
-
+
-
йл
щы
1

6
1
2
2
1
3
2
2
3
2
1
2
(
)
(
)
(
)
s
s
s
s
s
s
.  
(1.11) 

Среднее нормальное напряжение s , интенсивность касательных 

напряжений Т и показатель Лоде ms  инвариантны преобразованию 
координат. Для оценки напряженного состояния в точке М достаточно 
указать два безразмерных и независимых друг от друга показателя 
напряженного состояния: относительное среднее нормальное напряжение 
s
T , характеризующее шаровой тензор, а также показатель Лоде 

ms , характеризующий девиатор напряжений. Действительно, показатель 
Лоде можно выразить через компоненты девиатора напряжений 
в главной системе координат, построенной на базисе собственных векторов 
тензора напряжений, 

 
ms =
-
3
2

1
3

S

S
S .  
(1.12) 

Определим показатели напряженного состояния s
T  и ms  для простейших 
видов испытания образцов: линейное растяжение и сжатие, 
чистый сдвиг.
При одноосном растяжении нормальное напряжение s
s
ZZ =
>
1
0 , 

а остальные нормальные напряжения s
s
rr =
=
2
0 ,s
s
jj =
=
3
0 . Среднее 
нормальное напряжение s
s
=
1
3 , а интенсивность касательных напряжений 
T = s1
3 . Тогда показатель s

T = 1

3 , а показатель Лоде  

ms = –1.

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ОБРАБОТКИ МЕТАЛЛОВ ДАВЛЕНИЕМ

При одноосном сжатии главные напряжения равны: σ1 = σφφ = 0; 

s
s
s
jj
2
0
0
=
=
=
=
;
;
rr
 s
s
3
0
=
<
zz
. Среднее нормальное напряжение s
s
=
3
3 , интенсивность 
касательных напряжений T = s3
3 , а показатель s
T = - 1

3 . 

Показатель Лоде равен ms = 1.

При чистом сдвиге s
t
xy =
> 0 , остальные компоненты тензора напряжений 
равны нулю. Главные напряжения определяются из решения 
уравнения (1.6) 

 

-
-
-
=
l
t
t
l
l

0
0
0
0
0 , 

или в развернутом виде -
+
=
l
t l
3
2
0 . Корни уравнений l
s
t
1
1
=
= ,  

l
s
l
s
t
2
2
3
3
0
=
=
=
= -
,
, интенсивность касательных напряжений T = t, 

а среднее нормальное напряжение s = 0 . Тогда оба показателя напряженного 
состояния равны нулю: s
Т = 0; ms = 0. 

Изменим условие испытания образцов, производя их в испытательной 
камере под давлением жидкости, равным p.

При растяжении компоненты тензора напряжений изменятся и будут 
равны: s
s
s
sjj
zz
rr
p
p
=
-
=
= -
1
;
, где s1  — напряжение одноосного 
растяжения при р = 0. Среднее нормальное напряжение s
s
=
-
1
3
p , 

а интенсивность касательных напряжений T =
-
=
(
)
s
s
s
zz
rr

3
3

1 . Тогда 

показатели напряженного состояния равняются s
s
ms
T =
-
= -
1

3

3
1

1
p,
.

При одноосном сжатии под давлением компоненты тензора напряжений 
будут s
sjj
rr
p
=
= - , s
s
zz
p
=
-
3
, где s3 — напряжение одноосного 
сжатия при p = 0. Тогда показатели s
s
T = -
-
1

3

3

3

p
, ms = +1.