Теория автоматического управления

ФАКУЛЬТЕТ ИНФОКОММУНИКАЦИОННЫХ СИСТЕМ И ТЕХНОЛОГИЙ 

КАФЕДРА ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ И УПРАВЛЯЮЩИХ СИСТЕМ 

Т. С. Аббасова, Э. М. Аббасов 

ТЕОРИЯ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Учебное пособие 

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 681.5(075) 
ББК 32.965я73 
  А13 

Рецензент: 
Стреналюк Юрий Вениаминович, ведущий научный сотрудник управления 
4 ЦНИИ МО РФ доктор технических наук, профессор  

Аббасова, Т. С., Аббасов, Э. М. 
А13 
 
Теория 
автоматического 
управления 
: 
учебное 
пособие 
/ 
 Т. С. Аббасова, Э. М. Аббасов / под ред. Т. С. Аббасовой. – Москва ;   
Берлин : Директ-Медиа, 2020. – 61 с. 

ISBN 978-5-4499-0608-3 

Учебное 
пособие 
составлено 
в 
соответствии 
с 
требованиями 
федерального 
государственного 
образовательного 
стандарта 
высшего 
профессионального образования (ФГОС ВО) по направлениям подготовки 
бакалавров 
27.03.04 
«Управление 
в 
технических 
системах», 
15.03.06 
«Мехатроника и робототехника», 15.03.05 «Конструкторско-технологическое 
обеспечение машиностроительных производств» и Учебных планов этих 
направлений, утвержденных Ученым советом МГОТУ.  
В учебном пособии содержатся основные аспекты анализа, синтеза, 
идентификации 
систем 
автоматического 
управления 
для 
определения 
показателей их качества. 
Пособие предназначено для студентов вузов. 

Текст приводится в авторской редакции. 

УДК 681.5(075) 
ББК 32.965я73 

ISBN 978-5-4499-0608-3
© Аббасова Т. С., Аббасов А. Э., текст, 2020
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

Содержание 

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................. 5 

1. ЦЕЛЬ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ .................................................................. 6 

2. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

ДЛЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ....................................... 7 

2.1 Преобразование Лапласа. Обратное преобразование Лапласа ...................... 7 

2.2 Преобразование Фурье ....................................................................................... 8 

3. ПОЛУЧЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ .................................................................. 9 

4. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ ................................................................ 11 

5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 

ПО ПЕРЕХОДНОЙ ФУНКЦИИ .............................................................................. 14 

6. СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИГНАЛА

НА ВЫХОДЕ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ И НА ЕЕ ВХОДЕ ............................ 17 

7. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ КАЧЕСТВА

СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ 

ПО АМПЛИТУДНО-ЧАСТОТНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКЕ .................................. 26 

8. ИССЛЕДОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ

АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ  С ПОМОЩЬЮ ХАРАКТЕРИСТИК 

ФАЗОВОГО ПРОСТРАНСТВА .............................................................................. 30 

9. РАЗРАБОТКА КОНТУРА УПРАВЛЕНИЯ

КОСМИЧЕСКИМ АППАРАТОМ ........................................................................... 34 

9.1 Анализ информации о состоянии космического аппарата 

и построение инвариантного контура управления ............................................. 34 

9.2 Определение скоростных параметров космического аппарата 

методом скользящего численного дифференцирования .................................... 37 

3 

9.3 Анализ алгоритмов оценивания параметров  

поступательного движения космического аппарата по результатам 

внешнетраекторных измерений ............................................................................ 40 

9.4 Алгоритмы оценивания начальных условий  

орбитального движения космического аппарата на основе метода наименьших 

квадратов ................................................................................................................. 41 

9.5 Особенности реализации алгоритма метода 

наименьших квадратов........................................................................................... 43 

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ................................................. 45 

ПРИЛОЖЕНИЕ А ..................................................................................................... 46 

ПРИЛОЖЕНИЕ Б ...................................................................................................... 48 

ВВЕДЕНИЕ 

В данном учебном пособии приведены теоретические сведения о методах 
и способах определения показателей качества систем автоматического 
управления, письменные задания и тесты. Пособие является дополнением к тем 
методическим трудам, которые указаны в списке литературы. 
В учебном пособии рассмотрен конкретный пример управления 
космическим аппаратом (КА), представленный схемами инвариантного контура 
управления сложным динамическим объектом. На основе анализа алгоритмов 
оценивания параметров поступательного движения летательного аппарата (ЛА) 
по результатам внешнетраекторных измерений сформулирована итерационная 
процедура 
Гаусса-Ньютона, 
реализующая 
подход 
непосредственного 
отыскания экстремальной точки поверхности отклика, описанной многомерной 
функцией применительно к задаче оценивания начальных условий движения 
ЛА. 
Учебное пособие предназначено для студентов бакалавриата направлений 
подготовки 
27.03.04 
«Управление 
в 
технических 
системах», 
15.03.06 
«Мехатроника и робототехника», 15.03.05 «Конструкторско-технологическое 
обеспечение машиностроительных производств».  
После завершения освоения дисциплины «Теория автоматического 
управления» студент должен: 
знать 
• основные положения теории управления;
• принципы и методы построения и преобразования моделей систем
управления; 
• методы расчёта и оптимизации систем управления;
• основные 
методы 
и 
принципы 
построения 
(формализации) 
и
исследования математических моделей систем управления, их формы 
представления и преобразования для целей управления;  
уметь 
• применять принципы и методы построения моделей, методы анализа,
синтеза и оптимизации при создании и исследовании средств и систем 
управления;  
• использовать принципы и методы математического моделирования при
разработке и исследовании систем управления; 
• решать исследовательские и проектные задачи с использованием
компьютеров; 
владеть 
• принципами 
и 
методами 
моделирования, 
анализа, 
синтеза 
и
оптимизации систем и средств автоматизации, контроля и управления; 
• навыками работы с современными аппаратными и программными
средствами исследования и проектирования систем управления. 

1. ЦЕЛЬ И МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ  
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

Основной и исчерпывающей моделью любой системы управления или её 
элемента является дифференциальное уравнение. На практике все системы и 
большинство их элементов описываются нелинейными дифференциальными 
уравнениями, что связано с нелинейными характеристиками элементов. Для 
облегчения исследования систем используют линеаризацию характеристик 
элементов. Однако это возможно только в определённых пределах.  
Целью исследования систем автоматического управления является 
определение их характеристик. Любая САУ характеризуется, прежде всего, 
устойчивостью. Устойчивость – это свойство САУ возвращаться в исходный 
или близкий к нему режим всякий раз после выхода из него.  
Существуют два способа определения динамических характеристик 
системы 
или 
их 
элементов: 
прямой, 
который 
предполагает 
решение 
дифференциального уравнения и нахождение всех характеристик, и косвенный, в 
котором решение дифференциального уравнения заменяется различными 
математическими и логическими процедурами, позволяющими судить о 
динамических свойствах системы. Вся теория автоматического управления 
направлена на разработку таких приёмов. 
Современные средства вычислительной техники и их математическое 
программное обеспечение позволяют решать задачу устойчивости и качества 
регулирования 
прямыми 
методами. 
Поэтому 
обычно 
исследования 
выполняются прямым методом, что облегчает проведение исследования и 
экономит значительное время исследователя. 
Примеры систем управления с обратной связью: 
• взаимоотношения учителя и ученика (учитель управляет учеником, 
корректируя своё поведение в зависимости от реакции ученика, результатов 
тестов и т.п.); 
• управление дорожным движением в крупных городах (режим работы 
светофоров определяет характер дорожного движения, при этом наличие 
заторов может повлиять на режим работы светофоров); 
• система управления температурой в холодильнике (для экономии 
электроэнергии процесс охлаждения идёт более интенсивно при высокой 
температуре и замедляется при приближении температуры к намеченной). 
Исследование системы автоматического регулирования может быть 
проведено экспериментально на материальном объекте. Для этого на вход 
системы подают стандартное входное воздействие, как правило, в виде 
ступенчатого единичного сигнала, и наблюдают изменение выходного сигнала. 
В системе, до этого находившейся в установившемся состоянии, начнётся 
переходной процесс. По поведению выходного сигнала можно оценить 
динамические свойства системы, а также отметить несколько характерных 
переходных 
процессов, 
среди 
которых 
наиболее 
часто 
встречаются 
апериодический и колебательный процессы. Переходной процесс может иметь 

6 

три 
разновидности: 
сходящийся 
(затухающий) 
в 
устойчивых 
САУ, 
расходящийся в неустойчивых САУ и незатухающий в САУ, находящейся на 
границе устойчивости. 
К косвенным методам исследования систем относятся методы построения 
амплитудно-фазовых характеристик и других характеристик с использованием 
передаточных функций системы и её элементов. 

2. ОСНОВНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ  
ДЛЯ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

2.1 Преобразование Лапласа. Обратное преобразование Лапласа 

В теории автоматического управления для упрощения решения 
дифференциальных уравнений используется преобразование Лапласа. 
 

}
...
{
}
...
{
)
1
(
1
)
(
0
)
1
(
1
)
(
0
x
b
x
b
x
b
L
y
a
y
a
y
a
L
m
m
m
n
n
n
+
+
+
=
+
+
+
−
−
.              (2.1) 
 
Здесь L − символ преобразования (оператор) Лапласа. При нулевых 
начальных условиях 
)s
(
Y
s
)}
t(
y
{
L
i
)i(
=
,  где Y(s) = L{y(t)}. 
Используя это свойство и свойство линейности преобразования Лапласа 

)}
t(
x
{
L
)}
t(
x
{
L
)}
t(
x
)t(
x
{
L
2
1
2
1
 
 β
+
α
=
β
+
α
, 
получаем 
дифференциальное 
уравнение САУ или звена в изображениях по Лапласу 
 

)s
(
X
)
b
...
s
b
s
b
(
)s
(
Y
)
a
...
s
a
s
a
(
m
m
m
n
n
n
+
+
+
=
+
+
+
−
−
1
1
0
1
1
0
.                          (2.2) 
 
Передаточной функцией системы в изображениях по Лапласу W(s) 
называется отношение изображений по Лапласу выходной величины к 
изображению входной при нулевых начальных условиях. Здесь s − комплексная 
переменная в преобразовании Лапласа. 
По определению, из (2.2) для передаточной функции в изображениях по 
Лапласу получаем 
 

n
n
n
m
m
m

a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
X
s
Y
s
W
+
+
+
+
+
+
=
=
−

−

...
...
)
(
)
(
)
(
1
1
0

1
1
0
.                                            (2.3) 

 
Чаще 
используют 
передаточную 
функцию 
в 
стандартном 
(нормированном) виде, когда свободный член знаменателя равен 1. Для этого и 
числитель, и знаменатель делят на коэффициент an. Тогда 
 

1
...

...
)
(

1
1
0

1
1
0

+
+
+

+
+
+
=

−

−

n

n

n

n

n

m
m

n

m

n

s
a
a
s
a
a
a
b
s
a
b
s
a
b

s
W
. 

7 

Если ввести обозначения 

n
a
b
k
0
1 =
; 

n
a
b
k
1
2 =
;...;

n

m
m
a
b
k
=
+1
 и 

n

n
a
a
T
0
1
=
; 

n

n
a
a
T
1
1
2
=
−
 ... , то стандартная форма записи передаточной функции может быть 

представлена в виде выражения 
 

1
1
1
2
1

1
2
1
+
+
+
+
+
+
=
−
−

−

...
s
T
s
T
k
...
s
k
s
k
)s
(
W
n
n
n
n
m
m
m

. 

 
Дифференциальное уравнение в изображениях по Лапласу (при нулевых 
начальных условиях) звена или САУ (2.1) приобретает вид Y(s)=W(s)X(s). 

Соотношение 
∫

∞
−
=

0
)
(
)
(
dt
e
t
x
s
X
st
 называют прямым преобразованием 

Лапласа. Комплексная переменная 
 называется оператором 
Лапласа, где ω − угловая частота, 
 – некоторое положительное постоянное 

число. Функция комплексной переменной X(S) называется изображением 
сигнала x(t) по Лапласу. Операция определения изображения по оригиналу 
сокращенно записывается – 
, где L – символ прямого 
преобразования Лапласа. 
Преобразование Лапласа обратимо, т.е., зная изображение по Лапласу, 
можно 
определить 
оригинал, 
используя 
соотношение 
обратного 
преобразования 
 

 
 
 
 
 
 
        (2.4) 

 
или 
, где 
 – символ обратного преобразования Лапласа. 

2.2 Преобразование Фурье 

Одна из важнейших характеристик канала связи, по которому передаётся 
информация управления в САУ, является полоса передаваемых частот. При 
рассмотрении конкретных электрических сигналов чаще пользуются описанием 
изменения закона тока, напряжения и мощности во времени. Существуют два 
языка описания характеристик сигнала: частотный, при котором задаётся закон 
распределения напряжений и мощности сигнала по частотам S(ѡ), и временной, 
при котором задаётся закон изменения сигнала во времени u(t). Важно 
располагать методом перевода описания с одного языка на другой. Эти два 
языка равноценны и связаны между собой преобразованием Фурье. 
Соотношение 

8 

 
 
 
 
 
 
 
       (2.5) 

 
называют прямым преобразованием Фурье. Функция угловой частоты ω – X(jω) 
называется Фурье-изображением или частотным спектром функции x(t). Спектр 
характеризует соотношение амплитуд и фаз бесконечного множества 
бесконечно малых синусоидальных компонент, составляющих в сумме 
непериодический сигнал x(t).  
Операция преобразования Фурье математически записывается 
 

  
 
 
 
 
 
 
       (2.6) 
 
где 
 – символ прямого преобразования Фурье. 
Спектры 
в 
теории 
автоматического 
управления 
представляют 
графически, изображая отдельно их действительную и мнимую части: 
 

. 
 
На 
рисунке 
2.1 
представлено 
типичное 
изображение 
спектра 
непериодического сигнала в ТАУ. 
 

 

 
Рисунок 2.1. – Пример спектра непериодического сигнала в ТАУ 
 
Все спектры в теории автоматического управления представляют 
графически. 

3. ПОЛУЧЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СИСТЕМ  
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ 

В теории управления три задачи управления. 
Задача анализа возникает тогда, когда известен вектор управляющих 
воздействий U и известна структура и описание объекта W. Необходимо 
проанализировать 
поведение 
выходных 
величин 
Y. 
Анализируется 
устойчивость и качество системы управления. 

9 

В задаче синтеза известны структура и описание объекта управления W 
и вектор управляемых величин Y. Необходимо найти управляющие воздействия 
U, которые обеспечивали бы желаемые характеристики объекта управления 
(оптимальное управление и коррекция системы управления). 
Идентификация объектов управления – это по известным входным U и 
выходным Y величинам построить адекватную математическую модель 
исследуемых объектов W. 
При решении задач анализа, синтеза и идентификации систем 
автоматического 
управления 
используют 
характеристики 
не 
только 
автоматической системы, но и её звеньев.  
Различают два основных вида характеристик систем автоматического 
управления. Это временные и частотные характеристики. 
Временные характеристики системы управления и её элементов можно 
получить посредством: 
1) решения дифференциального уравнения, являющегося математической 
моделью системы или её элемента; 
2) обратного преобразования Лапласа, используя аппарат передаточных 
функций; 
3) математического моделирования процессов управления в системе 
управления или её элементе. 
Если в передаточной функции W(S) осуществить формальную замену 
переменной 
ω
⋅
= j
s
, получим частотные характеристики автоматической 
системы или её звена. При такой замене передаточная функция W(S) принимает 
вид 
 

( )
(
)
( )
( )
ω
ω
ω
ω
Q
j
P
j
W
s
W
j
s
⋅
+
=
⋅
=
⋅
=

,                                                (3.1) 

 
где P(ω) – действительная часть комплексного числа W(jω), Q(ω)  – мнимая 
часть комплексного числа W(jω). 
Комплекснозначная функция W(jω) называется амплитудно-фазовой 
частотной характеристикой системы. 
Функции 
 

( )
(
)
ω
ω
⋅
=
j
W
P
 
Re
 и ( )
(
)
ω
ω
⋅
=
j
W
Q
 
Im
                                           (3.2) 
 
называются 
соответственно 
действительной 
и 
мнимой 
частотными 
характеристиками. 
Функция 
 

( )
(
)
( )
( )
ω
ω
ω
ω
2
2
Q
P
j
W
A
+
=
⋅
=
                                                    (3.3) 

 
называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ). 

10 

Функция 
 

( )
( )
( )
ω
ω
ω
ω
ϕ
P
Q
arctg
j
W
=
⋅
=




arg
                                                        (3.4) 

называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). 
Логарифмической 
амплитудно-частотной 
характеристикой 
(ЛАЧХ) 
системы называется график функции ( )
ω
L
 вида 
 

( )
( )
(
)
ω
ω
ω
⋅
⋅
=
⋅
=
j
W
A
L
log
20
log
20
.                                             (3.5) 

 
Размерность функции ( )
ω
L
 – децибел. 
Частотные 
характеристики 
можно 
получить 
аналитически 
либо 
экспериментально. 
При 
аналитическом 
способе 
получения 
частотных 
характеристик нужно в передаточной функции системы 
( )s
W
 осуществить 

формальную замену переменной 
ω
⋅
= j
s
. Далее в комплексном числе 

(
)
ω
⋅j
W
 
выделить 
действительную 
( )
ω
P
 
и 
мнимую 
( )
ω
Q
 
части 

комплексного числа (
)
ω
⋅j
W
 и воспользоваться формулами (3.3) – (3.5). 
Аналитически частотные характеристики можно получить, если найти 
частное решение неоднородного дифференциального уравнения динамики 
автоматической системы, когда на её вход подаётся гармонический сигнал 

( )
t
a
t
g
ω
sin
⋅
=
 амплитуды a  и частоты ω . 
При экспериментальном построении графиков частотных характеристик 
систем на её вход подаётся гармонический сигнал ( )
t
a
t
g
ω
sin
⋅
=
 постоянной 
амплитуды a . Изменяя частоту ω  в заданных пределах, измеряют значения 
амплитуды и фазы выходного сигнала. По полученным значениям строят 
амплитудно-частотную и фазо-частотную характеристики системы. 
Компьютерное моделирование позволяет выполнить анализ временных и 
частотных характеристик, предварительную и заключительную коррекцию 
САР, оценку её качества. 

4. ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ СИСТЕМ  
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ  

Переходной функцией 
( )t
h
 системы автоматического управления 
называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы, 
когда на её вход подаётся единичное ступенчатое воздействие ( )
( )t
t
g
1
=
 при 
нулевых начальных условиях. 
Пусть 
структурная 
схема 
автоматической 
системы 
приведена 
к 
расчётному виду (рис. 4.1). 
 

11 

( )s
G
( )s
E
( )s
X
( )s
W

 
 
Рисунок 4.1. – Приведение к расчётному виду структурной схемы 
 
На рисунке 4.1 обозначено: G(S) – изображение по Лапласу входного 
сигнала,  X(S) – изображение по Лапласу выходного сигнала, E(S) – 
изображение по Лапласу сигнала ошибки системы, W(S) – передаточная 
функция разомкнутой системы. 
Выходная переменная X(S) замкнутой системы связана с входным 
сигналом G(S) уравнением 
 

( )
( )
( )s
G
s
s
X
⋅
Φ
=
, 
 
где Ф(S) – передаточная функция замкнутой системы. 

Так как ( )
( )
{
}
( )
{
}

s
t
L
t
g
L
s
G
1
1
=
=
=
, то из последнего равенства следует, что 

изображение по Лапласу переходной функции равно 

( )
( )s
s
s
H
Φ
⋅
= 1
 .                                                                          (4.1) 

Тогда, 
переходная 
функция 
( )t
h
 
определяется 
как 
обратное 
преобразование Лапласа от выражения (4.1), т.е. 

( )









−
⋅
=
s
s
L
t
h
Φ
1
)
(
1
  .                                                                 (4.2) 

Существует связь между передаточной функцией разомкнутой системы 

( )s
Φ
 и передаточной функцией разомкнутой системы 
( )s
W
, которая задаётся 
с помощью формулы  
 

( )
( )
( )s
W
s
W
s
+
=
Φ
1

.                                                                          (4.3) 

 
Подставив (4.2) в равенство (4.3) получаем 

( )
( )








−
+
⋅
=
s
W
s
W
s
L
t
h
1
1
)
(
1
.                                                               (4.4) 

Сформулируем алгоритм нахождения переходной функции системы 
автоматического управления, если её математическая модель задана в виде 

12