Основы теории надежности

ИНСТИТУТ ТЕХНИКИ И ЦИФРОВЫХ ТЕХНОЛОГИЙ 

ФАКУЛЬТЕТ РАКЕТНО-КОСМИЧЕСКОЙ  

ТЕХНИКИ И ТЕХНОЛОГИИ МАШИНОСТРОЕНИЯ 

КАФЕДРА УПРАВЛЕНИЯ КАЧЕСТВОМ И СТАНДАРТИЗАЦИИ 

М. Д. Озерский, В. Г. Исаев, В. В. Гончаров 

МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ДЛЯ 
РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ДИСЦИПЛИНЕ 
«ОСНОВЫ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ»  

Москва 
Берлин 
2020 

УДК 811.112.2(075) 
ББК 81.432.4я73  

Рецензент:  
к.т.н. Костылев А. Г. 

О46

 

Основы теории надежности: Методическое пособие для 
решения задач по дисциплине / М. Д. Озерский, В. Г. Исаев, 
В. В. Гончаров. – Москва ; Берлин : Директ-Медиа, 2020. – 43 с. 

ISBN 978-5-4499-1536-8  

Методическое пособие содержит задачи по оценке надежности 
элементов и систем технических объектов и методические рекомендации по 
их решению. 
Методическое пособие предназначено для бакалавров, обучающихся по 
направлениям подготовки 27.03.02 «Управление качеством», 27.03.05 
«Инноватика», 
15.03.05 
«Конструкторско-технологическое 
обеспечение 
машиностроительных 
производств», 
специалистов 
24.05.01 
«Проектирование, 
производство 
и 
эксплуатация 
ракет 
и 
ракетно-
космических комплексов» и рекомендуется для использования в учебном 
процессе по техническим специальностям при изучении в вузе тематики, 
связанной с оценкой надежности технических объектов. 

УДК 811.112.2(075) 
ББК 81.432.4я73 

ISBN 978-5-4499-1536-8 
© Озерский М. Д., Исаев В. Г., Гончаров В. В., текст, 2020 
© Издательство «Директ-Медиа», оформление, 2020 

 

Содержание 

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И ТЕОРЕМЫ 
ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛЫ БАЙЕСА) ..................................................................... 4

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ
ОБЪЕКТОВ СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ ........................................... 7

3.РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ КОМПЛЕКСНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 
НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ .............................................................................. 11

4. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ С
ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ БЕРНУЛЛИ .............................................. 13

5.РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ НАДЕЖНОСТИ 
СЛОЖНЫХ СИСТЕМ .......................................................................................... 16

6. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ СИСТЕМ С
РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ ......................................................................................... 32

7. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОПРЕДЕЛЕНИЮ ДОВЕРИТЕЛЬНОГО
ИНТЕРВАЛА ДЛЯ КОНТРОЛИРУЕМОГО ПАРАМЕТРА ПО 
РЕЗУЛЬТАТАМ ИСПЫТАНИЙ ......................................................................... 37

8. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ ДЕФЕКТНОСТИ ПАРТИИ
ИЗДЕЛИЙ ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ОДНОСТУПЕНЧАТОГО ВЫБОРОЧНОГО 
КОНТРОЛЯ ............................................................................................................ 40 
ЛИТЕРАТУРА…………………………………………………………….41 

1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ
С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ФОРМУЛЫ ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ И 
ТЕОРЕМЫ ГИПОТЕЗ (ФОРМУЛЫ БАЙЕСА) 

Задача 1. В сборочный цех поступило 700 изоляторов, изготовленных 
на четырех заводах области: на первом заводе 350, на втором заводе 200, на 
третьем и четвертом по 75 изоляторов. В результате проверки одного из 
поступивших изоляторов произошел отказ. Определить вероятность этого 
события и вероятность того, что причиной отказа был изолятор, 
изготовленный на первом заводе, если известно, что качество изготовления 
поставляемых изоляторов заводами различное, а именно: вероятность отказа 
изолятора, изготовленного на первом заводе – 0,02, на втором заводе – 0,03, 
на третьем заводе – 0,04, на четвертом заводе – 0,05. 

Решение.  
1.
Вероятности попадания на контроль изолятора, изготовленного
соответственно первым, вторым, третьим и четвертым заводами обозначим 
через P(B1), Р(B2), Р(B3), Р(B4). 

2.
Вероятность отказа любого наугад взятого изолятора обозначим
Q (А); 

3.
Вероятности отказа изолятора, изготовленного на первом,
втором, третьем и четвертом заводах обозначим Q(А ÷ В1), Q(А ÷ В2), Q(А 
÷ В3), Q(А ÷ В4); 

4.
Апостериорную вероятность отказа изолятора i–го завода
обозначим Q (Вj ÷ А). 
Вероятность отказа любого наугад взятого изолятора определится по 
формуле полной вероятности наступления отказа: 


Апостериорная вероятность отказа изолятора 1-го завода определяется 
по формуле Байеса: 

Таким 
образом, 
получим 
следующие 
значения 
вероятностей, 
описанных в п.1…4. 
Вероятность поступления на контроль изоляторов, изготовленных на 
каждом из заводов; 
P (В1) = 350 ÷ 1000 = 0,35; P(В2) = 200 ÷ 1000 = 0,2; P(В3) = 75 ÷ 1000 = 0,075; 

Р(B4) = 75 ÷ 1000 = 0,075 

Вероятность отказа любого наугад взятого изолятора равна: 
Q (A) = Q (А ÷ В1) + Q (А ÷ В2) + Q (А ÷ В3) + Q (А ÷ В4) = 0,35 × 0,02 + 0,2 × 

0,03 + 0,075 × 0,04 + 0,075 × 0,05 = 0,0197 

 Вероятность отказа изолятора первого завода 

Q (В1 ÷ А) = 
 А ВА= 
 ,,,0,355 

Задача 2. Рассматривается маршрут автомобиля по горной дороге, 
проходящей над пропастью. 
Если погода благоприятная (вероятность 0,8), то он не сорвется в 
пропасть и доедет до парка с вероятностью 0,9.  
Если погода неблагоприятная, то управление автомобилем переводится 
на автомат, надёжность (вероятность безотказной работы) которого равна 
0,7. В этом случае он также с вероятностью 0, 9 доедет до парка. 
Если же автомат не сработал, то водитель берет управление на себя и 
может благополучно доехать до парка только с вероятностью 0,5. Найти 
вероятность того, что водитель благополучно доедет до парка. 

Решение. Рассмотрим ситуации, при которых водитель может 
благополучно доехать до парка, определим вероятность наступления каждой 
из них и общую вероятность поездки.  

Вероятность ситуации, соответствующей благоприятной погоде и 
благополучной поездке определяется вероятностью наступления двух 
независимых событий и равна произведению вероятностей этих событий. 

P1 = 0,8 × 0,9 = 0,72 

Вероятность ситуации, соответствующей неблагоприятной погоде, 
надежной передаче управления автомобилем на автомат и благополучной 
поездке 
при 
управлении 
автоматом 
определяется 
произведением 
вероятностей этих событий.  

P2 = 0,1 × 0,7 × 0,9 = 0,063 

Вероятность ситуации, соответствующей неблагоприятной погоде, 
отказу автомата, но благополучной поездке при управлении автомобилем 
вручную определяется произведением вероятностей этих событий.  

P3 = 0,1 × 0,3 × 0,1 = 0,003 

Суммарная вероятность благополучной поездки будет равна сумме 
вероятностей: 
Р∑ = P1 + P2 + P3 = 0,72 + 0,063 + 0,003 = 0,786 
 

 
 
 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 
 
 
 

2. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ ПОКАЗАТЕЛЕЙ 
НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ СТАТИСТИЧЕСКИМИ МЕТОДАМИ 

Статистическая вероятность безотказной работы объектов Р(t) в 

интервале времени от 0 до t определяется как отношение числа объектов 
, безотказно проработавших до момента времени t, к числу объектов, 
исправных в начальный момент времени 0. Статистическая вероятность 
отказа Q(t) равна отношению числа объектов , отказавших к моменту 
времени t, к числу объектов, исправных в начальный момент времени t = 0 
[1,5-9].  

  

P(t) = 
= 
 = 1 – 
;        Q(t) = 

 

Р (t) + Q (t) = 1 

 
Статистическая плотность распределения наработки до отказа f 

определяется как отношение числа отказов в интервале времени (t + Δt) к 
произведению числа исправных объектов в начальный момент времени t = 0 
и длительности интервала Δt: 

 

f (t) = 
 

 
Статистическая 
интенсивность 
отказов 
(t) 
определяется 
как 

отношение числа отказов в интервале (t, t + Δt) к произведению числа 
исправных объектов в момент времени t на длительность интервала 
времени Δt: 

(t) = 
  

 
Средняя 
наработка до 
отказа 
ср определяется 
как 
среднее 
арифметическое значение наработки всех объектов, участвовавших в 
испытаниях. 









0

0
1

1

i
i
ср
t
t
 

Для аналитических оценок вероятность безотказной работы и среднее 

время безотказной работы объектов, и интенсивность отказов определяются 
по зависимостям: 

(t) = 
Р
 

,
)
(
0
)
(
e

t
dt
t
t
Р


 

В период нормальной эксплуатации объекта интенсивность отказов не 

изменяется и зависимость по определению вероятности безотказной работы 
преобразуются к виду: 

Р(t) = ;  λ(t) = const 

  
Задача 3. На испытание поставлено 1000 одинаковых устройств, 

которые с течением времени отказывают одно за другим. В течение первого 
часа испытаний отказало 63 устройства. Через 100 часов в работоспособном 
состоянии осталось только 105 устройств. За последующий час отказало еще 
22 устройства. 

Требуется определить интенсивность отказов за первый и последний 

зафиксированный час работы и сделать вывод о надежности устройства в 
начале и в конце испытаний. 

 
Решение. Графическое представление условия задачи приведено на 

рисунке 1 с обозначением числа элементов, отказывающих в разные моменты 
времени. 

 

 
Рисунок 1 – Графическое представление условия задачи 

 
Интенсивность отказов за период времени Δt определяется по формуле:  

ср , 1 час.


где n(∆t) – число отказов за время ∆t;  
Nср – число технических устройств, оставшихся в работоспособном 

состоянии к середине интервала. 

Интенсивность отказов за первый час работы устройств определяется: 

163

1000 63
2 1

0,065 1 час.


за последний час работы устройств: 

10122

105 22
2 1

0,234 1 час.


 
Несмотря на то, что за последний час работы, отказало меньшее 

количество 
устройств, 
интенсивность 
отказов 
за 
этот 
час 
выше, 

следовательно, устройства были более надежны в первый час работы. 

 

Задача 4. В процессе заводских испытаний было проверено 100 машин. 
Данные об их отказах представлены в таблице 1. Необходимо определить 
показатели 
надежности 
машин 
в 
заданные 
моменты 
времени 
в 
предположении, что моменты отказов происходят в середине каждого 
промежутка времени.  
 
Таблица 1 – Опытные данные об отказах машин 

 
 Параметр 
Интервал, ч 

0..100 
100... 
200 
200... 
300 
300... 
400 
400... 500 
500... 
600 
600... 
600 
700... 800 

Промежуток 
времени Δt, ч 
100 
100 
100 
100 
100 
100 
100 
100 

Число отказавших 
автомобилей 
п((t, t + Δt ) 

 
1 
 
2 
 
1 
 
3 
 
2 
 
2 
 
1 
 
2 

Р(t) 
 
 
 
 

f(t) × 10
4, ч-
1 
 
 
 
 

 (t) × 10
4, ч-
1 
 
 
 
 

  
 
Решение. Показатели надежности в заданные интервалы приведены в 
таблице 2. 
Таблица 2 – Показатели надежности машин  

 
 Параметр 
Интервал, ч 

0..100 
100... 
200 
200... 
300 
300... 
400 
400... 500 
500... 
600 
600... 
600 
700... 
800 

Промежуток 
времени Δt, ч 
100 
100 
100 
100 
100 
100 
100 
100 

Число отказавших 
автомобилей 
п((t, t + Δt ) 

 
1 
 
2 
 
1 
 
3 
 
2 
 
2 
 
1 
 
3 

Р(t) 
0,99 
0,97 
0,96 
0,93 
0,91 
0,89 
0,88 
0,85 

f(t) × 10
4, ч-
1 
1 
2 
1 
3 
2 
2 
1 
3 

(t) × 10
4, ч-
1 
1,01 
2.03 
1,04 
3,17 
2,20 
2,22 
1.12 
3,47 

 
Задача 5. В начальный период наблюдения все четыре колеса 
автомобиля были работоспособны. Однако после пробега в 10 тыс. км одна 
из покрышек колеса износилась. Определить интенсивность отказов колес 
автомобиля. 
 
Решение. Интенсивность отказов колес автомобиля оценивается по 
зависимости,  

(t) = 

в которой∶ 
- число колес автомобиля в начальный период; 
- число износившихся колес; 
- пробег автомобиля. 
N(t) = 4; N(t = 10) = 3; ΔN = 1; t = 10 тыс./км; 
(t) = 
0,025 тыс./км 
 

 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 

3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ОЦЕНКЕ КОМПЛЕКСНЫХ 
ПОКАЗАТЕЛЕЙ НАДЕЖНОСТИ ОБЪЕКТОВ 
 
Комплексными показателями надежности являются: 
• коэффициент готовности КГ; 
• коэффициент оперативной готовности К0г; 
• коэффициент технического использования Кти 
 
Коэффициент готовности – КГ = 
Т

Т Тв  
где: Т – средняя наработка на отказ 
Тв – среднее время восстановления 
 
Коэффициент оперативной готовности –  
КОГ = 
Т

Т Тр 

где Тр – время внепланового ремонта 
 
 Коэффициент технического использования и эффективности – Кти  

КТИ = 
Тс

Тс Тто Тр 

где: Тс суммарная наработка изделия; 
ТТО и Тр – продолжительность простоев, технического обслуживания и 
ремонта изделия (планового и внепланового). 
 
Задача 6. Определить средний коэффициент готовности, если за 
наблюдаемый период автомобиль отказал 2 раза. Первая наработка составила 
1000 час, вторая – 1600 час. Первый ремонт составил 4 час., второй – 6 час. 
Решение 
 
Т = 
= 1300 час; Тв = 
= 5 час; КГ = 
= 0,996 
 
Задача 7. Определить коэффициент технического использования, если 
суммарная наработка изделия за рассматриваемый период составила 2560 
час, а суммарное время, затраченное на его ремонт и техническое 
обслуживание, составило: Тр = 120 час; Тто = 40 часов. 
 
 
Решение