Теория и применение электростатических подвесов

им. Н.Э. Баумана
МГТУ

ИЗДАТЕЛЬСТВО

УДК 681.586.2 
ББК 22.213 
  В201 
 
Р е ц е н з е н т ы :  
кафедра «Техническая кибернетика и информатика» 
 Саратовского государственного технического университета 
 (зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. Ю.В. Садомцев); 
 д-р техн. наук, проф. В.Н. Митрохин (МГТУ им. Н.Э. Баумана); 
 канд. техн. наук, доц. В.Н. Герди (МГТУ им. Н.Э. Баумана) 
 
 
 
Васюков С. А.  
Теория и применение электростатических подвесов / 
С. А. Васюков, Г. Ф. Дробышев. – М. : Изд-во МГТУ им. 
Н. Э. Баумана, 2009. – 336 с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-3284-4 
 
Изложены вопросы теории активных электростатических 
подвесов, применяемых для прецизионного центрирования 
подвижных систем гироскопов и акселерометров. Разработаны 
математические модели сферического и цилиндрического подвеса, 
исследованы их силовые и моментные характеристики. 
Значительное внимание уделено оптимизации динамических 
характеристик подвеса в условиях ненулевого потенциала ротора 
и построению автоматизированной методики проектирования 
подвеса. Приведены примеры расчета подвесов различных 
типов.  
Рассмотрен ряд практических схем электронных блоков 
подвесов, среди которых особое внимание уделено импульс-
ному подвесу с регулированием по принципу широтно-им-
пульсной модуляции. 
Монография написана по материалам исследований, про-
водившихся в МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Для инженерно-технических и научных работников, сту-
дентов и аспирантов приборостроительных специальностей. 
 
 
УДК 681.586.2 
ББК 22.213 
 
 
 
 
© Васюков С. А., Дробышев Г. Ф., 2009 
© Оформление. Издательство МГТУ 
ISBN 978-5-7038-3284-4                           им. Н. Э. Баумана, 2009 

 
 
 
 
 
 
 
 
 В201 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ............................................................................................ 
5 
Введение .................................................................................................. 
8 
Глава 1. Принципы построения  электростатических подвесов............. 17 
1.1. Базовая схема электростатического подвеса.......................... 17 
1.2. Аналоговые электростатические подвесы.............................. 24 
1.3. Импульсные и аналогово-импульсные подвесы .................. 53 
Глава 2. Математическая модель электростатического подвеса как 
            системы заряженных проводников ........................................... 64 
2.1. Уравнения связи зарядов и потенциалов на проводниках 
      подвеса .................................................................................... 64 
2.2. Распределение потенциала в цилиндрическом подвесе ....... 67 
2.3. Распределение потенциала в сферическом подвесе.............. 76 
2.4. Коэффициенты электростатической индукции ................... 80 
Глава 3. Силообразование в электростатических подвесах ................... 88 
3.1. Силы и моменты в ЭСП ......................................................... 88 
     3.1.1. Вычисление сил для СЭСП ........................................... 91 
     3.1.2. Вычисление сил и моментов для ЦЭСП ...................... 95 
3.2. Законы управления потенциалами на электродах и датчи- 
      ки перемещений ...................................................................... 99 
3.3. Потенциал ротора в ЭСП........................................................ 112 
3.3.1. Потенциал ротора в ЦЭСП ............................................ 114 
3.3.2. Потенциал ротора СЭСП (треугольные электроды)..... 129 
3.3.3. Потенциал ротора СЭСП (сегментные электроды)...... 136 
3.4. Силовые характеристики ЭСП ............................................... 141 
3.4.1. Силовые характеристики СЭСП (сегментные элект- 
        роды)................................................................................. 141 
3.4.2. Силовые характеристики СЭСП (треугольные элект- 
        роды)................................................................................. 156 
3.4.3. Силовые характеристики ЦЭСП.................................... 165 
Глава 4. Динамика и проектирование электростатических подвесов .... 178 
4.1. Динамика и проектирование сферического подвеса с сег- 
     ментными электродами ........................................................... 180 
4.1.1. Выбор основных статических параметров подвеса 
        на постоянном токе с сегментными электродами ........ 181 
4.1.2. Линейная одномерная динамическая модель подвеса 
        с сегментными электродами при статическом регули- 
        ровании ........................................................................... 184 
4.1.3. Нелинейная динамическая модель подвеса с сегмент- 
        ными электродами при статическом регулировании.... 190 
4.1.4. Динамика астатического подвеса с сегментными 
        электродами .................................................................... 202 
4.1.5. Динамика импульсного подвеса с сегментными элект- 
        родами .............................................................................. 210 
4.2. Динамика и проектирование сферического подвеса с тре- 
     угольными электродами ........................................................... 220 

4.3. Динамика цилиндрического подвеса ..................................... 233 
4.3.1. Уравнения движения тел в ЦЭСП................................. 233 
4.3.2. Структурные схемы и передаточные функции звеньев 
        системы регулирования ЦЭСП ...................................... 237 
4.3.3. Расчет электромеханических параметров ЦЭСП.......... 246 
4.3.4. Определение гидродинамических параметров ЦЭСП.... 252 
4.3.5. Исследование динамических характеристик ЦЭСП..... 256 
4.4. Влияние случайного заряда на стабильность  центрирова- 
      ния ротора электростатического подвеса .............................. 263 
4.5. Цифровое управление подвесом............................................. 277 
4.5.1. Особенности цифрового регулирования и рекоменда- 
        ции по выбору микроконтроллера ................................. 277 
4.5.2. Дискретная коррекция .................................................... 282 
4.6. Методики проектирования подвесов ..................................... 287 
4.6.1. Методика проектирования сферического подвеса с 
        сегментными электродами.............................................. 288 
4.6.2. Методика проектирования сферического подвеса с 
        треугольными электродами............................................. 290 
4.6.3. Методика проектирования ЦЭСП ................................. 292 
Глава 5. Конструирование электростатических опор ............................. 295 
5.1. Конструкции приборов с электростатическими опорами.... 295 
5.2. Схемотехника электростатических опор................................ 303 
Список литературы ................................................................................. 318 
Приложение............................................................................................. 323 
П1. Коэффициенты электростатической индукции сферичес- 
      кого подвеса с электродами в виде правильных сферичес- 
      ких треугольников ................................................................... 323 
П2. Коэффициенты электростатической индукции сфери- 
      ческого подвеса с электродами в виде сферических сег- 
      ментов....................................................................................... 327 
П3. Коэффициенты электростатической индукции цилиндри- 
      ческого подвеса ...................................................................... 329 
 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В настоящее время известно множество различных опор 
(подвесов), применяемых в датчиках первичной информации 
электромеханического типа, которые в той или иной степени 
удовлетворяют требованиям по продолжительности и устойчи-
вости работы в любой среде при малых и высоких скоростях, по 
близким к нулю возмущающим моментам и т. д. Однако боль-
ших успехов в решении проблемы точности и качества первич-
ных преобразователей удалось достигнуть благодаря примене-
нию новых физических принципов построения подвесов. Глав-
ным достижением исследований последних десятилетий явилась 
разработка и практическое использование электромагнитных и 
электростатических подвесов, где вес взвешиваемого тела и дей-
ствующие на него нагрузки уравновешиваются без механическо-
го контакта с элементами конструкции силами магнитного или 
электрического поля, создаваемого в рабочем зазоре. Подвесы 
этого типа обеспечивают как работу на сверхвысоких скоростях 
без износа, шума и вибрации, так и получение крайне малых 
возмущающих моментов. Долговременность их работы опреде-
ляется возможностями электронной аппаратуры, безотказность 
которой гарантируется в течение десятков лет. Необходимо, од-
нако, представлять круг проблем, возникающих при создании 
таких подвесов. Ограниченная жесткость электромагнитных и 
электростатических подвесов, отсутствие в них физического 
демпфирования, необходимость иметь хорошие динамические 
характеристики в условиях подвижного основания выдвигают 
целый комплекс задач, решение которых возлагается на элек-
тронную часть опоры. Одна из наиболее трудных проблем свя-
зана с уменьшением возмущающих моментов, обусловленных 
несовершенством исходных материалов элементов опоры и тех-
нологией ее изготовления, причем степень их проявления во 
многом зависит от правильного выбора конструкции и схемо-
технического обеспечения. 
В монографии изложена теория электростатического подве-
са, особое внимание уделено вопросам влияния потенциала и 
заряда ротора на силовые характеристики и динамику подвеса. 
При формировании математической модели подвеса использо-

вался асимптотический подход и методы теории возмущений. 
Динамические модели подвесов различных типов и методики их 
проектирования реализованы с использованием пакета Мат-
лаб 2006. 
Книга состоит из введения и пяти глав. В главе 1 дано опи-
сание и многоуровневая классификация всех возможных видов 
электростатических подвесов. На примере анализа публикаций, 
в основном зарубежных, показана история развития и текущее 
состояние проблемы.  
Глава 2 посвящена формированию модели подвеса как сис-
темы заряженных проводников. Для расчета сил и моментов, 
действующих на проводящий ротор, требуется предварительно 
найти распределение потенциала поля в промежутке ротор–
камера. Это распределение устанавливается по результатам ре-
шения уравнения Лапласа при соответствующих граничных ус-
ловиях на элементах подвеса. Известны два основных подхода 
определения главного вектора и главного момента пондеромо-
торных сил. В первом из них в результате решения краевой за-
дачи определяется плотность пондеромоторных сил на поверх-
ности ротора, что позволяет после интегрирования найти вы-
ражения силовых функций. Второй подход – именно его 
применили авторы – основан на вычислении коэффициентов 
электростатической индукции системы проводников, образую-
щих подвес. С использаванием свойства суперпозиции потенци-
ального поля были определены структуры полей, соответствую-
щих случаям, когда только один из электродов несет единичный 
потенциал, а все остальные обнулены. Такое расчленение зада-
чи позволило последовательно решить вопрос о распределении 
потенциала для каждого случая и, применяя закон Гаусса, най-
ти все коэффициенты электростатической индукции подвеса. 
В главе 3 рассмотрено решение задачи нахождения обобщен-
ных силовых характеристик сферического и цилиндрического 
подвеса. Взвешивание тела в электростатическом подвесе стано-
вится возможным, если ввести регулирование потенциалов на 
электродах. В результате анализа законов управления потенциа-
лами в подвесах на постоянном токе, переменном токе и им-
пульсных подвесах с широтно-импульсной модуляцией (ШИМ) 
установлены законы управления, обеспечивающие минимизацию 
индуцированной составляющей потенциала ротора. Особое вни-
мание уделено исследованию глубины перекрестных связей и 
проблемам построения равножесткого подвеса. 
В главе 4 приведен анализ электростатического подвеса как 
динамической системы. На основе уравнений движения по-

строены многосвязные нелинейные имитационные модели сфе-
рического шести- и восьмиэлектродного подвесов, а также под-
веса с цилиндрическим ротором. Рассмотрена методика пара-
метрического синтеза при статических и астатических законах 
регулирования. По результатам исследований предложены ин-
женерные автоматизированные методики проектирования под-
весов различных типов, по которым можно рассчитать основ-
ные электромеханические параметры, обеспечивающие устой-
чивую работу подвеса в условиях заданных перегрузок.  
В этой главе также исследуется влияние случайного заряда 
ротора на стабильность и точность центрирования. На основе 
аналитических расчетов и экспериментальных исследований по-
казано, что наилучшими в этом плане являются импульсные 
двухполярные подвесы. Рассмотрены вопросы построения циф-
ровых регуляторов в электростатических подвесах с ШИМ. 
Глава 5 посвящена основам конструирования подвесов. Про-
анализирован ряд практических схем построения емкостных 
датчиков перемещения и выходных высоковольтных каскадов 
для различных типов подвесов. 
В книге нашли отражение результаты теоретических и экс-
периментальных исследований, которые проводились авторами 
в МГТУ им. Н.Э. Баумана на протяжении последних 40 лет.  

ВВЕДЕНИЕ 

Датчики первичной информации электромеханического ти-
па, применяемые в системах управления движением, содержат 
различные опорные узлы и подвесы. 
Согласно классификации, указанной в [55], а также с уче-
том появившихся в печати сведений о новых принципах орга-
низации опор [23], опоры вращающихся систем приборов мож-
но разделить на группы, которые представлены на рис. В1. 
В точном приборостроении, и в частности в гироскопиче-
ских устройствах, в качестве опор нашли широкое применение 
опоры качения на базе шариковых подшипников, которые 
имеют меньшие потери на трение. В зависимости от назначе-
ния главным критерием, характеризующим качество подшип-
ников, является либо его долговечность (подшипники главных 
опор), либо момент сил трения (подшипники чувствительных 
опор). Существующая методика расчета долговечности, под-
робно изложенная, например, в [21, 55], позволяет установить 
зависимость между нагрузкой и сроком службы подшипника в 
часах при заданных рабочих числах оборотов. При этом в ка-
честве предельного состояния подшипника часто выбирают 
какую-либо предельную величину момента трения. Однако 
расчет момента трения в подшипниках связан со значитель-
ными трудностями, так как невозможно учесть с необходимой 
достоверностью влияние упругих свойств элементов подшип-
ника, чистоты обработки поверхности, распределения нагрузки 
между телами качения, свойств смазки, скорости, температу-
ры, времени приработки и других факторов, поэтому опреде-
ление долговечности происходит при введении в расчетные 
формулы поправочных коэффициентов, известных из экспери-
мента и учитывающих специфику работы таких опор. В среднем 
долговечность скоростных опор h по данным [21] оценивается 
в зависимости от частоты вращения: при 
3
15 10
n ≤
⋅
 об/мин – 

≤
⋅
3
15 10
h
 ч, при 
3
30 10
n ≤
⋅
 об/мин – 
3
4 10
h ≤
⋅
 ч, при n ≤ 

3
60 10
≤
⋅
 об/мин – 
≤
⋅
3
0,5 10
h
 ч. 

Рис. В1. Классификация опор 

Для подшипников, применяемых в чувствительных опорах 
акселерометров и гироскопов, основным критерием качества 
является величина момента трения и его стабильность. Извест-
ные сейчас методы снижения момента трения в опорах сводятся 
к следующим приемам: применение специальных подшипников, 
предварительная приработка подшипников, принудительное 
движение подшипника по отношению к цапфе. 
Несмотря на применение указанных методов, трение в опо-
рах остается все же значительным. 
Опоры скольжения нашли применение в силу особенных 
свойств, обнаруживаемых между трущимися поверхностями тел с 
промежуточным слоем смазки. При достаточной толщине этого 
слоя сопротивление относительному движению обусловлено, в 
основном, внутренним трением в самой смазке, которое во мно-
го раз меньше сухого трения. Газ или жидкость, подаваемые в за-
зор между пятой и подшипником или между цапфой и вклады-
шем, должны обладать малым коэффициентом вязкости, быть 
нечувствительными к резким колебаниям температуры, не долж-
ны иметь осадков. На величину моментов трения в опорах подве-
са существенное влияние, в частности, оказывает вязкость среды. 
Данные, приведенные в [7, 53, 57], а также экспериментальные 
исследования других авторов показывают, что в настоящее время 
лучшей поддерживающей средой является газовая. 
Несущая способность газодинамического подшипника зави-
сит от угловой скорости вращения вала, величины среднего на-
чального радиального зазора, вязкости и давления окружающей 
среды. При относительно малой вязкости газа повышение не-
сущей способности приводит к уменьшению рабочих зазоров, 
что выдвигает высокие требования к точности и чистоте обра-
ботки рабочих поверхностей подшипников. В настоящее время 
газодинамические подшипники применяют при удельных на-
грузках 
4
2
(1...7) 10 Н/м .
⋅
 
В газостатических подшипниках для смазки используется 
газ под давлением, превышающим давление окружающей среды 
и достигающим 
4
2
35 10 Н/м .
⋅
 Оценивая этот тип опор, можно 
заметить, что их несущая способность не зависит от скорости 
вращения вала и почти не зависит от вязкости, а момент тре-
ния, благодаря полному всплытию, в несколько раз меньше, 
чем в газодинамических опорах. Сравнивая газовые подшипни-
ки с подшипниками качения, следует отметить такое преимуще-
ство, как слабая зависимость от рабочих температур окружаю-
щей среды. В существующих конструкциях с обычными под-

шипниками их работоспособность определяется, главным обра-
зом, химической стабильностью масла при высоких температу-
рах и его вязкостью при низких. Для газовой смазки диапазон 
рабочих температур расширяется от температуры разложения га-
за до температуры превращения его в жидкость. Хотя момент 
трения и снижается по сравнению с жидкими маслами, изго-
товление деталей подшипникового узла требует высокой точно-
сти, что делает такую опору дорогостоящей. 
Наблюдается также опасность возникновения вибрации ро-
тора при достижении высоких оборотов и потери устойчивости 
при перегрузках.  
Весьма плодотворной оказалась идея снижения моментов 
трения в опорах путем гидростатической разгрузки подвижных 
частей гироскопов и акселерометров. Во время работы темпера-
тура твердых частей и жидкости стабилизируется, благодаря че-
му гидростатическая поддерживающая сила остается практиче-
ски неизменной. Остаточная неуравновешенность составляет 
величину порядка 
−
⋅
2
(0,1...0,3) 10
Н. Все же, несмотря на значи-
тельный прогресс в деле совершенствования ныне существую-
щих классических опор, дальнейшие усилия, направленные на 
их совершенствование, не приведут к резкому улучшению экс-
плуатационных характеристик опор. Это послужило толчком к 
поискам новых принципов организации опор в приборострое-
нии. Больших успехов на пути наиболее полного решения про-
блемы качества удалось достигнуть путем применения некон-
тактных подвесов, где вес взвешиваемого тела и действующих 
на него нагрузок уравновешивается силами магнитного или 
электрического поля. Регулируемые электромагнитные опоры в 
настоящее время нашли широкое применение в прецизионном 
приборостроении благодаря успешному решению в 1960-х годах 
важных теоретических и практических задач. Большая заслуга в 
деле создания прецизионных гироскопов и акселерометров 
принадлежит Приборной лаборатории Массачусетского техно-
логического института, где, в частности, были разработаны 
приборы инерциального измерительного блока системы управ-
ления космического корабля «Аполлон». 
Интенсивные разработки ведут зарубежные фирмы Minea-
polis Honeywell, Sperry, Litton, General Electric, Autonetics. Зна-
чительные успехи достигнуты и в нашей стране [27]. 
Среди теоретических и экспериментальных исследований в 
этой области следует выделить два направления, по которым идет 
концентрация усилий разработчиков. Одно из направлений имеет 
своей целью повысить точностные характеристики измерителей 

первичной информации поплавкового типа для инерциальных 
навигационных систем (ИНС) путем постановки в них электро-
магнитных (ЭМП) и электростатических (ЭСП) опор как допол-
нительных элементов центрирования поплавкового узла. Эта ме-
ра позволила существенно уменьшить нестабильность дрейфа ги-
роскопов и повысить точность акселерометров. 
Другое направление решает задачу создания принципиально 
нового класса приборов, в которых ЭМП и ЭСП выполняют 
функции единственных опор для взвешивания и центрирования 
инерционных масс, причем в гироскопах и акселерометрах ими 
служат быстровращающиеся сферы, выполненные из ферромаг-
нитных и проводящих материалов. 
Применение ЭМП и ЭСП в поплавковых интегрирующих 
гироскопах (ПИГ) позволило значительно улучшить их точно-
стные характеристики, но, по-видимому, почти исчерпало воз-
можности их дальнейшего совершенствования. Дело в том, что 
точностные характеристики поплавковых приборов во многом 
определяются количеством энергии, потребляемой гиромото-
ром, устройством подвеса, датчиком угла. Из-за несимметрии 
конструкции эта энергия распределяется в объеме неравномер-
но, температурные градиенты теплового поля оказываются зна-
чительными и, что более важно, нестабильными. В управляемых 
ПИГ нестабильность градиента теплового поля увеличивается 
датчиками моментов. Считается, что введение в конструкцию 
ПИГ контуров термостабилизации, охватывающих прибор, 
должно компенсировать температурный дрейф гироскопа. Од-
нако расчеты и непосредственные измерения показывают, что 
пока не удается создать достаточно однородное и стабильное 
тепловое поле со столь малыми колебаниями, которые обеспе-
чили бы высокую прецизионность термостабилизации гироско-
па. Если гироскоп не потребляет энергии на вращение ротора, 
осуществление подвеса и питание датчиков угла и моментов, а 
работает на выбеге, то тепловой дрейф в значительной степени 
ограничивается. Этим условиям отвечает свободный (неуправ-
ляемый) гироскоп, работающий на выбеге. 
Температурный градиент в объеме подвеса ротора элект-
ростатического гироскопа (ЭСГ) составляет величину менее 
3
0,005 C/см ,
±
что соответствует остаточному дрейфу менее 

−4
10
град/ч, причем этот дрейф достаточно стационарен. Оче-
видно, что перспектива дальнейшего повышения точности свя-
зана с разработкой свободных гироскопов. 
Исследования электростатических опор начались в связи 
с публикацией работы [64]. В ней А. Нордсик описал первый