Упругие свойства твердых тел

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2020

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

УПРУГИЕ СВОЙСТВА
ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки
03.03.02 «Физика», 21.03.03 «Геодезия и дистанционное зондирование»,
27.03.01 «Стандартизация и метрология», 27.03.05 «Инноватика»,
28.03.01 «Нанотехнологии и микросистемная техника»,
05.03.04 «Гидрометеорология»,
по специальности 03.05.01 «Астрономия»

УДК 539.21(075.8)
ББК 22.37я73
        У67

Учебно-методическое пособие посвящено основам физики твердого тела
и его упругих свойств. Оно содержит информацию о классификации твердых
тел, различных состояниях и строении, видах деформации, механических напряжениях, 
а также описание лабораторных работ по изучению упругих свойств
твердых тел.
Может быть полезно студентам младших курсов для углубления и расширения 
знаний при изучении раздела «Механика» курса общей физики и подготовки 
к более глубокому изучению физики твердого тела в рамках спецкурсов.

Упругие свойства твердых тел : учебно-методическое пособие / [
Н. А. Скулкина, С. Г. Колчанова, В. А. Шихова и др.] ;
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации, 
Уральский федеральный университет. – Екатеринбург :
Изд-во Урал. ун-та, 2020. – 108 с. : ил. – Библиогр.: с 105–106. –
30 экз. – ISBN 978-5-7996-3023-2. – Текст : непосредственный.

ISBN 978-5-7996-3023-2

У67

ISBN 978-5-7996-3023-2

А в т о р ы:
Н. А. Скулкина, С. Г. Колчанова, В. А. Шихова, Е. А. Вилисова,
В. Г. Черняк, С. И. Студенок, Н. В. Селезнева, Е. А. Михалицына

П о д  о б щ е й  р е д а к ц и е й
В. А. Шиховой

Р е ц е н з е н т ы:
кафедра физики и математического моделирования
Уральского государственного педагогического университета
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук,
профессор В. Е. Сидоров);
Г. Ш. Болтачев, доктор физико-математических наук
(Институт электрофизики УрО РАН)

УДК 539.21(075.8)
ББК 22.37я73

© Уральский федеральный университет, 2020

На обложке:
Демонстрация растяжения пружин с разными коэффициентами жесткости.
Рисунок Е. А. Михалицыной

ОГЛАВЛЕНИЕ

От авторов ................................................................................................................ 4

1.  КЛАССИФИКАЦИЯ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ .......................................................... 6
1.1. Кристаллическое состояние твердых тел .............................................. 10
1.1.1. Строение кристаллических тел ..................................................... 10
1.1.2. Виды кристаллов (ионные, ковалентные,
металлические, молекулярные) ................................................... 17
1.1.3. Анизотропия как важное свойство кристаллических тел ........ 23
1.2. Аморфное состояние твердых тел ......................................................... 25
1.2.1. Аморфные металлические сплавы и их получение ................. 29
1.2.2. Структура и свойства аморфных металлических сплавов ..... 36
1.3. Нанокристаллическое состояние твердых тел ..................................... 45
1.3.1. Получение нанокристаллических материалов .......................... 46
1.3.2. Свойства нанокристаллических материалов ............................. 49

2.  ИЗУЧЕНИЕ  УПРУГИХ СВОЙСТВ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ ............................... 53
2.1. Виды деформаций ..................................................................................... 53
2.2. Геометрические свойства упругих деформаций ................................ 57
2.3. Внутренние силы и напряжения ............................................................. 59
2.4. Принцип Сен-Венана ................................................................................ 60
2.5. Связь между деформацией и напряжением ........................................ 62
2.6. Изгиб. Усилия и деформации при изгибе стержней ............................. 65
2.7. Кручение. Деформации и напряжения при кручении ..................... 73

Лабораторная работа 1-УС
Определение модуля упругости (модуля Юнга) по деформации изгиба ... 77

Лабораторная работа 2-УС
Изучение упругих свойств материалов ........................................................... 88

Лабораторная работа 3-УС
Определение модуля кручения проволоки ..................................................... 97

Библиографический список  ............................................................................ 105

ОТ  АВТОРОВ

Учебно-методическое пособие посвящено основам физики
твердого тела и его упругих свойств. В процессе изучения у студен-
тов должно сформироваться современное представление о строе-
нии твердых тел, их структуре; они должны познакомиться с физи-
ческими процессами, которые протекают в твердых телах при ме-
ханическом воздействии на них.
Пособие включает материал раздела «Механика» курса общей
физики.
Первый раздел пособия содержит информацию о классифика-
ции твердых тел, различных состояниях и их строении. Особое
внимание уделено сравнительно новым перспективным аморфным
и нанокристаллическим материалам.
Второй раздел посвящен изучению упругих свойств твердых
тел. В нем содержится информация о видах деформаций, напряже-
ниях, рассматриваются деформации изгиба и кручения.
В пособии представлены описания трех лабораторных работ,
посвященных изучению упругих свойств твердых тел (определе-
ние модулей упругости, сдвига и кручения), которые предлагаются
к выполнению при изучении курса «Механика».
Материал, представленный в пособии, способствует углубле-
нию и расширению знаний по курсу общей физики (раздел «Меха-
ника») и подготовке студентов к более глубокому изучению физи-
ки твердого тела в рамках спецкурсов.
Рекомендовано студентам университета, специализирующим-
ся в области физики и астрономии, а также обучающимся по инже-
нерно-техническим направлениям. Может быть использовано сту-
дентами, специализирующимися в области химии и биологии.
Данное пособие – результат работы коллектива авторов – со-
трудников департамента фундаментальной и прикладной физики
и кафедры физики конденсированного состояния и наноразмер-

ных систем Института естественных наук и математики УрФУ.
В создании пособия принимали участие профессора, доктора физи-
ко-математических наук Н. А. Скулкина и В. Г. Черняк; доценты,
кандидаты физико-математических наук С. Г. Колчанова, С. И. Сту-
денок, В. А. Шихова, Е. А. Вилисова, Н. В. Селезнева, Е. А. Миха-
лицына.
Авторы выражают благодарность К. Н. Иванову за постановку
лабораторных работ.

1.  КЛАССИФИКАЦИЯ  ТВЕРДЫХ  ТЕЛ

Твердые тела составляют большую часть объектов окружаю-
щего нас мира. По структурному состоянию можно выделить три
основных типа твердых тел: кристаллические, квазикристалличес-
кие и аморфные.
Кристаллические тела характеризуются упорядоченным рас-
положением атомов или молекул, и этот порядок распространяет-
ся на неограниченно большие расстояния, т. е. в кристалле наблю-
дается дальний порядок (рис. 1.1, а). Аморфные тела (например,
стекла) подобны очень густым жидкостям, у которых отсутствует
дальний порядок, но атомная структура имеет ближний порядок,
т. е. повторяемость в расположении атомов наблюдается на рас-
стояниях, соизмеримых с расстояниями между самими атомами
(рис. 1.1, б). В кристаллах же порядок является непременным ат-
рибутом, причем он распространяется на весь объем кристалла.
Если рассматривать реальный кристалл, то в нем всегда имеются
микро- или макронарушения порядка, которые сказываются на свой-
ствах кристалла. Квазикристаллы, оставаясь упорядоченными,
в отличие от кристаллов не обладают важнейшим качеством –
периодичностью.
Иногда разделение на стекло и аморфное вещество делают
на основе структурных различий. При этом обычно полагают, что
в том и другом случае нет дальнего порядка, но существует ближ-
ний порядок и он не одинаков в стекле и аморфном веществе. Счи-
тается, что ближний порядок в аморфном теле аналогичен кристал-
лическому, а для стекла характерен ближний порядок жидкости.
Такое определение сближает аморфное тело с нанокристаллом.
Согласно другой классификации к аморфным веществам отно-
сятся все неупорядоченные твердые тела независимо от их пре-
дыстории (метода приготовления). Стеклом при таком разделении
называют некристаллическое тело, полученное быстрым охлаж-

Рис. 1.1. Кристаллическая (а) и аморфная (б) структуры
твердого тела

а
б

дением из жидкого состояния. Это определение привязано к ме-
тоду его получения, т. е. стекло – это неорганический продукт плав-
ления, который затвердевает без кристаллизации.
Таким образом, понятие «аморфное твердое состояние» веще-
ства шире, чем понятие «стеклообразное состояние»: стекла всег-
да аморфны, но не все аморфные вещества – стекла. Получение
стеклообразного состояния возможно в тех случаях, когда удается
избежать кристаллизации.
Аморфное состояние не является равновесным, оно возникает
в результате присутствия кинетических факторов, например тем-
пературы или давления, и переходит в равновесную кристалличес-
кую структуру за счет диффузионных тепловых смещений атомов,
которые могут быть очень велики.
Статистически (с макроскопической точки зрения) аморфные
тела и жидкости являются телами изотропными, их физические
свойства не зависят от направления, в то время как анизотропия –
основное свойство кристаллического состояния. У анизотропных ма-
териалов свойства в различных направлениях разные.
Главная особенность, отличающая стеклообразное состояние
от других аморфных состояний, – это то, что у стекла существует
обратимый переход из стеклообразного состояния в расплав и из рас-
плава в стеклообразное состояние. Это свойство характерно только
для стекла. У других типов аморфных состояний при нагревании

происходит переход вещества сначала в кристаллическое состоя-
ние и лишь при повышении температуры до температуры плавле-
ния – в жидкое. В стеклообразующих расплавах постепенное воз-
растание вязкости расплава препятствует кристаллизации вещества,
т. е. переходу в термодинамически более устойчивое состояние.
Процесс стеклования характеризуется температурным интервалом
Т – интервалом стеклования.
Исследования структуры аморфных металлических сплавов по-
казали, что, каким бы способом они ни были получены, их структу-
ра не находится в состоянии метастабильного равновесия. Мета-
стабильное состояние – состояние неполного равновесия системы,
в котором система может находиться достаточно продолжительное
время и перейти в более устойчивое состояние под действием внеш-
них факторов или самопроизвольно. Процесс перехода аморфной фа-
зы в свое метастабильное равновесное состояние при температуре
ниже температуры стеклования называют структурной релаксаци-
ей. В результате структурной релаксации происходит изменение мно-
гих физических свойств: увеличение плотности и вязкости, умень-
шение внутреннего трения и электрического сопротивления, замед-
ление процессов диффузии. На основании этих изменений можно
судить об изменениях ближнего порядка в расположении атомов.
В настоящее время активно развивается наука о малоразмер-
ных объектах (nanoscience) – совокупность знаний о свойствах ве-
ществ и явлений в нанометровом масштабе (структурные элемен-
ты нанообъектов имеют размеры порядка 0,1–100 нм).
По размерному признаку нанообъекты делят на три типа. Ква-
зинульмерные (0D) – это наночастицы (кластеры, коллоиды, нано-
кристаллы), содержащие от нескольких десятков до нескольких ты-
сяч атомов, сгруппированных в связки или ансамбли в форме клетки.
Квазиодномерные (1D) – это цилиндрические объекты (нановолок-
на, наностержни, нанопроволоки) с одним измерением в несколь-
ко микрон и двумя нанометровыми. В данном случае один харак-
терный размер объекта по крайней мере на порядок превышает
два других, физики их называют «квантовые провода». Нанообъекты
двумерные (2D) – это покрытия или пленки толщиной в несколько

нанометров на поверхности блочного материала. В этом случае
только одно измерение (толщина) нанометровое, два других являют-
ся макроскопическими. Среди наноматериалов выделяют следую-
щие основные разновидности (хотя разделение довольно условное):
– консолидированные наноматериалы – пленки и покрытия
из металлов, сплавов и соединений, получаемые, например, интен-
сивной пластической деформацией или контролируемой кристал-
лизацией из аморфного состояния;
– нанополупроводники;
– нанополимеры;
– нанобиоматериалы;
– фуллерены – например, кластеры углерода С60 и С70;
– тубулярные наноструктуры – например, углеродные нанотрубки;
– катализаторы;
– нанопористые материалы – характеризуются размером пор
менее 100 нм;
– супрамолекулярные структуры – наноструктуры с образова-
нием слабых связей между молекулами.
Свойства наноматериалов определяются их структурой, для ко-
торой характерно обилие поверхностей раздела (межзеренных
границ и тройных стыков – линий встречи трех зерен). Изучение
структуры является одной из важнейших задач наноструктурного
материаловедения. Дифракционные методы исследования нанома-
териалов позволяют получить информацию о размере кристалли-
тов, о распределении зерен по размерам, о толщине и количестве
слоев в многослойных нанообъектах.
Считают, что наночастица – это квазинульмерный нанообъект,
у которого все характерные линейные размеры имеют один поря-
док величины. Если наночастицы упорядочены, то такой материал
называют нанокристаллическим. Интерес к исследованию нано-
кристаллических материалов вызван возможностью реализовать
в них высокие физико-механические и физико-химические свойства
и, следовательно, возможностью получения принципиально но-
вых устройств и материалов с характеристиками, принципиально
отличными от существующих ныне.

1.1. Кристаллическое состояние
твердых тел

1.1.1. Строение кристаллических тел
Известно, что любой макроскопический объект имеет внут-
реннее микроскопическое строение, которое определяется взаим-
ным расположением как отдельных относительно больших частей
рассматриваемого объекта, так и атомов химических элементов,
из которых состоит объект. Основной характерной чертой кристалла 
является его трехмерно-периодическое строение. Отсюда вытекает 
фундаментальное понятие кристаллической структуры.
Кристаллическая структура – трехмерно-периодическая совокупность 
химически связанных атомов, которая соответствует симметрии 
кристалла. Следствием такого строения кристаллических
веществ является наличие в них не только ближнего, но и дальнего
порядка. Кристаллическую структуру можно считать бесконечной
из-за большого количества атомов в кристалле. При рассмотрении
кристаллической структуры необходимо учитывать и характер химической 
связи между атомами.
Поскольку в кристаллах основным показателем является порядок, 
то для описания их структуры необходимо точное знание
о симметрии как проявлении порядка. Рассмотрим для начала конечные 
предметы – фигуры. Под термином «фигура» подразумевается 
любое множество неподвижных друг относительно друга точек. 
Фигура, отдельные части которой мысленно могут быть совмещены 
друг с другом посредством операций поворотов и/или
отражений, называется симметричной.
Чтобы описать кристаллическую структуру, вводится понятие
«кристаллическая решетка».
Кристаллическая решетка – абстрактный математический
образ, позволяющий фиксировать расположение частиц в пространстве. 
На рис. 1.2 представлены элементы кристаллической решетки.
В силу идеальности и симметрии кристалла существуют три
таких вектора ,
и
а b
с



 (рис. 1.3), называемых векторами элементарных 
трансляций, что при рассмотрении атомной решетки

из произвольной точки r решетка имеет тот же вид, что и при рассмотрении 
из точки r



:

1
2
3 ,
r
r
n a
n b
n c
 










где n1, n2, n3 – целые числа (0, ±1, ±2, …).
Следовательно, трансляция – отрезок, соединяющий две одинаковые 
точки в кристаллической решетке (два узла решетки).
Элементарная ячейка – параллелепипед, построенный на трех
элементарных некомпланарных трансляциях (рис. 1.3). В общем
случае параметры элементарной ячейки характеризуются тремя
линейными параметрами (периодами) – a, b, c (единица измерения – 
ангстрем (Å) 10–10 м) и тремя угловыми параметрами – , , 
(единица измерения – градус).
Симметрия (соразмерность, от лат. сим – одинаковый, мет-
рос – размер) – правильная повторяемость элементов ограничения
кристаллов при выполнении симметрических операций.
Элементами симметрии называются вспомогательные геометрические 
образы (линии, плоскости, точки), которые позволяют
выявить симметрию кристаллов.
Каждой операции симметрии соответствует геометрический
образ. Эти образы называются элементами симметрии. К элементам 
симметрии конечных фигур относятся центр симметрии
(центр инверсии), плоскости симметрии и оси симметрии.

Рис. 1.2. Элементы кристаллической решетки

Узел решетки

Ряд решетки

Плоская сетка