Теория вероятностей и математическая статистика: решение задач

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2021

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ  
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ  
ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ  
И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА:  
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

Учебное пособие

Рекомендовано
методическим советом Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия для студентов вуза,  
обучающихся по направлениям подготовки 38.03.01 «Экономика»,
38.03.02 «Менеджмент», 38.03.05 «Бизнес- информатика»,
по специальностям 38.05.01 «Экономическая безопасность»,
38.05.02 «Таможенное дело»

УДК 330.4:519.2(075.8)
ББК 
65.051+22.17я73

 
Т33

ISBN 978-5-7996-3189-5 
© Уральский федеральный университет, 2021

Т33
Теория вероятностей и математическая статистика: решение задач : учебное 
пособие / О. Я. Шевалдина, Е. В. Выходец, О. Л. Кузнецова [и др.] ; под ред. 
Е. А. Трофимовой ; Министерство науки и высшего образования Российской 
Федерации, Уральский федеральный университет. —  Екатеринбург : Изд-во 
Урал. ун-та, 2021. — 220 с. : ил. — 100 экз. —  ISBN 978-5-7996-3189-5. —  Текст : 
непосредственный.

ISBN 978-5-7996-3189-5

Все главы учебного пособия включают теоретический блок —  определения основных 
понятий, формулировки необходимых теорем и утверждений. Ключевые слова и поня-
тия выделены в тексте. Представлены задачи для решения на практических занятиях 
и самостоятельно, приведено большое количество примеров и разборов задач. Каждому 
математическому понятию дается экономическая интерпретация.
Для студентов, изучающих дисциплину «Теория вероятностей и математическая 
статистика», а также дисциплины в рамках модулей «Математические методы анализа», 
«Математические методы анализа и основы информационных технологий».

УДК 330.4:519.2(075.8)
ББК 65.051+22.17я73

Авторы:
О. Я. Шевалдина, Е. В. Выходец, О. Л. Кузнецова,
Е. А. Трофимова, Д. В. Гилёв, Н. В. Кисляк

Под общей редакцией
Е. А. Трофимовой

Рецензенты:
отдел аппроксимации и приложений Института математики и механики УрО РАН
(заведующий отделом доктор физико- математических наук А. Г. Бабенко);
Г. Б. Захарова, кандидат технических наук, доцент,
ведущий научный сотрудник НИЧ Уральского государственного
архитектурно- художественного университета

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 
5
Введение 
6
1. Основные понятия и теоремы теории вероятностей 
8
1.1. Классификация событий 
8
1.2. Классическое определение вероятности 
10
1.3. Комбинаторика и вероятность 
12
1.4. Относительная частота события. Статистическое определение 
вероятности 
17
1.5. Геометрическое определение вероятности 
18
1.6. Действия над событиями 
20
1.7. Теоремы сложения вероятностей 
24
1.8. Теоремы умножения вероятностей. Условная вероятность 
27
1.9. Формула полной вероятности 
32
1.10. Формулы Байеса 
34
Задачи для самостоятельного решения 
36
2. Последовательности испытаний 
39
2.1. Формула Бернулли 
39
2.2. Наивероятнейшее число событий 
41
2.3. Асимптотические формулы в схеме Бернулли 
42
2.3.1. Локальная теорема Муавра —  Лапласа 
42
2.3.2. Теорема Пуассона 
43
2.3.3. Интегральная формула Муавра —  Лапласа 
44
Задачи для самостоятельного решения 
47
3. Случайные величины 
50
3.1. Определение случайной величины и способы ее задания 
50
3.2. Функция распределения 
54
3.3. Непрерывные случайные величины 
56
3.4. Функции от случайных величин 
60
3.5. Числовые характеристики случайных величин 
62
3.6. Понятие о моментах распределения 
71
Задачи для самостоятельного решения 
72

4. Основные дискретные и непрерывные распределения 
76
4.1. Распределение Бернулли 
76
4.2. Биномиальное распределение 
77
4.3. Распределение Пуассона 
82
4.4. Геометрическое распределение 
84
4.5. Гипергеометрическое распределение 
85
4.6. Производящая функция 
87
4.7. Равномерное распределение 
88
4.8. Показательное (экспоненциальное) распределение 
90
4.9. Нормальный закон распределения 
92
4.10. Основные распределения в статистике 
98
4.10.1. Распределение хи-квадрат 
98
4.10.2. Распределение Стьюдента 
101
4.10.3. Распределение Фишера —  Снедекора 
103
Задачи для самостоятельного решения 
105
5. Многомерные случайные величины 
110
5.1. Законы распределения системы случайных величин 
110
5.2. Числовые характеристики двумерных случайных величин 
120
5.3. Условные распределения составляющих двумерной случайной величины 126
5.4. Числовые характеристики многомерной случайной величины 
135
5.5. Многомерное нормальное распределение 
139
Задачи для самостоятельного решения 
141
6. Случайные последовательности 
148
6.1. Понятие о предельных теоремах 
148
6.2. Вспомогательные неравенства 
148
6.3. Закон больших чисел 
151
6.4. Теорема Ляпунова (центральная предельная теорема) 
153
Задачи для самостоятельного решения 
159
7. Математическая статистика 
162
7.1. Выборочный метод математической статистики 
162
7.2. Применение математической статистики 
164
7.3. Вариационные ряды и их характеристики 
166
7.4. Оценивание распределения случайных величин 
170
7.5. Свойства статистических оценок 
177
7.6. Общая схема проверки статистических гипотез 
184
7.7. Проверка гипотезы о виде распределения случайной величины 
186
7.8. Проверка нормальности из графического анализа гистограмм 
188
Задачи для самостоятельного решения 
200
Приложение 
210

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие написано в соответствии с требованиями государ-
ственных образовательных стандартов третьего поколения по экономическим 
специальностям. Включает в себя кратко, но всесторонне изложенный теорети-
ческий материал с разобранными на каждую тему практическими заданиями, 
с объяснением экономического смысла каждого введенного понятия, а также 
задачи для самостоятельного решения. Пособие может быть использовано в ка-
честве основной литературы для проведения лекций и практических занятий.
Предпосылками написания учебного пособия послужили необходимость 
систематизировать накопленный материал при многолетнем прочтении лекций 
и проведении практических занятий у авторов пособия, а также возможность 
иметь полный комплект наработанных материалов, учитывающий новые разра-
ботки и обеспечивающий дисциплину «Теория вероятностей и математическая 
статистика». При написании пособия учтены современные требования и ком-
петенции, предъявляемые к бакалавру экономики. Материал подобран так, 
чтобы можно было не только уловить суть предмета, но и понять его назначение 
в современном мире. Особый уклон сделан на экономические приложения. Со-
держание пособия целиком соответствует рабочей программе по дисциплине 
и охватывает объем шире необходимого минимума. Некоторые темы приведены 
для самостоятельного разбора студентами.
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» является 
важнейшей частью модуля «Математические методы анализа». Ее прикладная 
значимость в экономике достаточно велика. На ней зиждется эконометрика, 
многомерный статистический анализ, нейронные сети, распознавание образов 
и многие другие научные области. Современный экономист должен уметь ис-
пользовать аппарат математической статистики на высоком уровне.

ВВЕДЕНИЕ

Теория вероятностей и ее значение для экономической науки
Многие явления в природе, технике, экономике и в других областях носят 
случайный характер, т. е. невозможно точно предсказать, как явление будет 
происходить. Оказывается, однако, что течение и таких явлений может быть 
описано количественно, если только они наблюдались достаточное число раз 
при неизменных условиях.
Теория вероятностей —  математическая наука, изучающая закономерности 
массовых случайных явлений (событий), способных многократно повторяться 
при воспроизведении определенного комплекса условий. Так как многие реаль-
ные процессы подвержены случайным воздействиям, то основы этой теории 
важно знать специалистам, занимающимся естественными, техническими, 
экономическими, а также общественными науками.
Математическая статистика есть также раздел математики, посвящен-
ный математическим методам систематизации, обработки и использования 
статистических данных для научных и практических выводов.
За несколько последних десятилетий от теории вероятностей «отпочкова-
лись» такие отрасли науки, как теория случайных процессов, теория массового 
обслуживания, теории надежности, теория информации, эконометрическое 
моделирование и др.
Одной из важнейших сфер приложения теории вероятностей является 
экономика. В настоящее время трудно себе представить исследование и про-
гнозирование экономических явлений без использования эконометрическо-
го моделирования, регрессионного анализа и других методов, опирающихся 
на теорию вероятностей.

Краткая историческая справка
Первые работы, в которых появились основные понятия теории вероят-
ностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардано, 
Гюйгенс, Паскаль, Ферма и др., XVI–XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем швей-
царского математика Я. Бернулли (1654–1705). Доказанная им теорема (1713), 
получившая впоследствии название «закона больших чисел», была первым тео-
ретическим обоснованием накопленных ранее фактов. Дальнейшими успехами 
теория вероятностей обязана А. Муавру (Англия), Лапласу (Франция), Гауссу 
(Германия), Пуассону (Франция) и др. К этому периоду относится доказательст-
во первых предельных теорем, носящих теперь названия теорем Лапласа (1812) 
и Пуассона (1837); в это же время А. Лежандром (Франция, 1806) и К. Гауссом 
(1808) был разработан метод наименьших квадратов.
Новый период развития теории вероятностей связан с именами русских 
математиков П. Л. Чебышёва (1821–1894), А. А. Маркова (1856–1922), А. М. Ля-
пунова (1857–1918). В это время теория вероятностей становится стройной 
математической наукой. Чебышёв чрезвычайно просто доказал (1867) закон 
больших чисел. Он же впервые сформулировал (1887) центральную предельную 
теорему для независимых случайных величин. Последующее развитие тории 
вероятностей обязано в России математикам С. Н. Бернштейну, В. И. Рома-
новскому, А. Н. Колмогорову, А. Я. Хинчину и др., во Франции —  Э. Борелю, 
П. Леви, М. Фреше, в Германии —  Р. Мизесу, в США —  Н. Винеру, В. Феллеру, 
Дж. Дубу, в Швеции —  Г. Крамеру. Позднее А. Я. Хинчин, А. Н. Колмогоров 
и Е. Е. Слуцкий заложили основы теории случайных процессов. Далее большая 
работа проделана по применению методов теории вероятностей к задачам ма-
тематической статистики.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ  
И ТЕОРЕМЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

1.1. Классификация событий

Теория вероятностей базируется на опыте, наблюдении различных процес-
сов, происходящих в окружающем нас мире.
Под опытом, испытанием G понимается воспроизведение определенного 
комплекса условий для наблюдения исследуемого явления.
Исходы (результаты) опытов, наблюдений, испытаний называют событиями.
Пример 1.1. Испытание —  бросание монеты. Выпадение герба (или цифры) 
является событием.
Пример 1.2. Испытание —  студенты сдают экзамен по теории вероятно-
стей. Наудачу выбранный студент получил оценку «отлично» —  событие.
Обычно считается, что событие в опыте случайно, если при неоднократном 
воспроизведении опыта оно иногда происходит, а иногда нет, причем невоз-
можно заранее предсказать возможный исход этого опыта.
Пример 1.3. Пусть опыт G состоит в подбрасывании игральной кости и на-
блюдении числа выпавших очков X. Тогда можно ввести следующие случайные 
события:

 
{
} {
}
{
} {
} {
} {
}
четно
нечетно
и т. д.
1 ,
2 ,
,
6 ,
2 ,
,
X
X
X
X
X
X
=
=
=
≤


Возможные исходы ω опыта G называются элементарными событиями 
(элементарными исходами), если они являются взаимно исключающими и в ре-
зультате опыта G одно из них обязательно происходит.
Совокупность Ω всех элементарных событий ω в опыте G называется про-
странством элементарных событий (полной группой событий).
Пространство элементарных событий —  это математическая модель опыта, 
в которой любому событию ставится в соответствие некоторое подмножество 
пространства Ω.
В примере 1.1 пространство элементарных событий Ω = {ω1, ω2}, где 
ω1 = {выпадение герба}, ω2 = {выпадение решки}.

В примере 1.3 пространство элементарных событий Ω = {ω1, …, ω6}, где 
элементарное событие ωi состоит в том, что {X = i}, i = 1, …, 6.
Составные события, или просто события, могут быть описаны как под-
множества множества элементарных событий Ω. Случайные события будем 
обозначать заглавными буквами латинского алфавита: A, B, C, …
Так, в примере 1.3 события A = {выпало нечетное число очков} = {ω1, ω3, ω5}, 
B = {выпало четное число очков} = {ω2, ω4, ω6}, C = {выпало число очков, кратное 
трем} = {ω3, ω6} являются подмножествами пространства Ω.
Событие называется достоверным в опыте G, если при повторении опыта 
оно обязательно происходит. Ему соответствует пространство Ω.
Событие называется невозможным в опыте G, если при повторении опыта 
оно никогда не происходит. Ему соответствует пустое подмножество в Ω, ко-
торое обозначают ∅.
Пример 1.4. В коробке находятся шары красного цвета. Событие A —  извле-
чение наудачу из коробки шара красного цвета —  достоверное событие. Событие 
B —  извлечение наудачу из коробки шара синего цвета —  невозможное событие.
Говорят, что в опыте G событие A влечет появление события B (A ⊂ B), если 
из осуществления события A следует наступление события B.
Пример 1.5. Пусть опыт G состоит в подбрасывании игральной кости один 
раз. Событие A = {выпало число очков, кратное трем}, событие B = {выпало 
не менее трех очков}. Здесь A = {ω3, ω6}, B = {ω3, ω4, ω5, ω6}. Поэтому A ⊂ B.
Если одновременно A ⊂ B и B ⊂ A, то события A и B называются равно-
сильными и пишут A = B.
События называют равновозможными, если по условию испытания нет 
оснований считать какое-либо из них более возможным, чем другое. Так, появ-
ление «орла» или «решки» при бросании монеты —  равновозможные события, 
если считать монету симметричной.
События A и B называются совместными, если наступление (появление) 
одного из них не исключает возможность наступления (появления) в одном 
опыте и другого.
События A и B называются несовместными, если они одновременно не мо-
гут произойти в одном опыте.
События A и A  называются противоположными, если тот факт, что одно 
из них не наступило в результате данного испытания, влечет наступление дру-
гого. Очевидно, что противоположные события несовместны.
Пример 1.6. Пусть при подбрасывании игральной кости событие A = {вы-
пало число очков, кратное трем}, событие B = {выпало число очков, кратное 
двум}, событие C = {выпало число очков, кратное пяти}, событие D = {выпало 
нечетное число очков}.

Тогда события A и B совместны, так как в случае выпадения шести очков 
оба события наступают. События B и D несовместны и противоположны. 
События B и C несовместны, но и не являются противоположными, так как 
в случае, если B не наступает, может не наступить и событие C (например, если 
выпадет три очка).

1.2. Классическое определение вероятности

Понятие вероятности, очевидно, является одним из ключевых в теории 
вероятностей. В целом вероятность события можно определить как численную 
меру объективной возможности его появления в данном испытании. Для вычи-
сления этой меры используются различные подходы. Начнем с классического 
определения вероятности.
Пусть полная группа элементарных событий Ω = {ω1, …, ωn} конечна и все ωi 
в ней равновозможны. Элементарные исходы, в которых интересующее нас 
событие A наступает, называются благоприятствующими этому событию или 
благоприятными.
Вероятность события A —  это отношение числа элементарных исходов, 
благоприятствующих A, к общему числу элементарных исходов, т. е.

 
P( )
,
m
A
n
=
 
 (1.1)

где P(A) —  вероятность события A; m —  число элементарных исходов, благо-
приятствующих событию A; n —  общее число элементарных исходов.
Пример 1.7. Подбрасывается игральная кость и наблюдается число выпав-
ших очков X. Найти вероятность следующих событий: A = {выпало число очков, 
кратное трем}, B = {выпало четное число очков}.
Решение. Полная группа элементарных исходов здесь Ω = {ω1, …, ω6}, где 
элементарный исход ωi состоит в том, что {X = i}, i = 1, …, 6. Таким образом, 
всего исходов шесть и n = 6.
Событию A благоприятствует два элементарных исхода ω3 и ω6, следова-
тельно, m = 2. Тогда

 
2
1
P( )
.
6
3
A =
=

Событию B благоприятствует три элементарных исхода: ω2, ω4 и ω6, следо-
вательно, m = 3. Тогда

 
3
1
P( )
.
6
2
B =
=

Пример 1.8. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. 
Найти вероятность того, что оно простое.
Решение. Испытанием в данном случае является выбор одного из чисел: 
1, 2, 3, … 10 и, следовательно, n = 10. Пусть событие C = {выбранное число яв-
ляется простым}. Среди возможных вариантов простыми являются числа 2, 3, 
5, 7 и, таким образом, m = 4. Тогда

 
4
P( )
0,4.
10
C =
=

Пример 1.9. Подбрасываются две симметричные монеты. Найти вероят-
ность того, что на обеих выпадет «орел».
Решение. Испытанием в данном случае является подбрасывание двух мо-
нет. В этом испытании четыре равновозможных исхода n = 4: («орел», «орел»), 
(«решка», «орел»), («орел», «решка»), («решка», «решка»). Событию D благопри-
ятствует только одно из них —  («орел», «орел») и, следовательно, m = 1. Тогда

 
1
P( )
0,25.
4
D =
=

Пример 1.10. В старинной игре в кости для выигрыша необходимо было 
получить при бросании трех игральных костей сумму очков, превосходящую 10. 
Найти вероятность выпадения 11 очков.
Решение. Выпишем подходящие (с суммой, равной 11) наборы из трех 
чисел от 1 до 6:

 
(
) (
) (
) (
) (
) (
)
1,4,6 ; 1,5,5 ; 2,3,6 ; 2,4,5 ; 3,3,5 ; 3,4,4 .

Всевозможные варианты можно получить как перестановки из этих чисел, 
при этом там, где два одинаковых числа, будет 3 варианта (например, (1, 5, 5); 
(5, 1, 5); (5, 5, 1)), а где все три разные —  6 вариантов (например, (1, 4, 6); (1, 6, 4); 
(4, 1, 6); (4, 6, 1); (6, 1, 4); (6, 4, 1)). Итого вариантов: 6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3 = 27. Общее 
число исходов при бросании трех игральных костей равно 6 · 6 · 6 = 216. Поэтому 
вероятность выпадения 11 очков на трех костях

 
P
27
( )
0,125.
216
A =
=

С в о й с т в а  в е р о я т н о с т и:
1. Вероятность достоверного события равна 1: P(Ω) = 1.
Доказательство. В этом случае m = n, так как достоверное событие включает 
в себя все n элементарных событий. Тогда P( )
/
1.
n n
Ω =
=

2. Вероятность невозможного события равна 0: P(
)
0.
∅ =

Доказательство. В этом случае m = 0 и P(
)
0/
0.
n
∅ =
=

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключен-
ное между нулем и единицей.
Доказательство. Действительно, случайному событию благоприятствуют 
лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 

0
m
n
<
<
 и 0
1,
m
n
<
<
 и, следовательно, 
P
0
( )
1.
A
<
<

Итак, вероятность любого события удовлетворяет неравенству:

 
P
0
( )
1.
A
≤
≤

1.3. Комбинаторика и вероятность

Комбинаторика —  раздел математики, который изучает количества раз-
личных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, которые можно 
составить из элементов заданного конечного множества.
Правила и основные формулы комбинаторики используют при вычислении 
вероятностей. Сформулируем два универсальных правила, применяемых при 
решении комбинаторных задач.
Правило умножения. Если из множества A элемент a1 может быть выбран 
n1 способами, после каждого такого выбора элемент a2 может быть выбран n2 
способами и так до элемента ak, который может быть выбран nk способами, 
то выбор всех элементов a1, a2, …, ak в указанном порядке может быть сделан 
n = n1 · n2 · … · nk способами.
Пример 1.11. В группе 30 студентов. Необходимо выбрать старосту и про-
форга. Сколькими способами это можно сделать?
Решение. Выберем для начала, например, старосту. Это можно сделать 
n1 = 30 способами. После этого выбрать профорга из оставшихся 29 студентов 
можно n2 = 29 способами (на каждый вариант выбора старосты). Таким обра-
зом, по правилу умножения количество способов выбора профорга и старосты 
равно n = n1 · n2 = 30 · 29 = 870.
Правило сложения. Если из множества A элемент a1 может быть выбран n1 
способами, другой элемент a2 может быть выбран n2 способами и так до отличного 
от предыдущих элемента ak, который может быть выбран nk способами, 
то выбор одного из элементов: или a1, или a2, …, или ak может быть сделан 
n = n1 + n2 + … + nk способами.
Пример 1.12. Имеется 20 изделий первого сорта и 30 изделий второго сорта. 
Необходимо выбрать два изделия одного сорта. Сколько способов выбора 
существует, если учитывается порядок выбора изделий?