Математика, механика и компьютерные науки : подготовка к вступительным экзаменам в магистратуру : задачник

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

МАТЕМАТИКА, МЕХАНИКА
И КОМПЬЮТЕРНЫЕ НАУКИ

Подготовка к вступительным экзаменам
в магистратуру

Задачник

Рекомендовано методическим советом Уральского федерального университета

для студентов вуза, обучающихся по направлениям подготовки

01.03.01 «Математика», 02.03.01 «Математика и компьютерные науки»,

01.03.03 «Механика и математическое моделирование»,

02.03.02 «Фундаментальная информатика и информационные технологии»,

09.03.03 «Прикладная информатика»

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2018

УДК 5(076.1) + 004(076.1)
М34

А в т о р ы:

Д. С. Ананичев, В. В. Арестов, М. О. Асанов,
А. Л. Гальперин, П. Ю. Глазырина, К. Н. Гурьянова,
А. О. Иванов, А. Ю. Коврижных, О. О. Коврижных,

Ю. А. Меленцова, С. П. Охезин, М. А. Рекант, Т. К. Стихина,
А. Е. Шнейдер, А. М. Шур

Под общей редакцией

А. Ю. Коврижных

Р е ц е н з е н т ы:

отдел прикладных проблем управления Института
математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН

(зам. директора ИММ УрО РАН,
старший научный сотрудник отдела,
кандидат физико-математических наук И. Н. Кандоба);

Г. Б. Захарова, кандидат технических наук, доцент,
ведущий научный сотрудник, профессор кафедры
прикладной математики и технической графики

Уральского государственного архитектурно-художественного
университета

М34

Математика,
механика
и
компьютерные
науки
:
Подготовка к вступительным экзаменам в магистрату-
ру : задачник / [Д. С. Ананичев и др. ; под общ. ред.
А. Ю. Коврижных] ; М-во науки и высш. образования Рос.
Федерации, Урал. федер. ун-т. – Екатеринбург : Изд-во
Урал. ун-та, 2018. – 140 с.

ISBN 978-5-7996-2456-9

Даются задачи вступительных экзаменов в магистратуру депар-
тамента математики, механики и компьютерных наук с 2011 по 2015 г.
Часть задач снабжена решениями. Приводятся перечень вопросов и
рекомендуемая литература для подготовки к экзаменам.

Для студентов, обучающихся по укрупненным группам направ-
лений 010000 «Математика и механика», 020000 «Компьютерные и
информационные науки», 090000 «Информатика и вычислительная
техника».

УДК 5(076.1) + 004(076.1)

ISBN 978-5-7996-2456-9
c⃝ Уральский федеральный университет, 2018

Оглавление

От авторов ...............................................................
5

Программы вступительных испытаний ...................
7

Глава 1. Алгебра...................................................... 31

1.1. Примеры заданий ............................................... 31

1.2. Решения .......................................................... 37

Глава 2. Математический анализ............................. 39

2.1. Примеры заданий ............................................... 39

2.2. Решения .......................................................... 46

Глава 3. Дифференциальные уравнения ................. 67

3.1. Примеры заданий ............................................... 67

3.2. Решения .......................................................... 68

Глава 4. Теория вероятностей .................................. 75

4.1. Примеры заданий ............................................... 75

4.2. Решения .......................................................... 77

Глава 5. Дискретная математика............................. 79

5.1. Примеры заданий ............................................... 79

5.2. Решения .......................................................... 84

Глава 6. Графы и комбинаторные алгоритмы ......... 89

6.1. Примеры заданий ............................................... 89

6.2. Решения .......................................................... 99

Глава 7. Основы баз данных.................................... 103

7.1. Примеры заданий ............................................... 103

7.2. Решения .......................................................... 109

Глава 8. Теория функций комплексного переменного112

8.1. Примеры заданий ............................................... 112

8.2. Решения .......................................................... 114

Глава 9. Уравнения математической физики .......... 122

9.1. Примеры заданий ............................................... 122

9.2. Решения .......................................................... 124

3

Глава 10. Методы вычислений................................. 126

10.1. Примеры заданий .............................................. 126

10.2. Решения ......................................................... 129

Глава 11. Математика и механика ........................... 131

11.1. Примеры заданий .............................................. 131

11.2. Решения ......................................................... 134

От авторов

Цель данного задачника — оказать помощь абитуриентам –
выпускникам балакавриата в подготовке к поступлению в ма-
гистратуру Института естественных наук и математики Ураль-
ского федерального университета. Представлены задачи, кото-
рые предлагались на вступительных экзаменах в магистрату-
ру департамента математики, механики и компьютерных наук
в 2011—2015 гг. Часть задач снабжена решениями. Приводятся
перечень вопросов и рекомендуемая литература для подготов-
ки к экзаменам.

По объему и содержанию программа вступительных испы-
таний в магистратуру соответствует программе государствен-
ной итоговой аттестации бакалавров.

Для направлений 01.04.01 «Математика», 02.04.01 «Мате-
матика и компьютерные науки», 09.04.03 «Прикладная инфор-
матика», 02.04.02 «Фундаментальная информатика и инфор-
мационные технологии» вступительное испытание проводится
в виде письменного экзамена и содержит две части: общую
и специальную. На выполнение каждой части отводится два
часа. В общую часть входят пять задач: одна по алгебре и гео-
метрии (разделы программы A и Ac), две по математическо-
му анализу (B, Bc), одна по дифференциальным уравнениям
и одна по теории вероятностей (разделы D, Dc и G, Gc со-
ответственно). Задач по теоретической механике математикам
не предлагалось, хотя этот раздел входит в программу.

Специальная часть по направлению 01.04.01 «Математи-
ка» содержит пять задач — по одной из разделов: «Ал-
гебра», «Математический анализ», «Теория функций ком-
плексного переменного» (раздел программы C), «Методы
вычислений» (раздел F) и «Математическая физика» (раз-
дел E). Специальная часть экзамена по другим направле-
ниям подготовки содержит две задачи из дискретной математики, 
математической логики и теории автоматов (раздел
Jc), две задачи из раздела «Графы и комбинаторные алгоритмы» (
Kc), одну из раздела «Основы баз данных» (Lc).

5

Задачи общей части помечены сокращением ОЧ, задачи специальной 
части — СЧ.

На вступительном экзамене в магистратуру по направлению 
01.04.03 «Механика и математическое моделирование»
предлагается ответить на два вопроса и решить две задачи.
Программа экзамена содержит следующие разделы: «Теоретическая 
механика» (Tm), «Механика сплошной среды» (Mm),
«Теория устойчивости» (Sm), «Дифференциальные уравнения» (
Dm), «Алгебра и математический анализ» (ABm).

Программы вступительных испытаний

Направление 01.04.01 «Математика»

(A) Алгебра
1. Определители N-го порядка. Свойства определителей.
Разложение определителя по минорам.

2. Линейные пространства. Линейная зависимость и независимость 
элементов. Базис и размерность пространства.
Размерность суммы пространств. Прямая сумма, разложение 
линейного пространства в прямую сумму одномер-
ных подпространств.

3. Матрицы и действия с ними. Теорема о ранге матрицы.
Определитель произведения матриц. Обратная матрица.

4. Системы линейных уравнений. Теорема Крамера. Критерий 
совместности и строение общего решения совместной
системы линейных уравнений. Однородные системы линейных 
уравнений, фундаментальная система решений.

5. Линейные отображения. Матрица линейного оператора
в базисе. Ядро и образ линейного оператора. Собственные 
значения и собственные векторы линейного оператора. 
Корневое разложение. Жорданов базис. Жорданова
форма матрицы линейного оператора.

6. Евклидовы и унитарные пространства. Процесс ортогонализации, 
ортонормированный базис. Разложение пространства 
в прямую сумму пространства и его ортогонального 
дополнения.

7. Общая алгебра. Основные алгебраические системы: полугруппы 
и группы, кольца и поля, решетки. Гомоморфизмы 
и конгруэнции.

7

Литература

• Курош А. Г. Курс высшей алгебры / А. Г. Курош. —
М. : Физматгиз, 1959.

• Мальцев А. И. Основы линейной алгебры / А. И. Мальцев. — 
М. : Наука, 1975.

• Кострикин А. И. Введение в алгебру / А. И. Кострикин. —
М. : Наука, 1977.

• Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре : учеб. пособие для вузов / 
Д. К. Фаддеев. — M. : Наука. Глав. ред. физ.-мат.
лит., 1984.

• Беллман Р. Введение в теорию матриц / Р. Беллман. —
М. : Наука, 1976.

(B) Математический анализ

1. Непрерывные функции одной переменной и их свойства.
Равномерная непрерывность. Дифференцируемые функ-
ции. Основные теоремы дифференциального исчисления
(Ролля, Лагранжа, Коши). Правила Лопиталя. Формула
Тейлора. Локальный экстремум.

2. Определенный интеграл Римана по отрезку. Интегрируе-
мость непрерывных функций. Первообразная непрерыв-
ной функции. Формула Ньютона — Лейбница.

3. Функции многих переменных. Компактные подмноже-
ства евклидова пространства; лемма Бореля о покры-
тиях. Функции, непрерывные на компакте. Равномер-
ная непрерывность, теорема Кантора. Дифференциру-
емые функции нескольких переменных. Полный диф-
ференциал
и
его
геометрический
смысл.
Достаточ-
ное условие дифференцируемости. Производная функ-
ции по направлению, градиент. Формула Тейлора. Ло-
кальный экстремум. Неявные функции; существование,

8

непрерывность и дифференцируемость неявных функ-
ций. Условный локальный экстремум.

4. Числовые ряды. Сходимость рядов. Критерий сходимо-
сти Коши. Признаки сходимости (Даламбера, Коши, ин-
тегральный, Дирихле – Абеля). Абсолютная и условная
сходимость. Свойства абсолютно сходящихся рядов.

5. Функциональные ряды. Равномерная сходимость. При-
знак Вейерштрасса. Свойства равномерно сходящихся ря-
дов (непрерывность суммы, почленное интегрирование
и дифференцирование).

6. Степенные ряды на действительной прямой и в комплекс-
ной плоскости. Радиус сходимости. Бесконечная диффе-
ренцируемость суммы степенного ряда; ряд Тейлора. Раз-
ложение элементарных функций в степенные ряды.

7. Несобственные интегралы. Собственные и несобственные
интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходи-
мость несобственных интегралов, зависящих от парамет-
ра. Свойства равномерно сходящихся интегралов.

8. Кратные интегралы. Сведение к повторным. Замена пе-
ременных в кратных интегралах.

9. Криволинейные и поверхностные интегралы. Формулы
Грина, Стокса и Гаусса — Остроградского.

10. Ряды Фурье по тригонометрической системе. Поточечная
и равномерная сходимости рядов Фурье. Среднеквадра-
тическая сходимость рядов Фурье; равенство Парсеваля.

11. Метрическое пространство. Полные метрические про-
странства. Принцип сжимающих отображений.

12. Гильбертово пространство. Общий вид линейного функ-
ционала; сопряженное пространство.

9

Литература

• Ильин
В.
А.
Математический
анализ
:
в
2
ч.
/
В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. — М. :
Изд-во МГУ, 2004–2006 (а также все издания с 1979 г.).

• Никольский С. М. Курс математического анализа /
С. М. Никольский. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2000–2001.

• Никольский С. М. Курс математического анализа : в 2 т.
/ С. М. Никольский. — М. : Наука, 1990–1991.

• Кудрявцев Л. Д. Курс математического анализа : в 3 т. /
Л. Д. Кудрявцев. — М. : Высш. шк., 1988–1999 (а также
все издания с 1981 г.).

• Бесов О. В. Лекции по математическому анализу /
О. В. Бесов. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2014.

• Лекции С. Б. Стечкина по математическому анализу :
в 2 т. / под ред. Т. В. Радославовой, Н. Н. Холщевни-
ковой. — М. : Изд-во попечительского совета механико-
математического фак. МГУ. — Т. 1. 2011 ; Т. 2. 2014.

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и инте-
грального исчисления : в 3 т. / Г. М. Фихтенгольц. — М. :
ФИЗМАТЛИТ : Лаборатория Знаний, 2003 (а также все
издания с 1968 г.).

(C) Теория функций комплексного переменного

1. Функции комплексного переменного. Дифференцируе-
мость в точке, условия Коши – Римана.

2. Элементарные функции. Основные свойства. Отображе-
ния, осуществляемые элементарными функциями.

3. Интеграл по (спрямляемой) кривой. Теорема Коши об ин-
теграле по замкнутому контуру от аналитической функ-
ции. Интеграл Коши.

10

4. Ряд Тейлора. Ряд Лорана. Изолированные особые точки
аналитической функции. Вычеты, теорема Коши о выче-
тах, теорема Коши о полной сумме вычетов.

Литература

• Маркушевич А. И. Краткий курс теории аналитических
функций / А. И. Маркушевич — М. : Наука, 2006.

• Маркушевич А. И. Теория аналитических функций :
учеб. [для вузов] / А. И. Маркушевич. — 3-е изд., стер. —
СПб. [и др.] : Лань, 2009. — Т. 1 : Начала теории ; Т. 2 :
Дальнейшее построение теории.

• Сидоров Ю. В. Лекции по теории функций комплексного
переменного / Ю. В. Сидоров, М. В. Федорюк, М. И. Ша-
бунин. — М. : Наука, 1989.

• Волковыский Л. И. Сборник задач по теории функций
комплексного переменного : учеб. пособие для вузов /
Л. И. Волковыский, Г. Л. Лунц, И. Г. Араманович. —
4-е изд., перераб. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2004, 2006.

(D) Дифференциальные уравнения

1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Урав-
нения с разделяющимися переменными и приводящие-
ся к ним. Теорема о существовании и единственности
решения.

2. Линейные дифференциальные уравнения N-го поряд-
ка. Теорема об общем решении линейного однородно-
го уравнения. Линейное неоднородное уравнение, метод
вариации производных постоянных. Линейное однород-
ное уравнение с постоянными коэффициентами, харак-
теристическое уравнение, случай простых, кратных, ком-
плексных корней. Линейное неоднородное уравнение с по-
стоянными коэффициентами.

11

3. Системы дифференциальных уравнений. Системы одно-
родных линейных дифференциальных уравнений, фунда-
ментальная система решений. Формула Остроградского –
Лиувилля. Неоднородные системы линейных уравнений,
метод вариации произвольных постоянных. Системы ли-
нейных уравнений с постоянными коэффициентами, слу-
чай простых корней.

Литература

• Понтрягин
Л.
С.
Обыкновенные
дифференциальные
уравнения / Л. С. Понтрягин. — 4-е изд. — М. : Наука,
1974.

• Петровский И. Г. Лекции по теории обыкновенных диф-
ференциальных уравнений / И. Г. Петровский. — М. :
Изд-во МГУ, 1984.

• Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений :
учеб. для гос. ун-тов / В. В. Степанов. — 7-е изд., стер. —
М. : Физматгиз, 1958.

• Эльсгольц Л. Э. Дифференциальные уравнения и ва-
риационное исчисление : учеб. для физ. спец. ун-тов /
Л. Э. Эльсгольц ; под ред. А. Н. Тихонова, В. А. Ильина,
А. Г. Свешникова. — 2-е изд., стер. — М. : Наука, 1969.

12