Дифференциальная геометрия

Екатеринбург

Издательство Уральского университета

2017

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

Ю. В. Нагребецкая, О. Е. Перминова

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ

ГЕОМЕТРИЯ

Практикум

Рекомендовано методическим советом УрФУ

для студентов, обучающихся по программе бакалавриата

по направлениям подготовки 01.03.01 «Математика»,

01.03.03 «Математика и математическое моделирование»,

02.03.01 «Математика и компьютерные науки»

УДК 514.7(07)
        Н168

В практикум включены краткие теоретические сведения по основам диф-

ференциальной геометрии, задания для самостоятельного выполнения и при-
меры решения типовых задач.

Для студентов и преподавателей математических специальностей и на-

правлений.

Нагребецкая, Ю. В.

Дифференциальная геометрия : практикум / Ю. В. На-

гребецкая, О. Е. Перминова ; [науч. ред. М. В. Волков] ; М-во
образования и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. –
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. – 72 с.

ISBN 978-5-7996-2062-2

Н168

ISBN 978-5-7996-2062-2

Р е ц е н з е н т ы:

кафедра физико-математических дисциплин

Российского государственного

профессионально-педагогического университета

(заведующий кафедрой кандидат физико-математических наук,

доцент С. В. Анахов);

Л. Д. Сон, доктор физико-математических наук, профессор
(Уральский государственный педагогический университет)

Н а у ч н ы й  р е д а к т о р:

доктор физико-математических наук, профессор М. В. Волков

УДК 514.7(07)

© Уральский федеральный университет, 2017

ОГЛАВЛЕНИЕ

От авторов .................................................................................................... 4

1. Аффинные евклидовы пространства ..................................................... 8

2. Гладкие линии на плоскости .................................................................. 18

3. Кривые на плоскости ............................................................................. 26

4. Кривые в пространстве ......................................................................... 37

5. Внутренняя геометрия поверхностей .................................................. 45

6. Внешняя геометрия гиперповерхностей .............................................. 58

Библиографические ссылки ...................................................................... 71

ОТ АВТОРОВ

Практикум «Дифференциальная геометрия» предназначен

для освоения дисциплины «Основы дифференциальной геомет-
рии и топологии» студентами Института естественных наук и ма-
тематики Уральского федерального университета, обучающимися
по направлениям «Математика», «Механика и математическое мо-
делирование», «Математика и компьютерные науки». В рамках
указанных направлений дисциплина «Основы дифференциальной
геометрии и топологии» систематически излагается в обязатель-
ном лекционном курсе. Овладение лекционным материалом тре-
бует от студента знаний и умений, приобретенных в ходе пред-
шествующего изучения дисциплин «Аналитическая геометрия»,
«Линейная алгебра», «Математический анализ» и «Дифференци-
альные уравнения». Кроме лекций рабочая программа курса пред-
полагает проведение практических занятий, в том числе выполне-
ние аудиторных и домашних контрольных работ. Соответственно
возникает необходимость в учебно-методическом пособии, в кото-
ром, во-первых, содержались бы краткие положения теории, во-вто-
рых, были бы приведены решения типовых задач, а в-третьих,
имелся бы набор заданий по основным темам курса. Все эти зада-
чи и решает данный практикум.

Состоит практикум из 6 глав, охватывающих основные раз-

делы курса: аффинные евклидовы пространства, гладкие линии
на плоскости, кривые на плоскости, кривые в пространстве, внутренняя 
геометрия поверхностей, внешняя геометрия гиперповерхностей. 
При этом теория кривых и поверхностей излагается в пространствах 
произвольной размерности.

В начале каждой главы приводятся необходимые теоретические 
сведения: определения основных математических понятий, утверждения 
и теоремы (без доказательства), а также формулы, применяющиеся 
при решении помещенных далее задач. Для более

детального ознакомления с теоретическим материалом рекомендуем 
обратиться к учебному пособию С. В. Сизого «Лекции по дифференциальной 
геометрии» [3]. Все используемые в практикуме обозначения 
соответствуют обозначениям, принятым в «Лекциях...».

За теоретическими сведениями следует типовая задача с подробным 
ее решением, для наглядности сопровождающимся иллюстрациями, 
а за ней – 25 вариантов заданий, причем сложные
задания снабжены указаниями к их решению. Задания нумеруются 
в пределах главы. На задания, требующие численного ответа
или ответа в виде уравнения или формулы, в конце глав приводятся 
ответы. При подборе заданий авторы частично использовали
хорошо себя зарекомендовавший сборник задач [2]. Кроме задач
из этого сборника и авторских задач в комплект индивидуальных
заданий входят задачи из работ [1] и [3].

Поскольку рабочей программой курса «Основы дифференциальной 
геометрии и топологии» предусмотрены три домашние
контрольные работы, данный практикум может быть использован
преподавателями для их составления. Каждая контрольная рассчитана 
на 25 индивидуальных вариантов, по две задачи в каждом.
Формировать домашние контрольные работы рекомендуется следующим 
образом:

– контрольная работа № 1 составляется из задач главы 1 и главы 2;
– контрольная работа № 2 – из задач главы 3 и главы 4;
– контрольная работа № 3 – из задач главы 5 и главы 6.
При этом порядковый номер задачи из каждой главы должен

соответствовать порядковому номеру фамилии студента в «Журнале 
студентов».

Домашние контрольные работы целесообразно предлагать

студентам после прохождения ими на лекциях и на практических
занятиях тем курса, соответствующих теме контрольной работы.
За каждую контрольную работу студент получает баллы по балльно-
рейтинговой системе УрФУ согласно технологической карте курса.

Перед тем как приступить к домашней контрольной работе,

студентам следует ознакомиться с теоретическим материалом и разобраться 
с решением типовых задач, данных в практикуме по указанным 
в работе темам.

При выполнении домашней контрольной работы студенту необходимо 
руководствоваться изложенными ниже требованиями.

1. Контрольную работу следует выполнять на отдельных листах, 
листы должны быть скреплены. В начале первого листа обязательно 
указываются фамилия и инициалы студента, номер группы, 
номер варианта и номер контрольной работы.

2. Перед решением задачи желательно привести ее условие.
3. Решение задачи нужно сопровождать формулами, ссылками

на соответствующие утверждения и теоремы, развернутыми расчетами 
и пояснениями к ним, для наглядности – иллюстрациями.

4. Если задача требует численного ответа или ответа в виде

формулы, в конце задачи записывается ответ. Ответ должен быть
сверен с ответом к соответствующему заданию в практикуме.

Задачи, помещенные в практикуме, дополняют и расширяют

перечень задач учебного пособия [3], используемого в качестве за-
дачника на практических занятиях по дифференциальной геомет-
рии для студентов Института естественных наук и математики.
Кроме того, эти задачи могут выдаваться студентам на практичес-
ких занятиях в качестве домашних заданий с целью получения до-
полнительных баллов по балльно-рейтинговой системе УрФУ, а так-
же включаться в комплект аудиторных контрольных работ. Теоре-
тический материал может быть также использован при составлении
заданий для мини-контролей на лекциях.

* * *

Мы выражаем искреннюю признательность нашему коллеге

Сергею Викторовичу Сизому, профессору кафедры алгебры и фун-
даментальной информатики, за блестящие лекции и практические
занятия по дифференциальной геометрии, которые сделали наше
знакомство с этой непростой дисциплиной ярким и увлекательным.
Сергей Викторович также оказал ценную поддержку и помощь
во всех вопросах, возникавших у нас по методике преподавания
дифференциальной геометрии.

Благодарим научного редактора М. В. Волкова, рецензентов

С. В. Анахова и Л. Д. Сона, чьи предложения и советы несомненно
улучшили разработанное нами пособие.

Отдельное спасибо редактору Е. И. Маркиной за полезные за-

мечания и доработку рукописи в ходе ее подготовки к печати.

Надеемся, что данный практикум будет способствовать более

глубокому изучению студентами дисциплины «Основы дифферен-
циальной геометрии и топологии», поскольку именно самостоя-
тельное решение задач и получение практических навыков ведут
к пониманию и скорейшему усвоению трудного теоретического
материала.

1. АФФИННЫЕ ЕВКЛИДОВЫ

ПРОСТРАНСТВА

Пусть 

,
, 



V V
 – конечномерное евклидово аффинное про-

странство, где V – множество «точек», 


V  – множество векторов,

«+» – операция откладывания вектора от точки. Отображение
A : V  V называется  а ф ф и н н ы м  о п е р а т о р о м,  если
существует такой линейный оператор A :






V
V , что для любой

точки  р V и вектора x
V





 выполняется равенствоо

 
 
A(
)
A
A
.
p
x
p
x





 

Обычно считают, что операторA



обратим. Пусть 

1
,
, ...,




n
O b
b
 –

некоторый репер аффинного пространства 

,
, 



V V
. Обозначим

через x
 
 


 столбец координат вектора x
V





в базисе е 


1,...,





n
b
b
b
,

через A







 – матрицу оператора A



 в этом базисе и через [p] – коор-

динаты точки p в репере 

1
,
, ...,




n
O b
b
, т. е. координаты вектора





Op
p
O  в базисе b. Тогда для любой точки qV  выполняется

равенство 
 


 
0
A
A



 








q
q
q , где q0 = A (O).

Утверждение. Любой аффинный оператор плоскости перево-

дит прямую в прямую, касательную в касательную, сохраняет па-
раллельность прямых и отношение отрезков.

Теорема об изометрии. Отображение А конечномерного евк-

лидова аффинного пространства в себя является изометрией тогда
и только тогда, когда отображение А является аффинным операто-
ром и соответствующий линейный оператор A



является ортого-

нальным.

Задача 1. Пусть точки P1, P2, P3 лежат по одной на каждой

стороне (или на продолжении сторон) некоторого треугольника,
а точки P1  , P2  , P3  получены отражением точек P1, P2, P3 относитель-
но середин сторон этого треугольника. Тогда точки P1, P2, P3 лежат
на одной прямой тогда и только тогда, когда точки P1 , P2 , P3  лежат
на одной прямой.

Решение. Докажем сначала, что существует аффинный опе-

ратор плоскости, переводящий произвольный треугольник OAB
в прямоугольный равнобедренный треугольник OAB с единич-
ными катетами. Пусть 

1
2
,
,
 
O е е
– стандартный репер. Обозначим

через 
1 


с
OA, 
2 


с
OВ, и пусть A= О + 
1
е , В= О + 
2
е  (рис. 1).

Рис. 1



O
A

B

B

А

  a

b

c1

 c2

e1

e2

Рассмотрим линейный оператор A



 векторов плоскости, переводя-

щий базис 

1
2
,
 
е е
 в базис 

1
2
,
 
с с . Если ОА
a




, ОB
b




, АОВ
ОВ = ,

то матрица оператора A



в базисе 

1
2
,
 
е е  равна 
cos

0
sin




   

 





a
b
A
b
.

Очевидно, A



 – обратимый оператор. Линейный оператор 

1

B
A







переводит базис 

1
2
,
 
с с  в базис 

1
2
,
 
е е
.

Рассмотрим аффинный оператор  
 
B
В



 
x
O
х , где 





x
Ox.

Очевидно, В(О) = О,  


 
 
1
1
1
B
B
B
B











A
O
с
O
с
О
е
А, ана-

логично В(В) = В. Таким образом, аффинный оператор В перево-

дит треугольник ОАВ в треугольник ОАВ. Обратный аффинный
оператор А переводит треугольник ОАВ в треугольник ОАВ.

Поскольку аффинный оператор сохраняет параллельность пря-

мых и отношение отрезков и переводит прямую в прямую, теперь
исходную задачу достаточно решить для треугольника ОАВ.

Введем прямоугольную систему координат хОу, как показано

на рис. 2. Пусть 
1

1
0, 2


 





P
, 
2

1
1
β,
β
2
2










P
, 
3

1
γ, 0
2









P
, где 
де ,

,  – произвольные числа. Тогда 
1

1
0, 2



 





P
, 
2

1
1
,
2
2











P
,

3

1
, 0
2




 





P
.  Далее 1
2

1
,
2




  






PP
, 
1
3

1
1
,
2
2




   






PP
, 
1
2
  


P P

1
,
2




  



 , 
1
3

1
1
,
2
2



 
    






P P
.

Точки P1, P2, P3 лежат на одной прямой тогда и только тогда,

когда векторы 
1
2


Р Р  и 
1
3


Р Р коллинеарны, т. е. 1/ 2
1/ 2

1/ 2

 
 



 

1
4
     
.

Рис. 2

O

 P1

P2

P3

P1

P2

P3















x

 y
1

1

1
2

1
2

Аналогично точки P1, P2, P3 лежат на одной прямой тогда

и только тогда, когда векторы 
1
2




P P  и 
1
3
 


P P  коллинеарны, т. е.

1
4
     
. Таким образом, точки P1, P2, P3 лежат на одной

прямой тогда и только тогда, когда точки P1, P2, P3  лежат на одной
прямой.

Задания

1. Вписанный эллипс касается параллельных сторон AB и CD

четырехугольника ABCD в точках P и Q. Докажите, что | PB | = | QC |,
если эллипс касается стороны BC в ее середине.

Указание. Введите аффинный оператор, который переводит

эллипс в окружность.

2. Пусть ABC – треугольник, BD – медиана треугольника ABC,

а X, Y и Z – три точки на отрезке BC такие, что | BX | = | XY | =
= | YZ | = | ZC |. Пусть прямая AX пересекает BD в точке P. С помощью 
аффинной геометрии докажите, что | AP | / | AX | = 4/5.

Указание. Введите аффинный оператор, который переводит

треугольник ABC в равнобедренный прямоугольный треугольник
ABC (А– прямой), и решите задачу для треугольника ABC.

3. Эллипс вписан в четырехугольник так, что касается всех четырех 
его сторон в серединах. Докажите, что четырехугольник является 
параллелограммом.

Указание. Введите аффинный оператор, который переводит

эллипс в окружность.

4. Аффинный оператор 
0
( )
А( )
A x
p
х



  , р0 = А(О), 

 
x
O
х

пространства 
3
  переводит точки A(–1, 0, 1), B(2, 1, –1), C(1, 1, 1),

D(0, 1, –1) в точки A(1, 2, 3), B(–1, –2, 1), C(0, 1, 0), D(–1, 0, 0)

соответственно. Найдите координаты точки p0 и матрицу A







 оператора 
A



 в стандартном базисе.

5. В аффинном пространстве даны четыре различные точки A,

B, C, D. Точки K, L, M, N делят отрезки AB, BC, CD, DA в одина-