Высшая математика. Часть II

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

ВЫСШАЯ 
МАТЕМАТИКА

Часть II

Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия
для студентов инженерных направлений 
и специальностей

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2017

УДК 51(075.8)
ББК 22я73
          В93
Авторы:
В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, М. М. Михалева, Н. В. Чуксина, 
И. А. Шестакова

Рецензенты:
кафедра прикладной математики Уральского государственного экономического 
университета (завкафедрой канд. физ.-мат. наук, доцент Ю. Б. Мельников);

канд. физ.-мат. наук, ст. науч. сотр. И. Н. Белоусов (Институт математики 
и механики УрО РАН)
Научный редактор — канд. физ.-мат. наук, доцент Б. М. Веретенников

В93
    Высшая математика : учебное пособие / В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, 
М. М. Михалева, Н. В. Чуксина, И. А. Шестакова. — Екатеринбург : 
Изд-во Урал. ун-та, 2017. — Ч. II. — 300 с.

ISBN 978-5-7996-2028-8 (ч. 2)
ISBN 978-5-7996-1778-3

Данное учебное пособие является продолжением учебного пособия «Высшая 
математика», часть I (авторы В. И. Белоусова, Г. М. Ермакова, М. М. Михалева, 
Ю. В. Шапарь, И. А. Шестакова), включает в себя следующие разделы высшей математики: 
неопределенный интеграл, определенный интеграл, несобственный интеграл, 
кратные и криволинейные интегралы, линейная алгебра, дифференциальные 
уравнения, системы дифференциальных уравнений.

Библиогр.: 22 назв. Табл. 3. Рис. 48.

УДК 51(075.8)
ББК 22я73

ISBN 978-5-7996-2028-8 (ч. 2) 
© Уральский федеральный 
ISBN 978-5-7996-1778-3 
     университет, 2017

Учебное издание

Белоусова Вероника Игоревна, Ермакова Галина Михайловна, 
Михалева Марина Михайловна, Чуксина Наталия Владимировна, 
Шестакова Ирина Александровна

ВысШая МатЕМатика

Редактор Н. П. Кубыщенко
Верстка О. П. Игнатьевой

Подписано в печать 21.02.2017. Формат 60×84/16. Бумага писчая. Печать цифровая. Гарнитура Newton.
Уч.-изд. л. 12,8. Усл. печ. л. 17,4. Тираж 50 экз. Заказ 47.

Издательство Уральского университета 
Редакционно-издательский отдел ИПЦ УрФУ
620049, Екатеринбург, ул. С. Ковалевской, 5. Тел.: 8(343)375-48-25, 375-46-85, 374-19-41. E-mail: rio@urfu.ru

Отпечатано в Издательско-полиграфическом центре УрФУ
620075, Екатеринбург, ул. Тургенева, 4. Тел.: 8(343) 350-56-64, 350-90-13. Факс: 8(343) 358-93-06
E-mail: press-urfu@mail.ru

Оглавление

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ...............................7
1. Основные понятия и определения ............................................7
2. Методы вычисления неопределенных интегралов ...................8

2.1. Вычисление интегралов с помощью таблицы 
        интегралов и правил интегрирования ...............................8
2.2. Метод подведения под знак дифференциала ....................9
2.3. Метод интегрирования по частям ....................................12
2.4. Метод замены переменной (метод подстановки) ............15
2.5. Интегрирование функций, содержащих квадратный 
        трехчлен ............................................................................18
2.6. Интегрирование дробно-рациональных функций ..........21
2.7. Интегрирование тригонометрических функций .............27

Глава 2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ..................................33
1. Основные понятия и определения ..........................................33
2. Правила вычисления определенного интеграла .....................36
3. Геометрические приложения определенного интеграла ........41
3.1. Площадь плоской фигуры ................................................41
3.2. Объем тела вращения .......................................................43
3.3. Длина дуги плоской кривой .............................................45
3.4. Площадь поверхности вращения .....................................45

Глава 3. НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ...............................55
1. Основные понятия и определения ..........................................55
2. Свойства несобственных интегралов ......................................57
3. Сходимость несобственных интегралов .................................61

Глава 4. КРАТНЫЕ И КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ....67
1. Двойной интеграл ...................................................................67

1.1. Понятие и свойства двойного интеграла .........................67
1.2. Вычисление двойного интеграла  
        в прямоугольной системе координат ...............................70
1.3. Замена переменных в двойном интеграле.  
        Переход к полярным координатам ..................................78
1.4. Приложения двойного интеграла ....................................82

Оглавление

2. Тройной интеграл ....................................................................88

2.1. Понятие и свойства тройного интеграла .........................88
2.2. Вычисление тройного интеграла .....................................91
2.3. Замена переменных в тройном интеграле. Переход 
        к цилиндрическим и сферическим координатам............94
2.4. Приложения тройного интеграла .................................. 100

3. Криволинейные интегралы ................................................... 102

3.1. Криволинейный интеграл 1-го рода .............................. 102
3.2. Приложения криволинейного интеграла 1-го рода .......... 105
3.3. Криволинейный интеграл 2-го рода .............................. 108
3.4. Формула Грина ............................................................... 116

4. Поверхностные интегралы .................................................... 120

4.1. Поверхностный интеграл 1-го рода ............................... 120
4.2. Приложения поверхностного интеграла 1-го рода ....... 124
4.3. Поверхностный интеграл 2-го рода ............................... 127
4.4. Формула Стокса .............................................................. 131
4.5. Формула Остроградского ............................................... 133

5. Элементы векторного анализа .............................................. 136

5.1. Скалярное и векторное поле .......................................... 136
5.2. Градиент .......................................................................... 139
5.3. Поток векторного поля через поверхность .................... 141
5.4. Дивергенция, формула Остроградского ........................ 146
5.5. Циркуляция вектора, формула Стокса, вихрь ............... 148
5.6. Потенциальное и соленоидальное поля ........................ 150

Глава 5. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ............................................... 154
1. Евклидовы и унитарные пространства ................................. 154

1.1. Скалярное произведение в действительном 
        линейном пространстве ................................................. 154
1.2. Скалярное произведение в комплексном 
        линейном пространстве ................................................. 156
1.3. Выражение скалярного произведения 
        через координаты перемножаемых векторов ................ 157
1.4. Ортогональная система элементов и ее свойства .......... 159

2. Линейные операторы ............................................................. 163

2.1. Определение линейного оператора. Матрица 
        линейного оператора ...................................................... 163
2.2. Связь координат образа и координат 
        прообраза. Связь матриц оператора в разных базисах ... 168

Оглавление

2.3. Образ и ядро, ранг и дефект линейного оператора ....... 173
2.4. Алгебра линейных операторов ....................................... 177
2.5. Собственные значения и собственные векторы  
        линейного оператора ...................................................... 183
2.6. Структура линейного оператора .................................... 189
2.7. Сопряженные и самосопряженные операторы ............. 202

3. Квадратичные формы в евклидовом пространстве .............. 209

3.1. Определение квадратичной формы. Матрица 
        квадратичной формы...................................................... 209
3.2. Приложение квадратичных форм  
        к задачам аналитической геометрии .............................. 215

Глава 6. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
                 УРАВНЕНИЙ ............................................................. 224
1. Основные понятия и определения ........................................ 224
2. Дифференциальные уравнения первого порядка ................. 225

2.1. Геометрическая интерпретация дифференциального 
        уравнения первого порядка и его решений ................... 226
2.2. Задача Коши.................................................................... 228

3. Дифференциальные уравнения высших порядков .............. 238

3.1. Задача Коши.................................................................... 238
3.2. Интегрирование дифференциальных уравнений  
        высших порядков............................................................ 239
3.3. Теория линейных дифференциальных уравнений  
        высшего порядка ............................................................ 245
3.4. Общая теория однородных линейных  
        дифференциальных уравнений (ОЛДУ) ........................ 246
3.5. Восстановление однородного линейного 
        дифференциального уравнения по его 
        фундаментальной системе решений .............................. 249

4. Интегрирование однородных линейных 
     дифференциальных уравнений ............................................. 252
4.1. Метод Эйлера .................................................................. 252
4.2. Интегрирование однородных линейных 
        дифференциальных уравнений с переменными 
        коэффициентами, допускающих понижение 
        порядка ........................................................................... 255
4.3. Интегрирование однородных линейных 
        дифференциальных уравнений с переменными 

Оглавление

        коэффициентами, сводящихся к однородным 
        линейным дифференциальным уравнениям 
        с постоянными коэффициентами ................................. 256

5. Решение неоднородных линейных  
    дифференциальных уравнений ............................................. 258

5.1. Метод вариации произвольных постоянных 
        (метод Лагранжа) ............................................................ 258
5.2. Метод подбора частного решения неоднородного 
        линейного дифференциального уравнения 
        с постоянными коэффициентами по виду правой 
        части ................................................................................ 262

Глава 7. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ 
                 УРАВНЕНИЙ (СДУ) .................................................. 268
1. Общие понятия и определения ............................................. 268
2. Геометрическая интерпретация СДУ в нормальной форме .... 270
3. Механическая интерпретация СДУ в нормальной форме ... 271
4. Задача Коши для СДУ в нормальной форме ........................ 272
5. Некоторые приемы аналитического решения СДУ ............. 273
5.1. Сведение к одному уравнению ....................................... 273
5.2. Метод интегрируемых комбинаций ............................... 277
5.3. Симметричная форма записи СДУ ................................ 280

6. Системы линейных дифференциальных уравнений ............ 282

6.1. Свойства решений СОЛДУ x
A t x
=
( ) , t
a b
О(
)
,
 ................. 283

6.2. Свойства матриц фундаментальной системы  
        решений СОЛДУ ............................................................ 284
6.3. Системы неоднородных линейных 
        дифференциальных уравнений 
        x
A t x
B t
=
( )
+
( ), t
a b
О(
)
,
 ..................................................... 287

6.4. Метод Эйлера нахождения решений СОЛДУ  
        с постоянными коэффициентами ................................. 290

Список литературы .................................................................... 299

Глава 1.  
НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

1. Основные понятия и определения

Определение. Функция F x( ) называется первообразной для 
функции f x( ), если ў( ) =
( )
F
x
f x .

Определение. Неопределенным интегралом функции f x( ) 
называется множество всех первообразных вида F x
C
( )+
.

Обозначение: f x dx
F x
C
( )
=
( )+
т
.

таблица основных интегралов:

т
=
+ +
№ -
(
)

+

u du
u
C
a

a

a
a

1

1
1
,
; т
=
+
du
u
u
C
ln
;

т
=
+
e du
e
C
u
u
; т
=
+
a du
a

a
C
u

u

ln
;

т
= -
+
sin
cos
;
udu
u C  т
=
+
cos
sin
;
udu
u C

т
=
+
sh
ch
udu
u C; т
=
+
ch
sh
udu
u C
;

т
=
+
du
u
u C
cos
tg
2
;т
= -
+
du
u
u C
sin
ctg
;
2

т
=
+
du

u

u
C
sin
ln
;
tg 2
 т
=
+
ж
из

ц
шч +
du

u

u
C
cos
ln
;
tg 2
4
p

т
+
=
+
du
u
a
a
u
a
C
2
2

1arctg
;

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

т
-
=
-
+
+
№
(
)
du

u
a
a

u
a

u
a
C
a
2
2

1
2
0
ln
,
;
т
±

=
+
±
+
du

u
a

u
u
a
C

2
2

2
2
ln
;

т
-

=
+
№
(
)
du

a
u

u
a
C
a
2
2
0
arcsin
,
.

Основные правила интегрирования
1. т
( )
=
( )+
k f x dx
kF x
C
, где k — постоянная величина.

2. т
т
т
( )± ( )
(
)
=
( )
±
( )
f x
g x
dx
f x dx
g x dx.

3. Если т ( )
=
( )+
f x dx
F x
C  и u
x
= ( )
j
, то т ( )
=
( )+
f u du
F u
C
.

4. d
f x dx
f x dx
т ( )
(
) =
( )
.

5. т ў( )
=
( )+
f
x dx
f x
C
.

2. Методы вычисления неопределенных интегралов

2.1. Вычисление интегралов с помощью таблицы интегралов  
и правил интегрирования

Пример 1. Найти интеграл т
-
(
)
1
2
2
x
dx.

Решение
Для вычисления интеграла воспользуемся формулами сокращенного 
умножения и свойствами интегралов.

 
т
т
-
(
)
=
-
+
(
)
=
-
+
+
1
1
2
2
3
5

2
2
2
4

3
5

x
dx
x
x
dx
x
x
x
C.

Чтобы убедиться в правильности вычислений, найдем производную 
от полученного выражения:

 
x
x
x
C
x
x
-
+
+
ж

и
з

ц

ш
ч
ў
= -
+
2
3
5
1
2

3
5

2
4.

2. Методы вычисления неопределенных интегралов

Пример 2. Найти интеграл т -
x
x dx

2

2
1
.

Решение
Преобразуем подынтегральную функцию, выделив целую 
часть:

    т
т
т
т
-
= -
- +
-
= -
-
-
= -
-
-
+
+
x

x dx
x

x
dx
dx
x
dx
x
x
x
C

2

2

2

2
2
1

1 1

1

1

1

1
2

1
1
ln
.

Пример 3. Найти интеграл т
+

dx

x
2
3
2
.

Решение

 
т
т
+
=
+
=
+
+
+
dx

x

dx

x
x
x
C
2
3

1

2
1 5

1

2
1 5
2
2

2
,
ln
,
.

Упражнения для самостоятельной подготовки

Найти неопределенные интегралы:

а) т
+
(
)
2
7

2
x
x
dx, б) т
+
dx
x
3
1
2
, в) т

+
(
)
x
x
dx

x

3
2

, г) т
-
dx
x
4
2 .

2.2. Метод подведения под знак дифференциала

Данный метод основывается на свойствах дифференциалов:

 
df x
f
x dx
( ) =
( )
ў
,

 
d f x
C
df x
( )+
(
) =
( ),

 
d C f x
C df x
Ч ( )
(
) =
Ч
( ), или df x
C d C f x
C
( ) =
Ч ( )
(
)
№
(
)
1
0
,
.

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

Пример 1. Найти интеграл т
-

dx

x
4
1
2
.

Решение

Воспользуемся свойствами дифференциалов: dx
d
x
=
(
)
1
2
2
. 

Тогда

 
т
т
-
=
(
)

(
) -
=
+
-
+
dx

x

d
x

x
x
x
C
4
1

1
2

2

2
1

1
2
2
4
1
2
2

2
ln
.

Пример 2. Найти интеграл т
-

xdx

x

1
4
2 .

Решение
По свойствам дифференциалов:

 
xdx
d x
d
x
d
x
=
(
) = -
-(
) = -
-
(
)
1
2
1
8
4
1
8
1
4
2
2
2 .

Поэтому

 
т
т
т
-

= -

-
(
)

-

= -
-
(
)
-
(
) =
-
xdx

x

d
x

x

x
d
x
1
4

1
8

1
4

1
4

1
8
1
4
1
4
2

2

2

2
1
2
2

 
= -

-
(
) +
= -
-
+
1
8

1
4

1
2

1
4 1
4

2

1
2
2
x

C
x
C.

Пример 3. Найти интеграл т

+
(
)
tg

cos
.
x

x
dx
1

3

2

Решение

По свойствам дифференциалов: dx
x
d
x
cos
tg
2
1
=
+
(
)
.

Поэтому т
т

+
(
)
=
+
(
)
+
(
) =
+
(
) +
tg

cos
tg
tg
tg
x

x
dx
x
d
x
x
C
1
1
1
1
4
1

3

2

3
4
.

2. Методы вычисления неопределенных интегралов

Пример 4. Найти интеграл т
+

sin
cos

sin
.
x
x dx

x
2
1
Решение

 
т
т
+

=

+
(
)

+
=
+ +
sin
cos

sin

sin

sin

sin
.
x
x dx

x

d
x

x
x
C

2

2

2

2

1

1
2

1

1

1

Пример 5. Найти интеграл т

-
(
)

-

2

1

3

2
arcsin
.
x

x

dx

Решение
По свойствам дифференциалов:

 
dx

x

d
x
d
x
1

2
2
-

= (
) = -
-
(
)
arcsin
arcsin
, 

тогда

 

т
т

-
(
)

-
= -
-
(
)
-
(
) =

= -
-

2

1

2
2

2

3

2

3
arcsin
arcsin
arcsin

arcsin

x

x
dx
x
d
x

x
(
) +

4

4
C.

Пример 6. Найти интеграл т
+

+

3
1

1
2

x

x

dx.

Решение

 
т
т
т

+

+

=

+

+

+
=
3
1

1

3

1
1
2
2
2

x

x

dx
x

x

dx
dx

x

 
= 3
2

1

1

1
3 1
1

2

2

2
2
2
т

+
(
)

+

+
+
+
=
+
+
+
+
+
d
x

x

x
x
x
x
x
C
ln
ln
.

Глава 1. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 

Упражнения для самостоятельной подготовки

Найти неопределенные интегралы:

а) т
-
7
2
4
x
dx;б) т
+
(
)

sin
cos

cos

;
x
x dx

x
2
4
5

 в) т
-
(
)
cos
;
4
2
x
dx г) т
+

+

3

1

3

4

x
x

x

dx;д) т
-
7
2
4
x
dx; е) т
+
(
)

dx

x
x
cos

.
2
2
1
tg

2.3. Метод интегрирования по частям

Если u
u x
= ( ) и v
v x
= ( ) — дифференцируемые функции, 
то справедлива формула интегрирования по частям: 
т
т
=
-
udv
uv
vdu
.

Данная формула применяется в случаях, когда подынтеграль-
ное выражение можно представить в виде произведения двух 
множителей u x( ) и dv, причем по виду функции dv легко мож-
но восстановить функцию v и вычисление интеграла тvdu яв-

ляется более простой задачей, чем вычисление интеграла тudv.

Иногда, чтобы свести данный интеграл к табличному, фор-
мулу интегрирования по частям применяют несколько раз. 
В некоторых случаях с помощью интегрирования по частям 
получается уравнение, из которого выражается искомый ин-
теграл (так называемый «возвратный» интеграл).
Для того чтобы применить эту формулу, нужно правильно 
подобрать множители u и dv. Как правило, в качестве u x( ) вы-
бирают либо многочлен, чтобы понизить его степень, либо 
функцию, от которой трудно найти первообразную.

2. Методы вычисления неопределенных интегралов

Пример 1. Найти интеграл т
+
(
)
x
e dx
x
3
.

Решение
Воспользуемся формулой интегрирования по частям: 

u
x
=
+
(
)
3  и dv
e dx
x
=
. Тогда du
dx v
e x
=
=
,
.
Таким образом,

   т
т
+
(
)
=
+
(
)
-
=
+
(
)
-
+
=
+
(
)
+
x
e dx
x
e
e dx
x
e
e
C
x
e
C
x
x
x
x
x
x
3
3
3
2
.

Пример 2. Найти интеграл тarctgxdx.

Решение

 
т
=

=
=

=
+
=

й

л

к
к
к

щ

arctgxdx

u
x
dv
dx

du
dx

x
v
x

arctg ,
,

,
1
2
ы

ъ
ъ
ъ

=
Ч
-
+
=
т
x
x
xdx
x
arctg1
2

 
=
Ч
-

+
(
)

+
=
Ч
-
+
+
т
x
x
d
x

x
x
x
x
C
arctg
arctg
1
2

1

1

1
2
1

2

2
2
ln
.

Пример 3. Найти интеграл т
+
(
)
x
x dx
2
3 ln
.

Решение
В данном случае в качестве u x( ) возьмем более сложную 

функцию u
x
= ln . Тогда dv
x
dx
=
+
(
)

2
3
. Найдем недостающие 

элементы формулы: du
dx
x
=
,v
x
x
=
+
1
3
3
3
. Таким образом,

 
т
т
+
(
)
=
Ч
+
ж
из

ц
шч -
+
ж
из

ц
шч
=
x
x dx
x
x
x
x
x dx

x

2
3
3
3
1
3
3
1
3
3
ln
ln

   =
Ч
+
ж
из

ц
шч -
+
ж
из

ц
шч
=
Ч
+
ж
из

ц
шч -
-
т
ln
ln
x
x
x
x
dx
x
x
x
x
1
3
3
1
3
3
1
3
3
1
9

3
2
3
3
3x
C
+
.

Пример 4. Найти интеграл тe
x dx
x
2 cos
.

Решение
Рассмотрим пример «возвратного» интеграла. Здесь обе 
функции достаточно просто интегрируются по отдельности.