Гипергеометрические функции

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б.Н. Ельцина

А. С. Дунаев

В. И. Шлычков

ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ
ФУНКЦИИ

Учебное пособие

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2017

УДК 517.4 (075.8)
Д 83 

Р е ц е н з е н т ы:

Р. М. Алеев, доктор технических наук, профессор АО Научно-производственная
корпорация «Системы прецизионного приборостроения»
Р. Д. Мухамедяров, доктор технических наук, профессор КГТУ им. А. Н. Туполева

Дунаев, А. С.
Гипергеометрические функции : [учеб. пособие] / А. С. Дунаев, В. И. Шлычков. –
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. – 880 с.

ISBN 978-5-7996-1936-7

Книга является наиболее полным справочным руководством по гипергеометрическим
функциям.
Она
содержит
основные
свойства
гипергеометрических
функций,
их
производные, пределы, интегральные представления, формулы преобразования и частные
значения. В неё включены результаты, изложенные в аналогичных изданиях, а также в
научной литературе.
Книга представляет большой интерес для широкого круга специалистов в различных
областях науки и техники, в том числе для математиков, механиков, инженеров и
преподавателей, а также для студентов высших учебных заведений. Значительная часть
результатов получена авторами впервые.

УДК 517.4 (075.8)

ISBN 978-5-7996-1936-7
    © Дунаев А. С., Шлычков В. И., 2017 
© Уральский федеральный университет, 2017 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ .................................................................................................................................................................. 7

ГЛАВА 1. ОБОБЩЁННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ .......................................................... 8
1.1. Общие соотношения........................................................................................................................................... 8
1.2. Формулы дифференцирования.......................................................................................................................... 11
1.3. Интегральные представления............................................................................................................................ 11
1.4. Формулы вырождения........................................................................................................................................ 12
1.5. Дифференцирование по параметру................................................................................................................... 12
1.6. Неопределённые и определённые интегралы .................................................................................................. 13

ГЛАВА 2. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ ГАУССА........................................................................ 16
2.1. Определение .................................................................................................................................................... 16
2.2. Функциональные соотношения ..................................................................................................................... 16
2.3. Интегральные представления ........................................................................................................................ 19
2.4. Гипергеометрическая функция Гаусса при частных значениях аргумента............................................... 21
2.5. Представления гипергеометрической функции Гаусса............................................................................... 30
2.6. Частные значения гипергеометрической функции Гаусса.......................................................................... 45
2.7. Неопределённые и определённые интегралы от гипергеометрической функции Гаусса .....................175
2.7.1. Неопределённые интегралы..............................................................................................................175
2.7.2. Определённые интегралы..................................................................................................................177

ГЛАВА 3. ВЫРОЖДЕННЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ...................................................192
3.1. Функция Куммера........................................................................................................................................192
3.1.1. Определение.......................................................................................................................................192
3.1.2. Функциональные соотношения ........................................................................................................192
3.1.3. Интегральные представления ...........................................................................................................197
3.1.4. Представления вырожденной гипергеометрической функции Куммера......................................197
3.1.5. Частные значения вырожденной гипергеометрической функции Куммера ...............................200
3.1.6. Неопределённые и определённые интегралы от функции Куммера.............................................213
3.1.6.1. Неопределённые интегралы ................................................................................................213
3.1.6.2. Определённые интегралы....................................................................................................213
3.2. Функция Трикоми........................................................................................................................................215
3.2.1. Определение.......................................................................................................................................215
3.2.2. Функциональные соотношения ........................................................................................................216
3.2.3. Интегральные представления ...........................................................................................................219
3.2.4. Представления вырожденной гипергеометрической функции Трикоми......................................219
3.2.5. Частные значения вырожденной гипергеометрической функции Трикоми.................................221
3.2.6. Неопределённые и определённые интегралы от функции Трикоми.............................................226
3.2.6.1. Неопределённые интегралы ................................................................................................226
3.2.6.2. Определённые интегралы....................................................................................................227
3.3. Функции Уиттекера .....................................................................................................................................228
3.3.1. Определение.......................................................................................................................................228
3.3.2. Функциональные соотношения ........................................................................................................228
3.3.3. Интегральные представления ...........................................................................................................232
3.3.4. Частные случаи функций Уиттекера................................................................................................232
3.3.5. Неопределённые и определённые интегралы от функций Уиттекера ..........................................233
3.3.5.1. Неопределённые интегралы ................................................................................................233
3.3.5.2. Определённые интегралы....................................................................................................234
3.4. Функция Бейтмена .......................................................................................................................................248
3.4.1. Определение.......................................................................................................................................248
3.4.2. Функциональные соотношения ........................................................................................................248
3.4.3. Интегральные представления ...........................................................................................................250
3.4.5. Определённые интегралы от функции Бейтмена............................................................................250

ГЛАВА 4. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


3
2
1
2
3
1
2
,
,
;
,
;
F
a a a
b b
z ................................................253

4.1. Определение .................................................................................................................................................253
4.2. Гипергеометрическая функция


3
2
1
2
3
1
2
,
,
;
,
;
F
a a a
b b
z при частных значениях аргумента ..................253

4.3. Представления гипергеометрической функции


3
2
1
2
3
1
2
,
,
;
,
;
F
a a a
b b
z
.................................................273

Оглавление

4

4.4. Частные значения гипергеометрической функции


3
2
1
2
3
1
2
,
,
;
,
;
F
a a a
b b
z
............................................278

4.5. Интегралы от гипергеометрической функции


3
2
1
2
3
1
2
,
,
;
,
;
F
a a a
b b
z ....................................................399

ГЛАВА 5. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


0
1
;
F b z
........................................................................ 402

5.1. Определение .................................................................................................................................................... 402
5.2. Функциональные соотношения ..................................................................................................................... 402
5.3. Частные значения гипергеометрической функции


0
1
;
F b z ..................................................................... 403

5.4. Интегралы от гипергеометрической функции


0
1
;
F b z
............................................................................ 408

ГЛАВА 6. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


1
2
1
2
;
,
;
F
a b b
z
............................................................... 410

6.1. Определение .................................................................................................................................................... 410
6.2. Функциональные соотношения ..................................................................................................................... 410
6.3. Представления гипергеометрической функции


1
2
1
2
;
,
;
F
a b b
z ................................................................ 411

6.4. Частные значения гипергеометрической функции


1
2
1
2
;
,
;
F
a b b
z ........................................................... 418

6.5. Интегралы от гипергеометрической функции


1
2
1
2
;
,
;
F
a b b
z ................................................................... 504

ГЛАВА 7. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


2
3
1
2
1
2
3
,
;
,
,
;
F
a a
b b b
z
................................................... 507

7.1. Определение .................................................................................................................................................... 507
7.2. Функциональные соотношения ..................................................................................................................... 507
7.3. Интегральные представления ........................................................................................................................ 507
7.4. Представления гипергеометрической функции


2
3
1
2
1
2
3
,
;
,
,
;
F
a a
b b b
z ..................................................... 509

7.5. Частные значения гипергеометрической функции


2
3
1
2
1
2
3
,
;
,
,
;
F
a a
b b b
z ................................................ 512

7.6. Интегралы от гипергеометрической функции


2
3
1
2
1
2
3
,
;
,
,
;
F
a a
b b b
z
....................................................... 603

ГЛАВА 8. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


2
2
1
2
1
2
,
;
,
;
F
a a
b b
z ........................................................ 606

8.1. Определение .................................................................................................................................................... 606
8.2. Функциональные соотношения ..................................................................................................................... 606
8.3. Интегральные представления ........................................................................................................................ 606
8.4. Представления гипергеометрической функции


2
2
1
2
1
2
,
;
,
;
F
a a
b b
z
......................................................... 607

8.5. Частные значения гипергеометрической функции


2
2
1
2
1
2
,
;
,
;
F
a a
b b
z
.................................................... 608

8.6. Интегралы от гипергеометрической функции


2
2
1
2
1
2
,
;
,
;
F
a a
b b
z ............................................................ 632

ГЛАВА 9. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


0
2
1
2
,
;
F
b b
z .................................................................. 635

9.1. Определение .................................................................................................................................................... 635
9.2. Функциональные соотношения ..................................................................................................................... 635
9.3. Интегральные представления ........................................................................................................................ 635
9.4. Частные значения гипергеометрической функции


0
2
1
2
,
;
F
b b
z .............................................................. 636

9.5. Интегралы от гипергеометрической функции


0
2
1
2
,
;
F
b b
z ...................................................................... 637

ГЛАВА 10. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


0
3
1
2
3
,
,
;
F
b b
b
z ........................................................... 639

10.1. Определение .................................................................................................................................................. 639
10.2. Функциональные соотношения ................................................................................................................... 639
10.3. Интегральные представления ...................................................................................................................... 640
10.4. Представления гипергеометрической функции


0
3
1
2
3
,
,
;
F
b b
b
z
............................................................ 640

10.5. Частные значения гипергеометрической функции


0
3
1
2
3
,
,
;
F
b b
b
z ....................................................... 641

10.6. Интегралы от гипергеометрической функции


0
3
1
2
3
,
,
;
F
b b
b
z ............................................................... 647

ГЛАВА 11. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВИДА


0
1
2
,
,...,
;
p
p F
a a
a
z ......................................... 651

11.1. Определения .................................................................................................................................................. 651
11.2. Функциональные соотношения ................................................................................................................... 651
11.3. Интегральные представления ...................................................................................................................... 652
11.4. Представления гипергеометрических функций


0
1
2
,
,...,
;
p
p F
a a
a
z
...................................................... 653

11.5. Частные значения гипергеометрической функции


2
0
, ;
F
a b z
.............................................................. 654

Оглавление

5

11.6. Частные значения гипергеометрической функции


3
0
1
2
3
,
,
;
F
a a a
z ....................................................... 655

11.7. Интегралы от гипергеометрических функций


0
1
2
,
,...,
;
p
p F
a a
a
z ......................................................... 656

ГЛАВА 12. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


4
3
1
2
3
4
1
2
3
,
,
,
;
,
,
;
F
a a a a
b b b
z ........................................ 660

12.1. Определение .................................................................................................................................................. 660
12.2. Гипергеометрическая функция


4
3
1
2
3
4
1
2
3
,
,
,
;
,
,
;
F
a a a a
b b b
z при частных значениях

аргумента ..................................................................................................................................................... 660
12.3. Представления гипергеометрической функции


4
3
1
2
3
4
1
2
3
,
,
,
;
,
,
;
F
a a a a
b b b
z ......................................... 672

12.4. Частные значения гипергеометрической функции


4
3
1
2
3
4
1
2
3
,
,
,
;
,
,
;
F
a a a a
b b b
z .................................... 674

12.5. Интегралы от гипергеометрической функции


4
3
1
2
3
4
1
2
3
,
,
,
;
,
,
;
F
a a a a
b b b
z
........................................... 718

ГЛАВА 13. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


3
4
1
2
3
1
2
3
4
,
,
;
,
,
,
;
F
a a a
b b b b
z ........................................ 720

13.1. Определение .................................................................................................................................................. 720
13.2. Интегральные представления ...................................................................................................................... 720
13.3. Представления гипергеометрической функции


3
4
1
2
3
1
2
3
4
,
,
;
,
,
,
;
F
a a a
b b b b
z
......................................... 721

13.4. Частные значения гипергеометрической функции


3
4
1
2
3
1
2
3
4
,
,
;
,
,
,
;
F
a a a
b b b b
z .................................... 723

13.5. Интегралы от гипергеометрической функции


3
4
1
2
3
1
2
3
4
,
,
;
,
,
,
;
F
a a a
b b b b
z ............................................ 819

ГЛАВА 14. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ


1
2
3
1
2
3
3
3
,
,
;
,
,
;
a a a b b b z
F
и


1
1
,...,
;
,...,
;
q
q
q
q a
a b
b
z
F
822

14.1. Определение .................................................................................................................................................. 822

14.2. Представления гипергеометрических функций


1
2
3
1
2
3
3
3
,
,
;
,
,
;
a a a b b b z
F
и


1
1
,...,
;
,...,
;
q
q
q
q a
a b
b
z
F
.. 822

14.3. Частные значения гипергеометрической функции


1
2
3
1
2
3
3
3
,
,
;
,
,
;
a a a
b b b
z
F
......................................... 824

14.4. Интегралы от гипергеометрических функций


1
2
3
1
2
3
3
3
,
,
;
,
,
;
a a a b b b z
F
и


1
1
,...,
;
,...,
;
q
q
q
q a
a b
b
z
F
..... 827

ГЛАВА 15. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ


1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4
,
,
,
,
,
,
,
;
;
a a a a a
b b b b
z
F
............................. 829

15.1. Определение .................................................................................................................................................. 829
15.2. Гипергеометрическая функция


1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4
,
,
,
,
,
,
,
;
;
a a a a a
b b b b
z
F
при частных значениях

аргумента ..................................................................................................................................................... 829
15.3. Представления гипергеометрической функции


1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4
,
,
,
,
,
,
,
;
;
a a a a a
b b b b
z
F
............................... 835

15.4. Частные значения гипергеометрической функции


1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4
,
,
,
,
,
,
,
;
;
a a a a a
b b b b
z
F
.......................... 837

15.5. Интегралы от гипергеометрической функции


1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
4
,
,
,
,
,
,
,
;
;
a a a a a
b b b b
z
F
................................. 841

ГЛАВА 16. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ
4

5

1
2
3

1
2
3
4
5
4
,

,

,
,
;

,
,
,

a

b

a a a
z

b b b b
F 





И

1

1

1
1
,

,

,...
;

,...

q

q
q
q
a

b

a
z

b
F











.................. 843

16.1. Определение .................................................................................................................................................. 843

16.2. Представления гипергеометрических функций
4

5

1
2
3

1
2
3
4
5
4
,

,

,
,
;

,
,
,

a

b

a a a
z

b b b b
F 





и

1

1

1
1
,

,

,...
;

,...

q

q
q
q
a

b

a
z

b
F











.................... 843

16.3. Частные значения гипергеометрической функции


5
1
2
3
4
1
2
3
4
5
4
,
,
,
,
,
,
,
;
;
b
a a a a b b b b
z
F
............................ 846

16.4. Интегралы от гипергеометрических функций
4

5

1
2
3

1
2
3
4
5
4
,

,

,
,
;

,
,
,

a

b

a a a
z

b b b b
F 





и

1

1

1
1
,

,

,...
;

,...

q

q
q
q
a

b

a
z

b
F











....................... 851

ГЛАВА 17. ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ВИДА


1
1
1
1
,
,...
; ,...,
;
q
q
q
q
a
F
a
b
b
z


........................... 854

17.1. Определение .................................................................................................................................................. 854

17.2. Гипергеометрические функции вида


1
1
1
1
,
,...
; ,...,
;
q
q
q
q
a
F
a
b
b
z


при частных значениях

аргумента ..................................................................................................................................................... 854

17.3. Представления гипергеометрических функций вида


1
1
1
1
,
,...
; ,...,
;
q
q
q
q
a
F
a
b
b
z


................................ 859

17.4. Частные значения гипергеометрических функций вида


1
1
1
1
,
,...
; ,...,
;
q
q
q
q
a
F
a
b
b
z


........................... 864

Оглавление

6

17.5. Интегралы от гипергеометрических функций вида


1
1
1
1
,
,...
; ,...,
;
q
q
q
q
a
F
a
b
b
z


.................................. 865

ГЛАВА 18. РАЗНЫЕ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ...................................................................... 866
18.1. Представления


1
1
;
,...,
;
q
q
F
a b
b
z
................................................................................................................ 866

18.2. Представления


1
2
3
4
4
1
,
,
,
; ;
F a a a a b z ........................................................................................................... 866

18.3. Представления


1
2
3
1
8
3
8
,
,
;
,...,
;
F
a a a b
b z
..................................................................................................... 868

18.4. Представления


1
2
1
2
3
4
5
5
2
,
;
,
,
,
,
;
F
a
a
b b b b
b z .............................................................................................. 868

УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ ФУНКЦИЙ, НЕКОТОРЫХ ПОСТОЯННЫХ И СИМВОЛОВ ............... 869

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ .................................................................................................................... 876

ВВЕДЕНИЕ

Решение многих задач, относящихся к различным областям науки и техники, приводит к
необходимости использования численного анализа. При этом возрастает роль специальных функций.
Объясняется это тем, что в прикладной математике насчитывается огромное количество задач, решаемых с
помощью специальных функций, а наличие персональных компьютеров облегчает работу с этими
функциями. Желание иметь более эффективные алгоритмы для решения задач математической физики
приводит к появлению новых классов алгоритмов, в которых значительная роль отводится работе со
специальными функциями [1].
Особое
место
среди
специальных
функций
занимают
гипергеометрические
функции.
Это
объясняется тем, что многочисленные специальные функции, возникающие в прикладной математике,
являются частными случаями гипергеометрических функций.
В предлагаемой вниманию читателя книге излагаются основные свойства, представления и частные
значения гипергеометрических функций одной переменной. Ввиду важности для приложений наибольшее
внимание
уделяется
случаям
1
p
q


и
p
q

обобщённой
гипергеометрической
функции



1
2
1
2
,
, ...,
;
,
,...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z , причём значительное место отводится таблицам выражений этой функции

через различные элементарные и специальные функции при соответствующих соотношениях между
параметрами
1
2
,
,...,
p
a a
a
и
1
2
,
,..., q
b
b
b
с произвольны аргументом z . Такие выражения в случаях, когда не

все параметры фиксированы, следуя работе [2], будем называть представлениями; если же все параметры
гипергеометрической функции


1
2
1
2
,
, ...,
;
,
,...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z
принимают числовые значения, то эти

выражения будем называть частными значениями. Отметим, что формулы представлений гипергео-
метрической функции


1
2
1
2
,
, ...,
;
,
,...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z

могут быть получены из соответствующих формул

для


1
2
1
2
,
, ...,
;
,
,...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z
путём замены
z
на
z
 . Однако в ряде случаев представляется

целесообразным приводить выражения также и для функции


1
2
1
2
,
, ...,
;
,
,...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z .

Вместе
с
тем
в
книге
наиболее
полно
раскрыты
свойства
гипергеометрических
функций,
представлены
их
производные,
даны
интегральные
представления.
Изложение
ведётся,
начиная
с
обобщённого
гипергеометрического
ряда,
затем
рассмотрена
гипергеометрическая
функция
Гаусса,
приведены её свойства и частные значения для конкретных значений её аргумента, а также наиболее полная
таблица представлений гипергеометрической функции Гаусса и её частных значений.
В следующем разделе рассмотрены вырожденные гипергеометрические функции: функция Куммера
и функция Трикоми, приведены их свойства и числовые значения для конкретных значений их параметров, а
также наиболее полная таблица представлений и их частных значений. Определенное место уделено
функциям Уиттекера, являющимся частным случаем функций Куммера и Трикоми.
Значительный раздел занимает функция Бейтмена, являющаяся частным случаем функции Трикоми,
в котором раскрыты её свойства, приведены частные значения для ряда значений её параметров.
Большие
разделы
занимают
гипергеометрические
функции
вида:


3
2
1
2
3
1
2
,
,
;
,
;
F
a a a b
b z ,



1
2
1
1
2
;
,
;
F
a b
b z ,


2
3
1
2
1
2
3
,
;
,
,
;
F
a a b
b b z ,


2
2
1
2
1
2
,
;
,
;
F
a a b
b z ,


0
2
1
2
,
;
F
b
b z ,


0
3
1
2
3
,
,
;
F b
b b z ,


2
0
1
2
,
;
F
a a
z ,



3
0
1
2
3
,
,
;
F
a a a z ,


4
3
1
4
1
3
,...,
;
,...,
;
F
a
a b
b z ,


3
4
1
3
1
4
,...,
;
,...,
;
F
a
a b
b z ,


1
3
1
3
3
3
,...,
;
,...,
;
a
a b
b z
F
,



5
4
1
5
1
4
,...,
,...,
;
;
F
a
a
b
b
z ,


5
4
1
4
1
5
,
,
,
,
;
...
;
... b
F
a
a b
z ,


1
1
1
1
,...,
;
,...,
;
q
q
q
q
F
a
a b
b
z


и


1
1
1
1
,...,
,...,
;
;
q
q
q
q
F
a
a
b
b
z


. В

них приведены свойства этих функций и их частные значения для конкретных значений аргумента. По
сравнению с [2] значительно дополнены таблицы представлений и частных значений.

Используемые обозначения, как правило, общеприняты в математической литературе и приводятся в
указателе в конце книги. Формулы нумеруются с левой стороны. На материалы, заимствованные из
литературных
источников,
делаются
соответствующие
ссылки.
В
формулах,
заимствованных
из
литературных источников и помеченных звездочкой, устранены замеченные опечатки. Список основных
литературных источников приведён в конце книги. Мы надеемся, что настоящее учебное пособие будет
полезно
научным
работникам,
инженерам
и
другим
специалистам,
использующим
в
своей
работе
математические методы.

При обработке такого большого количества формул, которое содержится в данной книге, возможны
опечатки и ошибки. Всем читателям, приславшим свои замечания и пожелания, авторы будут очень
признательны и заранее выражают им свою благодарность.

ГЛАВА 1

ОБОБЩЁННАЯ ГИПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ФУНКЦИЯ

1.1.
Общие соотношения

Обобщенный гипергеометрический ряд


1
2
1
2
,
,...,
;
,
,...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z
определяется соотношением

[1, 2] 









1
2
1
2

1
2
1
2
1
2
1
2

1

0

1

,
,...,
;
,
,...,
;
,
,...,
;
,
,...,
;
,
,
,...,
;
,
,...,
!

p
k
h
k

q

h
k

p
p
h
p
q
p
q
p
q
p
q
k
q
q

h

a
z
a a
a
a a
a
z
F
a a
a
b
b
b
z
F
F
b
b
b
z
b
b
b
b
k
































 


 

,
0,
1,
2,...
q
k
a
k
a
b
a









Величины
1
2
,
,...,
p
a a
a
и
1
2
,
,..., q
b
b
b
называются
параметрами
числителя
и
знаменателя

соответственно, а z
называется переменной. Функция
q
p F
симметрична относительно параметров

числителя, а также симметрична относительно параметров знаменателя [1]. Если некий параметр числителя
совпадает с параметром знаменателя, то эти параметры могут быть опущены, и вместо функции
p
q F
мы

получаем функцию
1
1


q
p
F
. Ряд функции
q
p F
обрывается, и, стало быть, она является многочленом, если

какой-нибудь параметр числителя есть отрицательное целое число либо нуль, в то время как ни один из
параметров знаменателя не является ни отрицательным целым числом, ни нулём.

Ряд функции


1
2
1
2
,
, ...,
;
,
, ...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z
сходится [1, 2] для всех конечных z , если p
q

. Ряд

функции


1
2
1
2
,
, ...,
;
,
, ...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z
сходится
для
1

z
,
если
1
p
q

 .
Ряд
функции



1
2
1
2
,
, ...,
;
,
, ...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z
расходится для всех z,z
0

, если
1
p
q

 .

Ряд функции


1
2
1
2
,
, ...,
;
,
, ...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z
абсолютно сходится [1] для всех
1

z
, если

Re
0,
 
условно сходится для
z
1,z
1

 , если 0
Re
1,

 
расходится для
1

z
, если 1
Re

 , где

1
1

p
q

h
h
h
h
a
b


 



.

Если m – положительное целое число, то [1]




 




    







1
2
1
2
1

1
2
1
2
1
2

1

1
1
2

1
1
...
,
,
, ...,
;
,1
,1
, ..., 1
;
,
,
, ...,
...
1
,1
, ..., 1

 









































p

q

p q
m
m
p
p
m
m
m
q
p
q
q
q
m
m
m
m
p

z
a
a
a
m a a
a
z
m
m
c
m
b
m
b
F
F
z
c b
b
b
c
b
b
b
m
a
m
a
m
a
,

где ни c , ни какой-нибудь из параметров
hb
не являются ни отрицательным целым числом, ни нулём.

Если ни одно из чисел
hb
не является ни отрицательным целым числом, ни нулём, если ни одно из

чисел
h
a
не является ни отрицательным целым числом и если c – отрицательное целое число, либо нуль,

c
n
 
, то гипергеометрическая функция:


1
2
1
2
1
1
,
,
, ...,
;
,
,
, ...,
;




p
q
p
q
F
m a a
a
n b
b
b
z
не определена, если n
m

.



1
2

1
2
1
2
1
2
1
1
,
,
, ...,
;
,
, ...,
;
,
, ...,
;
,
,
, ...,














p
p
q
p
q
p
q
q

m a a
a
z

F
F
a a
a
b
b
b
z
n b
b
b
, если n
m

.

1.1. Общие соотношения

9








 






1
1
2
1

1
2
1
1

1

1
1
2

1
!
...
,
,
, ...,
;
,
1
,1
, ..., 1
;
,
,
, ...,
!
...
1
, ..., 1

 















 
























p q
m
p
p
m
m
q
p
p
q
q
q
q
m
m
p

n
m
z
a
a
m a a
a
z
m n
m
m
b
m
b
F
F
z
n b
b
b
n b
b
m
a
m
a















 





1
2
1
2

1
2
1
2

1
1
1
1
1
1
1
1
1

...
1
,
1
,
1
, ...,
1
;
! !
1

2,
1
,
1
, ...,
1
!
1 !
...












 
 
 
 










 
 
 




m n
n
p
p
n
n
n
p
q
q
q
n
n
n

a
a
a
n
m n
a n
a
n
a
z
n
m m
z
F
n
n
b n
b
n
b
n n
b
b
b
,

если n
m

.
Часто возникает необходимость рассмотреть усеченный гипергеометрический ряд. В соответствии с
этим [1]


 




  





 




  







1
2
1
2
1
2
2
0
1
2
1
2
1
2

1
1
...
...
, 1
, 1
,..., 1
;
!
...
...
!
1
, 1
,..., 1

k
m
m
p
p
k
k
m
m
k
m
q
q
p
k
q
m
m
q
m
k
k
k
p

p q
a
a
a
z
a
a
a
z
m
m
b
m
b
m
b
F
z
m b
b
b
b
b
b
k
m
a
m
a
m
a




 


























,

где ни одно из чисел
hb не есть ни отрицательное целое число, ни нуль.
Справедливы соотношения специального типа:

1.
1
1
1

1
2
1
2
1
2

, ...,
;
, ...,
;
, ...,
;
2
, 1
,
, ...,
, 1
,
, ...,
1
, 1
,
, ...,

























 

 
 
 







p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
q

a
a
z
a
a
z
a
a
z
F
F
F
b
b
b
b
b
b
[2]

2.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
2

,
, ...,
;
,
, ...,
;
, ...,
;
2
,1
,
, ...,
1
,1
,
, ...,
1
,
, ...,



















 













 
 
 
 







p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
q

a
a
z
a
a
z
a
a
z
F
F
F
b
b
b
b
b
b
[2]

3.
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

,
, ...,
;
,
, ...,
;
,
,
, ...,
;
2
1
,
, ...,
1
,
, ...,
1
,1
,
, ...,












 




















 
 
 
 







p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
q

a
a
z
a
a
z
a
a
z
F
F
F
b
b
b
b
b
b
[2]

4.
1
2
1
2
1
2

1
1
1

,1
,
, ...,
,1
,
, ...,
,
,
, ...,
2
, ...,
;
, ...,
;
, ...,
;





 
 
 
 



























p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
q

a
a
a
a
a
a
F
F
F
b
b
z
b
b
z
b
b
z
.
[2]

В приложениях часто возникает необходимость разбить гипергеометрический ряд на чётную и
нечётную части, каждая из которых также будет гипергеометрическим рядом. Таким образом,

5.


 
 
1
2
1
2
1
2
1
2

...
,
, ...,
;
,
, ...,
;
...


p
p
q
p
q
q

a a
a

F
a a
a
b
b
b
z
A z
z B z
b b
b
,
[1, 2] 

Где
 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
,
, ...,
,
,
, ...,
;
,
,
, ...,
,
,
, ...,
;4
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2

 















q
p
p
q
p q
p
q
a
a
b
b
a
a
a
a
b
b
b
b
A z
F
z
,

 
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
3
,
,...,
,1
,1
,...,1
;
,
,
,...,
,1
,1
,...,1
;4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2

p
p
q
q
p q
p
q
a
b
b
a
a
a
a
a
b
b
b
b
B z
F
z
 




















.

Очевидно, что

 




1
2
1
2
1
2
1
2
2
,
, ...,
;
,
, ...,
;
,
, ...,
;
,
, ...,
;



p
q
p
q
p
q
p
q
A z
F
a a
a
b
b
b
z
F
a a
a
b
b
b
z

 




1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2

2
...
,
, ...,
;
,
, ...,
;
,
, ...,
;
,
, ...,
;
...



p
p
q
p
q
p
q
p
q
q

a a
a

zB z
F
a a
a
b
b
b
z
F
a a
a
b
b
b
z
b b
b

Для понижения порядка гипергеометрической функции справедливы соотношения:

6.


 




 


1
2
1
2
1
2

1
2
1
2
1
2
1
1
,
, ...,
,1;
1,
1, ...,
1;
1
1 ...
1
1
,
, ...,
,2
1,
1, ...,
1
1
1 ...
1











































p
p
q
p
q
p
q
q
q
p

a a
a
z
a
a
a
z
b
b
b
F
F
b
b
b
b
b
b
z a
a
a
[1, 2] 

7.








1
1
1
1
1
1
1
1
1
1

1
1

1
1
1
1
1
1
1
1

1,
, ...,
; ,
, ...,
;
, ...,
;
, ...,
;

1
1, ...,
1;
1, ...,
1;


















 









 
i

p
q
p
q
p
q
p
q

p
q

p
q
p
q
i
k
k

F
a
a
b
b
z
F
a
a
b
b
z

z
a
F
a
a
b
b
z
b

[2]

Глава 1. Обобщённая гипергеометрическая функция

10

8.




1
2
1
2
1
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2

, ,
, ...,
;
,
, ...,
;
,
, ...,
;
1
,
1,
1,
, ...,
1,
, ...,
1,
, ...,












 












 














 
 
 
 
  









  

p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
q

a
a
z
a
a
z
a
a
z
F
F
F
b
b
b
b
b
b
[2]

9.
 



 





 



1
2
1
2
1
1
1
2
1
1

1
2
1
1
1
1
2

, ,
, ...,
;
,
, ...,
;

,
1,
, ...,
1,
, ...,

,
, ...,
;
1
,
.
,
, ...,














 
















 
 
 
  









   

  




 
  





n

n

n
k

n
k

p
p
p
q
p
q
q
q

n
p
p
q
k
q

a
a
z
a
a
z
F
F
n
b
b
b
b

a
a
z
F
k b
b

[2]

Функции


1
2
1
2
,
, ...,
;
,
, ...,
;
p
q
p
q
F
a a
a
b
b
b
z , верхние параметры которых отличаются на целые числа от

нижних, связаны рекуррентными соотношениями типа

10.


1
2
1
2
1
2

1
1
1

,
1,
, ...,
1, ,
, ...,
, ,
, ...,

, ...,
;
, ...,
;
, ...,
;




  
 

 







 
   



















p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
q

a
a
a
a
a
a
F
F
F
b
b
z
b
b
z
b
b
z
[2]

11.


1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1
1

,
, ...,
;
1,
, ...,
;
,
, ...,
;

,
, ...,
1,
, ...,
1,
, ...,










 








 
   













 
 







p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
q

a
a
z
a
a
z
a
a
z
F
F
F
b
b
b
b
b
b
[2]

12.


1
1
1

1
2
1
2
1
2

, ...,
;
, ...,
;
, ...,
;

1, ,
, ...,
,
1,
, ...,
1,
1,
, ...,











 
   












 

  
 
 







p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
q

a
a
z
a
a
z
a
a
z
F
F
F
b
b
b
b
b
b
[2]

13.








1
2
1
2

1
1
1
1

1
2

1
1

, ,
, ...,
1, ,
, ...,

,
, ...,
;
1,
, ...,
;

,
1,
, ...,
0
1,
, ...,
;











 
 





   
    










 




  


    





 



p
p
p
q
p
q
q
q

p
p
q
q

a
a
a
a
F
F
b
b
z
b
b
z

a
a
F
b
b
z

[2]

14.








1
1
1
1

1
2
1
2

1
1

1
2

,
, ...,
;
,
, ...,
;

,
1,
, ...,
1, ,
, ...,

1,
, ...,
;
0
1,
1,
, ...,

















   
   









  
 





 


    





 
 



p
p
p
q
p
q
q
q

p
p
q
q

a
a
z
a
a
z
F
F
b
b
b
b

a
a
z
F
b
b

[2]

15.

1
1
1
1
1
1
1

1
1
1
1
1

,
, ...,
1,
, ...,
1,
1, ...,
1
0
, ...,
;
, ...,
;
1, ...,
1;











 

 







































i
i

q
p
p
p
p
p
q
p
q
p
q
i
i
q
q
q

a
a
a
a
a
a
b
F
F
z
a
F
b
b
z
b
b
z
b
b
z
[2]

16.



1
1
1
1

1
1
1
1
1
1
1
1

, ...,
;
, ...,
;
1, ...,
1;
1
0
,
, ...,
1,
, ...,
2,
1, ...,
1



















  


















 
 














i
i

q
p
p
p
p
p
q
p
q
p
q
i
i
q
q
q

a
a
z
a
a
z
a
a
z
b
F
F
z
a
F
b
b
b
b
b
b
[2]

17.






1
1
1
1
1

1
1
1
1
1

1
1
1

1
1
1

,
, ...,
;
1,
, ...,
;
1
,
, ...,
1,
, ...,

1,
1, ...,
1;
0
2,
1, ...,
1

















 





  













 








 





  





 









i

i

q
p
p
p
q
p
q
i
q
q

p
p
p
q
i
q

a
a
z
a
a
z
b
F
F
b
b
b
b

a
a
z
z
a
F
b
b

[2]

18.




1
2
1
2

1
1
1

2
1
2

1
1

,
1,
, ...,
1, ,
, ...,

, ...,
;
, ...,
;

1,
1,
1, ...,
1
0
1, ...,
1;












  
 


























 
 





  














i

i

q
p
p
p
q
p
q
i
q
q

p
p
p
q
i
q

a
a
a
a
b
F
F
b
b
z
b
b
z

a
a
z
a
F
b
b
z

[2]

1.3. Интегральные представления

1.2. Формулы дифференцирования

1.


 




  




1
2
1
2
1
2

1
2
1
2
1
2

...
,
, ...,
;
,
, ...,
;

,
, ...,
,
, ...,
;
...

























n
p
p
p
n
n
n
p
q
p
q
n
q
q
q
n
n
n

a
a
a
a a
a
z
a
n a
n
a
n z
d
F
F
b
b
b
b
n b
n
b
n
dz
b
b
b
[1, 2] 

2.









  









 


1
2

1
2

1
2
1
2

1
2
1
2
1
1

,
, ...,
;

,
, ...,

!
...
1,
,
, ...,
;
,
1,
,
, ...,
!
...

1
0, 1, 2,...

1


































 

 

 






  
  

 

 
 




 
 
 




n
p
p
q
n
q

p
p
n
n
n
p
q
q
q
n
n
n

n
n
p
n

a a
a
z
d
z
F
b
b
b
dz

n
a
a
a
n
a
n
a
n
a
n
z
F
n
b
n
b
n
b
n
n
b
b
b

n

z


1
2

1
2
1
1
1,
,
, ...,
;
,
1
0,
1,
2,...
1
,
,
, ...,








 



 
 







  




p
q
q

a
a
a
z
F
n
n b
b
b

[1, 2] 

3.
 
1
2
1
2

1
2
1
2

1
1
1
1
,
,
, ...,
;
,
,
, ...,
;

,
, ...,
,
, ...,









 




 



















n
p
p
n
q
q
p
p
n
n
q
q

a a
a
z
n a a
a
z
d
z
F
z
F
b
b
b
b
b
b
dz
[1, 2]

4.


1
2
1
2

1
2
1
2

1
1
1
1
,
, ...,
;
,
, ...,
;

,
,
, ...,
,
,
, ...,


 








  











 









n
p
p
n
p
q
q
n
n
q
q
p
a a
a
z
a a
a
z
d
z
F
n
z
F
b
b
b
n b
b
b
dz
[1, 2] 

5.

1
2
1
2

1
2
1
2

1
1

1
1
1
1

,
,
, ...,
;
,
1,
,
, ...,
;
!
1
1
,
,
, ...,
,1,
,
, ...,
2
2












































p
p
n
n
p
q
p
q
n
q
q

n a a
a
z
n n
a a
a
z
d
z
F
n
F
dz
b
b
b
b
b
b
[2]

6.

1
2
1
2

1
2
1
2

2
2
1
1
1
1

,1,
,
, ...,
;
,
,
, ...,
;
!
1,
,
, ...,
,
, ...,





































n
p
p
n
p
q
p
q
n
q
q

n
a a
a
z
n a a
a
z
d
z
F
n
F
n
b
b
b
b
b
b
dz
[2]

7.

 

1
2
1
2

1
2
1
2

1
1
1
1
,
,
, ...,
;
,
1,
,
, ...,
;
1
,
, ...,
1,
,
, ...,











 




 











 










n
p
p
n
n
p
q
p
q
n
n
q
q

n a a
a
z
n
a a
a
z
d
z
F
z
F
b
b
b
n
b
b
b
dz
[2]

8.









1
2
1

1
2
1
1

1
1
1
0

,
,
, ...,
;
,
,
, ...,
;
e
1
e
.
,
, ...,
, ...,
!
...




















 






















k
n
n
p
p
n
k
p
q
q
p
n
k
q
q
q
k
k

z
z
n a a
a
z
n k
n a
k
a
k z
n
z
d
F
F
b
b
b
b
k
b
k
dz
k
b
b
[2]

1.3. Интегральные представления

1.


   



1
1
2
1
2

1
2
1
2
0

1
1
1
1
,
,
, ...,
;
,
, ...,
;
1
,
,
,
, ...,
,
, ...,

1,Re
0,Re
0;
1,если
1










   










  
   








 
 


 




p
p
p
q
p
q
q
q

a a
a
z
a a
a
tz
F
t
t
F
dt
b
b
b
b
b
b

p
q
z
p
q

[1]

2.




 





1
1
2
1
2

1
2
1
2
0

1
1
1
1
1
1

,
, ...,
;
,
, ...,
;
1
,
,
, ...,
,
, ...,

1,Re
Re
0;
1,если
1













































q
p
p
p
p
q
p
q
p
q
q
q
p
q
p

q
p

b
a
a
a a
a
tz
a a
a
z
b
F
t
t
F
dt
b
b
b
b
b
b
a
b
a

p
q
b
a
z
p
q

[2]

3.


   

2
2
1
2
1
2

1
2
0
1
2

2
1
2
1
1
1
,
,
, ...,
;
,
, ...,
; sin
2
sin
cos
,
,
,
, ...,
,
, ...,

1,
Re
0, Re
0;
1,
если
1












   












  
   








 
 


 





p
p
p
q
p
q
q
q

a a
a
z
a a
a
z
F
F
d
b
b
b
b
b
b

p
q
z
p
q

[1]

Глава 1. Обобщённая гипергеометрическая функция

4.
 








1
2
1
2

1
2
1
2
0

1
1

1
1
,
,
, ...,
;
,
, ...,
;
e
,
,
, ...,
,
, ...,

Re
0;
0;Re
1,
1,2,..., ;
;если
,

то arg
; если
1,
то arg
; arg
,Re 4
2
2
2


























 





 

 


 









  
  






p
q

j
j
j
j
j

p
p
q
p
q
p
q
q

zt
a a
a
z
a a
a
t
z
F
t
F
dt
b
b
b
b
b
b

z
a
j
p
a
b
p
q

z
p
q
z







3;

если
, то
arg
; Re
Re ,либо Re
Re ,
и Re
1;
2

если
, то
arg
arg
;
и Re
1
2










 
   





 
 
    

p
q
z
z
z
z

p
q
z
z

[1]

5.
 


 












1
2

1
2
0

1
1

1
1
1

1
1

,
, ...,
;
,
,
, ...,

0
Re
Re
,
1,2,..., ;
0;
,
1,Re
2
1 2,
0;

либо
,
arg
, или arg
, если Re
1;
2
2
либ















 

 













 


 
 

 
 



   
 





 
 
   










j
j

j
j

p
q

j
j
j
j
j

p
q

p
j
j
p
q
q
p
q

j
j

a
b
a a
a
t
t
F
dt
b
b
b
b
a

a
j
p
a
b
q
p

q
p

о
1, arg


  
q
p

[1]

6.




 










1
1
1
2
1

1
2
0
0
1

1
1
1
1
1

1

,
, ...,
,
;
...
...
1
,
,
, ...,
1
...

Re
Re
0;
1, 2, ... ; arg 1


































 





 


k
k
k

q

k
q
q
q
k
q
q
q
k
q
q
k
k
k
k

k
k

b
a
a
b
a a
a
z
dt
dt
F
t
t
b
b
b
t
t z
a
b
a

b
a
k
q
z

[2]

7.




 










1
1
1
2

0
1
1
1
1
1
0
0

1
1
1

1

1

,
, ...,
;
...
1
,...,
; ...
...
,
,...,
;
,...,

Re
Re
0;
1, 2, ... ; arg 1
.


































 





 


k
k
k
k

p

p
p
k

p
p
p
p
p
k
p
k
k
k
k

k
k

b
a
a
b
a a
a
z

F
t
t
F
c
c
t
t z dt
dt
b
b
c
c
a
b
a

b
a
k
p
z

[2]

1.4. Формулы вырождения

1.


1
2
1
2

1
2
1
2

1
,
, ...,
;
,
,
, ...,
;
lim
,
,
, ...,
,
, ...,

 








 















p
p
q
p
q
p
q
q

z
a a
a
z
a a
a
F
F
q
p
b
b
b
b
b
b

[1, 2] 

2.

1
2
1
2

1
2
1
2
1
,
, ...,
;
,
, ...,
;
lim
,
;
,или
;
1;Re
0 .
,
,
, ...,
,
, ...,

 









 


  
















p
p
p
p
q
q
q
q

a a
a
z
a a
a
z
F
F
q
p z
q
p z
b
b
b
b
b
b
[1, 2] 

1.5. Дифференцирование по параметру

1.













1
2

1
2

1
1

2

1

1

1
1

0
1
1

,
,
, ...,
;

,
, ...,

1 ...
1
1
1
1
1 !
1 ...
1













  
























  
  
  
  



 
 
























 

i
i
i
j
i
i
i

p
p
q

q

p
q
p

i
j
k
k
q

a a
a
z
d
F
d
b
b
b

a
a
z
a
i
b
i
b
b
[2]

1.6. Неопределённые и определённые интегралы

13

2.













1
2

1
2

1

1

1

1

1

0
1
1
1

,
, ...,
;

,
,
, ...,

1 ...
1
1
1
1 ...
1
1
1 !

















 
  

















  
  
 

 
 






  




  
















 

i
i
i
j

i
i
i

p

p
q
q

p
q
p

i
j
k
k
q

a a
a
z
d
F
d
b
b
b

a
a
z
z
a
i
b
b
b
i
[2]

3.




1
2

1
2

1
2

2
1
2

1

1

1
1
1
1
1
1
1
1

,
,
, ...,
;

1,
,
, ...,

1,
1,
1,
1, ...,
1;
1
2,
2,
1,
1, ...,
1
1














  







   



   
   










   
   



   


 
j

p
p
q
q

p
q
p
p
q
j
k
q
k

a a
a
z
d
F
b
b
b
d

a
a
a
z
z
a
F
b
b
b
b
[2]

4.




1
2

1
2

1
1
1
2

2
1
1
1
2

1

1

1
1
1
1

1,
,
, ...,
;

,
,
, ...,

,
,
1,
1, ...,
1;
1
.
1,
1,
1,
1, ...,
1
















   







  



     





 




   
   



  





p
q

j
j
k

p
p
q
q

p
p
q
q
k

a a
a
z
d
F
b
b
b
d

a
a
a
z
z
a
F
b
b
b
b

[2]

1.6. Неопределённые и определённые интегралы

1.



1
1
1
1
1
1
1
,...,
;
, ...,
;
,
, ...,
;
1,
, ...,
;

















n
n
p
q
p
q
p
q
p
q
x
x
F
a
a
b
b
ax
dx
F
a
a
b
b
ax
n
n
[2]

2.




1
1
1
1
1
1
, ...,
;
, ...,
;
1,
, ...,
;2,
, ...,
;



 p
q
p
q
p
q
p
q
F
a
a
b
b
ax dx
x
F
a
a
b
b
ax
[2]

3.




   





1

0

1
1
1
2
1
2
1
, ...,
; ,
, ...,
;
, ...,
;
,
, ...,
;
,

Re
0, Re
0,
1; если
1, то
1



   



  
   


 
 




 




p
q
p
q
p
q
p
q
x
x
F
a
a
b
b
ax dx
F
a
a
b
b
a

p
q
p
q
a

[3, 4] 

4.




   





1

0

1
1
1
1
1
1
1
1
1
, ...,
;
, ...,
;
,
, ...,
;
,
, ...,
;
,

Re
0, Re
0,
1; если
1, то
1





   



  
   


 
 




 




p
q
p
q
p
q
p
q
x
x
F
a
a
b
b
ax dx
F
a
a
b
b
a

p
q
p
q
a

[2–4]

5.




  

 




0

1
1
1
1
1
1
1
1
1

, ,
, ...,
;
,
, ...,
;
, ...,
;
,
,
, ...,

Re
Re
0; arg
при
1;
arg
, arg 1
при
1
















     













 








 
 
 


 







p
p
q
q
p
p
q
q

n
a
a
x
x
dx
F
n a
a
b
b
F
b
b
x
z
z
x
z

z
p
q
z
p
q

[2]

6.







0
1
1
1
1
1
1
1
, ...,
;
, ...,
;
exp
1,
, ...,
;
, ...,
;
,
Re
0,








 








q
p
q
q
p
q
p
p F
a
a
b
b
x
x dx
F
a
a
b
b
p
q
[4, 5] 

7.




 



0

1
1
1
1
1
1
Re
0,
, ...,
;
, ...,
;
exp
,
, ...,
;
, ...,
;
,




 



 







q
p
q
q
p
q
p
p
x
F
a
a
b
b
ax
x dx
F
a
a
b
b
a
p
q
[4, 6] 

8.


 




0

1
1
1
1

1

1
1
,...,
,
,
,...,
;
,...,
;
,...,
;
e
,

, ...,

1, Re
0,Re
0, если
;

2
Re
exp
0, если
1
0, 1,...,
1













  
 

 















 

































px
k
k
m
n
m
n
n
m
k

n

k

m

k
ka
a
a
x
F
a
a
b
b a x
dx
F
k
k
k
p
p
b
b

m
k
n
p
m
k
n

ir
p
ka
m
k
n
r
k
k



[2, 7] 

Глава 1. Обобщённая гипергеометрическая функция

14

9.










0

1
1
1
1
1
1
1
, ...,
;
, ...,
;
exp
, ...,
;
, ...,
;
,

, Re
0, Re
0,если
;Re
Re , если





















n
n

n
n
m
n
m
m
n
n

n

b
m
b
b
a
x
F
a
a
b
b
ax
px dx
F
a
a
b
b
p
p

m
n
b
p
m
n
p
a
m
n

[4, 6, 7]

10.




 




0

1
1
1
1
1
1
, ...,
;
, ...,
;
exp
,
, ...,
;
, ...,
;
,

, Re
0,
Re
0, если
;Re
Re ,если






 










 





n
m
n
n
m
n
m
m
a
x
F
a
a
b
b
ax
px dx
F
a
a
b
b
p
p

m
n
p
m
n
p
a
m
n

[4, 6, 7]

11.





0

2
2
1
2
2
1
1
2
1
1
2
2
2
1
4
, ...,
;
, ...,
;
e
, ...,
,
,
;
, ...,
;
,
2
2

, Re
0, Re
0,если
1; Re
Re
,если
1











  








 





 




n
m
n
n
m
n
m
px
m
a
x
F
a
a
b
b
a x
dx
F
a
a
b
b
p
p

m
n
p
m
n
p
a
m
n

[7]

12.












0

1
1
1

1
1
1
1

1 e
, ...,
;
, ...,
;
1 e
exp

Re
0, Re
0,если
;
,
, ...,
,
;
, ...,
,
;
,
1, Re
0,если
1



















 




  












n
m
n

m
n
m
n

x
x
mF
a
a
b
b
a
px dx

p
m
n
p
F
a
a
b
b
p
a
a
p
m
n
[7]

13.












0

1
1
1

1
1
1
1

1 e
, ...,
;
, ...,
;
e
exp

Re
0, Re
0,если
;
,
, ...,
,
;
, ...,
,
;
,
1, Re
0,если
1














 




  
 










n
m
n

m
n
m
n

x
x
mF
a
a
b
b
a
px dx

p
m
n
p
F
a
a
p b
b
p
a
a
p
m
n
[7]

14.





0

2
1
1
2
1
1
2
Re
0,
1
1
4
, ...,
;
, ...,
;
exp
,1,
, ...,
;
,...,
;
,
2




 

















 p
q
p
q
q
p
q
p
F
a
a
b
b
x
x dx
F
a
a
b
b
p
q
[4]

15.








2
2
2
2
2
0

2
1
1
1
1
1
2
1
, ...,
;
, ...,
;
exp
1,
, ...,
;
, ...,
;
,
2

Re
0,
















 


p
q
p
q
q
p
q
p
x F
a
a
b
b
x
x
dx
F
a
a
b
b

p
q

16.








2
2
2
0

2
1
1
2
1
1
1
2
1
3
, ...,
;
, ...,
;
erfc
1,
,
, ...,
;2,
, ...,
;
,
2
4

Re
0,

















 


p
q
p
q
p
q
p
q
x
F
a
a
b
b
x
x dx
F
a
a
b
b

p
q

17.








 







0

2
1

1
1
1
1
2
1

1

2
1
1

2
...
2
2
2
, ...,
;
, ...,
;
1
...
2
2

4
, ...,
;
...
2
2
...
1
,
1,
, ...,
2
2







 















  


 


 












 









 
  


 


 












 

 









   

 



p

p
q
p
q

q

p
q
p
q
p
q

a
a
x
F
a
a
b
b
x J
x dx
b
b

a
a
b
b
F
a
a
b
b




2

1

1

2
1

2
2
1

2
4
2
, ...,
;
2
,
1
1
, 1
,
, ...,
2
2
2
3
1,
,Re 2
0,Re
min Re
; arg
,или
;Re
0,
4

3
или
1;Re
min Re
;
0;Re 2
4






















 










  


















  


 

 












   
 

  

 



 

 
 

j
j
p

j
j
p

p

p
q

q

a
a
F
b
b

p
q
a
p
q

p
q
a
a

1
1
1





























p
q

j
k
j
k
b

[2]

18.





0

1
2
1
1
, ...,
;
, ...,
;









p
q
p
q
x
F
a
a
b
b
ax
Y
x dx