Теория упругости; примеры и задачи


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
      ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. И. ЕЛЬЦИНА





В. В. Стружапов, Н. В. Бурматова

ТЕОРИЯ УПРУГОСТИ: примеры и задачи

Рекомендовано методическим советом УрФУ в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по программе бакалавриата по направлению подготовки 01.03.03 «Механика и математическое моделирование»











Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2016

УДК 539.3 (075.8)
ББК 22.251я73-1
      С 871


Рецензенты: лаборатория прикладной механики Института машиноведения УрО РАН (заведующий лабораторной кандидат технических наук, доцент Л. Ф. Спсвак);
А. Н. Красовский, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных технологий и математического моделирования Уральского государственного аграрного университета

      Стружанов, В. В.
С 871 Теория упругости: примеры и задачи : [учеб, пособие] / В. В. Стружанов, Н. В. Бурмашева ; М-во образования и науки Рос. Федерации, Урал, фсдср. ун-т. - Екатеринбург : Изд-во Урал, ун-та, 2016. - 84 с.
            ISBN 978-5-7996-1748-6

            В пособии приведены задачи по расчету напряженно-деформированного состояния различных конструктивных элементов, позволяющие закрепить теоретические положения теории упругости; даны образцы решения типичных задач и задачи для самостоятельного решения (индивидуальные домашние задания).
            Для студентов, изучающих дисциплину «Математические модели механики сплошных сред», раздел «Механика деформируемого твердого тела».

УДК 539.3 (075.8)
ББК 22.251я73-1



                                 © Уральский федеральный
ISBN 978-5-7996-1748-6          университет, 2016

Предисловие

   В учебном пособии собраны задачи по теории упругости, изучаемой в рамках курса «Математические модели механики сплошных сред», который читается студентам бакалавриата Института математики и компьютерных паук Уральского федерального университета, обучающимся по направлению 01.03.03 «Механика и математическое моделирование».
   Пособие разбито па тематические разделы, посвященные базовым понятиям теории напряжений и теории деформаций и решению задач в различных системах координат (декартовой, сферической и цилиндрической). К каждой из представленных в пособии тем кратко дается необходимый теоретический материал, а также приводятся образцы решения некоторых задач. В каждом разделе наряду с разобранными полностью задачами предложены задачи для самостоятельного решения. В конце пособия приведен список работ, которые могут быть полезны при решении задач.
   При составлении пособия использованы методические разработки по механике деформируемого твердого тела, составленные в прошлые годы па кафедре теоретической механики Уральского государственного университета имени А. М. Горького.

3

1. Теория напряжений



1.1. Напряженное состояние в точке


   Для механического описания действия внутренних сил в деформированном теле используется гипотеза, согласно которой в каждом поперечном сечении, мысленно проведенном внутри тела, имеет место взаимодействие сил такого же характера, как и распределенных по поверхности нагрузок.
   Под действием системы внешних сил P1, P₂,..., Pk между частями деформируемого тела возникают внутренние взаимодействия. Пусть рассматриваемое тело находится в равновесии, разделим сто воображаемым сечением па 2 части V1 и V2 (рис. 1).


р
Рис. 1. Схематическое изображение деформируемого тела


   Отбросим мысленно часть V ₂ ■ Тогда оставшаяся часть V1 находится в равновесии под действием внешних сил и равномерно распределенных по поперечному сечению 4

внутренних сил, представляющих собой действие материала части V₂ на матер нал части Vₜ. Величина сил внутреннего взаимодействия характеризуется их интенсивностью, то есть величиной силы, отнесенной к единице площади, па которой опа действует. Интенсивность внутренних сил называется ? мпряжеч тем.
   Рассмотрим декартову систему координат xi с базисными векторами Див некоторой точке бесконечно малый элемент объема со сторонами dx ₁ ,dx₂ ,dx3. Далее примем предположение о том, что деформированный и педефор-мироваппый элементы объема идентичны, то есть допускаются только малые деформации. Данное предположение является естественным для линейной теории упругости.
   Физическая величина


а =

а12 а13
а 22 а 23
а 32 азз

называется тензором, напряжений Кош,и. Величины а 11 ,а₂₂,а₃₃ называются нормальными напряжениями, величины а ₁₂,а ₁₃,...,а₃₂ — касательными напряжениями, причем первый индекс указывает помер координатной поверхности, а второй — направление, в котором действует компонента напряжений (рис. 2).
   Значения компонент тензора Коши зависят от системы координат и изменяются при ее повороте. Пусть система координат x 1 x₂x₃ путем поворота приводится к системе x1 x'₂x'₃, и иусть lij = cos(ed^ldj) — направляющие косинусы. Тогда согласно закону преобразования тензора второго ранга получаем выражения для компонент тензора напряжений в повой системе координат:


а^ = lialjeаав       (i, j, а, в =1, 2, 3).

5

Рис. 2. Компоненты тензора напряжений

Здесь и всюду далее по повторяющимся индексам производится суммирование.
   Величины, связывающие компоненты тензора напряжений и не меняющиеся при такого рода преобразовании координат, называются инвариантами. Именно инварианты выражают физическое содержание тензора.
   Для тензора второго ранга существуют три различных

инварианта:

I1 = a 11 + a2 + aзз = tra — след тензора,

12 = a 11 a 12    +  a 11 a 13  + a 22 a 23
     a 21  a 22      a 31 a33     a 32 a 33
             a 11    a12 a13               
13 = deta =  a 21 a 22 a 23   «            
             a 31 a 32 a 33                

Тензор напряжений, как и любой тензор второго ранга,

может быть единственным образом представлен суммой


a = ah + ad =


= а о

0 0   a ii - а о a 12
10+     a21 a22 - a0
0 1/  \ a 31     a 32

a 13
a23 a33 - a0

6

где а о = (а ц + а 22 + а 33) / 3. Тензор 'М называется шаровым тензором напряжений, тензор ad — тензором-девиатором напряжений или девиатором напряжений.
   Под действием напряжений а₀ происходит изменение материального объема, тензор-девиатор напряжений реализует формоизменение материального объема. Известно, что изменение объема не приводит к изменению формы элемента, а изменение формы не ведет к изменению объема.



1.2. Уравнения равновесия и граничные условия

   Компоненты напряжений меняются по объему рассматриваемого деформируемого твердого тела. При достижении границы тела они должны быть такими, чтобы находиться в равновесии с внешними силами, приложенными па границе. В силу этого внешние силы можно рассматривать как продолжение распределения внутренних напряжений.
   Зная компоненты тензора напряжений в точке, можно вычислить вектор напряжений On на произвольно ориентированной площадке ds, проходящей через эту точку:


—п — _п а еаа а.


Пусть n = еапа — вектор нормали к площадке ds, компоненты которого являются направляющими косипупсами ni = cos (n, ci,), удовлетворяющими условию n2+n2+n2 = 1.
   Используя фундаментальные формулы Коши


_п
аг    ааг ⁿa


7

и требование непрерывного перехода тензора напряжений к поверхностной нагрузке па наклонных площадках, примыкающих к границе деформируемого тела, получаем граничные условия в напрялсениях:

ti = ^аг Па, i = 1,2, 3,         (1 • 1)

где ti — компоненты вектора нагрузки.
   Уравнения (1.1) в развернутом виде для симметричного тензора напряжений имеют вид:

t 1 = а 11 n 1 + а 12 n 2 + а 13 n 3,

12 = 012 n 1 + а22 n2 + а23 n3,
13 = а 13 n 1 + а 23 n 2 + а 33 n 3 .
   Отметим, что формулы (1.1) можно представить в виде скалярного произведения тензора напряжений а и вектора внешней нормали н, а именно:

а • n\г = t,               (1.2)

где Г — поверхность, ограничивающая деформируемое тело V.
   Уравнение

               ааг,а + fi = 0 (i =1, 2, 3)      (1.3)

или в операторном виде

V- а = -f                  (1.4)

представляет собой уравнение равновесия материального v                                               д _
элемента (здесь f — вектор объемной силы, V = -—e 1 +
дх 1


8

   д _ д
+——e2 + -—e₃ — оператор 1 амильтона, а запятой обозна-
чено взятие частной производной по соответствующей переменной). Уравнения (1.3)((1.4)) должны удовлетворяться во всех точках по объему тела.



   1.3. Исследование напряженного состояния в точке тела
1.3.1. Главные напряжения
   При преобразовании компонент тензора напряжений вследствие поворота системы координат возникают два важных вопроса, а именно: при каком векторе нормали п вектор напряжений an будет параллелен п и при каком п нормальные компоненты тензора напряжений будут иметь экстремальные значения? Оба вопроса связаны с определением собственных значений тензора напряжений. Математически это сводится к преобразованию главных осей и преобразованию тензора напряжений к диагональному виду.
   В каждой точке деформируемого тела существуют такие характерные направления (называемые главными направлениями), в которых действуют только нормальные напряжения. Ортогональные плоскости, свободные от касательных напряжений, называются главным,и плоскостям,и. Действующие в главных плоскостях нормальные напряжения называются главными напряжениями. Они оказываются собственными значениями тензора напряжений. Координатные оси, соответствующие главным напряжениям, называются главными осям,и.
   Если некоторая площадка является главной, то справедливо равенство an = a • п, где a — модуль соответствующего главного напряжения.

9

   С учетом формул Коши имеем


(aiₐ - a5ᵢₐ)nₐ = 0,           (1.5)

где 6ᵢₐ — дельта Кронекера.
   Нетривиальное решение n 1 ,п2, n₃ линейной однородной системы уравнений (1.5) существует только тогда, когда определитель системы уравнений обращается в поль. Рассматривая этот определитель, получаем кубическое уравнение, которое называется характеристическим уравнением тензора, напряжений. Оно имеет вид:

а³ — 11 а² + 12 а — Iз = 0,     (1.6)

где 11,1₂,13 — инварианты тензора напряжений.
   Решение уравнения (1.6) представляет собой собственные значения симметричного тензора напряжений. Опи вещественны. Три решения характеристического уравнения (1.6) являются нормальными напряжениями а 1, а₂ ,а₃, причем а 1 > а₂ > а₃.
   Если в результате решения кубического уравнения (1.6) найдены главные напряжения, то, подставив каждое из найденных значений в систему (1.5) и пронормировав найденное решение, получим направляющие косинусы соответствующих главных площадок.
   Далее для главных напряжений а 1 ,а₂ ,а₃ найдем соответствующие значения направляющих косинусов (1)  (1) (1)  (2) (2) (2) (3) (3) (3)
n1 ,п2 , n3 ; n1 ,п2 , n3 ; n1 ,n2 , n3 , которые и определяют положение главных площадок. Эти три главных (i) (j) направления являются ортогональными, то есть n1 'пf + +n2)nj) + n3i)nj) = 0 (i, j = 1, 2, 3). Если а 1 = а₂ = а₃, то все ортогональные направления будут главными (это так называемое гидростатическое напряженное состояние).
   В системе главных осей тензор напряжений имеет диагональный вид, причем па главной диагонали стоят сто 10