Спектральное разложение самосопряженных операторов

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

УРАЛЬСКИЙ ФЕДЕРАЛЬНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ИМЕНИ ПЕРВОГО ПРЕЗИДЕНТА РОССИИ Б. Н. ЕЛЬЦИНА

А. М. Ильин, А. Р. Данилин

СПЕКТРАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ
САМОСОПРЯЖЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ

Учебное пособие

Рекомендовано
методическим советом Уральского федерального университета
в качестве учебного пособия для студентов вуза,
обучающихся по направлениям подготовки 01.04.01 «Математика»,
01.04.03 «Механика и математическое моделирование»,
02.04.01 «Математика и компьютерные науки»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета

2018

УДК 517.98(075.8)
И 46

Рецензенты:
кафедра вычислительной математики
Челябинского государственного университета
(заведующий кафедрой доктор физико-математических наук,
профессор В. Н. Павленко);
Л. А. Калякин, доктор физико-математических наук, профессор
(Институт математики с вычислительным центром
Уфимского научного центра РАН)

Ильин, А. М.
И 46 Спектральное
разложение
самосопряженных
операторов :
учеб. пособие / А. М. Ильин, А. Р. Данилин; М-во образова-
ния и науки Рос. Федерации, Урал. федер. ун-т. – Екатерин-
бург : Изд-во Урал. ун-та, 2018. – 128 с.

ISBN 978-5-7996-2306-7

В учебном пособии рассматриваются вопросы функционального анализа, не
вошедшие в общий курс функционального анализа по программе бакалавриата, в
частности спектральное представление самосопряженных операторов (как огра-
ниченных, так и неограниченных) в гильбертовом пространстве, неограниченные
симметрические операторы и их самосопряженные расширения, унитарные опе-
раторы и их представления.

Для магистрантов математических специальностей классических универси-

тетов.
УДК 517.98(075.8)

ISBN 978-5-7996-2306-7
c
⃝ Уральский федеральный университет, 2018

Оглавление

Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4

Список используемых обозначений и соглашений. . . . . . . . .
5

1. Гильбертово пространство: сводка результатов . . . . . . . .
8

2. Ограниченные операторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14

3. Свойства неотрицательных операторов
. . . . . . . . . . . . . .
23

4. Свойства ортопроекторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30

5. Разложение единицы, порожденное самосопряженным
ограниченным оператором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
35

6. Операторный интеграл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
41

7. Спектральное разложение ограниченного
самосопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53

8. Неограниченные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . .
63

9. Симметрические и самосопряженные
неограниченные линейные операторы . . . . . . . . . . . . . . . .
73

10. Соболевские пространства и теоремы вложения. . . . . . .
79

11. Примеры неограниченных симметрических и
самосопряженных линейных операторов . . . . . . . . . . . . .
91

12. Расширение симметрических операторов . . . . . . . . . . . . .
94

13. Спектры симметрических операторов . . . . . . . . . . . . . . . . 101
14. Коммутирующие операторы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
15. Несобственные операторные интегралы . . . . . . . . . . . . . . 107
16. Спектральное разложение неограниченного
самосопряженного оператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

17. Унитарные операторы и их спектральное разложение. . . 120
Список библиографических ссылок . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126

Предисловие

Данное учебное пособие предназначено для магистрантов мате-
матических факультетов, изучавших курс "Функциональный анализ
и интегральные уравнения". Здесь рассмотрены вопросы спектраль-
ного разложения самосопряженных операторов в гильбертовом про-
странстве, как ограниченных, так и неограниченных, которые в ос-
новном курсе для студентов, обучавшихся по программе бакалаври-
ата, не затрагивались совсем. Этот материал излагается в известных
учебниках [1–4], однако многие из них давно не переиздавались. Кро-
ме того, изложение в указанных пособиях часто опирается на мате-
риал, не содержащийся в стандартном курсе, и в основном касается
ограниченных самосопряженных операторов.
Материал учебного пособия соответствует односеместровому
курсу, читаемому в УрФУ для магистров второго года обучения.
Первым автором этого лекционного курса был академик РАН Ар-
лен Михайлович Ильин [5]. В настоящее время курс читается вторым
соавтором данного пособия. Структура и содержание курса неодно-
кратно обсуждались с Арленом Михайловичем. Предлагаемое учеб-
ное пособие является переработанным и расширенным вариантом
ранее изданного пособия А. М. Ильина [5]. К сожалению, уход из
жизни академика А. М. Ильина прервал нашу совместную работу.
Завершать начатое пришлось второму соавтору.
Предполагается, что читатели знакомы с понятием гильбер-
това
пространства
и
его
основными
свойствами.
Как
прави-
ло, доказательства утверждений, получающиеся непосредствен-
ным применением соответствующих определений, не приводят-
ся.
Изложение
в
достаточной
мере
замкнуто
и
не
исполь-
зует
ни
общих
конструкций
C∗-алгебр,
ни
теории
Гельфан-
да – Наймарка, ни тонких методов интегрального исчисления.
Для более углубленного изучения материала можно порекомен-
довать уже указанные учебники [1–4], а также современное изложе-
ние спектральной теории ограниченных самосопряженных операто-
ров в терминах категорий и функторов [6].

Список используемых обозначений
и соглашений

Если в утверждении, сформулированном с помощью преди-
катов, не указаны кванторы, то ко всем переменным подразу-
мевается квантор всеобщности.
Все вводимые термины при первом упоминании выделяют-
ся курсивом.
Комментарии внутри цепочки формул даются либо внутри
квадратных скобок, либо над символами отношений.
Если в теореме сформулировано несколько утверждений, то
номер доказываемого утверждения заключается в рамку. Раз-
личные этапы доказательства конкретного утверждения нуме-
руются без заключения номера в рамку.
Символом
обозначается окончание доказательства или
замечаний (когда это необходимо).
Запись A := B или B =: A означает, что A определяется
посредством B.
Для обозначения множеств натуральных, целых, рацио-
нальных, действительных и комплексных чисел используются
символы N, Z, Q, R и C соответственно.
Z+ := N ∪ {0}.
Символ P используется в качестве общего обозначения для
R и C.
P[x] — множество полиномов над полем P.
Если λ ∈ C, то Re λ и Im λ — вещественная и мнимая части
числа λ соответственно.
Если λ ∈ C, то λ — число, комплексно сопряженное к λ.
Запись A ⊂ B или B ⊃ A означает нестрогое включение,
т. е. равенство A = B не исключено.
f(x) — значение отображения (функции) f в точке x, а
f(·) — само отображение (функция) f, которое используется

5

для подчеркивания характера объекта, обозначенного симво-
лом f.
Если f : D(f) ⊂ X → Y , то Im f := f(D(f)).
f
A — сужение отображения f на A ⊂ D(f).
Часто у семейства множеств или элементов множества не
указывается множество индексов, например, вместо { eα }α∈A
и α∈A
Fα пишется { eα } и α
Fα соответственно.

δk,n – символ Кронекера.
||x|| — норма элемента x нормированного пространства.
(x, y) — скалярное произведение элементов евклидова про-
странства.
l2 — гильбертово пространство последовательностей.
l2,fin — евклидово пространство финитных последователь-
ностей со скалярным произведением из l2.
M[a; b], C[a; b], Ck[a; b], L2(a; b) и W k
2 (a; b) — нормированные
пространства функций (классов функций).
⟨{ eα }⟩ — линейная оболочка системы векторов { eα } в ли-
нейном пространстве. Вместо ⟨{ e1, . . . , en }⟩ часто пишется про-
сто ⟨e1, . . . , en⟩.
Под подпространством нормированного пространства пони-
мается замкнутое линейное многообразие.

M — замыкание множества M в нормированном простран-
стве.
I или IX — тождественное отображение множества X на
себя, т. е. Ix := x.
L(X, Y ) — нормированное пространство линейных непре-
рывных операторов, определенных на нормированном про-
странстве X со значениями в нормированном пространстве Y .
L(X) := L(X, X).
⟨x, x∗⟩ — значение линейного функционала x∗ на элемен-
те x, т. е. x∗(x).
xn → x0 — последовательность элементов { xn } нормиро-
ванного пространства сходится к элементу x0.

6

xn
сл
−→ x0 — последовательность элементов { xn } нормиро-
ванного пространства слабо сходится к элементу x0.
Ker A — ядро линейного оператора A.
ρ(A) — множество регулярных точек оператора A.
σ(A) — спектр линейного оператора A.
σd(A) — дискретный спектр линейного оператора A, т. е.
множество всех собственных чисел линейного оператора A.
An −→
M A0
—
последовательность
линейных
операторов

{ An } поточечно сходится к A0
на множестве M, т. е.
Anx → A0x для любого x из M.
An
⇒
A0 — последовательность линейных операторов
{ An } равномерно сходится к A0, т. е. ∥An − A0∥ → 0.
Математическая структура ⟨X, R⟩, где X — множество, а
R — набор различных отображений и отношений, часто обо-
значается одним символом X.
Множество, на котором определена математическая струк-
тура, часто обозначается так же, как и структура. Напри-
мер, обозначение нормированного пространства C[a; b] часто
используется для обозначения множества непрерывных на от-
резке [a; b] функций, на котором это нормированное простран-
ство определено.

1. Гильбертово пространство: сводка
результатов

В этой главе приводятся основные определения и факты
теории евклидовых и гильбертовых пространств (см., напри-
мер, [7,8]).

Определение. Пусть X — линейное пространство над по-
лем P. Отображение (·, ·) : X2 → P называется скалярным про-
изведением на X, если:
1. (x, x) ⩾ 0;
2. (x, x) = 0 ⇐⇒ x = 0;
3. (λx + μy, z) = λ(x, z) + μ(y, z) — линейность по первому
аргументу.
4. (x, y) = (y, x) — комплексное сопряжение.

Замечание. Если P = R, то скалярное произведение сим-
метрично и, следовательно, линейно и по второму аргументу.
Таким образом, в этом случае (·, ·) есть билинейное отображе-
ние. Если P = C, то (z, λx + μy) = λ(z, x) + μ(z, y). В этом
случае (·, ·) — полуторалинейное отображение.

Определение. Линейное пространство со скалярным про-
изведением называется евклидовым пространством.

Пример 1.1. (x, y) :=
ki=1
xiyi — скалярное произведение в

X := Pk; lk
2 :=⟨X, (·, ·)⟩.

Пример 1.2. (x(·), y(·)) :=
ba
x(t)y(t) dt — скалярное про-

изведение в линейном пространстве X непрерывных на [a; b]
функций со значениями в P; L2[a; b] :=⟨X, (·, ·)⟩.

8

Теорема 1.1 (неравенство Коши — Буняковского). Если
X — евклидово пространство, то

|(x, y)| ⩽
(x, x)
(y, y).
(1.1)

Следствие.
Если X
— евклидово пространство, то
||x|| :=
(x, x) — норма на X.

Утверждение 1.1. Пусть X — евклидово пространство,
X ∋ x ̸= 0 и X ∋ y ̸= 0. Тогда

|(x, y)| =
(x, x)
(y, y) ⇐⇒ ∃ P ∋ λ ̸= 0 : y = λx.

Следствие.
Пусть
X
—
евклидово
пространство,
X
∋
x
̸=
0 и X
∋
y
̸=
0. Следующие утверждения
эквивалентны:
1. (x, y) =
(x, x)
(y, y).
2. ||x + y|| = ||x|| + ||y||.
3. ∃ λ > 0 : y = λx.

Замечание. Евклидово пространство является нормиро-
ванным пространством относительно нормы, порожденной ска-
лярным произведением, и, следовательно, метрическим про-
странством относительно метрики, порожденной этой нормой.

Определение. Полное евклидово пространство называет-
ся гильбертовым пространством.

Определения. Пусть X — евклидово пространство.
1. x ⊥ y := (x, y) = 0.
2. X1 ⊥ X2 := ∀ x1 ∈ X1 ∀ x2 ∈ X2
x1 ⊥ x2.
3. Система векторов { eα } называется ортогональной, если

∀ α, β (α ̸= β =⇒ eα ⊥ eβ).

4. Система векторов { eα } называется ортонормированной,
если она ортогональна и нормирована (т. е. ∀ α ∥eα∥ = 1).

9

5. Система векторов { eα } называется тотальной, если

(∀ α x ⊥ eα) =⇒ x = 0.

6. Множество { x ∈ X : ∀ y ∈ M x ⊥ y } ортогональных
элементов к множеству M обозначается M⊥.
7. x ⊥ M := x ∈ M⊥.

Теорема 1.2 (теорема Пифагора). Пусть X — евклидово
пространство; x, y ∈ X. Если x ⊥ y, то ||x+y||2 = ||x||2+||y||2.

Замечания. 1. В вещественном евклидовом пространстве
справедлива теорема, обратная теореме Пифагора.
2. В комплексном евклидовом пространстве теорема, обрат-
ная теореме Пифагора, несправедлива. Например, в X = C
|1 + i|2 = 2 = |1|2 + |i|2, но (i, 1) = i ̸= 0.

Утверждение 1.2. Пусть X — евклидово пространство.
Тогда:
1. Если X ⊃ { xk }
m
1 ортогональна, то

m
k=1
xk
2
=
m
k=1
||xk||2.
(1.2)

2. Если X ⊃ { xk } ортогональна, то
∞
k=1
xk сходится
⇐⇒
∞
k=1
||xk||2 сходится
.
(1.3)

Утверждение 1.3. В
сепарабельном
евклидовом
про-
странстве всякая ортонормированная система векторов не
более чем счетна.

Утверждение 1.4. Если система ненулевых векторов в
евклидовом пространстве ортогональна, то она линейно неза-
висима.

10

Утверждение 1.5. Пусть X — евклидово пространство,
{ eα } ⊂ X, x ∈ X. Если ∀ α x ⊥ eα, то x ⊥ ⟨{ eα }⟩.

Следствия. Справедливы следующие утверждения:
1. Пусть X — евклидово пространство, M ⊂ X. Тогда
M⊥ — подпространство, т. е. замкнутое линейное многооб-
разие.
2. Если система векторов в евклидовом пространстве пол-
на, то она и тотальна.

Утверждение 1.6. Пусть H — гильбертово простран-
ство, H1, H2 — линейные многообразия в H, H1 ⊥ H2 и
H3 := H1 ⊕ H2. Тогда (H3 — подпространство) ⇐⇒
(H1 — подпространство) ∧ (H2 — подпространство)
.

Доказательство.
=⇒ . Пусть H1 ∋ xn → x0 ∈ H3 =⇒
существуют такие x ∈ H1 и y ∈ H2, что x0 = x + y =⇒
H1 ∋ (xn − x) → y ∈ H2 =⇒ 0 = (xn − x, y) → ∥y∥2 =⇒ y = 0 =⇒
x0 = x ∈ H1.

⇐= . Пусть H3 ∋ zn = xn + yn → z0, где xn ∈ H1 и yn ∈ H2.
Тогда {zn} фундаментальна. Но

∥zn−zm∥2 = ∥(xn−xm)+(yn−ym)∥2 (1.2)
= ∥xn−xm∥2+∥yn−ym∥2.

Поэтому {xn} и {yn} тоже фундаментальные последовательно-
сти. Тогда найдутся такие x0 ∈ H1 и y0 ∈ H2, что xn → x0 ∈ H1
и yn → y0 ∈ H2. Поэтому z0 = x0 + y0 ∈ H3.

Теорема 1.3 (теорема Шмидта об ортогонализации). Для
любой линейно независимой системы векторов { xn } в евкли-
довом пространстве X существует ортонормированная си-
стема векторов { en } такая, что

∀ n ∈ N ⟨x1, . . . , xn⟩ = ⟨e1, . . . , en⟩.

11