Очерки об устойчивости элементов конструкций

В.И. Ванько 
 
 
 
 
 
 
Очерки  
об устойчивости  
элементов конструкций 
 
 
 
2-е издание, исправленное 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

Предисловие 

УДК  533.693.4:533.6.011.34 
ББК  22.3 
         В17 
Рецензен ты : 

заместитель Директора института механики МГУ им. М.В. Ломоносова,  
лауреат Государственной премии РСФСР, профессор,  
д-р физ.-мат. наук А.М. Локощенко; 
заместитель Директора по научной работе института проблем  
машиностроения РАН, профессор кафедры теории упругости и пластичности 
Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского,  
д-р физ.-мат. наук В.И. Ерофеев; 
зав. кафедрой «Вычислительная математика и математическая физика»  
МГТУ им. Н.Э. Баумана, профессор, д-р физ.-мат. наук Ю.И. Димитриенко 

 
Ванько В.И. 
       В17 
 
Очерки об устойчивости элементов конструкций / 
В. И. Ванько. — 2-е изд., испр. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. — 223, [1]. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4127-3 

Книга написана на основе исследований, проведенных автором лично и в соавторстве; 
сюда вошли также некоторые материалы спецкурса, читаемого студентам старших курсов 
факультета «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Рассматриваются классические задачи о продольном изгибе упругопластического 
стержня; вводится понятие о корректности квазистатической постановки и выводится достаточное 
условие: постановка корректна, пока жесткость на изгиб наиболее нагружаемого 
изгибающим моментом поперечного сечения не станет меньше приложенной продольной 
силы (в безразмерных параметрах).  
На основе кинематической схемы, разработанной совместно с С.А. Шестериковым, 
изучаются большие перемещения (вплоть до полного сплющивания) точек срединной поверхности 
цилиндрических оболочек (бесконечно длинных и конечной длины) под действием 
внешнего гидростатического давления. Для всех рассматриваемых постановок выводятся 
приближенные (асимптотические) формулы. 
При изучении плоскопараллельных движений с тремя степенями свободы показано, 
что аэродинамическая неустойчивость есть неустойчивость по Ляпунову положений равновесия 
профиля. Полученное достаточное условие, так же как и классическое, инвариантно 
относительно механических свойств конструкции. Приводятся многочисленные приложения 
упомянутых исследований. 
Книга будет полезной студентам и специалистам, занимающимся математическим моделированием 
поведения конструкций. 
 
УДК  533.693.4:533.6.011.34 
ББК   22.3 
 
                                                                               Ванько В.И., 2014 
                                                                               Ванько В.И., 2015, с изменениями 
                                                                               Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4127-3                                         МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 

Предисловие 
3 

Памяти Учителей — 
Юрия Николаевича Работнова 
и Сергея Александровича Шестерикова — 
посвящается 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Предлагаемая книга не претендует на полное изложение задач 
об устойчивости элементов конструкций. Многообразие постановок 
и методов решения обсуждаемых проблем читатель найдет в известных 
трудах С.П. Тимошенко, А.С. Вольмира и других ученых. 
Сразу оговоримся: в главах первой-пятой, рассматривая поведение 
совершенных элементов (стержень либо кольцо), ставим 
задачу о нахождении бифуркационной нагрузки; изучая поведение 
несовершенных элементов, говорим о несущей способности и находим 
нагрузки или время, когда несущая способность считается 
исчерпанной. В обоих упомянутых случаях в литературе принято 
говорить об устойчивости. В классическом же смысле (по Ляпуно-
ву) речь о ней идет в заключительной, шестой главе. 
В конце книги приводится полный список использованной ли-
тературы, где авторы цитированных работ следуют в алфавитном 
порядке. 
Первая глава вводит читателя в круг обсуждаемых вопросов. 
По мнению автора, квазистатические задачи об устойчивости есть 
развитие идеи Эйлера о бифуркации форм равновесия упругого 
стержня под действием продольной силы: найденная Эйлером 
«сила колонны» 
2
2
эP
EI L
 
 является критической не только  
в смысле бифуркации, но и при действии нагрузки на несовершен-
ную конструкцию, так как прогиб стремительно растет при 

э
P
P

. 
Развивается вариационный подход к решению задач о бифур-
кации при продольном изгибе для различных условий закрепления 
концевых сечений: на основе принципа минимума потенциальной 
энергии консервативной системы выводятся уравнение равновесия 
и, как следствие равенства нулю первой вариации функционала, — 
естественные краевые условия; критические нагрузки находятся 
как собственные значения задачи Штурма — Лиувилля. 

Предисловие 

Во второй главе в более широком аспекте (по сравнению с тра-
диционным изложением в курсах уравнений математической фи-
зики) приводятся классические результаты постановок и решений 
задач на собственные значения. Основные понятия здесь — само-
сопряженные операторы, самосопряженные обыкновенные диф-
ференциальные уравнения (ОДУ) и их связь с вариационными по-
становками. С самосопряженностью оператора задачи связана  
и корректность постановки Эйлера. Подробно разбирается пример 
приложения метода Ритца к поиску критической силы в задаче  
о продольном изгибе. 
Третья глава занимает центральное положение в книге. Здесь 
вводится понятие о корректности квазистатической постановки  
и подробно изучаются поведение упруго-пластической модели 
Шэнли при различных видах нагружения, а также особенности 
процесса при постоянной силе в условиях ползучести. Показано, 
что процесс выпучивания под действием касательно-модульной 
нагрузки (материал стержня — линейно упрочняющийся) неус-
тойчив в том смысле, что малые возмущения приложенной силы 
существенно изменяют характер кривой «прогиб—время». 
Подробно излагается процедура решения задачи о продольном 
изгибе стержня сплошного сечения. Выведено условие корректно-
сти квазистатической постановки: постановка корректна (т. е. по-
ложительным приращениям нагрузки или времени соответствуют 
положительные приращения прогиба), пока приложенная сила не 
превышает жесткость на изгиб наиболее нагруженного изгибаю-
щим моментом поперечного сечения (все основные величины без-
размерны): I
P

. В качестве примера подробно описан процесс 
продольного изгиба стержня возрастающей силой и построены 
картины развития упруго-пластических зон в стержне, а также 
приведена диаграмма «жесткость на изгиб — действующая сила». 
Отмечается, что все классические качественные результаты по 
упруго-пластическому продольному изгибу (линейное упрочне-
ние) получены при условии 
т
σ
σ
t 
 (σt  — касательно-модульное 
критическое напряжение, 
т
σ  — предел пропорциональности). 
Далее условие I
P

 как условие корректности подтверждает-
ся на примерах решения задачи о продольном изгибе стержней из 
материалов с любой диаграммой σ
ε

 и при любых законах пол-
зучести. Подчеркивается, что обсуждаемое условие есть, по сути, 

Предисловие 
5 

развитие концепции Хоффа — Веубеке: вследствие роста дефор-
маций в точках стержня жесткость срединного сечения падает  
и в некоторый момент приложенная нагрузка становится критиче-
ской эйлеровой силой. 
Четвертая и пятая главы посвящены исследованию процесса 
деформирования круглоцилиндрических оболочек внешним гид-
ростатическим давлением. Используется гипотеза о форме попе-
речного сечения оболочки: оно имеет слегка овальную форму, яв-
ляясь сопряжением двух окружностей радиусов 
b
R  и 
a
R  


b
a
R
R

. Рассматривается часть сечения, расположенная в пер-

вой четверти системы декартовых координат; радиус 
b
R  возраста-
ет в процессе деформирования, а 
a
R  — убывает. Записываем урав-
нения равновесия отдельно для каждой дуги, причем за точку со-
пряжения дуг окружностей выбираем точку, в которой внутренний 
изгибающий момент в плоскости сечения равен нулю. Такая точка 
в силу принятой схемы поведения радиусов 
b
R  и 
a
R  заведомо су-
ществует. 
Выбранная кинематическая схема позволяет сделать задачу 
статически определимой и свести дело к решению двух нелиней-
ных ОДУ первого порядка относительно двух упомянутых радиу-
сов. 
В четвертой главе рассматривается бесконечно длинная обо-
лочка (кольцо) при различных предположениях относительно 
свойств материала оболочки (упругий и нелинейно вязкий). Ана-
лиз результатов численного решения системы уравнений равнове-
сия позволил сделать вывод о том, что бόльшая часть процесса 
сплющивания оболочки (по нагрузке или по времени) протекает  
в пределах малых (по сравнению с радиусами) перемещений точек 
срединной поверхности. Поэтому обоснованно выводятся асим-
птотические формулы, вполне адекватные, особенно в случае не-
линейной упругости материала. 
В пятой главе при некоторых дополнительных предположени-
ях удается разработанную выше кинематическую схему прило-
жить к процессу сплющивания цилиндрических оболочек конеч-
ной длины. Приводятся постановки и решения задач для оболочек 
из физически линейных материалов. 
Даны оценки влияния параметров толщины и длины оболочки 
(отношение толщины оболочки к среднему радиусу и отношение 

Предисловие 

длины оболочки к среднему радиусу) на процесс сплющивания 
оболочки конечной длины. Так, например, показано, что при па-
раметре длины, большем 10, можно пренебречь влиянием конце-
вых закреплений и считать оболочку бесконечно длинной. 
Оказалось, что для линейно упругих оболочек конечной длины 
критическое по Эйлеру давление 
э
Q , вычисленное для бесконечно 
длинной оболочки, является критическим и для оболочки конечной 
длины: при 
э
Q
Q

 происходит нарушение корректности квазиста-
тической постановки, так как при малом (по сравнению со средним 
радиусом) прогибе скорости роста радиуса 
b
R  (убывания радиуса 

a
R ) стремятся к бесконечно большим по модулю значениям. 
В конце пятой главы описан алгоритм получения уравнений 
равновесия для оболочек конечной длины, выполненных из физи-
чески нелинейных материалов. 
Шестая глава посвящена исследованию неустойчивости (ус-
тойчивости) по Ляпунову положений равновесия аэродинамиче-
ских профилей и систем круговых профилей в воздушном потоке. 
В экспериментах по продувке упругих конструкций в аэроди-
намической (а/д) трубе было замечено, что для любых профилей 
существует интервал углов атаки, где амплитуда колебаний центра 
масс профиля резко возрастает, а затем так же резко падает. Ана-
логичные большие колебания наблюдались и на высоковольтных 
линиях электропередачи (ЛЭП) — так называемая пляска или га-
лопирование проводов. Это явление связывают со срывом потока  
с профиля и считают проявлением аэродинамической неустойчи-
вости (потерей а/д демпфирования). В литературе было известно 
необходимое условие а/д неустойчивости Глауэрта — Ден-Гартога 
для движений профиля с одной степенью свободы — авторотация 
и пляска. 
Выведено достаточное условие неустойчивости по Ляпунову 
положений равновесия профиля с тремя степенями свободы, так 
же как и классическое условие, инвариантное относительно меха-
нических свойств конструкции. Доказано, что а/д неустойчивость 
есть неустойчивость по Ляпунову. В результате обработки обшир-
ного экспериментального материала показано, что оба условия 
одинаково адекватны. 
При обсуждении вопросов проектирования так называемых 
расщепленных токопроводящих фаз ЛЭП была сформулирована 

Предисловие 
7 

гипотеза аддитивности а/д характеристик конструкции, состоящей 
из нескольких круговых профилей. Адекватность гипотезы прове-
рена на поставленном эксперименте в а/д трубе ЦАГИ им. Н.Е. Жу-
ковского. 
Обработка экспериментальных данных для систем круговых 
профилей (расщепленные фазы) позволила выработать некоторые 
рекомендации по проектированию конструкции расщепленной фа-
зы, что подтверждается практикой строительства ЛЭП. 
В параграфах 6.5 и 6.6, которые написаны доцентом И.К. Мар-
чевским, выводятся достаточные по Ляпунову условия устойчиво-
сти для профилей с одной, двумя и тремя степенями свободы  
(в плоскопараллельном движении).  Сформулированы основные 
принципы построения численно-аналитического метода исследо-
вания устойчивости равновесия профилей в воздушном потоке  
и приведены примеры решения задач аэроупругости как приложе-
ния этого метода. 
 
Выражаю признательность профессору Ю.М. Темису, выска-
завшему ряд ценных замечаний, и доценту А.В. Котовичу за по-
мощь при подготовке рукописи к печати. 

Глава 1 
КОНЦЕПЦИЯ ЭЙЛЕРА 

1.1. Постановка задачи о продольном изгибе  
упругого стержня 

В 1742 г. в письме от 22 октября Даниил Бернулли сообщает  
Л. Эйлеру, что задача об изгибе упругого стержня может быть ре-
шена методом максимумов и минимумов: «…среди кривых посто-
янной длины, которые проходят через две фиксированные точки 
…, определить ту, для которой 

 
2

0
κ
min

l
ds 

». 
(1.1) 

Это была первая в истории теории упругости постановка ва-
риационной задачи [35, 126]. Действительно, κ  — приращение 
кривизны упругой оси изгибаемого стержня, длина которого l; 

функционал (1.1) с точностью до множителя 1

2 EI  — потенциаль-

ная энергия изогнутого стержня, 
κ
EI  — по формуле Бернулли 
[41] есть внутренний момент сопротивления поперечного сечения 
стержня изгибу (Е — модуль Юнга, Н/м2; I — момент инерции се-
чения относительно его нейтральной линии, м4); 

2
1/ 2
κ
EI
ds  — 
потенциальная энергия элемента ds. Поэтому требование мини-
мальности функционала (1.1) — выражение минимума потенци-
альной энергии упругого стержня. 
Рассмотрим постановку задачи о продольном изгибе упругого 
стержня, длиной l, постоянного поперечного сечения: I  const, 
рис. 1.1. 

1.1. Постановка задачи о продольном изгибе упругого стержня 
9 

 

 

Рис. 1.1 

Вычислим потенциальную энергию системы «стержень — 
внешняя сила», пренебрегая деформациями сжатия оси. Считаем, 
что прогибы у(х) малы, κ  у. 
Потенциальная энергия элемента ds (в силу гипотезы Бернулли 

и теоремы Клапейрона [68]) равна 
2
1

2 EI
ds

, поэтому энергия все-

го стержня 

 
2
1

0

1

2
κ
.

l

EI
ds
  
 

Внешняя сила перемещает подвижный конец стержня на вели-
чину  (рис. 1.1): 

 




2

0
0

2
2

0
0

2
2

0
0

1
1

2
2

1
sin

1
tg
1

1
.

l
l

l
l

l
l

l
L
l
ds
l
ds

l
ds
l
y ds

l
y
ds
y dx
dx
ds

  
 

 





 


 







 

















cos

 

Поэтому действующая сила совершит работу 

 
 
2

0

1

2
.

l
A P
P
Py dx


  



 

Потенциальная энергия внешней силы 

 
2
2
0

1

2
.

l
Py dx

  
 

Глава 1. Концепция Эйлера 

 

В силу принципа минимума потенциальной энергии консерва-
тивной системы ставим вариационную задачу: 

 
2
2
1
2

0

1
1

2
2
[ ]
min.

l
J y
EIy
Py
dx




   







 
(1.2) 

В силу теоремы о необходимом условии экстремума функцио-
нала [29] имеем 

 




1
2
0
[ ,
]
0.

l
J y
y
EIy
y
Py y
dx






   






 

Техника получения из условия J = 0 уравнения равновесия  
и естественных краевых условий состоит в следующем. Интегри-
рованием по частям добиваемся, чтобы под интегралом осталось 
некоторое выражение, умноженное на вариацию у. Приравняв 
множитель при у к нулю, имеем уравнение равновесия. Внеинте-
гральные слагаемые с учетом кинематических краевых условий 
(предварительных), определяемых постановкой задачи, образуют 
естественные краевые условия. 
Итак (после процедуры интегрирования): 

 




IV
1
0

0
0
0

[ ,
]

              
0.

l

l
l
l

J y
y
EIy
Py
ydx

EIy
y
EIy
y
Py
y





   


















 
(1.3) 

Для обращения вариации функционала в нуль достаточно 
интеграл и внеинтегральные слагаемые приравнять к нулю. Из 
равенства интеграла нулю при произвольных непрерывных вариациях 
 

y x

 в силу леммы Лагранжа получим уравнение равновесия 

 

IV
0.
EIy
Py


 
(1.4) 

Тогда необходимое условие экстремума примет вид 

 




0
0
0

0
0

[ ,
]
0,

0.

l
l
l

l
l

J y
y
EIy
y
EIy
y
Py
y

J
EIy
y
EIy
Py
y


























 
(1.5) 

Постановку задач для различных случаев закрепления концов 
стержня проиллюстрируем примерами.