Математическое моделирование тепловых и газодинамических процессов при проектировании летательных аппаратов

УДК 517.958:629.73 
ББК 39.52 
    М 34  
 
   Авторы: А.В. Братчев, Е.Г. Ватолина, В.В. Горский,  
Д.А. Забарко, В.В. Коваленко, В.П. Котенев,  
Ю.А. Полежаев, В.И. Сахаров 

Рецензент д-р физ.-мат. наук А.Ф. Колесников (ИПМех РАН) 
 
Математическое моделирование тепловых и газодина-
мических процессов при проектировании летательных аппа-
ратов / В. В. Горский, Е. В. Ватолина, А. В. Братчев и др. ;  
под ред. В. В. Горского. М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2011. – 212, [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-3541-8 

Рассмотрены вопросы, связанные с повышением качества 
проектирования летательных аппаратов за счет использования 
крупных программных комплексов, предназначенных для реше-
ния широкого круга проектных задач в строгой взаимно сопря-
женной постановке, и численных решений уравнений Эйлера и 
Навье – Стокса для случая обтекания  газом тел сложной формы. 
Особое внимание уделено технологии создания крупных про-
граммных комплексов, численным методам решения сложных фи-
зико-математических задач, качеству описания эксперименталь-
ных данных при использовании конкретных программ для реше-
ния уравнений Эйлера и Навье – Стокса. 
Для студентов старших курсов, аспирантов и научных работ-
ников, связанных с решением различных задач газовой динамики, 
конвективного теплообмена, тепловой защиты и проектирования 
летательных аппаратов и других высокоэнергетических уст-
ройств. 
УДК 517.958:629.73  
                                                                                 ББК 39.52 
 
 
 
 
 
 
 
ISBN 978-5-7038-3541-8                                           Оформление. Издательство  
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011  

М34 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие ............................................................................................... 
5 
Введение ..................................................................................................... 
6 
Глава 1. Методика комплексного взаимно сопряженного расчета  
параметров движения, нагрева и обгара осесимметричных лета- 
тельных аппаратов в плотных слоях атмосферы Земли..................  11 
1.1. Общие сведения............................................................................ 11 
1.2. Методология построения крупных программных комп- 
       лексов ............................................................................................ 14 
1.3. Методика комплексного расчета параметров конвектив- 
       ного теплообмена и изменения формы тела .............................. 19 
1.4. Пример прикладного расчета...................................................... 31 
Глава 2. Автоматизированный универсальный крупный програм-
мный комплекс для исследования газовой динамики, конвектив-
ного и кондуктивного теплообмена в процессе проектирования  
современных летательных аппаратов ................................................. 32 
2.1. Общие сведения............................................................................ 32 
2.2. Структура крупного программного комплекса  
          PACKET6 ................................................................................... 33 
2.3. Пакет прикладных программ для газодинамического  
       расчета летательных аппаратов произвольной формы ............. 38 
2.4. Пакет прикладных программ для расчета параметров  
       конвективного теплообмена на летательных аппаратах  
       произвольной формы ................................................................... 39 
2.5. Пакет прикладных программ для расчета параметров  
       кондуктивного теплообмена в совокупности конструк- 
       ционных пакетов .......................................................................... 40 
2.6. Пакет прикладных программ для расчета параметров газа,  
       необходимых для проведения газодинамических и тепловых  
       расчетов......................................................................................... 55 
2.7. Библиотека программ решения стандартных задач при- 
       кладной математики..................................................................... 58 
2.8. Программа формирования обводов локального тела................ 59 
Глава 3. Методика проектного обобщенного газодинамического  
расчета параметров газа над поверхностью летательных аппа-        
ратов произвольной формы................................................................... 60 
3.1. Общие сведения............................................................................ 60 
3.2. Физическая постановка задачи ................................................... 61 
3.3. Метод расчета, основанный на использовании газодинамичес- 
       ких универсальных баз данных................................................... 64

Оглавление 

 
4 

3.4. Метод газодинамического расчета, основанный на использо-  
       вании газодинамических специализированных баз данных..... 75 
3.5. Газодинамический расчет затупленной поверхности лета- 
       тельных аппаратов с использованием аппроксимационных  
       формул........................................................................................... 76  
3.6. Газодинамический расчет острого тела ..................................... 81 
3.7. Газодинамический расчет по методу Ньютона ......................... 88 
3.8. Газодинамический расчет по методу Прандтля – Майера ....... 91 
Глава 4. Методика расчета параметров конвективного теплообме- 
на на поверхности летательных аппаратов произвольной формы  93 
4.1. Расчет среднемассовых параметров невязкого течения  
       газа в пограничном слое .............................................................. 93 
4.2. Методика определения месторасположения переходной  
       области на поверхности летательных аппаратов....................... 99 
4.3. Апробация методики расчета параметров конвективного  
       теплообмена.................................................................................. 101 
Глава 5. Современный инструментарий решения задач обтекания  
тел сложной  формы сверхзвуковым потоком газа в рамках  
уравнений Эйлера.................................................................................... 106 
5.1. Общие сведения............................................................................ 106 
5.2. Физико-математическая постановка задачи .............................. 109 
5.3. Система криволинейных координат........................................... 112 
5.4. Конечно-разностный метод решения задачи............................. 124 
5.5. Специальные алгоритмы, применяемые в областях раз- 
       рывов решения.............................................................................. 136 
5.6. Особенности физико-математической постановки задачи,   
       связанные с использованием свойств газа в состоянии  
       термохимического равновесия.................................................... 158 
5.7. Методика газодинамического расчета параметров газа  
       на затупленной части тела........................................................... 161 
5.8. Апробация программного комплекса......................................... 168 
Глава 6. Современный инструментарий решения газодинамических  
и тепловых задач при обтекании тел сложной формы в рамках  
уравнений Навье – Стокса ..................................................................... 170 
6.1. Общие сведения............................................................................ 170 
6.2. Проблемно-ориентированный интегрированный програм-     
       ный комплекс................................................................................ 172 
6.3. Физико-математическая постановка задачи и метод ее  
       решения......................................................................................... 174 
6.4. Термодинамические свойства газовой смеси ............................ 178 
6.5. Граничные условия ...................................................................... 179 
6.6. Химическая и транспортная модели газовой среды.................. 180 
6.7. Апробация программного комплекса......................................... 182 
6.8. Применение программного комплекса для решения задач  
       с учетом турбулентности............................................................. 192 
6.9. Транспортная модель турбулентности....................................... 194 
Литература.................................................................................................. 205 

Предисловие 

Монография посвящена изложению ряда эффективных подходов 
к организации процесса газодинамического и теплового проектирования 
современных летательных аппаратов. Подробно рассмотрены 
вопросы, связанные с комплексированием проектных 
расчетов, основанных на использовании крупных программных 
комплексов, в рамках которых во взаимно сопряженной постановке 
рассматривается целая совокупность газодинамических и тепловых 
задач, а также ряд смежных вопросов. 
Монография может быть полезна специалистам, занимающимся 
решением газодинамических и тепловых проблем при проектировании 
изделий ракетно-космической техники и других высокоэнергетических 
устройств, а также студентам старших курсов и 
аспирантам. 
Введение и глава 1 написаны профессором, доктором технических 
наук В.В. Горским, главы 2, 3, 4 – кандидатом технических 
наук Е.Г. Ватолиной и профессором, доктором технических наук 
В.В. Горским, глава 5 – А.В. Братчевым, кандидатом физико-
математических наук В.В. Коваленко и доцентом, доктором тех-
нических наук В.П. Котеневым, глава 6 – кандидатом физико-
математических наук Д.А. Забарко, Ю.А. Полежаевым и кандида-
том физико-математических наук B.И. Сахаровым. 
Авторы выражают искреннюю благодарность редактору изда-
тельства МГТУ им. Н.Э. Баумана А.С. Водчиц, внесшей значи-
тельный вклад в создание этой книги. 
Подготовка материалов, включенных в данную книгу, и ее из-
дание выполнены при финансовой поддержке Российского фонда 
фундаментальных исследований (проект № 10–01–00841а) и кон-
тракта П 608 от 06.08.09 ФЦП «Научные и педагогические кадры 
инновационной России» на 2009–2013 годы. 
 
 
 
 

 

Введение 

Аэрогазодинамическое и тепловое проектирование относятся к 
числу наиболее важных и трудоемких элементов процесса проек-
тирования современных летательных аппаратов (ЛА). Серьезная 
конкуренция на рынке высоких технологий, существующая в на-
стоящее время, выдвигает на первое место техническое совершен-
ство ЛА, которое в значительной степени определяется минимиза-
цией запасов прочности в их конструкции по ее силовым и тепло-
вым нагрузкам, действующим от набегающего потока газа. 
Обязательный этап этих элементов проектирования ЛА – про-
ведение продувок их геометрически подобных моделей в аэроди-
намических трубах, апробация полученных при этом эксперимен-
тальных данных и соответствующих расчетно-теоретических ме-
тодов, формирование с использованием последних силовых и теп-
ловых нагрузок, действующих на изделие в натурных условиях. 
Теплопрочностной расчет конструкции и расчет ее темпера-
турного состояния также сопряжены со значительной трудоемко-
стью и с большим объемом используемой при этом информации о 
силовых и тепловых нагрузках этой конструкции, а результаты 
указанных расчетов в значительной степени сказываются на огра-
ничениях, налагаемых на выбор линии движения ЛА. Таким обра-
зом, весь комплекс проблем, связанных с выбором линии движения 
ЛА, с расчетом его силовых и тепловых нагрузок, теплопрочности и 
температурного состояния конструкции необходимо решать во вза-
имно сопряженной постановке, что связано с необходимостью мно-
гократного решения перечисленных расчетов. 
Вследствие изложенного выше повышение качества аэрогазо-
динамического и теплового проектирования современных ЛА тре-
бует первоочередного решения следующих двух проблем. 
Во-первых, необходимо разработать универсальные программ-
ные комплексы, позволяющие оперативно проводить совокупность 
исследований, связанных с нагружением конструкции ЛА набе-
гающим потоком газа. При этом в рамках таких комплексов долж-
ны решаться не только задачи обтекания поверхности ЛА набе-

Введение 

 
7 

гающим потоком газа, но и смежные проблемы, под которыми 
здесь понимаются вопросы, связанные с теплопрочностью конст-
рукции ЛА и распространением теплоты по его конструкции. Как 
уже было отмечено выше, от ответов на эти вопросы зависит ответ 
на вопрос о работоспособности конструкции ЛА в рассматривае-
мых условиях его эксплуатации. 
Во-вторых, оперативность проведения проектных расчетов 
обычно противоречит требованиям обеспечения необходимой точ-
ности исследований. 
Решению этой проблемы (далее – комплексирование проект-
ных расчетов) в данной монографии уделяется много внимания. 
Однако приоритет отдается созданию программных комплексов, 
которые на различных этапах проектирования предоставляют 
пользователю возможность проводить соответствующие исследования 
с различной точностью. 
Наиболее качественные расчетно-теоретические данные по силовым 
и тепловым нагрузкам конструкции ЛА могут быть получены 
путем расчета их обтекания высокоскоростным потоком газа в 
рамках уравнений Эйлера и Навье – Стокса. Однако высокая трудоемкость 
получения расчетных данных путем решения этих 
уравнений не позволяет напрямую использовать такой подход в 
процессе проектирования. Поэтому наиболее рациональным выходом 
из указанной ситуации является переход к проведению систематических 
расчетных исследований для проектируемого ЛА в 
рамках уравнений Эйлера и Навье – Стокса и формирование на их 
основе соответствующих баз данных.  
В ОАО «ВПК «НПО машиностроения», одной из ведущих ракетно-
космических корпораций России, применяются программные 
комплексы для невязких расчетов в рамках уравнений Эйлера [23] и 
для вязких расчетов в рамках уравнений Навье – Стокса [62]. Эти 
комплексы характеризуются возможностью проведения расчетов 
параметров тел достаточно сложной формы и высокой точностью 
получаемых результатов (о чем свидетельствует удовлетворительное 
соответствие расчетных и экспериментальных данных). Кроме того, 
перечисленные программные комплексы позволяют исследовать не 
только совершенный газ, но и физико-химические превращения, 
протекающие в воздухе в высокотемпературном ударном слое. Так, 
уравнения Эйлера могут решаться в предположении, что воздух находится 
в состоянии термохимического равновесия, а решение уравнений 
Навье – Стокса может проводиться с учетом реальных параметров 
воздуха, соответствующих конечным скоростям протекания 

Введение 

 8 

химических реакций и многокомпонентной диффузии компонентов 
газовой смеси в ударном слое. 
Опыт применения перечисленных программных комплексов, накопленный 
в ОАО «ВПК «НПО машиностроения» в процессе проектирования 
ЛА сложной геометрической формы, позволяет обеспечить 
приемлемую с точки зрения практики оперативность создания 
специализированных газодинамических и теплообменных баз данных, 
необходимых для качественных проектных расчетов. 
Отдельного упоминания также заслуживает частная задача выполнения 
проектных расчетов параметров тел простой формы (затупленных 
тел вращения), летящих в плотных слоях атмосферы 
под нулевым углом атаки с большой сверхзвуковой скоростью. 
Характерная особенность этой задачи – изменение формы тела в 
процессе полета вследствие уноса массы теплозащитных материалов, 
предохраняющих внутренний объем изделия от перегрева и 
разрушения. В свою очередь, указанное изменение формы тела 
может привести к заметной вариации основных параметров тела: 
баллистических, газодинамических, тепловых, абляционных, аэродинамических 
и инерционно-массовых. 
В соответствии с изложенным необходимо решать указанные 
проектные задачи в строгой взаимно сопряженной постановке, что 
возможно только в рамках единого программного комплекса. В то 
же время простота геометрической формы тел открывает возможность 
получения решения данной комплексной задачи путем  
последовательного решения входящих в ее состав тематических 
задач в строгой теоретической постановке на каждом шаге интегрирования 
по временной координате. При этом автоматически решается 
вопрос учета взаимной сопряженности отдельных тематических 
задач. 
Вопросам, связанным с решением последней задачи, и посвящена 
глава 1 данной монографии. В ней изложены основные подходы 
к созданию крупных программных комплексов, предназначенных 
для решения таких задач; вопросы, связанные с технологией 
построения комплексов; физико-математические подходы к 
решению отдельных тематических задач. Проиллюстрировано 
применение созданного программного комплекса для проведения 
прикладного проектного расчета. 
Следует отметить, что создание такого программного комплекса 
необходимо не только для проведения комплексных проектных расчетов, 
но и для апробации теоретических моделей абляции теплозащитных 
материалов. Последнему аспекту использования указанного 

Введение 

 
9 

программного комплекса посвящена недавно вышедшая монография 
[12] одного из авторов данной работы. Глава 4 работы [12] послужила 
основой для написания главы 1 настоящей монографии. 
В главе 2 рассмотрен автоматизированный универсальный программный 
комплекс, предназначенный для исследования газовой 
динамики, конвективного и кондуктивного теплообмена в процес-
се проектирования современных ЛА. Изложены основные принципы 
построения этого комплекса, структура входящих в него пакетов 
прикладных программ и физико-математическая постановка 
задачи кондуктивного теплообмена в конструкции изделия, учитывающая 
разложение (пиролиз) и абляцию теплозащитных материалов. 
Значительное внимание уделено проблеме сервисного 
отображения результатов проведенного исследования в форме, 
пригодной для помещения их в отчетные документы. Приведены 
результаты расчетов, иллюстрирующие возможности применения 
описанных подходов к решению прикладных задач. 
Пакеты прикладных программ, входящие в автоматизированный 
универсальный программный комплекс и предназначенные 
для решения задач газовой динамики и конвективного теплообмена, 
описаны в главах 3 и 4. В рамках этого программного комплекса 
допускается проведение исследований как с использованием 
приближенных подходов к решению указанных задач, так и применение 
специализированных газодинамических и тепловых баз 
данных, составленных по результатам углубленных расчетно-
теоретических и экспериментальных исследований, которыми обладает 
пользователь. Такая структура построения рассматриваемых 
пакетов прикладных программ предопределяет возможность 
использования программного комплекса, в который они входят, на 
различных этапах проектирования ЛА. В главе 3 особое внимание 
уделено точности используемых в пакете приближенных методов 
расчета, а в главе 4 представлены результаты сопоставления полученных 
в данном пакете значений параметров конвективного теплообмена 
с аналогичными экспериментальными и расчетно-
теоретическими данными других работ. 
В главе 5 описана физико-математическая постановка задачи обтекания 
тел сложной геометрической формы сверхзвуковым плоскопараллельным 
потоком воздуха в рамках уравнений Эйлера [23]. 
Программа, созданная в соответствии с этой постановкой задачи, 
предназначена для получения исходных данных, необходимых при 
составлении специализированных газодинамических баз данных, 
которые, в частности, применяются в пакете прикладных программ, 

Введение 

 10

описанном в главе 3. Дан пример сопоставления расчетных данных, 
полученных с использованием этой программы [23], с результатами 
экспериментальных исследований. 
Постановка задачи о течении высокотемпературной многоком-
понентной вязкой теплопроводной химически неравновесной газо-
вой смеси в рамках трехмерных уравнений Навье – Стокса рас-
смотрена в главе 6. Составленная в соответствии с этой постанов-
кой задачи программа расчета [62] предназначена для определения 
тепловых и силовых нагрузок, действующих на поверхность ЛА 
сложной геометрической формы, обтекаемого сверхзвуковым по-
током воздуха при ламинарном и турбулентном режимах течения 
газа в ударном слое; для получения исходных данных, необходи-
мых при составлении баз данных параметров теплообмена. Приве-
дены примеры сопоставления расчетных данных, полученных с 
использованием программ [62], с результатами эксперименталь-
ных исследований. 
В заключение отметим, что материалы исследований, поме-
щенные в данную монографию, получены в результате многолет-
ней работы авторского коллектива в ОАО «ВПК «НПО машино-
строения». 
 
 

 

Глава 1 

Методика комплексного взаимно сопряженного 
расчета параметров движения, нагрева  
и обгара осесимметричных летательных 
аппаратов в плотных слоях атмосферы Земли 

Глава посвящена вопросам, связанным с решением всей сово-
купности проектных расчетов в строгой взаимно сопряжен-
ной постановке. Изложены основные подходы к созданию 
крупных программных комплексов, предназначенных для про-
ектных расчетов; вопросы, связанные с технологией форми-
рования таких комплексов; физико-математические подходы 
к решению отдельных тематических задач. 

1.1. Общие сведения 

В настоящее время процесс проектирования летательных аппа-
ратов (ЛА) характеризуется необходимостью проведения большо-
го числа проектных расчетов и повышенными требованиями, 
предъявляемыми к качеству последних. Техническое совершенст-
во современных ЛА в значительной степени зависит от глубины их 
расчетно-теоретической проработки и использования в процессе 
проектирования оптимизационных методов. Все это предъявляет 
повышенные требования как к организации процесса проведения 
проектных расчетов, так и к повышению их качества. 
К характерным особенностям проведения проектных расчетов, 
сопутствующих созданию ЛА, относятся широкая номенклатура, 
сложность и взаимная сопряженность отдельных тематических 
расчетов. 
Под взаимной сопряженностью отдельных расчетов понимается 
невозможность их выстраивания в единую последовательность 
так, чтобы каждый текущий расчет не зависел от результатов последующих 
расчетов. 

Глава 1. Методика комплексного расчета параметров ЛА 

 

 
12

Классический пример взаимной 
сопряженности отдельных 
расчетов – проблема расчета 
параметров движения ЛА 
в плотных слоях атмосферы 
Земли, характеризуемого значительным 
изменением формы 
ЛА за счет обгара тепловой 
защиты (рис. 1.1).  
Аналогичным образом обстоит 
дело при наземных испытаниях 
тепловой защиты, при 
которых наблюдается заметное 
изменение формы модели ЛА. 
Фрагмент блок-схемы проведения 
проектных расчетов в 
рассматриваемом случае приведен 
на рис. 1.2. Из рис. 1.2 ясно, что здесь имеют место два контура 
взаимной сопряженности отдельных тематических расчетов. 
Внутренний контур охватывает два вида расчетов: расчет параметров 
конвективного теплообмена в пограничном слое и расчет изменения 
формы ЛА вследствие уноса массы теплозащитных материа-
лов. Коэффициент теплообмена на затупленной части ЛА в значительной 
степени зависит от вида мгновенной обгарной формы ЛА. 
Вследствие этого невозможно сначала определить параметры теплообмена 
для всей траектории полета на поверхности исходной формы 
ЛА, а также соответствующие им параметры уноса массы теплозащитных 
материалов и изменение формы ЛА. Кроме того, взаимное 
влияние друг на друга процессов конвективного теплообмена и изменения 
формы ЛА вследствие уноса массы его теплозащитных материалов 
зачастую оказывается столь значительным, что даже при 
учете взаимной сопряженности этих расчетов недопустимо использовать 
явную расчетную схему, в рамках которой определяют распределение 
тепловой нагрузки по поверхности ЛА, соответствующей 
текущему моменту времени   и рассчитывают изменение формы 
этой поверхности к моменту времени 
.
    
Использование такой расчетной схемы обычно приводит к раскачке 
вычислительного процесса при любом сколь угодно малом 
шаге интегрирования 
.
  В результате необходимо перейти к неявным 
итерационным схемам, когда на одном и том же шаге ин-

Рис. 1.1. Схема изменения формы 
ЛА, летящего в плотных слоях атмо-
                    сферы Земли:  
1 – исходная форма ЛА; 2 – мгновенная 
обгарная форма ЛА; 3 – ударная волна;
4 – пограничный слой (часть ударного 
слоя, в которой можно ограничиться учетом 
вязкости, теплопроводности и диффузии); 
5 – ударный слой (область течения, 
расположенная между ударной вол-
       ной и внешней поверхностью ЛА)