Прочность, жесткость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций

Оглавление 
————————————————————————————— 
УДК 620 (075.8) 
ББК 38.112 
 К89 
 
Р е ц е н з е н т ы: 

кафедра «Двигатели летательных аппаратов» Московского 
государственного технического университета гражданской авиации 
(зав. кафедрой д-р техн. наук, проф. В.В. Никонов); 
чл.-кор. РАН Н.А. Махутов 
 
Кузьмин М. А. 
К89  
Прочность, жесткость, устойчивость элементов кон-
струкций. Теория и практикум. Расчеты на прочность эле-
ментов многослойных композитных конструкций : учеб. по-
собие / М. А. Кузьмин, Д. Л. Лебедев, Б. Г. Попов ; под ред.  
В. Л. Данилова. # М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана. # 
2012. # 341, [3] с. : ил. 
ISBN 978-5-7038-3570-8 
Книга входит в серию учебных пособий «Прочность, жест-
кость, устойчивость элементов конструкций. Теория и практикум» 
и содержит описание методов расчета на прочность стержневых 
конструкций, пластин и оболочек с использованием метода конеч-
ных элементов. Рассмотрены формулировки задач статики, дина-
мики, устойчивости и теплопроводности. Для решения этих задач 
предложены алгоритмы: численного интегрирования, решения за-
дач на собственные значения, решения нестационарных задач. 
Представлено множество примеров решения практических задач. 
Учебное пособие предназначено для студентов высших учеб-
ных заведений, а также аспирантов, преподавателей и проектиров-
щиков. 
 
УДК 620 (075.8) 
ББК 38.112 
 

 
©  Лебедев Д.Л., 2012 
 
©  Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-3570-8 
     МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012 

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
3 
————————————————————————————— 
Оглавление 

Предисловие ................................................................................................... 5 
От авторов ...................................................................................................... 6 
1. РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ  КОНСТРУКЦИЙ ..................................... 7 
1.1. Трехузловой конечный элемент  криволинейного стержня .......... 7 
1.2. Расчет свободных колец ................................................................. 19 
1.3. Кручение стержня ........................................................................... 28 
2. РАСЧЕТ ПЛАСТИН .............................................................................. 44 
2.1. Задача о плоском напряженном состоянии композитных 
       пластин ............................................................................................. 44 
2.2. Изгиб шарнирно опертой прямоугольной пластины ................... 62 
2.3. Треугольный шестиузловой конечный элемент прямоуголь- 
       ной пластины ................................................................................... 73 
2.4. Четырехугольный девятиузловой конечный элемент  
       пластины .......................................................................................... 85 
3. РАСЧЕТ ОБОЛОЧЕК .......................................................................... 102 
3.1. Изгиб шарнирно опертой цилиндрической оболочки ............... 102 
3.2. Устойчивость шарнирно опертой цилиндрической оболочки  
       под действием осевого сжатия и внешнего давления ................ 115 
3.3. Расчет оболочек вращения ........................................................... 121 
3.3.1. Геометрия КЭ конической оболочки ................................ 121 
3.3.2. Кинематика деформирования ............................................ 122 
3.3.3. Деформационные соотношения ......................................... 123 
3.3.4. Соотношения упругости ..................................................... 125 
3.3.5. Вариационная формулировка задачи статики для КЭ ..... 127 
3.3.6. Формирование матрицы жесткости КЭ и вектора 
          приведенных узловых сил .................................................. 128 
3.3.7. Обработка результатов расчета ......................................... 132 
3.3.8. Учет температурных деформаций ..................................... 134 
3.3.9. Учет упругого основания ................................................... 135 
3.3.10. Исходные геометрические данные .................................. 136 
3.3.11. Постановка шпангоутов ................................................... 138 
3.3.12. Граничные условия для решения задачи МКЭ .............. 140 
3.3.13. Описание исходных данных ............................................ 141 
3.4. Расчет баллона высокого давления ............................................. 145 
3.5. Расчет корпуса ракетного двигателя ........................................... 158 
3.6. Конечный элемент пологой оболочки ......................................... 182 
3.6.1. Геометрические характеристики гладкой пологой  
          поверхности ......................................................................... 182 
3.6.2. Деформационные соотношения ......................................... 184 
3.6.3. Смешанный треугольный шестиузловой конечный 
          элемент пологой оболочки ................................................. 190 
3.7. Расчет толстостенных оболочек .................................................. 194 

Оглавление 
————————————————————————————— 
4. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  ФОРМУЛИРОВКИ ................................... 198 
4.1. Формулировки задач статики ...................................................... 198 
4.2. Формулировки задач динамики ................................................... 217 
4.3. Формулировки задач устойчивости ............................................ 221 
4.4. Формулировки нелинейной задачи статики ............................... 225 
4.4.1. Деформационные соотношения ......................................... 225 
4.4.2. Напряжения ......................................................................... 226 
4.4.3. Принцип возможных перемещений .................................. 226 
4.4.4. Алгоритм МКЭ .................................................................... 228 
4.4.5. КЭ для расчета конической оболочки ............................... 230 
4.5. Формулировки задач теплопроводности .................................... 235 
4.5.1. Стационарная задача теплопроводности .......................... 235 
4.5.2. Нестационарная задача теплопроводности ...................... 241 
4.5.3. Решение задач теплопроводности МКЭ ........................... 242 
5. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ............................................. 250 
5.1. Аппроксимации решений на конечные элементы ..................... 250 
5.1.1. Одномерный случай ........................................................... 250 
5.1.2. Интерполяция на четырехугольных плоских элементах  257 
5.1.3. Интерполяция на треугольных плоских элементах ......... 264 
5.1.4. Интерполяция для трехмерных КЭ ................................... 273 
5.2. Алгоритмы численного интегрирования .................................... 279 
5.2.1. Квадратурные формулы для одномерного случая ........... 279 
5.2.2. Численное интегрирование на двумерной области ......... 288 
5.2.3. Численное интегрирование на трехмерной области ........ 292 
5.3. Алгоритмы решения задач на собственные значения ............... 293 
5.3.1. Обзор типовых задач .......................................................... 293 
5.3.2. Приведение обобщенной задачи на собственные значе- 
          ния к стандартной форме ................................................... 294 
5.3.3. Степенные итерации. Отношение Рэлея ........................... 298 
5.3.4. Ортогональные преобразования матрицы ........................ 303 
5.3.5. Алгоритм Якоби .................................................................. 304 
5.3.6. Метод итераций в подпространстве .................................. 306 
5.4. Алгоритмы решения нестационарных задач .............................. 307 
5.4.1. Постановка задачи нестационарной диффузии ................ 307 
5.4.2. Согласованность и устойчивость разностных схем ......... 310 
5.4.3. Варианты дискретных операторов дифференцирования  
          по времени ........................................................................... 312 
5.4.4. Метод модальной суперпозиции ....................................... 319 
5.4.5. Анализ дискретных операторов, определяющих вторую  
          производную по времени ................................................... 322 
5.4.6. Свободные колебания систем ............................................ 333 
5.4.7. Вынужденные колебания при силовом гармоническом  
          возбуждении ........................................................................ 334 
5.4.8. Вынужденные колебания при кинематическом гармони- 
          ческом возбуждении ........................................................... 335 
5.4.9. Уравнения динамики незакрепленных дискретных  
          систем ................................................................................... 336 
Список литературы .................................................................................... 342

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
5 
————————————————————————————— 
ПРЕДИСЛОВИЕ 

Создание высокоэффективных конструкций современной тех-
ники требует разработки и использования новых материалов со 
сложной структурой и более точного анализа поведения конструк-
ции в условиях эксплуатации. В связи с этим существенно повы-
шаются требования к теоретической и практической подготовке 
инженеров-конструкторов, расчетчиков и технологов. 
Комплект учебных пособий «Прочность, жесткость, устойчи-
вость элементов конструкций. Теория и практикум» подготовлен 
на основе дисциплин «Сопротивление материалов», «Прочность 
элементов конструкций», «Строительная механика», однако не 
дублирует их, а дополняет новыми разделами, тематика которых 
становится все более актуальной. Основное внимание в этих пособиях 
уделяется практической реализации расчетных моделей. 
Ранее вышли в свет три учебных пособия: «Решение задач механики 
методом конечных элементов», «Строительная механика и 
расчеты композитных конструкций на прочность», «Упругопластические 
решения и предельные состояния». В настоящем пособии 
приведены расчеты на прочность элементов многослойных 
композитных конструкций (однородные изотропные и ортотроп-
ные конструкции рассматриваются как частные случаи); освещены 
вопросы изготовления элементов многослойных конструкций 
(стержней, пластин, оболочек); даны математические формулировки 
задач статики и динамики конструкций и основные алгоритмы 
их решения с помощью метода конечных элементов, а также 
аналитические решения. Авторы стремились представить материал 
достаточно корректно в математическом изложении, но в то 
же время доступно для широкого круга студентов, аспирантов, 
преподавателей и специалистов. Основное содержание пособия 
представляет собой расширенный курс лекций, прочитанных профессором 
Б.Г. Поповым для студентов машиностроительных специальностей 
МГТУ им. Н.Э. Баумана.  
Познакомившись с содержанием книги, читатель, без сомнения, 
сможет более глубоко понять задачи механики, узнать, что 
положено в основу современных вычислительных программных 
комплексов и, главное, научиться правильно ставить и решать новые 
научные и технические задачи.   

Доктор технических наук, профессор   В.Л. Данилов 

1. Расчет стержневых конструкций 
————————————————————————————— 
 

ОТ АВТОРОВ 

В современных силовых конструкциях находят широкое применение 
волокнистые композитные (композиционные) материалы 
(КМ), представляющие собой твердое полимерное связующее, армированное 
высокопрочными и высокожесткими волокнами 
(например, стеклопластики, углепластики, органопластики и др.). 
Методами непрерывной намотки или укладки волокнистой основы 
со связующим и последующей полимеризацией связующего создают 
типичные элементы силовых конструкций: многослойные 
стержни, пластины и оболочки, которые имеют требуемые механические 
свойства, малую материалоемкость при высокой удельной 
прочности и жесткости. Такие элементы конструкций из КМ 
применяются в ракетно-космической технике, авиационной, судостроительной 
промышленности, химическом машиностроении, 
автомобилестроении и в других отраслях. 
В настоящее время в нашей стране и за рубежом увеличивается 
количество публикаций, посвященных вопросам механики КМ и 
расчетам конструкций из них. Однако в них обычно рассматриваются 
узкоспециализированные темы и ориентироваться в этом обилии 
информации неподготовленному читателю довольно трудно. 
В данном пособии изложены основные начальные сведения, 
необходимые для понимания прочностного расчета конструкций 
из КМ. Приведены сведения о волокнистых композитах, их структуре 
и типовых механизмах разрушения. Представлены основные 
данные из механики КМ. Рассмотрены алгоритмы определения 
приведенных жесткостных характеристик многослойных КМ пакетов, 
которые необходимы для расчета тонкостенных конструкций. 
Отдельные разделы посвящены расчетам КМ стержней, пластин 
и оболочек. Даны аналитические решения, а также алгоритмы 
решения задач с помощью метода конечных элементов (МКЭ). 
Обсуждены вопросы, связанные с оценками жесткости, прочности, 
устойчивости и динамики конструкций.  
Особенностью этого выпуска является большое число приме-
ров с аналитическими решениями и изложение основ расчета 
МКЭ. 
 

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
7 
————————————————————————————— 

 

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
РАСЧЕТ СТЕРЖНЕВЫХ  
КОНСТРУКЦИЙ   

1.1. ТРЕХУЗЛОВОЙ КОНЕЧНЫЙ ЭЛЕМЕНТ  
КРИВОЛИНЕЙНОГО СТЕРЖНЯ 
Кинематика деформирования. Для описания деформирова-
ния плоского криволинейного стержня воспользуемся гипотезой 
плоских сечений (гипотезой С.П. Тимошенко), т. е. будем считать, 
что нормальное сечение стержня остается плоским, смещается в 
плоскости кривизны стержня и поворачивается на некоторый 
угол θ,  в общем случае отличный от угла поворота нормали сече-
ния (рис. 1.1). В результате деформирования слой, имеющий коор-
динату z, перемещается по касательной на u и за счет поворота се-
чения на угол θ  добавляется θ.
z
 Таким образом, z-е сечение имеет 
смещение по касательной 

( )
,
z
u
u
z
=
+ θ  

где индекс z означает принадлежность к z-му слою. 

 

Рис. 1.1. К определению кинематики деформирования криволи-
нейного стержня: 
а # исходное положение; б # деформированное положение 

1. Расчет стержневых конструкций 
————————————————————————————— 
Деформационные соотношения. Согласно принятой гипоте-
зе, для слоя, отстоящего на расстоянии z от координатной линии 
(линии центров тяжести сечения), получим распределение окруж-
ных деформаций 
( )
( )
ε
/
;
z
z
du
ds
kw
=
+
 деформация поперечного 

сдвига γ  определяет изменение прямого угла между углом пово-
рота нормали ( w
ku
′ −
) и углом поворота сечения θ: 

 
( )
ε
ε
æ ;

γ
θ
,

z
z

w
ku

=
+

′
=
+
−
 
 (1.1) 

где 
 
ε
;
u
kw
′
=
+
    æ
θ ;′
=
  
(1.2) 

( )
/
;
d ds
′
⋅
=
 
1/
k
R
=
 # кривизна стержня; u # касательное пере-
мещение координатной линии; w # нормальный прогиб; θ  # 
угол поворота сечения. (Для прямолинейного стержня k = 0.) Де-
формация ε характеризует линейную деформацию растяжения-
сжатия координатной линии, деформация γ  # деформацию по-
перечного сдвига кольца. Таким образом, чтобы в любой точке 
кольца определить его деформированное состояние, нужно знать 
ε,  æ,  γ. 
Обобщенные перемещения U и деформации ε  представим в 
виде 
[
]
T
,
,
;
u w
=
θ
U
 

[
]
T
, æ,
.
= ε
γ
ε
 

Согласно (1.1) и (1.2), связь деформаций с перемещениями 
(или деформационные соотношения) запишем следующим образом: 
,
= 
LU
ε
 

где 

0
0
0
.
1

d ds
k
d ds
k
d ds

⎡
⎤

⎢
⎥
=

⎢
⎥
−
⎣
⎦
L
 

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
9 
————————————————————————————— 
Соотношения упругости. В качестве внутренних силовых 
факторов, сопряженных с деформацией ,ε  будут выступать компоненты 
вектор-столбца N: 

[
]
T
,
,
,
N M Q
=
N
 

где 

( )
σ
;
z
F

N
dF
= ∫
 
( )
σ
;
z
F

M
zdF
= ∫
 
τ
.

F
Q
dF
= ∫
 

Здесь 
( )
( )
σ
ε
;
z
z
E
=
 E # модуль упругости материала; F # площадь 
поперечного сечения стержня; τ
γ;
G
=
 G # модуль поперечного 
сдвига материала. Положительные направления N, M, Q 
показаны на рис. 1.2. 

Рис. 1.2. Положительные направления 
внутренних силовых 
факторов 

 
Соотношения упругости, определяющие связь внутренних силовых 
факторов N с обобщенными деформациями ,ε  запишем в 
следующем виде: 
,
=
N
Dε  
где 

0
0
0
0
0
0

EF
EJ
GF

⎡
⎤

⎢
⎥
=

⎢
⎥
⎣
⎦
D
 # 

матрица приведенных жесткостей стержня; EF # погонная жесткость 
стержня на растяжение-сжатие; EJ # погонная изгибная 
жесткость; GF # погонная жесткость на поперечный сдвиг. (Считается, 
что положение координатной линии (
0)
z =
 выбрано так, 

что 
0,

z
Ebzdz =
∫
 где b(z) # ширина слоя.) 

Вариационная формулировка смешанного типа для реше-
ния задачи статики. Обработка КЭ. Рассмотрим отдельный 
стержневой КЭ (рис. 1.3) с тремя узлами. В качестве узловых сте-

1. Расчет стержневых конструкций 
————————————————————————————— 

пеней свободы для такого КЭ будут выступать касательные пере-
мещения ui, нормальные прогибы wi и углы поворота θ .i  Все эти 
неизвестные объединим в вектор-столбец q:  

[
]
T
1
1
1
2
2
2
3
3
3
,
, θ ,
,
, θ ,
,
, θ
.
u
w
u
w
u
w
=
q
 

Узловые реакции (реакции отброшенных элементов) объеди-
ним в вектор-столбец R:  

T

1
1
1
3
3
3
,
,
, 0, 0, 0,
,
,
,
.
N
Q
M
N
Q
M
⎡
⎤
= ⎣
⎦
R
 

(Присутствующие в векторе R нули соответствуют второму узлу, 
на который не действуют реакции соседних КЭ.) 
Выполним независимые аппроксимации перемещений U и де-
формаций .ε  Для перемещений проведем квадратичную аппрок-
симацию: 

 
;
=
U
q
Φ
   δ
δ ,
=
U
q
Φ
 
(1.3) 

где 

3
1
2

(3 9)
1
2
3

1
2
3

φ
0
0
φ
0
0
φ
0
0
0
φ
0
0
φ
0
0
φ
0
;
0
0
φ
0
0
φ
0
0
φ
×
⎡
⎤
⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎣
⎦

Φ
 

2
1
φ
2ξ
3ξ
1;
=
−
+
 
2
2
φ
4ξ
4ξ
4ξ(1
ξ);
= −
+
=
−
 
2
3
φ
2ξ
ξ;
=
−
 ξ
;
s L
=
 
L # длина дуги КЭ. 
Выполним линейную аппроксимацию деформации: 

 
;
=
ε
ωα    δ
δ ,
=
α
ε
ω
 
(1.4) 

Рис. 1.3. Трехузловой КЭ криволинейного стержня 
 

1.1. Трехузловой конечный элемент криволинейного стержня 
11 
————————————————————————————— 
где 

1
2

(3 6)
1
2

1
2

ω
0
0
ω
0
0
0
ω
0
0
ω
0
;
0
0
ω
0
0
ω
×

⎡
⎤

⎢
⎥
= ⎢
⎥
⎣
⎦

ω
 

1
1
ξ;
ω = −
 
2
;
ω = ξ  α  и δα  # коэффициенты аппроксимации. Вид 
аппроксимирующих функций 
iϕ  и 
i
ω  показан на рис. 1.4, а, б. 

 

Рис. 1.4. Квадратичные аппроксимации для перемещений (а)  
  и линейные для деформаций (б) 

Для получения матрицы жесткости КЭ (МЖКЭ) и вектора при-
веденных узловых сил воспользуемся смешанной вариационной 
формулировкой задачи. Тогда для равновесного состояния КЭ за-
пишем 

 
(
)
T
T
T

0
0
δ
δ
δ
;

L
L
ds
ds
=
+
∫
∫
L U
D
U p
q R
ε
 
(1.5) 

 
(
)
T

0
δ
0.

L
ds
−
=
∫
D LU
ε
ε
 
(1.6) 

Уравнение (1.5) соответствует записи принципа возможных 
перемещений, а уравнение (1.6) требует, чтобы невязка внутрен-
них силовых факторов, независимо определенных через переме-
щения и деформации 
(
),
−
D LU
ε
 не совершала работу на любых 
возможных деформациях δ .ε  
Формулировку задачи (1.5), (1.6) можно назвать вариационной, 
поскольку она соответствует условию стационарности смешанного 
функционала: 

1. Расчет стержневых конструкций 
————————————————————————————— 

(
)
(
)
T
T
T
T

0
0

1
,
,
2

L
L
I
ds
ds
⎡
⎤
=
−
−
−
⎢
⎥
⎣
⎦
∫
∫
U
LU
D
D
U p
q R
ε
ε
ε
ε
 

где 
[
]
T
,
,
s
z
p
p
M
=
p
 # вектор-столбец погонных распределенных 

внешних сил и моментов. Условие δ
0
I
=
U
 соответствует (1.5), а 
δ
0
I =
ε
 соответствует (1.6). 
После подстановки (1.3), (1.4) в уравнения (1.5), (1.6) запишем 

 
(
)

(
)

T
T

T

δ
0;

δ
0,

−
−
=

−
=

q
G
P
R

α
Gq
Hα

α

 
(1.7) 

где 

T
(6 9)
0
;
×
= ∫

L
ds
G
DB
ω
  
T
(9 1)
0
;
×
= ∫

L
ds
P
p
Φ
  
T
(6 6)
0
;
×
= ∫

L
ds
H
D
ω
ω
  
(1.8) 

[
]
(3 9)
,
,
;
×
=
=
1
2
3
B
L
B
B
B
Φ
   
0
0
0
;
i
i

i
i

i
i
i

k

k

′
ϕ
ϕ
⎡
⎤

⎢
⎥′
=
ϕ

⎢
⎥
′
− ϕ
ϕ
ϕ
⎣
⎦
B
   
1 .
i
i
d
d
L
ϕ
′
ϕ =
ξ
 

Из уравнений (1.7) получим 

,
=
−
R
Kq
P  

где 

 
T
1
(9 9)
−
×
=
K
G H
G  # 
(1.9) 

матрица жесткости криволинейного стержневого КЭ. Выражение 
(1.9) типично для КЭ смешанного типа. Следует отметить, что 
ранг матрицы K равен рангу матрицы H, т. е. шести, остальные 
три комбинации обобщенных узловых перемещений соответствуют 
смещению КЭ как жесткого целого, и при этих смещениях КЭ 
не накапливает ложную энергию деформации. 
Перейдем к структурам матриц, необходимых для вычисления 
матрицы жесткости K. 
Запишем структуру матрицы H (см. (1.8)):