Модели и методы оценки остаточного ресурса изделий радиоэлектроники

 

Г.С. Садыхов, В.П. Савченко,  
Н.И. Сидняев 

Модели и методы  
оценки остаточного ресурса  
изделий радиоэлектроники 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

Список сокращений 

УДК 621.3.019.3 
ББК 22.172 
        С14 

Рецензенты: 
академик РАН, д-р физ.-мат. наук, профессор Ю.В. Гуляев; 
чл.-кор. РАН, д-р техн. наук, профессор В.А. Шахнов; 
д-р техн. наук, профессор Н.А. Северцев 

Садыхов, Г. С. 
С14  
Модели и методы оценки остаточного ресурса изделий радиоэлек-
троники / Г. С. Садыхов, В. П. Савченко, Н. И. Сидняев. — Москва : 
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 382, [2] с. : ил. 
 
ISBN 978-5-7038-4006-1 
 
Определены количественные показатели остаточного ресурса и установлены 
их точечные, доверительные и гарантированные оценки. Исследована достижи-
мость гарантированных непараметрических оценок, найдены их коэффициенты 
смещения. Получены асимптотические и предельные оценки показателей остаточ-
ного ресурса, доказаны их экстраполяционные и интерполяционные оценки. С ис-
пользованием физических моделей расходования ресурса изделий радиоэлектро-
ники получены формулы для расчета и оценки показателей ресурса в штатном ре-
жиме эксплуатации через показатели для форсированного режима. Приведены 
примеры схемной избыточности радиоэлектронной аппаратуры в качестве источ-
ника увеличения ресурса. 
Для научных работников. Может быть полезна преподавателям, аспирантам и 
студентам старших курсов технических вузов, а также специалистам в области 
надежности радиоэлектронной аппаратуры. 

УДК 621.3.019.3 
                                                                                        ББК 22.172 

 
 Садыхов Г. С., Савченко В. П. (часть1), 
 
 Сидняев Н. И. (часть 2), 2015  
 
 Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4006-1 
                     МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 

Оглавление 
3 

 

 

ОГЛАВЛЕНИЕ 

Предисловие  ......................................................................................................  8 
Часть 1. ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ  
ОБЪЕКТОВ, МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ЕГО ОЦЕНКИ  ..............................  11 
 
Глава 1. Показатели остаточного ресурса, методы и модели его оценки  ...  12 
1.1. Остаточный ресурс и основные его показатели .................................  12 
1.2. Усеченный средний остаточный ресурс  .............................................  13 
1.2.1. Определение показателя 
( )
tR   ...................................................  13 
1.2.2. Нижняя доверительная оценка показателя 
( )
tR    .....................  17 

1.2.3. Доверительные интервалы для показателя 
( )
tR
   ....................  25 
1.3. Определение количества объектов и длительности наблюдений  
       для проведения лидерной эксплуатации  ............................................  31 
1.4. Гамма-процентный остаточный ресурс  ..............................................  36 
1.4.1. Определение показателя 
( )
t    ....................................................  36 

1.4.2. Основные свойства показателя 
( )
t    .........................................  37 

1.4.3. Определение количества объектов для проведения лидерной  
          эксплуатации  ................................................................................  39 
1.4.4. Нижняя доверительная оценка показателя 
( )
t    ......................  42 

1.5. Определение остаточного ресурса в случае переменного режима  
       эксплуатации объектов  .........................................................................  54 
 
Глава 2. Показатели безотказной наработки, методы и модели  
               их оценки  .............................................................................................  61 
2.1. Средняя доля безотказной наработки  .................................................  61 
2.1.1. Определение показателя ( )
J t   ....................................................  61 
2.1.2. Свойства показателя ( )
J t   ...........................................................  63 
2.1.3. Точечная оценка показателя ( )
J t   ..............................................  65 
2.2. Средняя доля остаточного ресурса  .....................................................  68 
2.2.1. Определение показателя ( )
J t  и его связь с другими  
         показателями  .................................................................................  68 
2.2.2. Свойства показателя 
( )
J
t

 и его оценки  ...................................  69 
2.2.3. Точечная оценка показателя 
( )
J
t

  .............................................  72 

Оглавление 

2.3. Средний остаточный ресурс  ................................................................  74 
2.3.1. Определение показателя 
( )
R    ....................................................  74 
2.3.2. Точечная оценка показателя 
( )
R    .............................................  77 
2.3.3. Стационарное значение показателя 
( )
R    .................................  81 
2.3.4. Вероятностная оценка остаточного ресурса при заданном 
         
( )
R    ...............................................................................................  82 
2.3.5. Аналитические оценки показателя 
( )
R    ...................................  83 
2.3.6. Интерполяционные и экстраполяционные оценки показателя 
          
( )
R    ..............................................................................................  86 
2.3.7. Оценка показателя 
( )
R   с помощью статистического модели- 
          рования наработок до предельного состояния  ...........................  87 
2.3.8. Оценка остаточного ресурса в случае монотонного  
          возрастания интенсивности отказов  ..........................................  89 
 
Глава 3. Методы и модели оценки эксплуатационной надежности ком-
плектующих изделий  .........................................................................................  93 
3.1. Некоторые особенности исходной информации и основные  
       показатели эксплуатационной надежности комплектующих  
       изделий  ...................................................................................................  93 
3.2. Параметр потока отказов (замен)  ........................................................  97 
3.3. Общий процесс восстановления отказов (замен) комплектующих  
       изделий и его модели  ............................................................................  100 
3.4. Моделирование наработок до отказов (замен)  ..................................  103 
3.5. Статистическая оценка параметра потока отказов (замен)  ..............  106 
3.6. Моделирование наработок до отказа в случае суперпозиции  
       нескольких распределений  ..................................................................  108 
3.7. Моделирование наработок до отказа в случае нормального закона  
       распределения  .......................................................................................  112 
3.8. Расчет надежности комплектующих изделий при пуассоновском  
       потоке отказов (замен)  .........................................................................  116 
3.9. Соответствие интенсивности отказов (замен) однотипных  
       комплектующих изделий их среднегрупповому значению  ...............  120 
3.10. Деление комплектующих изделий на группы в зависимости от  
        среднегруппового значения интенсивности отказов (замен)  ..........  124 
3.11. Парзеновские оценки показателей эксплуатационной  
         надежности комплектующих изделий  ..............................................  128 
 
Глава 4. Оценка остаточного ресурса комплектующих изделий с использованием 
физики отказов  ..................................................................................  131 
4.1. Физико-химические механизмы исследования остаточного ресурса  
      комплектующих изделий  радиоэлектронной аппаратуры  ................  131 
4.1.1. Общие сведения  ...........................................................................  131 
4.1.2. Химические процессы  .................................................................  132 
4.1.3. Радиационное воздействие  .........................................................  133 

Оглавление 
5 

4.1.4. Диффузионные процессы  ...........................................................  134 
4.1.5. Адсорбционные процессы  ..........................................................  136 
4.1.6. Изменение магнитных и электрических свойств  ......................  136 
4.1.7. Коррозия  .......................................................................................  138 
4.1.8. Износ  .............................................................................................  139 
4.1.9. Циклическая усталость  ...............................................................  140 
4.2. Старение комплектующих изделий радиоэлектронной аппаратуры  ...  141 
4.2.1. Старение резисторов  ...................................................................  141 
4.2.2. Старение конденсаторов  .............................................................  143 
4.2.3. Старение электровакуумных приборов  .....................................  145 
4.2.4. Старение полупроводниковых приборов и интегральных  
            микросхем  .........................................................................................  146 
4.3. Методы технического диагностирования при оценке остаточного  
       ресурса радиоэлектронной аппаратуры  ..............................................  149 
4.3.1. Диагностирование электровакуумных приборов  .....................  149 
4.3.2. Диагностирование резисторов  ....................................................  151 
4.3.3. Диагностирование конденсаторов  .............................................  152 
4.4. Физико-математические модели расчета остаточного ресурса  ........  153 
4.4.1. Модели расчета на основе интенсивности отказов  ..................  153 
4.4.2. Модели расчета с использованием аппроксимирующей  
         функции изменения определяющего параметра  ........................  156 
4.4.3. Оценка по заданной скорости деградации определяющего  
          параметра  ......................................................................................  158 
4.4.4. Оценка с использованием аддитивного накопления  
         повреждений  .................................................................................  160 

Литература  ..........................................................................................................  163 
 
 
Часть 2. ПРИКЛАДНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ НАДЕЖНОСТИ  
РАДИОЭЛЕКТРОННЫХ СИСТЕМ  ............................................................  167 
 
Глава 5. Теория случайных процессов при построении надежных схем  ....  168 
5.1. Основные сведения  ...............................................................................  168 
5.2. О закономерностях появления отказов  ...............................................  181 
5.3. Оптимальные задачи в теории надежности  ........................................  184 
5.4. Теоретические аспекты построения надежных схем .........................  187 
5.5. Методика планов контроля качества по количественным  
       признакам  ..............................................................................................  188 
5.6. Определение характеристик плана контроля с использованием 
       дисперсии контролируемого параметра  .............................................  191 
5.7. Вейбулловское распределение с известным параметром формы  ....  196 
5.8. Вейбулловское распределение с неизвестным параметром формы  .....  204 
5.9. Определение критерия приемлемости 1k  ...........................................  208 
5.10. Контроль качества по количественным признакам, имеющим  
       нормальное или вейбулловское распределение с неизвестным  
       параметром формы  ...............................................................................  212 

Оглавление 

5.11. Об оптимальном выборе уровней квантилей при оценке  
         параметров двухпараметрического распределения Вейбулла  ........  218 
5.12. Несмещенные оценки пропущенного брака по увеличенной  
         выборке  ................................................................................................  220 
5.13. Статистический контроль по количественному признаку при  
         двусторннем ограничении замеряемого параметра  ..........................  222 
5.14. Прогнозирующая несмещенная оценка пропущенной  
         дефектности  .........................................................................................  226 
5.15. О системах обслуживания с профилактикой и восстановлением  ......  232 
 
Глава 6. Анализ статистической информации о наработках радиоэлектронной 
аппаратуры  ..........................................................................................  237 
6.1. Анализ зарубежных методов расчета интенсивности отказов  
      радиоэлектронной аппаратуры  .............................................................  237 
6.2. Отказы блоков радиоэлектронной аппаратуры ..................................  246 
6.2.1. Виды отказов  ................................................................................  246 
6.2.2. Сбор и обработка первичной информации  ...............................  248 
6.2.3. Функция распределения наработки до отказа  ..........................  253 
6.2.4. Обеспечение надежности при эксплуатации  ............................  260 
6.3. Расчетный метод прогнозирования интенсивности отказов  ............  262 
 
Глава 7. Требования к долговечности составных частей, блоков и узлов 
восстанавливаемой и ремонтируемой сложной радиотехники  .........................  275 
7.1. Законы надежности в радиоэлектронике  ............................................  275 
7.2. Использование распределения Вейбулла для анализа надежности  
       элементов и систем  ...............................................................................  280 
7.2.1. Определение параметров распределения Вейбулла  .................  281 
7.2.2. Расчет срока службы систем, надежность которых  
          изменяется по закону Вейбулла  .................................................  283 
7.2.3. Система, работающая до m-го отказа  ........................................  286 
7.3. Оценка надежности невосстанавливаемых элементов  ......................  288 
7.4. Оценка надежности элементов с продолжительным временем  
       восстановления ......................................................................................  302 
7.5. Приближенная оценка надежности стареющих элементов  
       радиоэлектронной аппаратуры  ............................................................  311 
7.6. Методики распределения требований к ремонтопригодности  
      составных частей, блоков и узлов сложной восстанавливаемой  
      и ремонтируемой радиоэлектронной аппаратуры  ..............................  315 
7.6.1. Оценка систем с ненагруженным резервом  ..............................  315 
7.6.2. Оценка систем с облегченным резервом  ...................................  320 
7.6.3. Оценка систем со скользящим резервированием  .....................  322 
 
Глава 8. Аналитико-статистические методы расчета характеристик систем 
радиоэлектроники  ...................................................................................................  326 
8.1. Характеристики надежности восстанавливаемых элементов  ..........  326 
8.2. Вычисление вероятностных характеристик процесса восполнения 
       РЛС резервными аппаратами  ...............................................................  328 

Оглавление 
7 

8.3. Распределение времени окончания эксплуатации блоков в составе  
       радиолокационных станций  ...................................................................  329 
8.4. Задачи оптимального резервирования по статистическим данным  
       об испытании систем  ............................................................................  331 
8.5. Аналитические методы определения показателей структурной  
       надежности радиолокационных систем  ..............................................  340 
8.5.1. Метод перебора состояний технической системы  ...................  342 
8.5.2. Метод, основанный на сложении вероятностей совместных  
         событий  ..........................................................................................  343 
8.6. Методы, основанные на сложении вероятностей несовместных 
       событий  ..................................................................................................  346 
8.7. Расчет показателей надежности невосстанавливаемых  
       радиолокационных систем ....................................................................  353 
8.8. Система с нагруженным резервом радиоэлектронной  
       аппаратуры  ............................................................................................  359 
8.9. Методы расчета интенсивности отказов радиоэлектронных  
       устройств по характеристикам дефектов конструктивно- 
       технологических элементов  .................................................................  366 
8.9.1. Метод непосредственного расчета интенсивности отказов  ..........  366 
8.9.2. Метод определения интенсивности отказов интегральных 
         схем нормированием их сложности  ............................................  369 
8.9.3. Расчет надежности по интенсивностям отказов на одну  
         структурную единицу радиоэлектронного устройства  .............  373 

Литература  ..........................................................................................................  377 
 
 

Предисловие 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ 

Прекращение производства ряда отечественных изделий электронной 
техники и широкое применение их зарубежных аналогов затруднило оценку 
надежности радиоэлектронной аппаратуры (РЭА) на этапах проектирования 
и производства. Поэтому в эксплуатацию зачастую поступает РЭА с зани-
женными значениями показателей надежности. Кроме того, к настоящему 
времени сроки эксплуатации некоторой РЭА, работающей в штатном режи-
ме, достигли назначенных сроков службы, продолжая сохранять достаточно 
высокий уровень надежности. Таким образом, с одной стороны, возникла 
проблема оценки остаточного ресурса составляющих узлов, блоков и ком-
плектующих изделий (КИ) РЭА для продления сроков их эксплуатации, а с 
другой, проблема их замены на новые, в случае если остаточный ресурс сверх 
назначенного времени ограничен. 
Применение физико-статистических методов прогнозирования надежно-
сти РЭА затруднено, поскольку для изделий иностранного производства ме-
тодики прогнозирования надежности отсутствуют. Кроме того, для КИ, де-
монтированных из состава действующей РЭА, отсутствует информация о 
значениях определяющих параметров на момент начала эксплуатации, что 
также затрудняет выработку обоснованных решений о возможности продле-
ния сроков эксплуатации. Следовательно, необходима статистическая ин-
формация о наработках и отказах составных частей лидерных объектов РЭА, 
работающих в штатном режиме эксплуатации. Однако при этом возникают 
новые проблемы методического характера: отсутствие количественных пока-
зателей остаточного ресурса, выбор объема наблюдений изделий и адекват-
ных моделей расходования ресурса и т. п. 
В первой части монографии определен основной показатель теории 
надежности — гамма-процентный остаточный ресурс, установлены его точечные 
и доверительные непараметрические оценки, найдены нижние гарантированные 
оценки и исследована их достижимость. Для другого показателя 
надежности — среднего остаточного ресурса — найдена несмещенная 
точечная оценка, доказаны непараметрические и доверительные оценки, 
исследована их достижимость. Впервые использованы еще два показателя 
надежности: средняя доля остаточного ресурса и средняя доля безотказной 
наработки. Для введенных показателей исследованы их свойства, установлены 
точечные и доверительные оценки, доказана состоятельность, а также 
исследована эффективность применения. Отметим, что средняя доля безотказной 
наработки, ее точечные и доверительные оценки с доказательствами 

Предисловие 
9 

вошли в ГОСТ 27.505–86 «Система сбора, обработки и анализа информации о 
надежности бытовой радиоэлектронной аппаратуры и комплектующих ее изделий». 

Введенные показатели позволяют разработать методы планирования испытаний 
и лидерной эксплуатации, например по заданному объему выборки 
однотипных изделий РЭА доказательно установить длительность испытаний 
или эксплуатации и, напротив, по заданной длительности испытаний или 
эксплуатации доказательно определить объем выборки. 
Также в первой части монографии разработан метод оценки показателей 
остаточного ресурса с использованием физической модели аддитивного 
накопления повреждений, позволяющий пересчитывать показатели оста-
точного ресурса из одного режима в другой (например, из форсированного 
режима в нормальный при условии автомодельности процессов старения), 
актуальный ввиду того, что у КИ РЭА имеется приработочный период, по 
окончании которого завершается ряд физико-химических процессов, проте-
кающих в структуре изделий, и начинают развиваться процессы, связанные 
со старением. 
Кроме того, в первой части монографии даны формулы для расчета показа-
телей остаточного ресурса с использованием справочных данных, взятых, 
например, из справочника MIL-HDBK-217F системы стандартов Министерства 
обороны США или полученных при заданной аппроксимации функции изме-
нения определяющего параметра с учетом случайных воздействий. 
Поскольку при оценке показателей остаточного ресурса используют экс-
плуатационные данные, которые цензурированы и неоднородны, предложены 
методы моделирования наработок до отказа для случая суперпозиции не-
скольких распределений, а также с учетом парзеновских оценок. 
При определении изделий, требующих первоочередных мероприятий по 
повышению надежности, возникает вопрос соответствия интенсивности отка-
зов определенного типа изделий РЭА среднему значению интенсивности от-
казов группы изделий, объединенных по принципу общности технологии их 
изготовления, назначения и условий эксплуатации. Для решения этой про-
блемы обычного сравнения точечных оценок интенсивностей отказов недо-
статочно. В связи с этим разработан метод статистической проверки нулевой 
гипотезы соответствия интенсивности отказов изделий среднегрупповому 
значению интенсивности отказов, основанный на оценке условного распре-
деления вероятностей отказов в пуассоновском потоке через биномиальный 
закон распределения. Ряд изложенных методов доведен до уровня инженер-
ных методик, которые послужили основой для принятия положительного ре-
шения о возможности продления сроков эксплуатации КИ РЭА. Фрагменты 
этих методик отражены в примерах. 
Приемлемого уровня остаточного ресурса РЭА можно достичь не только 
применением КИ, имеющих большой запас по ресурсу, но и облегчением 
условий и режимов их использования в составе РЭА. Поэтому во второй ча-
сти монографии эти вопросы рассмотрены с позиции физического развития 
механизмов отказов. Здесь изложены основные модели потока отказов РЭА 

Предисловие 

при механических нагрузках, модели усталостного разрушения на примере 
контактных соединений в полупроводниковых приборах, а также модели 
электродиффузионных отказов СВЧ-транзисторов. 
Во второй части монографии внимание уделено вопросам схемотехниче-
ских и конструкторских решений на этапе проектирования и производства 
РЭА, направленных на повышение ее надежности. Поскольку одним из ис-
точников обеспечения необходимого уровня остаточного ресурса РЭА явля-
ется дублирование и резервирование наименее надежных КИ, рассмотрены 
различные подсистемы с ненагруженным, облегченным и скользящим типа-
ми резерва; приведены расчетные формулы при различных видах резервиро-
вания КИ РЭА. 
Следует отметить, что исследование надежности на основе расчета значе-
ний показателей остаточного ресурса продиктовано чисто практическими 
соображениями, поскольку показатели остаточного ресурса, получаемые 
лишь исходя из физических соображений, во много раз превышают их фак-
тические (реальные) значения. Объясняется это, например, тем, что физиче-
ские методы, как правило, игнорируют случайную основу отказов. Следова-
тельно, применение моделей и методов расчета и оценки остаточного ресурса 
РЭА только на основе методов, использующих физическую основу, является 
весьма ограниченным. Тем не менее учет физических представлений о ре-
сурсных свойствах РЭА с помощью теоретико-вероятностных методов и мо-
делей расчета и оценки показателей остаточного ресурса является наиболее 
перспективным. 
Первая часть монографии написана доктором техн. наук, профессором 
Г.С. Садыховым и доктором техн. наук В.П. Савченко, вторая часть, — док-
тором техн. наук, профессором Н.И. Сидняевым. 

Список сокращений 
25

 
 

Часть 1 
 
ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ 
ОБЪЕКТОВ, МЕТОДЫ И МОДЕЛИ ЕГО ОЦЕНКИ 

Глава 1. Показатели остаточного ресурса, методы и модели их оценки 

 

Глава 1 

ПОКАЗАТЕЛИ ОСТАТОЧНОГО РЕСУРСА, МЕТОДЫ  
И МОДЕЛИ ИХ ОЦЕНКИ 

 

1.1. ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС И ОСНОВНЫЕ ЕГО ПОКАЗАТЕЛИ 

Опыт эксплуатации технических объектов показывает, что назначенные 
сроки эксплуатации для многих видов весьма занижены, что приводит к 
преждевременному прекращению применения объектов по назначению и как 
следствие этого к неэффективному использованию материальных средств, 
затраченных на их разработку, производство и эксплуатацию. Поэтому в 
процессе эксплуатации объектов возникает естественная задача оценки оста-
точного ресурса (срока службы, срока сохраняемости). 
В дальнейшем речь пойдет о методах оценки остаточного ресурса, по-
скольку все присущее ему характерно и для остаточного срока службы и 
остаточного срока хранения. 
В настоящее время есть разные толкования ресурса, более подробно об 
этом изложено в работе [1]. Мы же, согласно ГОСТ Р 27.002–2009 [2], под 
термином ресурс будем понимать период, который увязывается только с 
наработкой объекта от начала его эксплуатации до перехода в предельное 
состояние. Если объект работает с перерывами, то различают непрерывную и 
суммарную наработку. Не нарушая дальнейших рассуждений, здесь и далее 
будем считать, что исследуемый объект работает без перерывов, т. е. нара-
ботка непрерывна. 
Под остаточным ресурсом (после времени )  будем понимать наработку 
объекта с момента времени   до перехода его в предельное состояние при уста-
новленных режимах применения и условиях эксплуатации. В практических за-
дачах продления ресурса под значением ,  согласно ГОСТ Р 27.002–2009, по-
нимают, как правило, назначенный ресурс [2]. 
Если   — наработка объекта от начала эксплуатации до перехода его в 

предельное состояние, то остаточная наработка 

  после времени   опреде-
ляется по формуле 

1.2. Усеченный средний остаточный ресурс 
13

 

     , 
(1.1) 

где    . Очевидно, что величина 

  является случайной, а значит, можно 
говорить о ее числовых характеристиках. 
Если рассмотреть математическое ожидание величины, определенной вы-
ражением (1.1), то получим средний остаточный ресурс 
( )
R  , введенный, 
например, в работе [3], т. е. 

 
( )
(
)
R
M

 

. 
(1.2) 

Показатель 
( )
R   не следует путать с остаточным средним ресурсом, 
,
R    где R  — средний ресурс, определенный согласно ГОСТ Р 27.002–2009, 
поскольку между ними справедливо следующее соотношение ( )
R
R
 
   [4]. 
Из выражения (1.2) следует, что показатель 
( )
R   является числовой ха-
рактеристикой остаточных наработок, отнесенных, вообще говоря, к беско-
нечному интервалу наблюдения ( ,
)
  . Однако в задачах по продлению сро-
ков эксплуатации технических объектов используют результаты лидерной 
эксплуатации специально выделенных для этой цели однотипных экземпля-
ров технических объектов либо их аналогов (под лидерной эксплуатацией 
будем иметь в виду понятие, определенное ГОСТ 25866–83 [5]). Данные по 
результатам лидерной эксплуатации содержат информацию о наработках (от-
казавших или неотказавших) объектов, отнесенных к некоторому конечному 
интервалу наблюдения ( ,
)t
  
, а не к интервалу ( , )
  , где t  — заданная 
величина. 
Таким образом, при оценке остаточного ресурса технических объектов по 
результатам их лидерной эксплуатации возникает необходимость использо-
вания других показателей: усеченный средний остаточный ресурс и гамма-
процентный остаточный ресурс [4, 6]. 
Далее речь пойдет о методах оценки остаточного ресурса технических 
объектов с учетом показателей по результатам их лидерной эксплуатации. 
При этом некоторые утверждения будут доказаны, поскольку они излагаются 
впервые. 

1.2. УСЕЧЕННЫЙ СРЕДНИЙ ОСТАТОЧНЫЙ РЕСУРС 

1.2.1. Определение показателя 
( )
t
R   

Введем случайную величину 
( )t


, которая равна наработке объекта до 
перехода его в предельное состояние после времени ,  если это произошло 
на интервале наблюдения ( ,
),
t
  
 либо продолжительности t , если пре-
дельного состояния у объекта не наблюдалось в этот период эксплуатации. 

Глава 1. Показатели остаточного ресурса, методы и модели их оценки 

Далее для простоты изложения вместо термина «предельное состояние» 
объекта будем использовать термин «отказ» объекта. 
Под усеченным средним остаточным ресурсом 
( )
tR   будем понимать ма-
тематическое ожидание величины 
( )t


, т. е. 

 


( )
( ) .
tR
M
t

 

 
(1.3) 

Очевидными являются следующие свойства: 

 
( )
( );

( )
.

t

t

R
R

R
t

 


 
 
(1.4) 

Из выражения (1.3) следует, что в качестве точечной оценки показателя 
( )
tR   служит величина ˆ ( )
tR  , определенная по формуле 

 





1
ˆ ( )
,

m

i
i
t

z
n
k
m t

R
k
n
n
k





 




 
(1.5) 

где 
iz  — наработка i -го отказавшего объекта на интервале наблюдения 
( ,
)t
  
 из числа m  всех отказавших объектов на этом интервале; k  — число 
отказавших однотипных объектов в течение времени   из всех наблюдаемых 
в количестве .n  При k
n

 будем считать, что ˆ ( )
0
tR  
. 
Принятые обозначения иллюстрирует 
рис. 1.1. На вертикальной оси здесь указаны: 
k  — число отказавших объектов до 
момента времени ;  m  — число отказавших 
объектов после времени ;  n  — общее 
число объектов от начала эксплуатации. 
Линии, параллельные горизонтальной 
оси, указывают наработки отказавших 
объектов (помечены крестиками); наработки 
неотказавших объектов (указаны 
стрелками); 
iz  — наработка после момента 
времени   i -го отказавшего объекта; ( ,
)
t
  
 — интервал наблюдения на 
оси времени. 
 
Теорема 1.1.  
Имеет место следующее соотношение: 

 
ˆ ( )
( )
( ),
t
n
t
M R
K
R








 
(1.6) 

где 
( )
n
K
  — коэффициент смещения, 

Рис. 1.1. Точечная оценка усеченного 
среднего остаточного ресурса 
 

1.2. Усеченный средний остаточный ресурс 
15

 


( )
1
1
( )
,
n
n
K
P
  


 
(1.7) 

 
M   — математическое ожидание величины, содержащейся в скобках; 
( )
P   — вероятность безотказной работы объектов в течение времени  . 
Доказательство. Действительно, согласно правилу вычисления математического 
ожидания [7],  

 

1

0
ˆ
ˆ
( )
( )
( )
n

t
t
n
k

M R
M R
k P k















, 
(1.8) 

где 
ˆ ( )
t
M R
k




  — математическое ожидание величины ˆ ( )
tR  , определенной 
формулой (1.5) при фиксированном значении 
;
k
n

 
( )
n
P k  — вероятность 
того, что k объектов из n  откажут, причем, согласно формуле Бернулли [
7], 

 


( )
1
( )
( );
k
k
n k
n
n
P k
C
P
P 




 
(1.9) 

k
n
C  — число сочетаний из n  элементов по k  (в соотношении (1.8) отсутствует 
слагаемое, соответствующее значению 
k
n

, поскольку при этом 
ˆ ( )
0).
tR  
 

Пусть величина 
 ( )
i t


 равна наработке i -го объекта, если у него отказ 
наступает на интервале( ,
)t
  
, либо продолжительности t , если у объекта 
нет отказа на этом интервале. Тогда, согласно (1.5),  




1
ˆ ( )
( ) /
,
n k
i
t
i

R
t
n
k




 



 

откуда получаем 




1
ˆ ( )
( ) /
.
n k
i
t
i

M R
k
M
t
n
k

















 

Поскольку 

( )
( ),
i
t
M
t
R








 

то 

ˆ ( )
( ).
t
t
M R
k
R






