Кристаллография и минералогия

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

В. В. Сергеева

КРИСТАЛЛОГРАФИЯ 
И МИНЕРАЛОГИЯ

Учебно-методическое пособие

Рекомендовано методическим советом 
Уральского федерального университета
для студентов вуза, обучающихся по направлениям
подготовки бакалавриата 12.03.02 «Оптотехника», 
18.03.01 «Химическая технология», 
22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов», 
22.03.02 «Металлургия», 
18.05.02 «Химическая технология 
материалов современной энергетики»

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2017

УДК 548/549 (075.8)
ББК 22.37я73+26.31я73
          С32

Рецензенты:
экспертная комиссия Уральского геологического музея УГГУ (директор, 
канд. геол.-минерал. наук Д. А. Клейменов);
ведущий геолог ОАО «Уральская геолого-съемочная экспедиция», канд. 
геол.-минерал. наук Ю. Н. Кошевой

Научный редактор — д-р техн. наук, проф. Ф. Л. Капустин

 
Сергеева, В. В.
С32    Кристаллография и минералогия : учеб.-метод. пособие / В. В. Сергеева. — 
Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2017. — 152 с.

ISBN 978-5-7996-1987-9

В пособии рассмотрены вопросы и основные законы кристаллографии и минералогии. 
В главе «Геометрическая кристаллография» содержится описание кристаллов, 
их общих свойств, элементов и видов симметрии, сингоний, простых 
форм кристаллов низшей, средней и высшей категорий.
В главе «Минералогия» дается классификация минералов, характеристика их 
свойств и схема описания. Рассматриваются также методика и порядок выполнения 
студентами контрольных мероприятий (контрольная работа, домашнее задание, 
расчетно-графическая работа), даны варианты заданий.

Библиогр.: 9 назв. Табл. 12. Рис. 28. Прил. 3.

УДК 548/549 (075.8)
ББК 22.37я73+26.31я73

ISBN 978-5-7996-1987-9 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2017

Оглавление

Введение .......................................................................................................... 5

Часть 1.  
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ  
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ .................................................................................. 6
1. Симметрия в кристаллах ............................................................................. 6
2. Элементы симметрии .................................................................................. 7
3. Виды симметрии, сингонии, категории ..................................................... 8
4. Простые формы кристаллов ..................................................................... 12
4.1. Простые формы кристаллов низшей категории ............................... 13
4.2. Простые формы кристаллов средней категории ............................... 14
4.3. Простые формы кристаллов высшей категории ............................... 16

5. Установка кристаллов ............................................................................... 18
6. Построение стереографической проекции кристалла ............................. 21

6.1. Сферические координаты .................................................................. 24
6.2. Решение кристаллографических задач по сетке Вульфа .................. 27

7. Определение символов граней, ребер и простых форм ........................... 36
    Закон рациональных отношений.............................................................. 36
8. Расчетно-графическая работа ................................................................... 40
8.1. Примеры выполнения расчетно-графической работы  
        для моделей низшей категории ......................................................... 41
8.2. Примеры выполнения расчетно-графической работы  
        для моделей средней категории ......................................................... 56
8.3. Пример выполнения расчетно-графической работы  
        для моделей высшей категории ......................................................... 59
8.4. Пример оформления расчетно-графической работы ....................... 61
8.5. Варианты заданий расчетно-графической работы ........................... 63

9. Выполнение контрольной работы по кристаллографии ......................... 72
9.1. Примеры описания моделей кристаллов .......................................... 73
9.2. Варианты заданий к контрольной работе по кристаллографии ....... 78

Часть 2.  
МИНЕРАЛОГИЯ ......................................................................................... 88
1. Физические свойства минералов .............................................................. 89

1.1. Формы минералов и агрегатов ........................................................... 89
1.2. Механические свойства минералов ................................................... 92
1.3. Оптические свойства минералов ....................................................... 95

Оглавление

1.4. Цвета минералов, цвет черты............................................................. 96
1.5. Магнитные свойства .......................................................................... 98
1.6. Удельный вес и плотность ................................................................. 98

2. Классификация минералов ...................................................................... 99

2.1. Описание минералов .........................................................................102
2.2. Перечень практических (лабораторных) занятий ............................120
2.3. Контрольная работа  
        по описанию и диагностике минералов ...........................................124
2.4. Пример выполнения контрольной работы по минералогии ...........125

Библиографический список ........................................................................127

Приложение 1 ..............................................................................................128
Приложение 2 ..............................................................................................129
Приложение 3 ..............................................................................................130

Введение

П

ри изучении дисциплин «Основы кристаллографии и минералогии», «
Кристаллография и минералогия» и «Кристаллография» 
рассматриваются вопросы геометрической 
кристаллографии (закон симметрии и закон рациональности двойных 
отношений параметров), простые и комбинационные формы кристаллов, 
а также кристаллографическая система координат и дается определение 
математического обозначения граней, ребер, простых форм. 
Изучается влияние структуры на внешнюю форму и физические свойства 
кристаллов, основные мотивы построения структур — каркасные, 
листовые, ленточные, цепочечные, с изолированными группами атомов. 
Также рассматриваются принципы кристаллохимической классификации 
минералов и дана характеристика минералов на ее основе 
по классам сульфидов, оксидов, карбонатов, сульфатов и силикатов.
В результате изучения указанных дисциплин студент должен:
— знать основные понятия и законы кристаллографии; классификацию 
кристаллов на основе их симметрии; зависимость физических 
свойств от симметрии кристаллов; условия происхождения и нахождения 
минералов в природе; основные группы минералов, их состав, 
физические свойства и практическое применение, процессы минералообразования 
и соответствующие им минеральные парагенезисы; 
основные законы кристаллической структуры, внешние формы, химический 
состав, физические свойства и условия образования кристаллов 
во взаимосвязи;
— уметь осуществлять выбор сырья, основных и вспомогательных 
материалов; определять симметрию кристаллов; использовать практические 
методы, применяемые для диагностики минералов; пользоваться 
геолого-минералогической информацией о месторождениях 
полезных ископаемых; определять главнейшие виды минералов, 
магматических и метаморфических горных пород макроскопически 
по комплексу физических свойств и текстурных особенностей;
— владеть навыками определения наиболее распространенных ми-
нералов.

Часть 1.  
ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ  
КРИСТАЛЛОГРАФИЯ

1. Симметрия в кристаллах
К

ристаллическое состояние — наиболее распространенное 
состояние вещества на Земле и в космосе.
Кристаллическим называется такое состояние вещества, при 
котором в его строении наблюдается закономерное расположение ча-
стиц — молекул, атомов, ионов, — образующих ряды, плоские сетки, 
пространственную решетку. В веществе, находящемся в аморфном со-
стоянии, закономерного расположения частиц в полной мере не об-
наруживается. Другими словами, в строении вещества, находящегося 
в кристаллическом состоянии, обнаруживается ближний и дальний 
порядок. Вещество в аморфном состоянии имеет в строении только 
ближний порядок и не имеет дальнего порядка.
Кристаллическое строение имеют горные породы, минералы, тех-
нические камни (цемент, огнеупоры, металлы). В аморфном состоя-
нии находятся стекла: природные (обсидиан) и технические — смо-
лы, гудрон, парафин, воск, стекло.
Кристалл — это физическое тело, частицы которого образуют крис-
таллическую решетку, имеют определенную геометрическую форму.
В идеальном кристалле вершина соответствует узлу (атому, молеку-
ле, иону); ребро — ряду узлов; грань — плоской сетке. В реальных кри-
сталлах при большом увеличении можно увидеть, что вершина состоит 
из многих узлов (частиц), ребро — из многих рядов, грань — из мно-
гих плоских сеток, расположенных параллельно.

2. Элементы симметрии

2. Элементы симметрии

Закономерное расположение частиц обуславливает внутреннюю 
и внешнюю симметрию. Греческое слово «симметрия» в переводе 
на русский язык означает «соразмерность». Симметричная фигура 
должна состоять из закономерно повторяющихся равных частей. Вспо-
могательные геометрические образы — точки, прямые, плоскости, по-
зволяющие установить симметрию кристалла, называются элемента-
ми симметрии.
Плоскостью симметрии кристаллического многогранника называет-
ся воображаемая плоскость, которая делит модель на две равные и зер-
кально симметричные части.
Плоскость симметрии обладает свойством зеркальности: каж-
дая из частей кристалла, рассеченного плоскостью симметрии, со-
вмещается с другой, т. е. является ее зеркальным изображением. 
Для конечных многогранников плоскость симметрии обозначается 
латинской буквой P — начальной от слова «plane». Коэффициент, 
стоящий перед ней, показывает количество плоскостей симметрии 
в многограннике. В различных кристаллах можно провести разное 
количество плоскостей симметрии. Например, в кубе имеется де-
вять плоскостей симметрии, в гексагональной призме — семь пло-
скостей симметрии.
Центром инверсии (симметрии) кристаллического многогранника 
называется мнимая точка, лежащая внутри кристалла, в диаметраль-
но противоположных направлениях от которой располагаются оди-
наковые расстояния.
Для конечных многогранников центр инверсии обозначается бук-
вой C латинского алфавита. При наличии центра симметрии в кри-
сталле каждой грани отвечает другая грань, равная и параллельная (об-
ратно параллельная) первой. В кристалле не может быть более одного 
центра симметрии, и любая линия, проходящая через центр симме-
трии, делится пополам.
Осью симметрии называется прямая линия, при вращении вокруг 
которой кристалл (или кристаллический многогранник) совмещает-
ся столько раз, каков порядок оси. Наименьший угол поворота, при 
котором достигается совмещение, называется элементарным углом α. 
Количество совмещений при повороте на 360° называется порядком 

Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ  

оси и обозначается значком n. Порядок оси и элементарный угол свя-
заны соотношением n = 360°/α.
Ось симметрии обозначается буквой Ln, где нижний индекс обо-
значает порядок оси:
‒ L1 — ось первого порядка с элементарным углом 360°: таким эле-
ментом симметрии обладают самые бесформенные тела, кото-
рые совмещаются при полном повороте на 360°; это своеобраз-
ный ноль в кристаллографии, т. е. отсутствие симметрии;
‒ L2 — ось второго порядка — совмещение достигается при пово-
роте на 180°;
‒ L3 — ось третьего порядка — совмещение достигается при пово-
роте на 120°;
‒ L4 — ось четвертого порядка — совмещение достигается при по-
вороте на 90°;
‒ L6 — ось шестого порядка — совмещение достигается при пово-
роте через 60°. Осей пятого порядка и выше шестого в кристал-
лах не существует.
Инверсионной осью симметрии называется линия, при вращении во-
круг которой на некоторый определенный угол и при последующем 
отражении в центральной точке многогранника (как в центре симме-
трии) совмещаются одинаковые элементы ограничения.
Инверсионные оси симметрии обозначаются также буквой L с ниж-
ним индексом in. Существуют инверсионные оси следующих поряд-
ков: первого Li1, второго Li2, третьего Li3, четвертого Li4, шестого Li6. 
На практике приходится иметь дело лишь с инверсионными осями 
четвертого и шестого порядков.

3. Виды симметрии, сингонии, категории

В кристаллических многогранниках присутствуют неповторяющи-
еся направления, которые называются единичными. Повторяющиеся 
в кристалле направления, связанные элементами симметрии, называ-
ются симметрично-равными. Присутствие единичных и симметрично-
равных направлений определяется совокупностью элементов симме-
трии. В кристаллах элементы симметрии находятся во взаимосвязи. 
Благодаря зависимости одних элементов симметрии от других, вза-

3. Виды симметрии, сингонии, категории

имные сочетания их ограничены. Установлено, что возможны только 
32 комбинации различных элементов симметрии, или 32 кристалло-
графических класса, или вида симметрии (табл. 1). Виды симметрии, 
в которых имеются только главные оси, названы примитивными. Если 
в видах симметрии присутствует и центр симметрии, они называются 
центральными. При наличии плоскости говорят о планальном виде 
симметрии (греч. «планум» — плоскость), если имеются только оси — 
аксиальный вид симметрии (греч. «аксон» — ось). Максимальное ко-
личество возможных осей и плоскостей дает наименование планак-
сиального вида симметрии. В случае присутствия инверсионных осей 
говорят об инверсионно-примитивном или инверсионно-планальном 
видах симметрии.
При определении кристаллов или их моделей следует иметь в виду, 
что найденная комбинация элементов симметрии должна соответ-
ствовать определенному виду симметрии из приводимых 32 классов 
(табл. 1).
Данные 32 вида симметрии были выведены русским академиком 
А. В. Гадолиным в 1867 году.
Точечные группы, обладающие сходными элементами симметрии, 
составляют сингонии, которые по числу единичных направлений объ-
единены в категории. Кристаллографические классы, или виды сим-
метрии, объединяются в более крупные группировки, называемые си-
стемами или сингониями. Таких сингоний семь: кубическая — высшая 
категория; гексагональная, тетрагональная, тригональная — средняя 
категория; ромбическая, моноклинная, триклинная — низшая кате-
гория. В каждую сингонию входят кристаллы, у которых отмечается 
одинаковое расположение кристаллографических осей и одинаковые 
элементы симметрии.
Сингонией называется группа видов симметрии, обладающих од-
ним или несколькими одинаковыми элементами симметрии и имею-
щих одинаковое расположение кристаллографических осей.
Охарактеризуем каждую сингонию.

Сингонии высшей категории
В кубической сингонии кристаллизуются наиболее симметричные 
кристаллы. В кубической сингонии присутствует более одной оси сим-
метрии выше второго порядка, т. е. L3 или L4. Кристаллы кубической 
сингонии обязательно должны иметь четыре оси третьего порядка 4L3 

Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ  

Таблица 1
Тридцать два вида симметрии кристаллов [А. В. Гадолин; 1867 г.]

Кате-
гории
Сингонии
Виды симметрии
прими-
тивный
централь-
ный
планаль-
ный
аксиаль-
ный
планаксиаль-
ный
инверсионно-
примитивный
инверсионно-
планальный

Низ-
шая

Триклинная
1
—
2
С

Моноклинная
3
Р 
4
L2 
5
L2 РС

Ромбическая
6
L22 Р

7
3L2 
8
3L23 РС

Сред-
няя

Тригональная
9
L3
10
L3 С

11
L33 Р

12
L33L2
13
L33L23 РС

Тетрагональная 14
L4
15
L4 РС
16
L44 Р

17
L44L2
18
L44L25 РС
19
Li4 (=L2)
20
Li4 (=L2)3L22 Р

Гексагональная
21
L6
22
L6 РС
23
L66 Р

24
L66L2
25
L66L27 РС
26
Li6 =L3 Р

27
Li63L23 Р =  
= L33L24 Р

Высшая

Кубическая
28
4L33L2 
29
4L33L23 РС
30
4L33L26 Р

31
3L44L36L2
32
3L44L36L29 РС

3. Виды симметрии, сингонии, категории

и либо три взаимно перпендикулярные оси четвертого порядка 3L4, 
либо три оси второго порядка 3L2. Максимальное количество элементов 
симметрии в кубической сингонии может быть выражено формулой 
3L4 4L3 6L2 9PC. В кубической сингонии кристаллизуются следующие 
минералы: каменная соль (галит), пирит, галенит, флюорит и др.

Сингонии средней категории
Данная группа объединяет кристаллы, обладающие только одной 
осью симметрии выше второго порядка. К средней категории относятся 
гексагональная, тетрагональная и тригональная сингонии.
Гексагональная сингония характеризуется наличием одной оси симметрии 
шестого порядка L6. Максимальное количество элементов симметрии 
может быть следующим: L66L27РС. Кристаллы гексагональной сингонии 
образуют призмы, пирамиды, дипирамиды и др. В гексагональной 
сингонии кристаллизуются апатит, нефелин, берилл и другие минералы.
Тетрагональная сингония имеет одну ось четвертого порядка L4. 
Максимальная симметрия для этой сингонии характеризуется формулой 
L44L25РС. К тетрагональной сингонии относятся касситерит 
(оловянный камень), халькопирит (медный колчедан), циркон и другие 
минералы.
Тригональная сингония характеризуется одной осью третьего порядка 
L3. Наибольшее количество элементов симметрии выражается 
формулой L33L23РС. В данной сингонии кристаллизуются кварц, 
кальцит, корунд и др.

Сингонии низшей категории
Кристаллы, в которых совсем отсутствуют оси симметрии высшего 
наименования и могут присутствовать только оси второго порядка L2, 
относятся к сингониям низшей категории. К ним относятся ромбическая, 
моноклинная и триклинная сингонии.
Ромбическая сингония имеет несколько осей второго порядка L2 или 
несколько плоскостей симметрии Р. Максимальная формула 3L23РС. 
В ромбической сингонии кристаллизуются барит, топаз, марказит, 
антимонит и др.
Кристаллы моноклинной сингонии характеризуются наличием одной 
оси второго порядка L2, или одной плоскостью симметрии Р, или максимально: 
L2РС. Характерные минералы моноклинной сингонии: ортоклаз, 
слюды, гипс, роговая обманка, пироксены и другие минералы.

Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ КРИСТАЛЛОГРАФИЯ  

К триклинной сингонии относятся наиболее несимметричные кристаллы, 
лишенные совсем элементов симметрии или имеющие лишь 
центр симметрии С. В триклинной сингонии кристаллизуются плагиоклазы, 
кианит (дистен), медный купорос и другие минералы.

4. Простые формы кристаллов

Природные многогранники — кристаллы — могут образовывать 
простые формы либо их комбинации.
Простой формой кристалла называется совокупность тождественных 
граней, связанных элементами симметрии. Грани такой простой 
формы должны быть одинаковыми по своим физическим и химическим 
свойствам, а в идеально развитых многогранниках — и по своим 
очертаниям и величине. Если кристалл образован несколькими видами 
граней, то это комбинация нескольких простых форм.
Комбинацией называется сочетание двух или нескольких простых 
форм, объединенных элементами симметрии. Насчитывается 47 простых 
форм кристаллов. Простые формы образуют великое множество 
комбинаций. Различаются несколько типов простых форм.
Открытые формы — такие формы, грани которых не полностью ограничивают 
пространство. Примерами таких форм являются моноэдр, 
диэдр, пинакоид, призмы и пирамиды.
Закрытые формы (замкнутые) — такие формы, грани которых полностью 
ограничивают пространство. Примерами таких форм являются 
дипирамиды, трапецоэдры, скаленоэдры, тетраэдры, все простые 
формы кубической сингонии.
Конгруэнтные формы — это совместимые формы. Примеры: гексаэдр, 
октаэдр, призмы, пирамиды.
Энантиоморфные формы — зеркально совместимые формы правые 
и левые. Примеры: ромбический тетраэдр, трапецоэдры, пентагон-
триоктаэдр, тетрагонтриоктаэдр.
Постоянными формами называются такие формы, грани которых образуют 
постоянные углы и постоянные символы. Пример: гексаэдр, 
октаэдр, кубический тетраэдр.
Переменными формами называются формы, грани которых образуют 
переменные углы и переменные символы. Примерами могут быть