Методические указания к решению задач первого тура 40-й Московской городской олимпиады по сопротивлению материалов

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 

 

 

Т.Б. Подкопаева 
 
 

Методические указания  
к решению задач первого тура  
40-й Московской городской олимпиады  
по сопротивлению материалов 
 
 
Под редакцией В.А. Князевой 

 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 

УДК 539.3 
ББК 30.121 
        П44 

Рецензент Н.Л. Нарская 

Подкопаева Т.Б. 
П44 
Методические указания к решению задач первого тура 
40-й Московской городской олимпиады по сопротивлению 
материалов / Т.Б. Подкопаева ; под ред. В.А. Князевой. – М. : 
Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011. – 25, [3] с. : ил.  

 

Приведены условия, а также решения и ответы десяти задач по 
сопротивлению материалов, предложенных участникам первого 
тура 40-й Московской городской олимпиады (МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
март 2010 г.). 
Для студентов машиностроительных специальностей высших 
учебных заведений. 
Рекомендовано Учебно-методической комиссией факультета РК 
МГТУ им. Н.Э. Баумана. 

УДК 539.3 
                                                                                                           ББК 30.121 

 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 

Задача 1. Определить изменение объема внутренней полости 
стержня (рис. 1) при сжатии его силой F. 

Рис. 1 
Дано: 
, , , .
F l E   
 
Задача 2. Для балки постоянного поперечного сечения (рис. 2) 
получить функцию прогиба, используя дифференциальное уравнение 
упругой линии. 

Рис. 2 
Дано: ,  , 
, .
x
l q I
E   
 

Задача 3. Для рамы (рис. 3) определить взаимное вертикальное 
перемещение сечений 
 и .
A
B  

Рис. 3 

Дано: 
,  , 
, .
x
F l I
E  
 
Задача 4. Определить допускаемую нагрузку рамы (рис. 4), 
используя теорию наибольших касательных напряжений. Найти 
работу силы F  и потенциальную энергию деформации системы 
при нагружении ее силой, равной допускаемой. Рама имеет круглое 
поперечное сечение диаметром .
d  

Рис. 4 

Дано: 
 
, ,  
,
, 
0,25.
R d
E

 
 

Задача 5. Найти перемещение сечения C  (рис. 5) в направлении 
действия силы 
,
F  приложенной в центре сечения. 

Рис. 5 

Дано: , 
, , , .
a F l
E

 
 
Задача 6. Найти размер диагоналей квадрата 
,
ABCD  нанесенного 
на боковую поверхность тонкостенной трубки (рис. 6), при 
повороте ее свободного конца на угол 
0. 

Размер стороны квадрата 
a  значительно меньше размера диаметра трубки D . 

Рис. 6 

Дано: 
0
, 
,  
.
,  
a D l 
 
 
Задача 7. При соединении стального стержня 1, имеющего диаметр 
,

d  и стальной трубы 2, имеющей внутренний диаметр d  и 

наружный диаметр 
,
D  оси отверстий в них не совместились на угол 

0
  (рис. 7). После принудительного закручивания обеих деталей 

Рис. 7 

они были собраны так, как показано на рис. 8. Найти максимальные 
напряжения в стержне и трубе.  

Рис. 8 

4
0
Дано:
0,02 м, 
0,025  м,  
0,6 м, 
3 , 
8 10  МПа.
d
D
l
G



  
 
 

 
Задача 8. Две пружины, свитые из проволоки одинакового диаметра 
d  и имеющие одинаковое число витков ,i  вставлены одна в 
другую. Средний диаметр витков наружной пружины равен
1
D , внут-

ренней пружины 
2
D

. Высота наружной пружины в свободном состоянии 
на величину 
*
  больше, чем высота внутренней. Система 
пружин сжимается силой F. Найти работу, совершаемую силой F. 
Дано: 
0,005 
d 
м, 
10
i
, 
1
0,1 
D 
м, 
2
0,06
D 
 м, 
4
8 10  
G  
МПа. 
 
Задача 9. Балка (рис. 9) имеет прямоугольное поперечное сечение 
с постоянной высотой H и переменной шириной B(z). Изогнутая 
ось балки представляет собой дугу окружности радиусом R. 
Установить закон изменения ширины B(z) и ее значение в сечении 
приложения нагрузки. 

Рис. 9 

Дано: 
, , , 
,  .
H l R F E  
 
Задача 10. Тонкостенное стальное кольцо (рис. 10) нагружено 
внутренним давлением p . Найти потенциальную энергию деформации, 
накопленную в кольце, и работу, совершаемую давлением p . 

Рис. 10 

Дано: 
, , , ,  .
D h b E p  
 

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 

Задача 1. Первоначальный объем внутренней полости  

2 .
V
a l

 

Объем внутренней полости после деформации  

2
1
1 1,
V
a l

 

где 
1
1
; 
; 
; 
;  
.
n
n
z
z
a
a
a
a
a
l
l
l
l
l

 
  
  
  
  
  
Изменение объема внутренней полости с учетом приведенных 
выше выражений для V  и 
1
V  составит 

2
2
2
1
(1
(
)
) 1
.
z
z
V
V
V
a l
a l




 
 

 

Пренебрегая величинами второго порядка малости и выше, получаем 


2
(
,)
1
2
z
V
a l



   

где  
;
z
z

F

E
EA


 
 
 А – площадь поперечного сечения стержня, 

2
2
2 
(2 )
3
A
a
a
a



.
 

 

Выполнив соответствующие подстановки, окончательно запишем 



1
2
.
3

Fl
V
E

 

 
 

Задача 2. В заделке возникают реактивная сила 5
4 ql  и реактивный 
момент 
2
3
4 ql  (рис. 11). Начало отсчета координаты z 

выбираем в заделке. Продлим распределенную нагрузку до конца 

Рис. 11 

балки и введем компенсирующую нагрузку. Дифференциальное 
уравнение упругой линии имеет вид 

 
.
x
x
EI v
M
 
 
(1) 

Изгибающий момент в текущем сечении второго участка балки 

 

2
2
2
3
5
(
2 )
(
2 )3
. 
4
4
2
2
x
qz
z
l
M
ql
qlz
H z
l
q

 




 
(2) 

Подставив (2) в (1), получим 

 

2
2
2
1
3
5
(
2 )
(
2 )3
. 
4
4
2
2
x

qz
z
l
v
ql
qlz
H z
l
q
EI




 











 
(3) 

Проведем последовательное интегрирование выражения (3): 

2
3
2

3
0

1
3
5
4
4
2
6

(
2 )
(
)
(
2 )3
,
(
)
6

x

x
B B

z
z
v
C
ql z
ql
q
EI

z
l
H z
l EI
z
l
H z
l
q



 















 

где θB B
  – взаимный угол поворота в сечении B  (см. рис. 11);  

 

2
3
4
2

4

1
3
5
4
2
4
6
24

(
2 )
(
)
(
2 )
(
3
.
24
)

x

x
B B

z
z
z
v
D
Cz
ql
ql
q
EI

z
l
H z
l EI
z
l
H z
l
q





















 

Для нахождения констант интегрирования используем гранич-
ные условия: 
1) при 
0  
0; 2)
z
v


 при 
0 
0; 3)
z
v


при 
3  
0
z
l v


. 
Тогда 

3
0;
0; 
.
2
B B

x

ql
D
C
EI





 

С учетом найденных констант интегрирования окончательно по-
лучим 






 


4
2
2
3

4
3

1
3
5
8
24
24

2
2
.
2
8

x

z
v
ql z
qlz
q
EI

q z
l
ql
H z
l
z
l
H z
l




















 

Задача 3. Данная рама является шесть раз статически неопре-
делимой. Поскольку система имеет две оси обратной симметрии, 
неизвестным остается один силовой фактор 
1
X . Основная систе-
ма для рамы показана на рис. 12, эквивалентная система –  на 
рис. 13. 
Запишем каноническое уравнение метода сил: 

11
1
1
0.
P
X

 
