Автоматизированный лабораторный комплекс ТМл-18 «Двойной маятник»

Московский государственный технический университет
 имени Н.Э. Баумана

В.В. Дубинин, Ю.Н. Жигулевцев

Автоматизированный лабораторный
комплекс ТМл-18
«Двойной маятник»

Методические указания к лабораторной работе
по курсу «Теоретическая механика»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 531.5
ББК 22.21
        Д79
Рецензент А.В. Копаев
Дубинин В.В., Жигулевцев Ю.Н.
Автоматизированный лабораторный комплекс ТМл-18 «Двойной 
маятник»: Метод. указания к лабораторной работе по курсу
«Теоретическая механика». – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2006. – 18 с.: ил.

Методические указания содержат теоретические сведения, описание
схемы лабораторного комплекса, описание эксперимента и обработки
полученных данных.
Для студентов всех специальностей.
Ил. 12.

УДК 531.5
ББК 22.21

Методическое издание

Владимир Валентинович Дубинин
Юрий Николаевич Жигулевцев

Автоматизированный лабораторный
комплекс ТМл-18 «Двойной маятник»

Редактор Е.К. Кошелева
Корректор Л.И. Малютина
Компьютерная верстка  Е.В. Зимакова

Подписано в печать 29.09.2006. Формат  60х84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 1,25. Усл. печ. л. 1,05.  Уч.-изд. л. 0.95. Тираж 200 экз.
Изд № 73. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5.

                    
        
©
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

Д79

1. НАЗНАЧЕНИЕ И СОСТАВ ЛАБОРАТОРНОГО
КОМПЛЕКСА

Автоматизированный лабораторный комплекс ТМл-18 предназначен 
для экспериментального и теоретического исследования
колебаний парциальных систем и главных колебаний двойного
маятника. Лабораторный комплекс позволяет экспериментально
определить основные параметры колебательной системы, а затем,
построив математическую модель, сравнить результаты экспериментального 
исследования главных колебаний системы с данными, 
полученными при математическом моделировании.
Автоматизированный лабораторный комплекс ТМл-18 состоит
из прибора ТМл-18, аналого-цифрового преобразователя (АЦП),
ПЭВМ типа IBM PC и программного комплекса. Программа-
менеджер обеспечивает согласованное взаимодействие всех компонентов 
лабораторного комплекса (рис. 1).

Рис. 1. Блок-схема лабораторного комплекса

В модели двойного маятника (рис. 2) однородный стержень
О1А прикреплен к неподвижному основанию с помощью шарнирного 
узла О1, имеющего горизонтальную ось. На нижнем конце
стержня О1А закреплен шарнирный узел О2, имеющий ось, парал-
лельную оси шарнирного узла О1. К нижнему концу стержня O2B
прикреплен груз В. В шарнирных узлах О1 и О2 расположены дат-
чики, фиксирующие углы отклонения стержней О1А и О2В – α1 и
α2 соответственно.

 

A
O2

O1

P1

P2

B

l1 

l2

α 1

α 2

Рис. 2. Модель двойного маятника

Угол α1 является абсолютным углом отклонения стержня О1А
от вертикали, а угол α2 – относительный угол, т. е. угол поворота
стержня О2В вокруг оси шарнира О2 относительно стержня О1А.
В качестве чувствительного элемента в датчиках применены
потенциометры, которые питаются от АЦП постоянным напряже-
нием ±5 В.

2. СОСТАВЛЕНИЕ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ
УРАВНЕНИЙ ДВИЖЕНИЯ

Чтобы записать дифференциальные уравнения движения, сна-
чала необходимо принять физическую модель системы (см. рис. 2).
В качестве такой модели выберем систему твердых тел, соединен-
ных между собой цилиндрическим шарниром О2. Будем считать,
что стержни О1А и О2В имеют длины l1 и l2 соответственно и яв-
ляются невесомыми, а шарнирный узел О2 и груз В – точечные
массы, m1 и m2. Трением в шарнирах О1 и О2 и сопротивлением
воздуха пренебрегаем. На рис. 2 показаны силы тяжести P1 и P2,
равные m1g и m2g соответственно (g – ускорение свободного паде-
ния).
Для составления дифференциальных уравнений движения ме-
ханической системы воспользуемся уравнениями Лагранжа второ-
го рода.
Полагая углы α1 и α2 малыми, выражения для кинетической T и
потенциальной П энергий системы можно записать следующим
образом:

(
)
2
2
2
1 1
1
2
1
2
1
2 2
1
1
,
2
2
Т
m l
m
l
l
l
=
α +
⎡
+
α + α
⎤
⎣
⎦
                   (1)

(
)
(
)
2
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
.
2
2
П
m
m
gl
m gl
=
+
α +
α + α
                 (2)

Введем обозначения:

2
1
1

2
2
2
,
,
.
l
m
g
n
l
m
l
β =
γ =
=

С учетом принятых обозначений дифференциальные уравнения
движения можно представить так:

(
)
(
)
(
)

(
)

2
2
2
1
2
1
2

2
2
1
1
2
2

1
2
1
1
1
1
0,

1
0.

n
n

n
n

⎡
⎤
γ +
β + β +
α + β +
α + ⎡ γ +
β + ⎤
α +
α =
⎣
⎦
⎣
⎦
β +
α + α +
+
α =
α

  (3)

Сложность аналитического решения системы дифференциаль-
ных уравнений (3) обусловлена тем, что прибор ТМл-18 является
неразборным, и поэтому нельзя измерить значения масс m1 и m2,
которыми определяются значения коэффициента γ.

Коэффициент n определяет вторую (высшую) парциальную
частоту системы – n2. Значение этой частоты можно найти экспе-
риментально, закрепив стержень О1А. Значение первой (низшей)
парциальной частоты n1 также можно определить эксперименталь-
но. Для этого достаточно исследовать колебания системы, в кото-
рой оба стержня жестко скреплены между собой, т. е. расчетную
схему для этого случая можно представить в виде невесомого
стержня О1В, на котором закреплены точечные грузы А и В. Таким
образом, имеется возможность измерить длины l1 и l2 и экспери-
ментально определить значения частот n1 и n2.
Введем еще один коэффициент, учитывающий отношение пар-
циальных частот, – θ = (n1/n2)2.
Тогда коэффициент γ можно определить как

(
)

(
)

2
1
2
1
.
1

θ
+ β +
−β −
β
γ =
β
− θβ
                                    (4)

Итак, имеется возможность экспериментально-аналитическим
способом определить коэффициенты системы дифференциальных
уравнений:
(
)
(
)

2
11

12
21

22

1
2
1,

1 ,

1,

a

a
a

a

= γ +
+ β +
β

=
= β +

=

           

(
)
2
11

2
12
21

2
22

1
1
,

,

.

c
n

c
c
n

c
n

= ⎡ γ +
β + ⎤
⎣
⎦
=
=

=

             (5)

Учитывая введенные обозначения, собственные частоты ω1 и
ω2 системы можно определить по формуле

2
1, 2
,
A
B
A
=
±
−
ω
                                      (6)
где

(
)

2
11
22
22
11
12
12
11 22
12
2
2
11
22
12
11
22
12

2
,
.
2
c a
c a
c a
c c
c
A
B
a a
a
a a
a
+
−
−
=
=
−
−
                     (7)

После того как будут найдены собственные частоты, можно
определить коэффициенты распределения амплитуд:

2
11
11
2
12
12
,
1, 2.
i
i
i

c
a
i
c
a
−
ω
= −
=
η
−
ω
                                   (8)

Общее решение системы дифференциальных уравнений (3):

(
)
(
)

(
)
(
)

1
1
2
1
2
1
2

2
1
2
1
2
1
1
2
2

( )
sin
sin
,

( )
sin
sin
.

t
t
t
C
C

t
t
t
C
C

=
ω +
+
ω
+
ψ
ψ
α

=
ω +
+
ω
+
η
ψ
η
ψ
α
              (9)

Коэффициенты C1, C2, ψ1 и ψ2 определяют из начальных усло-
вий:
при t = 0

1
10
2
20

1
10
20
2

,
,

,
.

= α
α = α
α

= α
= α
α
α
                                 (10)

3. ПРОВЕДЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА И ОБРАБОТКА
ПОЛУЧЕННЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

3.1. Включение и запуск комплекса

С помощью кабеля, входящего в комплект установки ТМл-18,
следует подключить датчики углов поворота стержней маятника к
АЦП, размещенному в компьютере. При этом компьютер должен
быть выключен из сети.
Затем надо включить компьютер и запустить файл astart.bat.
На экране появится главное меню компьютерной системы (рис. 3).
В главном меню следует войти в раздел «Колебания двойного ма-
ятника».

Рис. 3. Главное меню компьютерной системы

Эксперимент должен проводиться в два этапа. На первом этапе
нужно будет зафиксировать колебания двух парциальных систем –
каждой по отдельности. После этого по полученным графикам
парциальных колебаний системы требуется рассчитать парциаль-
ные частоты, измерить длины маятников и перейти ко второму
этапу – исследованию главных колебаний.

3.2. Исследование парциальных систем

Исследование первой парциальной системы
Результатом экспериментального исследования должна быть
частота колебаний первой парциальной системы.

Рис. 4. Подменю лабораторной работы

В подменю лабораторной работы следует войти в раздел «Про-
ведение эксперимента» (рис. 4). При этом запустится программа,
обеспечивающая проведение физического эксперимента. После
запуска программы необходимо:
а) ввести имя файла, в котором будут размещены данные, по-
лученные экспериментально;
б) задать временной интервал между измерениями угла пово-
рота стержня маятника и ввести интервал времени проведения
эксперимента;

в) протарировать датчики углов поворота маятников. Для этого
следует груз А установить на верхний левый фиксатор, а груз В –
на нижний правый фиксатор и зафиксировать это положение. За-
тем надо вернуть стержни в вертикальное положение и также за-
фиксировать это положение;
г) после проведения тарировки необходимо скрепить между
собой стрежни О1А и О2В с помощью специального приспособле-
ния, входящего в комплект поставки установки;
д) установить груз А на левый верхний фиксатор, при этом оба
стержня окажутся повернутыми на одинаковый угол;
е) нажать на клавиатуре клавишу «Пробел» и отключить фик-
сатор – данные, снимаемые с датчиков, будут записаны в файле
под указанным вами именем; после окончания записи колебаний
первой парциальной системы программа вернется к пункту меню
«Проведение эксперимента» (см. рис. 4);
ж) обработать полученные данные. Для этого в подменю лабо-
раторной работы необходимо войти в раздел «Обработка данных и
моделирование». Диалоговая панель этого раздела имеет два окна
для вывода графиков колебаний реального маятника и математи-
ческой модели (рис. 5);

Рис. 5. Диалоговая панель парциальных систем

з) в меню этого раздела выбрать пункт «Обработка». При за-
пуске этого режима система запросит имя файла с эксперимен-

тальными данными, начальное значение угла отклонения и значе-
ние временного интервала записи колебаний маятника (значение
этого интервала может быть и меньше интервала записи). После
ввода этих данных запустится процедура обработки экспериментальных 
данных и построения графика, который будет выведен в
верхнем окне панели. Полученный график следует распечатать,
выбрав пункт меню «печ_Эксперимент» (рис. 6).

Рис. 6. Колебания первой парциальной системы. Экспериментальные кривые

Распечатанный график подлежит обработке для получения
первой парциальной частоты.
Исследование второй парциальной системы
Результатом экспериментального исследования должна быть
частота колебаний второй парциальной системы.
В подменю лабораторной работы следует войти в раздел «Проведение 
эксперимента» (см. рис. 4). При этом запустится программа, 
обеспечивающая проведение физического эксперимента. После 
запуска программы необходимо:
а) ввести имя файла, в котором будут размещены данные, полученные 
экспериментально;
б) задать временной интервал между измерениями угла поворота 
стержня маятника и ввести интервал времени проведения
эксперимента;