Автоматизированный лабораторный комплекс «Закон сохранения кинетического момента» (ТМл-05М)

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

В.В. Дубинин, Ю.Н. Жигулевцев,
В.В. Витушкин

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ
ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС
«ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ
КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА»
(ТМл-05М)

Методические указания
к выполнению лабораторной работы по курсу
«Теоретическая механика»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 521.3(076.5)
ББК 22.213
Д79

Д79

Рецензент А.В. Копаев

Дубинин В.В.
Автоматизированный лабораторный комплекс «Закон со-
хранения кинетического момента» (ТМл-05М) : метод. ука-
зания к выполнению лабораторной работы по курсу «Те-
оретическая механика» / В.В. Дубинин, Ю.Н. Жигулевцев,
В.В. Витушкин. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012. –
22, [2] с. : ил.

Дано описание лабораторного комплекса ТМл-05М, предназна-
ченного для исследования с применением ПЭВМ закона сохранения
кинетического момента механической системы. Приведены результа-
ты теоретического анализа и экспериментального исследования ра-
боты лабораторной установки, дано описание методики и порядка
выполнения лабораторной работы.
Для студентов второго курса, обучающихся по машиностроитель-
ным и приборостроительным специальностям.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.

УДК 521.3(076.5)
ББК 22.213

Учебное издание
Дубинин Владимир Валентинович
Жигулевцев Юрий Николаевич
Витушкин Вячеслав Валентинович

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС
«ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ КИНЕТИЧЕСКОГО МОМЕНТА» (ТМл-05М)

Редактор Е.К. Кошелева
Корректор
М.А. Василевская
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 01.02.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 1,4. Тираж 300 экз. Изд. № 7.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОГО КОМПЛЕКСА

Лабораторный комплекс «Закон сохранения кинетического мо-
мента» (ТМл-05М) является научно-методической разработкой ка-
федры «Теоретическая механика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Он
предназначен для демонстрации и исследования выполнения зако-
на сохранения кинетического момента механической системы от-
носительно неподвижной оси. С помощью этого комплекса можно
наблюдать и анализировать особенности движения механической
системы при различных вариантах вращения твердого тела, входящего 
в состав системы.
Комплекс состоит из лабораторной электромеханической установки 
ТМл-05М, блока управления и ПЭВМ, связанных между собой 
интерфейсным кабелем (рис. 1). Персональная ЭВМ оснащена 
интерфейсной платой для аналого-цифрового преобразования

Рис. 1. Общий вид лабораторного комплекса ТМл-05М

3

и ввода в ПЭВМ сигналов с датчиков лабораторной установки, а
также оригинальным программным обеспечением.
На электромеханической установке ТМл-05М проводится лабораторная 
работа по теме «Закон сохранения кинетического момента 
системы относительно оси».
Теорема об изменении кинетического момента ¯KO механической 
системы относительно неподвижной точки O в векторной
форме имеет вид:

d ¯KO
dt
=

N
k=1
¯
MO( ¯F (e)
k ),

где

N
k=1
¯
MO( ¯F (e)
k ) — сумма моментов внешних сил, приложенных

к точкам механической системы, относительно точки O.
Из этого равенства в проекции на какую-либо неподвижную
ось Oz получим выражение теоремы об изменении кинетического
момента системы относительно этой оси:

dKz
dt
=

N
k=1
Mz( ¯F (e)
k ).

Если
в
течение
некоторого
интервала
времени
значение
N
k=1
Mz( ¯F (e)
k ) остается равным нулю, то в течение этого времени

Kz = const.
(1)

Равенство (1) выражает закон сохранения кинетического момента
механической системы относительно оси Oz.
Общий вид и схема лабораторной установки приведены на
рис. 2.
Установка укреплена на неподвижном основании 1. Подвиж-
ная часть установки состоит из ротора электродвигателя с диском
2, корпуса электродвигателя 3, установленного в опорах 4 вилки
5. Электродвигатель приводит во вращение вокруг оси Oz1 ро-
тор с диском. Вилка 5 может вращаться относительно основания
1 вокруг вертикальной оси Oz. Ось Oz1 корпуса электродвигате-
ля и ротора с диском может поворачиваться относительно оси Ox

4

Рис. 2. Общий вид (а) и схема (б) лабораторной установки

опор 4, образуя угол α с вертикалью (осью Oz). Значения угла α
могут изменяться в диапазоне 0 . . . 90◦. Установка снабжена индук-
тивными датчиками (датчики Холла) для измерения угловых ско-
ростей вилки и диска. Датчик угловой скорости вилки (на рис. 2 не
показан) установлен в основании 1, а датчик 6 угловой скорости
диска закреплен на корпусе электродвигателя.
Включив электродвигатель, сообщим диску угловую скорость
¯ωr относительно оси Oz1. Ось Oz1 электродвигателя установим
под углом α = 0 . . . 90◦ к вертикали. При этом вилка и корпус
электродвигателя, а также диск начнут вращаться вокруг оси Oz
в опорах A и B основания 1 (рис. 3, где позиции 1, 4 совпадают с
теми же позициями на рис. 2).

Рис. 3. Схема осей координат, угловых скоростей и сил, действующих
на лабораторную установку

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Пренебрегаем в первом приближении трением в опорах A, B.
Поскольку силы тяжести составных частей лабораторной установ-
ки параллельны вертикальной оси Oz, а реакции ¯RAи ¯RB пере-

секают эту ось, то

N
k=1
Mz( ¯F (e)
k ) = 0 и, как указывалось выше,

Kz = const.
Если в начальный момент времени все тела неподвижны, то
Kz = 0.
Для механической системы значение Kz равно сумме кинети-
ческих моментов ротора c диском (K(д)
z ), корпуса электродвигателя
(K(дв)
z
) и вилки (K(в)
z ):

Kz = K(д)
z
+ K(дв)
z
+ K(в)
z .
(2)

Введем систему координат Oxyz, связанную с вилкой. Система
координат Ox1y1z1 жестко связана с электродвигателем. Оси Ox и
Ox1 перпендикулярны плоскости Oyz (см. рис. 3).

6

Включив электродвигатель, сообщим диску относительную
угловую скорость ¯ωr. Вилка, корпус электродвигателя и ротор
с диском начнут вращаться вокруг оси Oz с угловой скоростью
¯ωe. Эта угловая скорость является перен´осной угловой скоростью
для ротора и диска. Ось вращения Oz1 пересекается с осью Oz в
точке O, и диск совершает сферическое движение. Его абсолютная
угловая скорость
¯ωд = ¯ωr + ¯ωe.
(3)
Угловые скорости вилки и корпуса электродвигателя при вращении
вокруг оси Oz равны ¯ωe:

¯ωдв = ¯ωв = ¯ωe.
(4)

Лабораторная установка оснащена датчиками, которые позволяют 
фиксировать угловые скорости ¯ωr, ¯ωe и выполнить лабораторную 
работу, обработав экспериментальные данные с помощью
ПЭВМ [1].
Определим кинетические моменты ротора с диском, корпуса 
электродвигателя и вилки относительно неподвижной оси Oz.
Угловая скорость относительного вращения ¯ωr диска вокруг оси
Oz1 сообщается электродвигателем, переносная угловая скорость
¯ωe возникает у всей системы диск — корпус электродвигателя —
вилка. Вектор ¯ωe направлен по оси z.
Оси Ox1, Oy1, Oz1 — главные оси инерции в точке O для диска
и корпуса двигателя. Ось Oz является главной центральной осью
инерции для вилки.
Абсолютная угловая скорость ротора с диском

¯ωд = ¯ωr + ¯ωe.

Проекции этой угловой скорости на оси Ox1y1z1 подвижной системы 
координат определяются соотношениями

ωдx1 = 0,
ωдy1 = −ωez sin α,
ωдz1 = ωrz1 + ωez cos α.

Отметим, что если ωez > 0, то ωдy1 < 0. На рис. 3 ωez < 0,
поэтому ωдy1 > 0, что соответствует расположению всех векторов
на рис. 3, где ωez < 0, ωez = − |¯ωe|.
Проекции кинетического момента ротора с диском на оси
Ox1, Oy1, Oz1 (кинетические моменты диска относительно осей
Ox1y1z1) равны:

7

K(д)
x1 = J(д)
x1 ωдx1 = 0,
K(д)
y1 = J(д)
y1 ωдy1 = −J(д)
y1 ωez sin α,

K(д)
z1 = J(д)
z1 ωдz1 = J(д)
z1
ωrz1 + ωez cos α
.
Кинетический момент диска относительно точки O равен

¯K(д)
O
= K(д)
x1 ¯i1 + K(д)
y1 ¯j1 + K(д)
z1 ¯k1

или

¯K(д)
O
= −J(д)
y1 (ωez sin α) ¯j1 + J(д)
z1
ωrz1 + ωez cos α
¯k1.

Используя выражение для ¯K(д)
O , получим кинетический момент
ротора с диском относительно оси Oz:

K(д)
z
= ( ¯K(д)
O )z = −K(д)
y1 sin α + K(д)
z1 cos α =

= J(д)
y1 ωez sin2 α + J(д)
z1 (ωrz1 + ωez cos α) cos α =

= J(д)
z1 ωrz1 cos α + ωez(J(д)
y1 sin2 α + J(д)
z1 cos2 α) .

Определим кинетический момент относительно оси Oz для
корпуса электродвигателя. Угловая скорость ¯ωдв корпуса электродвигателя 
равна ¯ωe, а ее проекции на подвижные оси Ox1y1z1
определяются соотношениями

ωдвx1 = 0,
ωдвy1 = −ωez sin α,
ωдвz1 = ωez cos α.

Кинетические моменты корпуса электродвигателя относительно
осей Ox1, Oy1, Oz1, относительно точки O и относительно оси
Oz соответственно равны:

K(дв)
x1
= 0, K(дв)
y1
= −J(дв)
y1
ωez sin α, K(дв)
z1
= J(дв)
z1
ωez cos α,

¯K(дв)
O
= −J(дв)
y1
ωez sin α¯j1 + J(дв)
z1
ωez cos α ¯k1,

K(дв)
z
=
¯K(дв)
O
z = J(дв)
y1
ωez sin2 α + J(дв)
z1
ωez cos2 α.

Кинетический момент вилки относительно оси Oz равен

K(в)
z
= J(в)
z
ω(в)
z ,

где ω(в)
z
= ωez.

8

Определим кинетический момент системы диск с ротором —
корпус электродвигателя — вилка относительно оси Oz:

Kz = K(д)
z
+ K(дв)
z
+ K(в)
z
или

Kz = J(д)
y1 ωez sin2 α + J(д)
z1
ωrz1 + ωez cos α
cos α+

+J(дв)
y1
ωez sin2 α + J(дв)
z1
ωez cos2 α + J(в)
z
ωez,

причем Kz = 0. Тогда

ωez
J(д)
y1 sin2 α + J(д)
z1 cos2 α + J(дв)
y1
sin2 α + J(дв)
z1
cos2 α +

+ J(в)
z
+ J(д)
z1 ωrz1 cos α = 0.

Отсюда получим

ωez = −
J(д)
z1 ωrz1 cos α

(J(д)
y1 + J(дв)
y1
) sin2 α + (J(д)
z1 + J(дв)
z1
) cos2 α + J(в)
z
.
(5)

Замечание. Можно определить кинетические моменты K(д)
z ,
K(дв)
z
несколько иначе. Воспользуемся формулой для проекции
кинетического момента Kz на ось Oz в виде

Kz = −Jxz ωx − Jyz ωy + Jz ωz.

Для диска с ротором проекции угловой скорости на оси Ox, Oy,
Oz равны

ωдx = 0,
ωдy = ωrz1 sin α,
ωдz = ωez + ωrz1 cos α.

Ось Ox в точке O для диска с ротором — главная ось инерции,
поэтому J(д)
xz = 0.
Кинетический момент относительно оси Oz равен

K(д)
z
= −J(д)
yz ωдy + J(д)
z
ωдz
или

K(д)
z
= −J(д)
yz ωrz1 sin α + J(д)
z
ωez + ωrz1 cos α
.

Центробежный момент инерции J(д)
yz выразим через моменты
инерции относительно главных осей Oy1, Oz1:

J(д)
yz = (J(д)
y1 − J(д)
z1 ) sin α cos α.

9

Момент инерции J(д)
z
выразим через главные моменты инерции
относительно осей Ox1, Oy1, Oz1:

J(д)
z
= J(д)
x1 cos2 α1 + J(д)
y1 cos2 β1 + J(д)
z1 cos2 γ1,

где α1, β1, γ1 — углы между осью Oz и осями Ox1, Oy1, Oz1;
здесь α1 = 90◦, β1 = 90◦ + α, γ1 = α.
Окончательно получим

J(д)
z
= J(д)
y1 sin2 α + J(д)
z1 cos2 α.
(6)

Запишем теперь выражение

K(д)
z
= −(J(д)
y1 − J(д)
z1 ) sin2 α cos αωrz1+

+(J(д)
y1 sin2 α + J(д)
z1 cos2 α)(ωez + ωrz1 cos α) =

= ωrz1 cos α J(д)
z1 + ωez(J(д)
y1 sin2 α + J(д)
z1 cos2 α).

Для корпуса двигателя ось Ox — главная ось инерции в точке
O, поэтому J(дв)
xz
= 0, а

¯ωдв = ¯ωe,
ωдвx = 0,
ωдвy = 0,
ωдвz = ωez.

Тогда
K(дв)
z
= J(дв)
z
ωez.

Момент инерции J(дв)
z
определим, как и момент инерции
J(д)
z
, т. е.

J(дв)
z
= J(дв)
y1
sin2 α + J(дв)
z1
cos2 α.
(7)

Для K(д)
z
и K(дв)
z
получили те же выражения, что и ранее.
Формулу (5) с учетом выражений (6) и (7) можно записать [2]
так:

ωez = −
J(д)
z1 cos α ωrz1
J(д)
z
+ J(дв)
z
+ J(в)
z
,
(5а)

где J(д)
z
, J(дв)
z
и J(в)
z
— моменты инерции, соответственно, ротора
с диском, корпуса электродвигателя и вилки относительно непо-
движной оси Oz.
Формулу (5) можно использовать в том случае, если моменты
инерции вилки, ротора с диском и корпуса электродвигателя J(в)
z ,
J(д)
y1 , J(дв)
y1
, J(д)
z1 , J(дв)
z1
легко определять расчетом. Если же это

10