Автоматизированный лабораторный комплекс «Двойной маятник ТМЛ-02М»

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

В.В. Дубинин, Ю.Н. Жигулевцев, В.В. Витушкин 

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ  
ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС 
«ДВОЙНОЙ МАЯТНИК» ТМл-02М 

 
Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

 

Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2010 

УДК 521.3 
ББК 22.213 
       Д79 

Рецензенты: С.В. Зотов, А.В. Копаев 

Дубинин В.В. 
Д79 
Автоматизированный лабораторный комплекс «Двойной 
маятник» ТМл-02М : учеб. пособие / В.В. Дубинин, Ю.Н. Жи-
гулевцев, В.В. Витушкин. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2010. – 34, [2] с. : ил.  
 
Дано описание лабораторного комплекса, предназначенного для 
демонстрации и исследования с применением ПЭВМ колебательного 
движения механической системы с двумя степенями свободы – двойного 
маятника. Проведены теоретический анализ и экспериментальное 
исследование функционирования лабораторной установки, рассмотрены 
методика и порядок выполнения лабораторной работы. 
Для студентов всех специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
изучающих курс «Теоретическая механика». 

                                                                                                          УДК 521.3 
ББК 22.213 

Учебное издание 

Дубинин Владимир Валентинович 
Жигулевцев Юрий Николаевич 
Витушкин Вячеслав Валентинович 

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС 
«ДВОЙНОЙ МАЯТНИК» ТМл-02М 

Редактор В.М. Царев 
Корректор Е.В. Авалова 
Компьютерная верстка А.Ю. Ураловой 

Подписано в печать 06.12.2010. Формат 60×84/16. 
Усл. печ. л. 2,09. Тираж 300 экз. Изд. № 5. Заказ 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана. 
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5. 

 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

ОПИСАНИЕ КОМПЛЕКСА 

Одной из важных и актуальных проблем механики является 
исследование колебаний механических систем с несколькими 
степенями свободы. При этом даже при числе степеней свободы 
системы, равном двум, задача теоретического исследования ее 
колебаний представляется достаточно сложной. В данном посо-
бии на примере двойного маятника изложены основы теории ко-
лебательного движения системы с двумя степенями свободы и 
рассмотрен экспериментальный метод детального и наглядного 
изучения такого движения. На кафедре теоретической механики 
МГТУ им. Н.Э. Баумана разработан автоматизированный лабора-
торный комплекс «Двойной маятник» ТМл-02М (ТМл-18 в более 
ранней индексации), позволяющий проводить лабораторные ра-
боты при изучении теории колебаний (рис. 1).  
Лабораторный комплекс дает возможность экспериментально 
определить основные параметры колебательной системы, а затем, 
построив математическую модель, провести сравнение результа-
тов исследования главных колебаний системы с данными, полу-
ченными при математическом моделировании. Комплекс включает 
экспериментальный стенд с вертикальной панелью, на которой 
установлен двойной маятник, снабженный датчиками угловых по-
ложений его частей, блок питания датчиков и аналого-цифровой 
преобразователь их сигналов, связанный с ПЭВМ. 
Программное обеспечение установки выполнено в двух ва-
риантах: в среде системы LabView 7.0 (Laboratory Virtual In-
struments Engineering Workbench – среда разработки лабора-
торных виртуальных приборов) фирмы National Instruments в 
виде виртуального прибора, реализующего алгоритм выполне-
ния лабораторной работы, а также в оригинальном исполне-
нии, разработанном на кафедре теоретической механики МГТУ 
им. Н.Э. Баумана. В обоих вариантах программное обеспечение 

позволяет проводить теоретические расчеты, а также ввод и об-
работку экспериментальных данных в реальном масштабе вре-
мени. Экспериментальные данные вместе с теоретическими за-
висимостями выводятся на экран виртуального прибора в виде 
соответствующих графиков. 

Рис. 1. Общий вид лабораторного комплекса 

Данный лабораторный комплекс обеспечивает эксперимен-
тальное и теоретическое исследование колебаний парциальных 
систем и главных колебаний двойного маятника. Структурная схе-
ма лабораторного комплекса представлена на рис. 2. 
Программа-менеджер обеспечивает согласованное взаимодей-
ствие всех компонентов лабораторного комплекса. 
На рис. 3 приведена схема лабораторной установки комплекса. 

Рис. 2. Структурная схема лабораторного комплекса 

Однородный стержень 1 (О1А) прикреплен к неподвижному 
основанию с помощью шарнирного узла О1, имеющего горизон-
тальную ось, перпендикулярную передней панели 2 установки. На 
нижнем конце стержня О1А посредством шарнирного узла О2 с 
осью, параллельной оси шарнирного узла О1, закреплен второй 
стержень 3 (O2B). К концам стержней О1А и O2B прикреплены со-
ответственно грузы А и В. В шарнирных узлах О1 и О2 расположе-
ны датчики, фиксирующие углы отклонения стержней О1А и О2В – 
углы 1 и 2. Угол 1 является абсолютным углом отклонения 
стержня О1А от вертикали, а 2 – относительным, т. е. углом пово-
рота стержня О2В вокруг оси шарнира О2 относительно стержня 
О1А. В качестве чувствительных элементов в датчиках применены 
потенциометры с питанием постоянным напряжением ±5 В. На 
передней панели 2 установлены также фиксаторы 4, 5 и 6 положе-
ний грузов А и В. Эти фиксаторы выполнены в виде выступающих 

из панели 2 стержней (якорей электромагнитов), взаимодейст-
вующих с отверстиями грузов А и В. 

1
P

2
P

 

Рис. 3. Схема лабораторной установки комплекса 

В работе исследуют свободные колебания двойного физиче-
ского маятника, состоящего из двух тонких стержней, на концах 
которых сосредоточены массивные тела, сопротивление не учиты-
вается. Рассматривают при выбранных обобщенных координатах 
его парциальные системы и главные колебания. Экспериментально 
определяют парциальные частоты, а экспериментально и теорети-
чески – собственные частоты двойного маятника и коэффициенты 
форм главных колебаний. 
Для обеспечения главных колебаний механической системы 
проведено обоснование и получены конкретные данные по выбору 
начальных условий движения маятника. 

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ 

1. Выбор расчетной модели двойного маятника 

Будем моделировать колебания двойного маятника с помощью 
движения двух невесомых шарнирно соединенных между собой 
стержней O1A = l1, O2B = l2 (рис. 4). 

2


1


BA
V

A
V

B
V

1h

1
P

2
P
2
h

 

Рис. 4. Расчетная модель двойного маятника 

Стержень O1А имеет неподвижную ось вращения O1z. Массы 

1
m  и 
2
m  сосредоточены в точках A и B. 
Выберем обобщенные угловые координаты: 
1
  отсчитывается 
от вертикали и определяет положение стержня O1A, 
2
  отсчиты-
вается от направления первого стержня O1A. 

2. Составление дифференциальных уравнений движения  
системы с двумя степенями свободы (двойного маятника) 

Используем уравнения Лагранжа второго рода. 
Определим кинетическую энергию маятника 

2
2

2
2
2
1
B
A
v
m
v
m
Т


, 

где 














2
1
2
1
2
2
1
1
2
1
2
)
(
   
;
  
);
(
;




l
v
v
v
l
v
l
v
v
v
v
BA
A
B
A
BA
BA
A
B
 

2
2
2
1
2
1
1 2
1
2
2
(
)
2
(
)cos
,
l
l
l

  


  






 при малых углах 
.1
cos
2 

 
Окончательно получим 

 







2
2
2
2
2
1 1
2
1
2
1
2 2
1
2
1
2
2 2
2
1
2
2
T
m l
m
l
l
m l
l
l
m l





 

  


 
 

. (1) 

Потенциальная энергия системы  

1
2
1
1
2
2
(
)
(
)
,
П
П P
П P
m gh
m gh




 

где  

1
1
2
2
;
;
P
m g
P
m g


 1
1
1
(1
);
h
l



cos
  

2
1
2
1
1
2
1
2
cos(
).
h
l
l
l
l
 

 
 
cos
  

Для малых значений 
1
  и 
2
  имеем 

2
1
1
1
2
1
2
1
1
2
1
2
1
2
,
2
h
l
h
l
l
l
l


 

 

 



cos
(cos
cos
sin
sin
)
 

2
2
2
2
2
1
1
1
2
1
2
1
2
2
2
1
2
1
(
)
1
1
2
2
2
2
2
l
l
l
l
l
.









 





 

















 

Выражение для потенциальной энергии принимает вид 

 




2
2
1
2
1
2 2
1
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
П
( m
m )l
m l
g
m gl
m gl



 
  

. 
(2) 

Для малых колебаний системы с двумя степенями свободы при 
стационарных связях кинетическая и потенциальная энергии в общем 
виде выражаются соотношениями 

 


2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
2
1
q
a
q
q
a
q
a
T







, 
(3) 

 


2
2
22
2
1
12
2
1
11
2
2
1
q
c
q
q
c
q
c
П



, 
(4) 

где 
ij
ij
c
a
 и 
 – коэффициенты инерции и жесткости системы, 

,
1, 2
i j 
. 
Из сравнения выражений (1) и (2) для кинетической и потенциальной 
энергий с теоретическими соотношениями (3), (4) получим 
коэффициенты инерции 

2
2
2
22
2
1
2
2
12
2
2
1
2
2
1
1
11
),
(
,
)
(
l
m
a
l
l
l
m
a
l
l
m
l
m
a






 

и коэффициенты жесткости 



11
1
2
1
2 2
12
22
2 2
,
.
c
m
m
l
m l
g
c
c
m l g








 

Уравнения Лагранжа второго рода для маятника имеют вид 

,
,
2
1
2
2
1
1


















Q
T
T
dt
d
Q
T
T
dt
d


 

здесь 

;0

2
1








T
T
 





1
1
2
1
2 2
1
2 2
2
1
;
П
Q
m
m
l
m l
g
m l g



 


  




 



2
2 2
1
2 2
2
2
;
П
Q
m l g
m l g




 


 





2
2
1 1
2
1
2
1
2 2
1
2
2
1
;
d
T
m l
m
l
l
m l
l
l
dt






 








 



2
2 2
1
2
1
2 2
2
2
.
d
T
m l
l
l
m l
dt



 





 

Теперь дифференциальные уравнения движения двойного маятника  

0

,0

2
22
2
22
1
12
1
12

2
12
2
12
1
11
1
11


















c
a
c
a

c
a
c
a






 

можно записать в виде 

 










2
2
1 1
2
1
2
1
1
2
1
2 2
1

2 2
1
2
2
2 2
2

2
2 2
1
2
1
2 2
1
2 2
2
2 2
2

(
)

0,

0.

m l
m l
l
m
m
l
m l
g

m l
l
l
m l g

m l
l
l
m l g
m l
m l g





 


  







 
 


 
 
 
 








 
(5) 

Введем величины 
,
,
2
1
2
1
m
m
l
l




 а также 
.
l
g
n
2
2 
 

Разделив на 
2
2
2l
m
, получим 





2
2
2
11
2
2 2
1
1
2
1,
a

m l
 


   
 

12
22
2
2
2 2
2 2
1
,
1,
a
a

m l
m l

  

 



2
2
11
12
22
2
2
2
2 2
2 2
2 2
1
1
,
,
с
c
c
n
n
m l
m l
m l
 
 




 

тогда дифференциальные уравнения (5) движения механической 
системы приобретают вид 











2
2
2
1
1
2
2

2
2
1
1
2
2

1
2
1
1
1
1
0,

1
0

n
n

n
n
.



     
    
  
 
   
 





   
   
 






 (6) 

3. Парциальные системы 

Получим парциальные системы для данной механической системы – 
двойного маятника – при выбранных обобщенных координатах 
.

2
1, 

 
Пусть 
,0
1 

 
,0
2 

 тогда имеем первую парциальную систему (
рис. 5).