Автоматизированный лабораторный комплекс «Вынужденные колебания механической системы с инерционным возмущением ТМл-07М»

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

В.В. Дубинин, Ю.Н. Жигулевцев,
В.В. Витушкин

АВТОМАТИЗИРОВАННЫЙ
ЛАБОРАТОРНЫЙ КОМПЛЕКС
«ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ
МЕХАНИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
С ИНЕРЦИОННЫМ ВОЗМУЩЕНИЕМ»
ТМл-07М

Методические указания к выполнению лабораторной
работы по курсу «Теоретическая механика»

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2010

УДК 531.3
ББК 22.21
Д79

Д79

Р е ц е н з е н т
А.В. Копаев

Дубинин В.В.
Автоматизированный лабораторный комплекс «Вынужденные 
колебания механической системы с инерционным возмущением» 
ТМл-07М : метод. указания к выполнению лабораторной 
работы по курсу «Теоретическая механика» / В.В. Дубинин, 
Ю.Н. Жигулевцев, В.В. Витушкин. – М. : Изд-во МГТУ
им. Н.Э. Баумана, 2010. – 26, [2] с. : ил.

Приведено описание лабораторного комплекса, предназначенного
для исследования с применением ПЭВМ колебаний механической системы 
с инерционным возмущением. Проведен теоретический анализ
и экспериментальное исследование работы лабораторной установки, 
дано описание методики и порядка выполнения лабораторной
работы.
Для студентов 2-го курса, обучающихся по машиностроительным
и приборостроительным специальностям.
УДК 531.3
ББК 22.21

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010

1. ОПИСАНИЕ КОМПЛЕКСА

Рассматриваемый в данной работе лабораторный комплекс
ТМл-07М «Вынужденные колебания механической системы с
инерционным
возмущением»
является
оригинальной
научно-
методической разработкой кафедры «Теоретическая механика»
МГТУ им. Н.Э. Баумана. Он позволяет проводить эксперименты
по изучению вынужденных колебаний механической системы с
инерционным возбуждением. Комплекс состоит из электромеханической 
установки с блоком управления, аналого-цифрового преобразователя (
АЦП), ПЭВМ и программно-методического обеспечения. 
Общий вид лабораторного комплекса приведен на рис. 1.

Рис. 1. Общий вид лабораторной установки

Электромеханическая лабораторная установка (рис. 2) представляет 
собой механическую систему, состоящую из тележки 1, перемещающейся 
на неподвижном основании по направляющим (рельсам) 
2 в горизонтальном направлении, и установленного на тележке 
маятника c грузом 9, который может закрепляться на стержне 
8 на различных расстояниях от точки O. Маятник может поворачиваться 
вокруг горизонтальной оси, проходящей через точку
O и перпендикулярной направлению движения тележки. Установ-
ка приводится в движение электродвигателем 4, закрепленным на

3

Рис. 2. Схема лабораторной установки:
1 – тележка; 2 – направляющие (рельсы); 3 – груз; 4 – электродвигатель; 5 –
кривошип; 6 – тяга; 7 – рычаг; 8 – стержень; 9 – груз; 10 – пружина

тележке. Вращение вала электродвигателя через червячный редук-
тор и муфту передается кривошипному механизму с регулируемым
эксцентриситетом. Кривошип 5 в виде эксцентрика на муфте через
тягу 6 соединен с рычагом 7, закрепленным на общей с маятником
оси. Кроме того, на тележке 1 с целью увеличения ее массы могут
быть установлены дополнительные грузы 3. Питание электродви-
гателя и управление скоростью его вращения осуществляется с
помощью блока управления.
Таким образом, маятник совершает вынужденные колебания
по закону, близкому к синусоидальному. Эти колебания и обес-
печивают формирование возмущающего воздействия на тележку.
Угловые отклонения маятника измеряются с помощью потенцио-
метрического датчика, установленного на его оси. Для измерения
перемещений тележки на ней установлен индуктивный датчик.
Сигналы датчиков поступают через усилитель блока управления
на аналого-цифровой преобразователь. Установка позволяет реги-
стрировать колебательные движения тележки и маятника и полу-
чать амплитудно-частотную (АЧХ) и фазочастотную (ФЧХ) харак-
теристики вынужденных колебаний тележки.

4

Установка может быть использована для выполнения лабо-
раторных работ в различных вариантах. Здесь представлена ла-
бораторная работа, которая проводится при полном оснащении
установки: тележка соединена с неподвижным основанием двумя
пружинами, а маятнику сообщается от электродвигателя принуди-
тельное колебательное движение. В этом случае изучают устано-
вившееся колебательное движение тележки.
Лабораторная работа проводится по принципу сравнения экс-
периментальных и теоретических данных.
Для вынужденных колебаний тележки, вызванных возмуще-
нием инерционного типа, при изменении частоты вынужденных
колебаний строят теоретические АЧХ и ФЧХ вынужденных коле-
баний тележки.
Экспериментальные данные отображаются в виде совокупно-
сти точек, соответствующих оценкам параметров (частота, амплитуда 
и фаза) каждого периода вынужденных колебаний при изменении 
частоты возмущения в некотором диапазоне частот.
Вычисление амплитуды и фазы осуществляется на основе анализа 
сигналов, снимаемых с датчиков угла отклонения маятника
и линейного перемещения тележки, т. е. сигналов возмущения и
вынужденных колебаний.
Запись сигналов и их обработку, получение параметров вынужденных 
колебаний тележки проводят с помощью аппаратно-
программного комплекса ПЭВМ.
Пары измерений «частота – амплитуда», «частота – фаза» отображаются 
в виде точек на экране дисплея, и при постепенном
изменении частоты возмущения они сливаются в размытые линии,
которые отображают реальные АЧХ и ФЧХ соответственно.
Программное обеспечение рассматриваемого комплекса реализовано 
в среде системы LabVIEW 7.0 (Laboratory Virtual Instruments
Engineering Workbench – среда разработки лабораторных виртуальных 
приборов) фирмы National Instruments в виде виртуального
прибора ТМл-07М.vi, реализующего алгоритм выполнения лабораторной 
работы.
Система LabVIEW представляет собой интегрированную среду 
графического программирования и выполнения задач автома-
тизации измерений и экспериментов, обеспечивающую ввод и
обработку экспериментальных данных с отображением результа-
тов обработки в реальном масштабе времени. Экспериментальные

5

данные вместе с указанной теоретической зависимостью выводят-
ся на экран виртуального прибора в виде массива точек.

2. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Рассмотрим линеаризованную математическую модель движе-
ния тележки. Расчетная схема установки представлена на рис. 3.
Здесь условно электродвигатель и механизм привода маятника не
показаны.

Рис. 3. Расчетная схема установки:
1 – маятник; 2 – тележка; 3 – колеса

Маятник 1 приводится в колебательное движение с помощью
двигателя, установленного на тележке 2. Масса тележки M. Масса
маятника сосредоточена в точке C. Длина маятника OC = l. Коле-
са 3 совершают плоское движение, но в силу малой массы будем
учитывать их массу в общей массе M тележки при ее поступатель-
ном прямолинейном движении (вращение колес не учитывается).
Система имеет две степени свободы, введены две обобщенные
координаты: x — линейное перемещение тележки и ϕ — угловое от-
клонение маятника. Изменение координаты ϕ задано, а уравнение
x = x(t) необходимо определить.

6

Примем, что колеса катятся без скольжения, поэтому работа
сил ˉN, ˉN′, ˉFтр, ˉF ′
тр на перемещении тележки равна нулю.
Для составления дифференциального уравнения движения те-
лежки используем уравнение Лагранжа II рода:

d
dt
∂T
∂ ˙x − ∂T
∂x = Qx,

где кинетическая энергия системы

T = M ˙x2

2
+ mv2

C
2
.

Возможен более точный учет распределения массы маятника,
совершающего плоское движение. Например, можно отдельно учи-
тывать массу стержня маятника, считая его однородным стержнем
с силой тяжести, приложенной в точке C1 (при OC1 = l/2).
Скорость тележки
ˉv = ˉvx + ˉvy,
где vx = ˙x и vy = 0.
Скорость точки С
ˉvC = ˉve + ˉvr,
где ˉve = ˉv, а vr = OC ∙ ˙ϕ = l ˙ϕ.
Тогда

v2
C = (ˉve + ˉvr)2 = ˙x2 + l2 ˙ϕ2 + 2 ˙xl ˙ϕ cos (π − ϕ) =
= ˙x2 + l2 ˙ϕ2 − 2 ˙xl ˙ϕ cos ϕ.

Обобщенная сила

Qx = [−c (x0 + x) − c (x − x0)] δx
δx
= −2cx.

Здесь c – жесткость пружин; x0 — начальная деформация пружин.
Запишем уравнение для кинетической энергии:

T = (M + m) ˙x2

2
− m ˙xl ˙ϕ cos ϕ + ml2 ˙ϕ2

2
.

Тогда уравнение Лагранжа II рода примет вид

(M + m) ¨x − ml
¨ϕ cos ϕ − ˙ϕ2 sin ϕ
= −2cx,

или
(M + m) ¨x + 2cx = ml
¨ϕ cos ϕ − ˙ϕ2 sin ϕ
.
(1)

7

В правой части дифференциального уравнения (1) вынужден-
ных движений находится нелинейная обобщенная возмущающая
сила.
При малом значении ϕ правая часть уравнения (1) приближен-
но равна
ml
¨ϕ − ˙ϕ2ϕ
.

Здесь ¨ϕ — величина первого порядка малости, а ˙ϕ2ϕ — величина
третьего порядка.
Угол ϕ задается принудительно, и ϕ = ϕ0 sin (ωt + δ), где ϕ0
и ω – амплитуда и частота кинематического параметра возмущения 
ϕ. Амплитуда ϕ0 фиксируется датчиком. Определим первую и
вторую производные по времени параметра ϕ:

˙ϕ = ϕ0ω cos (ωt + δ);
¨ϕ = −ϕ0ω2 sin(ωt + δ).

В силу предположения того, что ϕ – малая величина, линейное
дифференциальное уравнение (1) примет вид

(M + m) ¨x + 2cx = ml¨ϕ = −mlϕ0ω2 sin (ωt + δ),

или
¨x + K2x = −h sin (ωt + δ),
(1а)
где

K =

2c
M + m;
h = mlϕ0ω2

M + m .

Здесь K – частота свободных (собственных) колебаний системы
без учета сопротивления (по координате x).
Нас интересуют лишь вынужденные колебания тележки (системы). 
Решение будем искать в виде

x = aв sin (ωt + δ),

где aв согласно уравнению (1а) определяется соотношением

−aвω2 + aвK2 = −h,

откуда
aв =
h
ω2 − K2 .

Окончательно получим

x =
h
ω2 − K2 sin (ωt + δ).

8

Амплитудное значение x

aв =
mlϕ0ω2

(M + m) (ω2 − K2) =
mlϕ0Z2

(M + m) (Z2 − 1),

здесь Z = ω/K — коэффициент расстройки; ω — круговая частота
вынужденных колебаний.
Если не учитывать сопротивление, то разность фаз ε составит 
0, π/2, π в зависимости от соотношения ω и K.
Необходимо определить параметры установки: с – жесткость
пружин; M, m – массы тележки и маятника с грузом С; l — длину
маятника.
Найдем также ϕ0 — максимальное значение угла отклонения
маятника от вертикали. Величина aв = |xm|. Для эксперимента

необходимо определить K =

2c
M + m. При проведении эксперимента 
устанавливают (задают) частоту возмущающего воздействия
ω и фиксируют величину xm — максимальное смещение тележки.
Введем величину λ =
aв
lϕ0
— коэффициент динамичности,

тогда

λ = aв
lϕ0
=
m
M + m
Z2

|Z2 − 1|.
(2)

Теоретическая кривая λ = λ(Z) (рис. 4) строится по формуле (
2). Экспериментальные точки, задаваемые координатами xmi и
ωi, наносятся на график и сравниваются с теоретической кривой.

Рис. 4. Теоретическая АЧХ системы без учета сопротивления

9

Для этого необходимо сначала получить значения

Zi = ωi
K
и
λi = xmi
lϕ0
.

Замечание 1. Можно провести учет сопротивления при колебаниях 
тележки с маятником (определить обобщенный коэффициент
сопротивления n).
Обобщенную силу в этом случае запишем в виде

Qx = −2cx − μ ˙x.

Дифференциальное уравнение движения тележки выглядит
так:
(M + m) ¨x + μ ˙x + 2cx = −mlϕ0ω2 sin (ωt + δ),
или
¨x + 2n ˙x + K2x = −h sin (ωt + δ),
(3)
где

K =

2c
M + m;
2n =
μ
M + m;
h = mlϕ0ω2

M + m .

Решение будем искать лишь для вынужденных колебаний тележки 
в виде
x = aв sin (ωt + δ − ε).
(4)
Дифференцируя (4), получим

˙x = aвω cos (ωt + δ − ε);
¨x = −aвω2 sin (ωt + δ − ε).
(5)

Подставим выражения (4) для xв и производных ˙xв,
¨xв (см.
(5)) в дифференциальное уравнение движения (3), тогда

−aвω2 sin (ωt + δ − ε) + 2nωaв cos (ωt + δ − ε) +
+K2aв sin (ωt + δ − ε) = −h sin [(ωt + δ − ε) + ε] =
= −h [sin (ωt + δ − ε) cos ε + cos (ωt + δ − ε) sin ε].

Отсюда

aв
K2 − ω2= −h cos ε;
aв2nω = −h sin ε;

aв =
h
(K2 − ω2)2 + 4n2ω2
;
tg ε =
2nω
K2 − ω2 ,

где ε – разность фаз, ε = ψв − ψв.к; ψв – фаза возмущения;
ψв.к — фаза вынужденных колебаний тележки.

10