Устойчивость положений равновесия механических систем под действием неконсервативных (циркуляционных) сил

Московский государственный технический университет
имени Н. Э. Баумана

А. М. Гуськов, Г. Я. Пановко

Устойчивость положений равновесия
механических систем под действием
неконсервативных (циркуляционных) сил

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия по курсам
«Основы прикладной теории механических колебаний»,
«Теории устойчивости движения механических систем»

Москва
Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана
2011

УДК 531(075.8)
ББК 22.213
Г96

Гуськов А. М.
Г96
Устойчивость положений равновесия механических систем под
действием неконсервативных (циркуляционных) сил : учеб. пособие 
по курсам «Основы прикладной теории механических колебаний», «
Теории устойчивости движения механических систем» /
А. М. Гуськов, Г. Я. Пановко. — М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана,
2011. — 49, [3] с. : ил.
Рассмотрены методические особенности аналитического и численного
анализа устойчивости положений равновесия механических систем на основе 
изучения бифуркаций Пуанкаре — Андронова — Хопфа при различных
параметрах нагрузки.
Для студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана, обучающихся по специальности
«Прикладная механика».

УДК 531(075.8)
ББК 22.213

c⃝ МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2011

Предисловие

Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов специальности 
РК-5 «Прикладная механика» МГТУ им. Н. Э. Баумана.
В пособии рассмотрены методические особенности аналитического 
и численного анализа устойчивости положений равновесия 
механических систем под действием неконсервативных сил
на основе изучения бифуркаций Пуанкаре — Андронова — Хопфа
при различных параметрах нагрузки. В случаях неконсервативного
нагружения потеря устойчивости может сопровождаться возбуждением 
автоколебаний в отличие от случая действия консервативных
сил, когда потеря устойчивости проявляется в виде монотонного
перехода к новому устойчивому положению равновесия.
Изложение базируется на рассмотрении механической системы,
представляющей собой перевернутый плоский двухзвенный маятник, 
шарнирно закрепленный на неподвижном основании (в первом 
приближении такая система описывает динамику ракеты под
действием силы тяги двигателя). Выбор данной системы в качестве 
базовой связан с тем, что на ее основе в наиболее доступной
и наглядной форме можно продемонстрировать и изучить основные
особенности анализа устойчивости состояния равновесия механических 
систем под действием неконсервативных сил.
В пособии с необходимой степенью детализации описаны вывод
нелинейных дифференциальных уравнений движения двухзвенного
маятника и их приведение к безразмерной форме. Для исследования 
устойчивости тривиального решения, соответствующего положению 
равновесия — вертикальному положению звеньев маятника,
использован первый метод Ляпунова. Условия устойчивости сформулированы 
на основе критериев Рауса — Гурвица. Изложена методика 
построения бифуркационных диаграмм Пуанкаре — Андронова — 
Хопфа, что позволяет исследовать поведение системы в случае
потери устойчивости при критических и закритических значениях
параметров нагрузки.

3

Кроме того, в пособии проанализировано дестабилизирующее
действие сил внутреннего трения в системах с циркуляционными
силами (так называемый парадокс Циглера).
Пособие может быть полезно также аспирантам и преподавателям, 
желающим более глубоко изучить специальные вопросы нелинейных 
колебаний и устойчивости динамических систем.
Издание подготовлено на основе результатов, полученных при
выполнении проектов аналитической ведомственной целевой программы 
Минобрнауки РФ № 2.1.1/5248 и № 2.1.2/5277, грантов
РФФИ № 07-08-00253-а, № 07-08-00592-а, гранта CRDF НОЦ-018.

1. Основные сведения об устойчивости
положений равновесия механических систем.
Определение циркуляционных сил

Для обеспечения механической надежности элементов конструкций 
и деталей машин кроме условий прочности и жесткости
необходимо соблюдать и условия устойчивости. Под устойчивостью 
упругих систем подразумевается способность сохранять определенную (
исходную) форму равновесия под действием заданной
нагрузки.
Когда внешние силы достигают своего критического значения,
то происходит разветвление форм равновесия (бифуркация). Потеря 
устойчивости может проявляться по-разному в зависимости
от свойств системы: в одних случаях система приобретает новую
смежную форму равновесия, сколь угодно близкую к исходной форме, 
или несмежную форму равновесия (при статической потере 
устойчивости); в других случаях система из состояния покоя
переходит к колебательному движению (при так называемой динамической 
потере устойчивости). В первом случае определение
критических состояний системы можно проводить, не рассматривая 
ее динамику, тогда как во втором случае анализ устойчивости
необходимо проводить с помощью динамических методов.
Форма равновесия и тип потери устойчивости зависят от вида
нагрузок (обобщенных сил), действующих в системе.
Уравнения движения механической системы с конечным числом 
степеней свободы могут быть представлены в виде уравнений
Лагранжа второго рода:

d
dt
∂T(q, ˙q)

∂ ˙qj
− ∂T(q, ˙q)

∂qj
= Qj(q, ˙q),

j = 1, ... , n,
q = {q1, ... , qn}т,
˙q = dq

dt ,
(1)

5

где T(q, ˙q) — кинетическая энергия системы1; {Qj(q, ˙q), qj, ˙qj |
j = 1, ... , n} — обобщенные силы, координаты и скорости; t — время; 
n — число степеней свободы.
В ряде случаев обобщенные силы можно представить в виде
суммы составляющих, каждая из которых зависит только от обобщенных 
координат и/или обобщенных скоростей:

Qj(q, ˙q) = Q′
j(q) + Q′′
j(q, ˙q).
(2)

Силы Q′
j(q), зависящие только от обобщенных координат называются 
позиционными.
Если позиционные силы удовлетворяют условиям взаимности

∂Q′
j(q)

∂qk
= ∂Q′
k(q)

∂qj
,
j, k = 1, ... , n,
(3)

то такие силы называются консервативными. Соотношения (3) эквивалентны 
условию равенства нулю работы, совершенной позиционными 
силами по произвольному замкнутому пути в пространстве
конфигураций:
n
j=1
Q′
j dqj = 0.
(4)

Примерами таких сил являются «мертвые» силы веса, силы
упругости и др. Соотношения (3) или (4) позволяют ввести понятие
потенциальной энергии U(q), зависящей от обобщенных координат:

U(q): Q′
j = −∂U(q)

∂qj
.
(5)

Следует отметить, что существует класс сил, зависящих также
от обобщенных скоростей и позволяющих ввести понятие «обобщенной 
потенциальной энергии» в следующем виде [1, с. 31]:

Qj(q, ˙q) = −∂U(q, ˙q)

∂qj
+ d

dt
∂U(q, ˙q)

∂ ˙qj
.

1Матричные векторы и матрицы, привязанные к выбранному арифметическому
пространству, будем обозначать прямым полужирным символом, физические векторы, 
как инвариантные объекты, — прямым полужирным символом со стрелкой
вектора сверху.

6

В линейном случае позиционные силы можно представить
в матричном виде:
Q′ = −Cq.
(6)

Для консервативных сил матрица C симметричная (C = Cт)
и потенциальная энергия имеет вид квадратичной формы:

U(q) = 1

2 qтCq + const.

Матрица C называется матрицей жесткости. В случае, когда со-
отношения (3) или (4) не выполняются,

∂Q′
j(q)

∂qk
̸= ∂Q′
k(q)

∂qj
,
j, k = 1, ... , n
⇐⇒
n
j=1
Q′
j dqj ̸= 0,

позиционные силы называются циркуляционными. (Иногда для этих
сил используют термин «неконсервативные» [2], но чаще его ас-
социируют с силами диссипации. Поэтому в дальнейшем будем
использовать название «циркуляционные» силы.) При этом отсут-
ствует понятие потенциала сил, или потенциальной энергии сил (5).
В общем случае для линейной зависимости (6) матрица C
несимметричная (C ̸= Cт). Если в матрице C выделить симмет-
ричную K и антисимметричную N части:

K = 1

2 (C + Cт),
N = 1

2 (C − Cт) :
K = Kт,
N = −Nт, (7)

то матрица K является матрицей жесткости консервативных сил,
а матрица N — матрицей циркуляционных сил. При этом выполня-
ются следующие соотношения:

n
k=1

n
j=1
Kkjqj

dqk =
(dqт)Kq = 0,
qтNq = 0,
(8)

т. е. циркуляционные силы ортогональны вектору обобщенных ко-
ординат. Собственно, именно это свойство и дало название «цир-
куляционные силы». В работе [3] циркуляционными называются
позиционные силы, удовлетворяющие свойству

qтQ′(q) = 0.
(9)

7

Из соотношений (7)–(9) следует, в частности, что понятие цир-
куляционных сил может быть введено только для механических
систем с двумя и более степенями свободы: n ⩾ 2. Для n = 2 мат-
рица N имеет следующий вид:

N = a

0 −1

1
0

.

Тогда очевидно, что условие (9) выполняется:

q1 q2
a

0 −1

1
0

q1
q2

=
q1 q2
a

−q2
q1

=a(−q1q2+q2q1)=0.

Исследование устойчивости положений равновесия механиче-
ских систем при действии только консервативных сил можно про-
вести с помощью теоремы Лагранжа — Дирихле, не рассматривая
динамику системы. Иногда для поиска критических значений на-
грузки достаточно использовать критерий Эйлера: det(K) = 0 или
det(C) = 0, при этом вопрос об устойчивости соответствующих
критических состояний системы должен решаться с привлечени-
ем дополнительной информации. Присутствие циркуляционных
сил приводит к необходимости рассматривать задачу об устойчи-
вости положений равновесия с помощью использования первого
или второго метода Ляпунова. При этом возможна как статическая
бифуркация Эйлера2, так и динамическая бифуркация Пуанкаре —
Андронова — Хопфа. В аэроупругих задачах с динамической би-
фуркацией при действии циркуляционных сил связывают понятие
флаттера.
Примером циркуляционных сил являются следящие силы, для
реализации которых необходима система управления3. Отметим,
что проблема устойчивости механических систем при нагружении
циркуляционными силами, вероятно, впервые была рассмотрена
в 1926 г. Е. Л. Николаи [4, 5].

2Иногда статическую бифуркацию называют дивергенцией.
3Здесь имеется в виду ситуация, когда направление действия нагрузок изменя-
ется в зависимости от деформации механической системы, вызываемой этими же
нагрузками.

8

Наиболее характерными примерами механических систем, в ко-
торых возникают циркуляционные силы, являются:
• конструкции, взаимодействующие с внешними потоками жид-
кости или газа (лопатки турбин и компрессоров, воздушные винты,
крылья и панели летательных аппаратов, антенны, ТВЭЛы и др.),
в которых возникают, например, аэродинамические силы, пропор-
циональные углу атаки крыла и приводящие к возбуждению авто-
колебаний;
• трубопроводы с протекающей жидкостью, в которых в резуль-
тате ее истечения возникают следящие силы, пропорциональные
углу наклона деформированной оси трубопровода к недеформиро-
ванному состоянию;
• летательные аппараты (ракеты) с реактивными двигателями,
сила тяги которых приводит к возбуждению колебаний;
• вращающиеся валы различных роторных систем (центрифуги,
турбины, насосы и др.), неустойчивое вращение которых обуслов-
лено наличием внутреннего трения или гидродинамического трения
в подшипниках скольжения;
• протяженные вращающиеся элементы, нагруженные следящи-
ми поперечными силами и крутящими моментами;
• системы автоматического регулирования с появлением следя-
щих сил (силы радиальной коррекции в гироскопических системах
и пр.).
Анализу различных проблем устойчивости неконсервативных
систем посвящена обширная отечественная и зарубежная литера-
тура [1, 2, 6–8]. Тем не менее ряд экспериментальных наблюдений
не всегда адекватно описывается существующими расчетными мо-
делями [8].
В дальнейшем исследуются устойчивость положения равнове-
сия и закритическое поведение механической системы с двумя сте-
пенями свободы, находящейся под действием циркуляционных сил.

2. Расчетная схема и вывод дифференциальных
уравнений движения двухзвенного маятника

В качестве базовой будем рассматривать механическую систе-
му, представляющую собой перевернутый плоский двухзвенный
маятник, шарнирно закрепленный на неподвижном основании
(рис. 1, а). Верхнее звено (AB) нагружено сосредоточенной силой,
направление которой всегда совпадает с продольной осью звена,
т. е. внешняя сила следит за возможным изменением положения
звена в плоскости. В первом приближении такая система описыва-
ет динамику ракеты под действием силы тяги двигателя.

а
б
Рис. 1. Принципиальная схема стойки Циглера (а) и направления единич-
ных векторов (б)

Подобная
модель
была
впервые
рассмотрена
Г. Циглером
в 1951 г. [6], поэтому такую систему часто называют стойкой Циг-
лера.
Стойка представляет собой плоский двухзвенный маятник
с жесткими невесомыми элементами OA, AB одинаковой длины l

10