Теоретические основы расчетов на сопротивление усталости

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 
 
 
 
 
 
 
 
А.C. Гусев 
 
 
Теоретические основы расчетов  
на сопротивление усталости  
 
 
 
 
 
 
Рекомендовано Научно-методическим советом 
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 
по курсам «Сопротивление материалов», «Физика прочности» 
 
 
 
 
 
 
 

 

 

УДК  539.3(075.8) 
ББК 30.121 
 
Г96 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/181/book412.html  

Факультет «Робототехника и комплексная механизация» 
Кафедра «Прикладная механика» 

Рекомендовано методической комиссией Научно-учебного комплекса 
«Робототехника и комплексная механизация» МГТУ им. Н.Э. Баумана 
 
Рецензенты: 
д-р физ.-мат. наук, проф. В.Н. Белов, 
д-р техн. наук, проф. В.А. Чирков 
 
Гусев, А. С. 
Г96   
Теоретические основы расчетов на сопротивление уста-
лости : учебное пособие / А. С. Гусев. — Москва : Издатель-
ство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2014. — 46, [2] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4010-8 
Рассмотрены вопросы расчета элементов конструкций и деталей 
машин на сопротивление усталости при переменных во времени 
напряжениях. 
Для студентов 2-го курса МГТУ им. Н.Э. Баумана.  
 
 
  УДК 539.3(075.8) 
 
  ББК 30.121 
 
 
 
 
 

 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4010-8 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2014 

Введение 

Большинство деталей машин и элементов конструкций работа-
ет при изменяющихся во времени напряжениях, под действием 
которых в материале могут накапливаться необратимые измене-
ния. Разрушение деталей в этом случае обычно происходит при 
меньших, чем при статическом нагружении, значениях напряже-
ний. Достаточно большое количество циклов изменения напряже-
ний приводит к образованию микроскопических нарушений струк-
тур и микротрещин в наиболее напряженном месте детали, посто-
янное развитие которых вызывает появление макротрещин, затем 
и полное разрушение. 
Накопление необратимых повреждений в материале при дей-
ствии циклически изменяющихся во времени напряжениях назы-
вается усталостью, а разрушение в результате постепенного раз-
вития трещин — усталостным разрушением. Способность мате-
риала противостоять разрушению при многократных циклических 
воздействиях называется сопротивлением усталости или вынос-
ливостью. 
Усталостные трещины, как правило, зарождаются в зонах кон-
центрации напряжений, однако при наличии внутренних дефектов 
они могут образовываться и под поверхностью. Кроме того, на со-
противление усталости влияют различные технологические и экс-
плуатационные факторы. Эти факторы практически не оказывают 
влияния на статическую прочность и, как правило, не учитывают-
ся в обычных расчетах. 

1. Механизм и особенности усталостного разрушения 

Конструкционные стали и сплавы имеют мелкокристалличе-
скую структуру, где кристаллы ориентированы случайно и обла-
дают анизотропией, т. е. разными свойствами в различных направ-
лениях [1]. При деформировании напряжения в различных кри-
сталлах могут существенно различаться. Поэтому в наиболее 
неблагоприятно ориентированных кристаллах уже на ранних ста-
диях деформирования возникают пластические деформации, что 
приводит к постепенному разделению зерна на части полуразру-
шенными разрыхленными прослойками. Таким образом, уже на 
ранних стадиях нагружения (1…10 % от 
общего числа циклов образца до разруше-
ния) появляются линии сдвига. Повторные 
нагружения приводят к увеличению числа 
этих линий, постепенно линии сливаются, 
образуя полосы скольжения и субмикро-
скопические трещины, т. е. создаются усло-
вия для возникновения прогрессирующей 
микроскопической трещины, развитие ко-
торой 
заканчивается 
макроскопическим 
разрушением [2]. 
Механизм роста усталостной трещины 
при циклическом нагружении можно пред-
ставить следующим образом. В случае до-
статочно интенсивного нагружения путем 
растяжения раскрытие трещины и ее удли-
нение происходит вследствие сдвига слоев 
металла в одной из плоскостей с наиболь-
шими касательными напряжениями (рис. 1). 
При последующих циклических растяжени-
ях плоскости сдвига чередуются и длина 
трещины постепенно увеличивается. 

 

Рис. 1 

В поверхностных слоях ме-
талла часто появляются де-
фекты типа экструзии (высту-
пов в виде тонких лепестков) и 
интрузии (щелеобразных углуб-
лений), переходящих в микро-
трещины1 (рис. 2). 
Главная особенность уста-
лостного разрушения состоит в 
хрупкости — даже пластичные 
материалы разрушаются без за-
метных пластических дефор-
маций. 
Поверхность усталостного излома имеет характерный вид, ко-
торый дает возможность отличить его от изломов другого рода. На 
поверхности усталостного излома можно различить пять зон [3]. 
1. Фокус излома — весьма малая локальная зона, близкая к 
точке, в которой возникает начальная макроскопическая трещина 
усталости и откуда начинается ее развитие. Чаще всего фокус из-
лома располагается на поверхности. 
2. Очаг разрушения — малая зона, прилегающая к фокусу из-
лома и соответствующая начальной макроскопической трещине 
усталости. Характерная особенность зоны излома в области оча-
га — наибольший блеск и наиболее гладкая поверхность. 
3. Участок избирательного развития, соответствующий зоне 
развившейся трещины усталости и имеющий вид гладкой блестя-
щей поверхности. В этой зоне обычно видны усталостные линии 
волнообразного вида, расходящиеся от очага, как от центра. 
4. Участок ускоренного развития — переходная зона между 
участком собственного усталостного развития трещины и оконча-
тельного разрушения (долома). Этот участок формируется в тече-
ние нескольких циклов, предшествующих окончательному разру-
шению. 
5. Зона долома, образующаяся на последней стадии излома и 
обладающая признаками макрохрупкого разрушения. 
Существует много методов обнаружения трещин, каждый из 
которых имеет отдельные преимущества для конкретных случаев. 
————— 
1 Строгое механико-математическое описание этого явления затруднительно. 

 

Рис. 2 

Наиболее распространенными методами являются магнитный, 
проникающих веществ, а также электрический, ультразвуковой и 
рентгеновский [4]. 
Магнитный метод дефектоскопии позволяет выявить искрив-
ление линий магнитного поля около трещины или дефекта вслед-
ствие местного изменения магнитной проницаемости. Наибольшее 
искривление достигается тогда, когда магнитное поле пересекает 
трещину под прямым углом. Для обнаружения отклонения линий 
поля на деталь наносится магнитный порошок, взвешенный на па-
рафине. Недостатком метода является то, что его можно приме-
нять лишь для магнитных материалов. Кроме того, трещины обна-
руживаются лишь на поверхности или близко к ней. 
Метод проникающих веществ основан либо на вытекании из 
трещины жидкости (деталь погружается в горячее масло или керо-
син, затем поверхность детали очищается и покрывается мелом; по 
мере выделения масла из трещины на меловой поверхности обра-
зуется пятно), либо на осаждении в трещине флюоресцирующего 
материала, причем осмотр в этом случае надо проводить при уль-
трафиолетовом свете (а это не всегда возможно). Этот метод не 
позволяет обнаружить закрывшиеся, а также внутренние трещины. 
С помощью электрического метода удается выявить как по-
верхностные, так и внутренние трещины. Сильный постоянный 
ток, пропущенный через деталь, наводит магнитное поле, которое 
пересекается катушкой-искателем. При наличии трещины поток 
изменяется, наводя соответствующий ток в катушке. 
Использование ультразвука в дефектоскопии основано на из-
менении энергии ультразвукового луча при прохождении через 
трещину или пустоту. Ультразвуковые волны возбуждаются пье-
зокварцевым датчиком или магнитостриктором. Толщина испыту-
емой детали не ограничивается. 
Рентгеновский метод дефектоскопии также широко применя-
ется для обнаружения трещин. 

2. Характеристики сопротивления усталости 
 и их определение 

Характеристики сопротивления усталости определяют путем 
проведения специальных стандартизованных испытаний, при которых 
образцы материалов или натурных конструкций подвергают 
гармоническим нагружениям различной интенсивности до образования 
в них усталостных трещин или до полного разрушения. 
Интенсивность нагружения при испытаниях на сопротивление 
усталости характеризуется напряжениями циклов нагружения: 
максимальным 
max,

 минимальным 
min,

 средним m  и амплитудным 
a  (рис. 3, где один цикл выделен штриховкой). 
При 
этом 
коэффициент 
асимметрии циклов нагружения 
определяют по формуле  

min

max
.

 
R
 

Экспериментально 
установлено, 
что изменения формы 
циклов и частоты нагружения в 
диапазоне частот 0…10 кГц не 
оказывают влияния на сопротивление 
усталости.  
Результаты испытаний при заданном значении коэффициента 
асимметрии циклов нагружения R (рис. 4) представляют в виде 
зависимостей  
(
),
f N
 
  
где 
max
  
 или 
;
  a  N — число циклов нагружения до образования 
усталостной трещины (кривая 1) либо до полного разрушения 
конструкций (кривая 2). Чем выше напряжения, тем меньше 
число циклов нагружения до разрушения. Испытания прекращают 

 

Рис. 3 

при напряжении 
,
R  соответству-
ющем некоторому базовому числу 

0
N  циклов нагружения [5]. Напряжение 

R  
при 
коэффициенте 
асимметрии циклов нагружения R 
называется пределом выносливости. 
В случае симметричных циклов 
нагружения (
1
R   ) предел 
выносливости обозначают 
1.


 
На практике для описания кривых усталости часто используют 
уравнение  

 

1
0
1

1

,
;

,
,










  









  


m
N
N
 
(1) 

где 
0
N  — число циклов нагружения до разрушения, принятое при 
определении 
1;


 m  — константа. 
С помощью уравнения (1) можно представить результаты испытаний 
только при напряжениях 
т.
  
 Для всего диапазона 
возможных напряжений уравнение (1) ориентировочно принимают 
в виде2 

 

1
т
т
в
т

1
0
т
1

1

,
;

,
;

,
,










    












    








  


m

m

N

N
N

 

(2) 

где 
т
N  — число циклов нагружения до разрушения при напряжениях, 
равных пределу текучести 
т;

 m  и 
1
m  — константы.  
В двойных логарифмических координатах {lg , lg
}

N  уравнение (
1) при 
1

  
 описывает прямую линию, наклоненную к 
————— 
2 При 
т
    явление усталости сменяется явлениями виброползучести и виб-

ропластичности. 

Рис. 4 

оси lg N  под углом   (рис. 5), который определяют из соотно-
шения  

0

1

lg
lg
ctg
.
lg
lg



 

 


N
N
m
 

В этих же координатах {lg , lg
}

N  уравнение (2) описывает 
ломаную линию, показанную на рис. 6. 

 

Рис. 5 

 

 

Рис. 6 
 
Экспериментальное определение параметров кривых усталости 
в полном объеме при асимметричных циклах нагружения и соответ-
ствующих пределах выносливости R  является сложной и чрезвы-
чайно трудоемкой задачей. Поэтому обычно ограничиваются испы-
таниями только с использованием симметричных циклов нагруже-
ния и определением предела выносливости 
1,


 а пересчет 
соотношений кривых усталости в случае асимметричных циклов 
нагружения и построение схематизированных поверхностей устало-
сти осуществляют на основе имеющихся данных о пределе прочно-
сти 
в
  при растяжении и пределах текучести при растяжении 
т
  и 
сжатии 
т.сж.

 Если происходит увеличение средних растягивающих 
напряжений, то для сохранения той же долговечности амплитуды 
напряжений необходимо уменьшать. При средних сжимающих 
напряжениях m  допустимый уровень амплитуд напряжений вна-
чале несколько повышается, а затем вновь снижается. 
По экспериментальным данным строят диаграмму предельно 
допустимых амплитуд напряжений, которая в системе координат 
{
,
}


a
m  (рис. 7) ограничивается прямыми, проходящими через 
точки с координатами 

1
в

т
т

т.сж
т.сж

{(
,
0)(
0,
)};

{(
,
0)(
0,
)};

{(
,
0)(
0,
)}.


  


 

 

  


 

 

  


 

 

a
m
a
m

a
m
a
m

a
m
a
m

 

Прямая 1 является границей области образования усталостных 
трещин, а прямые 2 и 3 — границами, определяемыми возникно-
вением пластических деформаций и поэтому условными. Если 
точка с координатами {
,
},


a
m
 характеризующая интенсивность 
процесса нагружения, находится внутри области, ограниченной 
прямыми 1–3, то усталостного разрушения не произойдет. Если 
точка {
,
}


a
m  находится в заштрихованной области (см. рис. 7), 
то будет происходить процесс постепенного накопления усталост-
ных повреждений, заканчивающийся образованием макротрещины 
или полным разрушением конструкции. Если точка {
,
}


a
m  рас-
положена вне двух указанных областей (заштрихованной и неза-
штрихованной, см. рис. 7), то произойдет либо немедленное стати-
ческое разрушение, либо разрушение при небольшом числе циклов 
нагружения, характерное для циклического упругопластического 
деформирования. 

 

Рис. 7 

Диаграмма предельно допустимых амплитуд (см. рис. 7) поз-
воляет определить запас сопротивления усталости и построить 
схематизированную поверхность усталости. Так, если цикл нагру-
жения характеризуется некоторой точкой А (см. рис.7), то на про-
должении линии ОА отмечают предельную для данного сочетания 
напряжений (
,
)


a
m  точку В. Тогда коэффициент запаса сопро-
тивления усталости определяют по формуле