Структура, кинематика и динамика рычажных механизмов

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 

Структура, кинематика и динамика  
рычажных механизмов 

Методические указания к выполнению 
домашних заданий по дисциплине  
«Теория механизмов и машин» 
 
 
Под редакцией Г.А. Тимофеева 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

УДК 531.8 (075.8) 
ББК 34.41 
 
С87 

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/225/book1085.html 
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Теория механизмов и машин» 

Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
Авторы: 
Г.А. Тимофеев, М.В. Самойлова, О.О. Барышникова, Д.В. Сащенко 
Рецензенты: 
д-р техн. наук, профессор МГИУ И.Е. Люминарский, 
канд. техн. наук, доцент МГТУ им. Н.Э. Баумана О.П. Феоктистова 
 
 
 
Структура, кинематика и динамика рычажных меха- 
С87  низмов : методические указания / Г. А. Тимофеев, М. В. Са- 
  
мойлова и др. ; под ред. Г. А. Тимофеева. — Москва : Изда- 
  
тельство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 95, [1] с. : ил.  
ISBN 978-5-7038-4152-5 
Приведены общие указания, примеры выполнения двух домашних 
заданий, методические рекомендации по использованию ПЭВМ 
для кинематического и кинетостатического исследования рычажных 
механизмов, новые исходные данные к заданиям и вопросы для 
подготовки к защите домашних заданий. 
В помощь студентам, обучающимся по программам бакалавриа-
та, при выполнении домашних заданий. 

 
  УДК 531.8 (075.8) 
 
  ББК 34.41 

 

 

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 
 
© Оформление. Издательство  
ISBN 978-5-7038-4152-5 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015 

Предисловие 

Учебная дисциплина «Теория механизмов и машин» является 
одной из первых, которая вводит в специальность будущего бакалавра 
или специалиста и поэтому имеет инженерную направленность. 
Представляя научную основу дисциплин по проектированию 
машин специального и отраслевого назначения, она призвана 
научить студентов общим методам исследования и проектирования 
механизмов машин и приборов; принципам реализации движения 
с помощью механизмов и взаимодействия механизмов и 
машин; системному подходу к проектированию машин и приборов 
по их заданным структурным, кинематическим и динамическим 
свойствам; находить оптимальные параметры механизмов по требуемым 
условиям работы; привить навыки разработки алгоритмов 
и программ расчета на компьютере. 
Цель данного учебного пособия — обеспечение студентов, 
изучающих дисциплину «Теория механизмов и машин», материа-
лами для самостоятельной индивидуальной подготовки, выполне-
ния двух домашних заданий и их успешной защиты. 
 
 
 

1. ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ  
К ВЫПОЛНЕНИЮ ЗАДАНИЙ 

При изучении теории механизмов и механики машин преду-
смотрено выполнение двух домашних заданий. Первое посвящено 
структурному и кинематическому исследованию рычажного меха-
низма, второе — силовому расчету этого же механизма. Задания 
выполняются графоаналитическим способом и с использованием 
стандартных программ на ПЭВМ. 
Исходными данными задания № 1 (см. разд. 4) являются ки-
нематическая схема механизма, а также скорость и ускорение од-
ного из звеньев для конкретного его положения, определяемого 
углом 
1.
  Числовые значения длин звеньев и заданных кинема-
тических параметров приведены в таблицах исходных данных к 
заданиям. 
Требуется: определить число степеней подвижности механиз-
ма и число избыточных связей в нем, провести его структурный 
анализ по Л.В. Ассуру и устранить избыточные связи, выполнить 
его кинематическое исследование, определив линейные скорости и 
ускорения точек звеньев, угловые скорости и ускорения звеньев, 
передаточные функции скоростей точек и звеньев.  
Кинематическое исследование заданного рычажного механиз-
ма рекомендуется выполнить графическим методом — методом 
планов скоростей и ускорений. Этот метод прост, нагляден и дает 
возможность быстрого контроля расчетов, выполненных на ЭВМ. 
Он базируется на графическом решении векторных уравнений, 
связывающих скорости и ускорения отдельных точек звеньев ме-
ханизма. Эти уравнения составляются на основе теорем о плоском 
движении тела и сложном движении точки. 
Порядок выполнения задания № 1 следующий. 
1. Построить схему механизма (план механизма) по заданным 
размерам методом засечек в положении, определяемом углом 
1
  

начального звена, в масштабе. Значение масштаба рассчитывают 
по формуле  

 
отрезок чертежа, мм
Масштаб
.
физическая величина

 

Масштаб плана механизма 
l
AB
AB l
 
 (мм/м); масштаб плана 
скоростей 
v
  (мм/м–1), масштаб плана ускорений 
a
  (мм/м–2). 
Длину отрезка (мм), изображающую на схеме начальное звено, 
выбирают произвольно, но целесообразно брать ее кратной реаль-
ной длине звена. Размеры остальных звеньев находят с учетом вы-
бранного масштаба длин. Последовательность построения схемы 
механизма дана в разд. 1, 2. 
2. Определить число степеней подвижности механизма. Если 
все звенья механизма находятся в одной или параллельных плос-
костях и оси всех кинематических пар строгим образом сориенти-
рованы друг относительно друга, то рассматриваемый механизм 
является плоским. Для определения числа степеней подвижности 
механизма применяют формулу П.Л. Чебышева: 

 
н
в
1
2
3(
1)
2
1
3
2
1
,
W
k
p
p
n
p
p







 

где k — число всех звеньев, включая стойку; n — число подвиж-
ных звеньев; 
н
1
p
p

 — число низших одноподвижных (враща-
тельных или поступательных) кинематических пар; 
в
2
p
p

 — 
число высших двухподвижных кинематических пар (в рычажных 
механизмах их нет).  
Полученное число степеней подвижности механизма соответ-
ствует числу начальных звеньев с заданными кинематическими 
параметрами, так как только в этом случае остальные звенья будут 
двигаться вполне определенным образом относительно стойки. 
Если же на расположение осей кинематических пар не наложены 
ограничения, то механизм является пространственным и в нем 
появляются избыточные связи. Число избыточных связей в механизме 
находят по формуле Л.Н. Решетова: 

 
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
,
q
W
n
p
p
p
p
p







 

где 
3,
p
 
4,
p
 
5
p  — число трех-, четырех- и пятиподвижных кинематических 
пар. 

При изучении характера движения звеньев и вида кинематических 
пар особое внимание следует обратить на сложное 
движение: относительное поступательное движение сочетается 
с переносным вращательным.  
3. Провести структурный анализ плоского механизма по 
Л.В. Ассуру, согласно теории которого любой плоский механизм 
с 
1
W   состоит из первичного механизма (начальное звено и 
стойка, соединенные вращательной или поступательной кинематической 
парой) с заданным законом движения начального 
звена и одной или нескольких структурных групп (незамкнутая 
кинематическая цепь, которая при замыкании со стойкой обращается 
в неподвижную систему и у которой 
0).

W
 В заданиях (
см. разд. 4) встречаются, как правило, двухповодковые 
группы, состоящие из двух звеньев и трех кинематических пар.  
Структурный анализ начинают с установления первичного механизма, 
закон движения которого задан. Затем выделяют ту 
структурную группу, которая была присоединена к механизму последней, 
и далее — оставшуюся структурную группу, примыкающую 
к первичному механизму (для механизмов, имеющих по две 
структурные группы). Механизм расчленяют на структурные 
группы так, чтобы после удаления из него очередной группы не 
нарушался закон движения оставшихся звеньев механизма и число 
его степеней подвижности оставалось прежним.  
Структурный анализ пространственного механизма проводят в 
той же последовательности, что и структурный анализ плоского 
механизма. Рассматривая пространственный механизм, для каждой 
структурной группы по формуле Решетова находят число избыточных 
связей, устраняют их увеличением подвижностей кинематических 
пар и составляют схему самоустанавливающегося механизма.  

4. Построить планы линейных скоростей и ускорений точек 
звеньев и определить угловые скорости   и ускорения   звеньев.  
Построение планов скоростей начинают с входного звена, за-
кон движения которого задан. Определяют скорость точки этого 
звена; составляют векторное уравнение, связывающее эту скорость 
со скоростями точек смежного звена, и устанавливают, какие век-

торы известны по величине, какие по величине и направлению, 
какие только по направлению. Рекомендуется векторы, известные 
по величине и направлению, подчеркивать двумя чертами, а из-
вестные только по величине или только по направлению — одной 
чертой. Отмечают буквами направления векторов. Если в вектор-
ном уравнении только два неизвестных, то оно решается, и его 
графическим решением будет план скоростей. Стрелки векторов 
на плане проставляют в строгом соответствии с записанным урав-
нением, соблюдая правило векторного суммирования; при этом 
относительные скорости проходят вне полюса, а начала векторов 
абсолютных скоростей всегда расположены в полюсе. Из постро-
енного плана находят отрезки, пропорциональные скоростям то-
чек, и, зная масштаб 
,
v

 определяют модули векторов скорости, а 
их направления известны из плана. 
Абсолютную скорость третьей точки звена, не лежащей на 
одной прямой с двумя другими его точками, скорости которых 
известны, определяют методом подобия. Для этого на плане ско-
ростей на отрезке известной относительной скорости строят тре-
угольник, подобный тому, который имеется на схеме механизма, 
соблюдая одинаковое направление прочтения в вершинах треуголь-
ника на плане скоростей и схеме механизма. Стороны подобных 
треугольников взаимно перпендикулярны. В результате построения 
получается треугольник, составленный концами векторов относи-
тельных скоростей. Соединяя построенную вершину треугольника с 
полюсом, находят отрезок искомой абсолютной скорости. 
Если известны абсолютные скорости двух точек какого-
либо звена, то скорость третьей точки, лежащей с ними на од-
ной прямой, находят пропорциональным делением. Метод 
пропорционального деления является частным случаем метода по-
добия. На плане скоростей отрезок относительной скорости делят 
искомой точкой в том же соотношении, в котором соответствую-
щая точка делит реальное звено на схеме механизма. Длину иско-
мого отрезка определяют из пропорции (отношение длин на звене 
механизма равно отношению отрезков на плане скоростей). Соединяя 
полученную точку с полюсом, находят отрезок искомой 
абсолютной скорости. 

Если два звена образуют поступательную кинематическую 
пару, то для определения абсолютной скорости точки одного 
из этих звеньев, геометрически совпадающей в данный момент 
с точкой другого звена (скорость которой известна), используют 
векторное уравнение сложного движения. Абсолютная скорость 
искомой точки складывается из переносной и относительной составляющих; 
вектор переносной скорости обычно известен. 
Зная линейные скорости точек, определяют угловые скорости 
звеньев по величине и направлению. 
План ускорений строят на основе векторных уравнений в той 
же последовательности, что и план скоростей. Каждый из векторов 
представляют нормальной 
n
a  и касательной a  составляющими. 
При этом нормальное ускорение известно по величине (так как 
план скоростей построен) и направлению (к центру относительного 
вращения), а касательное — перпендикулярно ему и неизвестно 
по величине. В этих уравнениях также дважды подчеркивают снизу 
векторы, известные по величине и направлению. Так, для вектора 
,

n
CB
a
 направленного от точки С к точке В (центр относительного 
вращения), внизу записывают С  В. 
На плане ускорений начало вектора абсолютного ускорения 
всегда находится в полюсе, а вектор относительного ускорения в 
общем случае проходит вне полюса. 
Метод подобия (как и частный его случай — метод пропорционального 
деления) применяют только для полных относительных 
ускорений. При этом подобную фигуру следует строить на плане 
по трем сторонам, величина одной из которых известна, а две другие 
определяют из соответствующих пропорций, соблюдая одинаковое 
направление обхода при чтении букв по вершинам фигуры, 
составленной из полных относительных ускорений плана, и фигуры 
на звене механизма. 
Полное ускорение точки, совершающей сложное движение, состоит 
из переносного, относительного и кориолисова ускорений. 
Последнее обусловлено тем, что звенья, имеющие линейную относительную 
скорость 
отн,
v
 совершают вращательное движение с 
угловой скоростью 
пер

 вокруг мгновенного центра вращения. 

Для плоского механизма 
к
пер отн
2
,
a
v
 
 так как в этом случае 




пер
отн
sin
,
1.


v
 Направление находят по правилу Жуковского 

поворотом вектора 
отн
v
 на 90 в направлении угловой скорости 

пер.

 Определив из плана касательные ускорения, подсчитывают 
значения угловых ускорений   звеньев и определяют их направ-
ления. 
Кинематические передаточные функции скоростей точек и зве-
ньев механизма (первая производная от функции положения по 
1)

 
являются характеристиками только геометрии самого механизма и 
не зависят от закона движения начального звена. Это позволяет ис-
пользовать их для оценки кинематических возможностей механизма 
при изучении его динамики. Значения передаточных функций ско-
ростей могут быть определены через отрезки плана скоростей и 
длины звеньев. Например, 


н
н
1
н
в
q
AB
AB
v
v
v
v
l
l
ph pb

 

 или 

3
31
3
1
,
CD
CD
AB
q
B
AB
CD

v
l
l
pc
u
v
l
l
pb


 
 

 где 
31
u
 — передаточное от-

ношение (передаточная функция угловой скорости). 
Силовой расчет механизма основан на решении прямой (пер-
вой) задачи динамики: по заданному закону движения определить 
действующие силы. 
1. Закон движения начальных (или начального) звеньев счита-
ется заданным. 
2. Внешние силы, приложенные к звеньям механизма, счита-
ются заданными. 
3. Подлежат определению только реакции в кинематических 
парах. 
Иногда внешние силы, приложенные к начальным звеньям, 
считают неизвестными, тогда в силовой анализ входит определе-
ние таких значений этих сил, при которых выполняются принятые 
законы движения начальных звеньев. 
При решении обеих задач используется принцип Д’Аламбера, 
согласно которому звено механизма может рассматриваться как 
находящееся в равновесии, если ко всем внешним силам, действу-
ющим на него, добавить силы инерции. 
Учет ускоренного движения звеньев выполним методом кине-
тостатики, условно приложив к каждому подвижному звену меха-

низма главный вектор i  и главный момент 
i
M
 сил инерции. 
Тогда для каждого звена можно записать три уравнения: 

 
0;
 


ix
ix
i
F
 
 (1.1) 

 
0;
 


iy
iy
i
F
 
 (1.2) 

 
0
0
( )
(
)
0.



 




i
i
i
i
i
M
F
M
M
M
 
 (1.3) 

Уравнения равновесия звеньев в этом случае называют уравне-
ниями кинетостатики. 
Два алгебраических уравнения (1.1) и (1.2) могут быть замене-
ны одним эквивалентным векторным уравнением сил 

0.
  

i
i
i
F
 

Главный вектор i  и главный момент 
i
M
 сил инерции 
звена i определяются по уравнениям 

 
;
  
i
i
Si
m a
   
.
  

i
iS
i
M
J
 
 (1.4) 

Уравнение   
i
i
Si
m a  предполагает, что главный вектор сил 
инерции i  приложен к центру масс 
.iS  
Следует подчеркнуть, что никакой силы i  и никакой пары 
сил 
i
M
 к звену i в действительности не приложено. Главный век-
тор i  и главный момент 
i
M
 сил инерции не имеют никакого 
физического содержания и в расчетных уравнениях (1.1)–(1.3) вы-
полняют роль не более чем чисто математических величин, по-
средством которых учитывается влияние ускоренного движения 
звеньев. 
Силы в кинематических парах, являющиеся искомыми, опре-
деляют из уравнений (1.1)–(1.3), в которых они содержатся в со-
ставе сумм 
,

x

i

F
 
,

y
i

F
 
0( ).

i

M
F
 Поскольку значения 
,
ix  
,
iy  

i
M
 зависят от ускорений, искомые силы также зависят от уско-
рений. Следовательно, для проведения силового расчета надо 
знать закон движения механизма.