Статика и динамика дискретных систем

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 
 
 
 
 
 

Б.Г. Попов, Н.Н. Генералов 

 

СТАТИКА И ДИНАМИКА 
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 

 

 

Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
 в качестве учебного пособия по курсам «Динамика конструкций» 
 и «Строительная механика летательных аппаратов» 
направления подготовки «Ракетные комплексы и космонавтика» 

 

 

 

 

 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 

УДК 534.1 (075.8) 
ББК 22.213 
        П58 

Р е ц е н з е н т ы: В.Н. Бакулин, В.С. Васильев  

Попов Б.Г. 
Статика и динамика дискретных систем: учеб. пособие / 
Б.Г. Попов, Н.Н. Генералов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2011. — 46, [2] с., ил. 

Рассмотрены трехмерные дискретные системы, состоящие из 
набора точечных масс, соединенных упругими и диссипативными 
связями (пружинами и демпферами). Основное внимание уделено 
численным методам решения задач о свободных и вынужденных 
колебаниях, а также алгоритмам интегрирования уравнений движения. 
Материал изложен в соответствии с методом конечных 
элементов. Использованы принципы Д’Аламбера и возможных 
перемещений, при записи основных соотношений — векторно-
матричная символика. Приведены тексты программ на языке 
MATLAB и примеры расчета. 
Для студентов старших курсов технических университетов, 
изучающих теорию колебаний, строительную механику и динами-
ку конструкций. 

 

УДК 534.1 (075.8) 
ББК 22.213 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

П58 

Принятые обозначения 

( )
g i  
— нижний индекс, заключенный в круглые скобки, указы-
вает на принадлежность i-му узлу 
[ ]
g i  
— верхний индекс, заключенный в квадратные скобки, ука-
зывает на принадлежность i-му элементу дискретной 
механической системы 
gL  
— нижний индекс L указывает на принадлежность локаль-
ной системе координат 
gG  
— нижний индекс G указывает на принадлежность гло-
бальной системе координат 
т
g  
— верхний индекс «т» обозначает операцию транспониро-
вания 

g
g
d
d t
=

 — верхняя точка обозначает операцию дифференцирования 

по времени t 

( ,
)
g n m  — нижние индексы обозначают размерность матрицы (n — 
число строк, m — число столбцов) 

( , )
n n
E
 — единичная матрица 

Σ
K  
— матрица жесткости незакрепленной конструкции (без 
учета запрещенных степеней свободы) 

Σ
M  
— матрица масс незакрепленной конструкции (без учета 
запрещенных степеней свободы) 

Σ
C  
— матрица демпфирования незакрепленной конструкции 
(без учета запрещенных степеней свободы) 

Σ
q  
— вектор-столбец узловых степеней свободы для незакреп-
ленной конструкции 
K, М, С — матрицы жесткости, масс и демпфирования конструк-
ции ( с учетом запрещенных степеней свободы) 
q 
— вектор-столбец узловых степеней свободы для закреп-
ленной конструкции 
[ ]i
k
 
— матрица жесткости i-го упругого элемента (пружины) 
[ ]i
c
 
— матрица демпфирования i-го демпфера 
0
iq  
— i-й собственный вектор 

i
ω  
— i-я круговая частота 

Введение 

В учебном пособии рассматриваются приемы решения задач 
статики и динамики простых механических систем, состоящих из 
набора пружин, демпферов и точечных масс. Несмотря на просто-
ту расчетных схем, ими достаточно часто пользуются в расчетах 
машиностроительных конструкций. Преимущества таких схем 
особенно четко проявляются на ранних этапах проектирования, 
например, когда требуется дать оценку динамического поведения 
будущей конструкции. 
С методической точки зрения, по мнению автора, именно на та-
ких простейших объектах можно в доступной и наглядной форме 
ознакомить читателя с основными процедурами метода конечных 
элементов (МКЭ). Математическое описание характеристик от-
дельных элементов выполняется весьма просто. Основное внима-
ние уделяется процедурам сборки отдельных элементов, формиро-
ванию разрешающих уравнений и численным методам решения. 
Описание этих процедур и методов ведется с использованием век-
торно-матричной символики, поэтому практически без каких-либо 
изменений алгоритмы пригодны для других более сложных рас-
четных схем, содержащих стержни, пластины, оболочки. 

1. Получение разрешающих уравнений 

В данном разделе дается математическое описание объектов, 
входящих в систему дискретных элементов. Показаны приемы 
сборки отдельных элементов для получения разрешающих урав-
нений статики и динамики дискретных систем. 

1.1. Матрицы жесткости и демпфирования  
в локальной системе координат 

На рис. 1.1 показан пример одномерной дискретной системы, 
состоящей из пяти сосредоточенных масс, упругих связей (пру-
жин) и диссипативных связей (демпферов). Требуется определить 
напряженно-деформированное состояние системы. 

Рис. 1.1. Пример одномерной дискретной системы 

Полная система дискретных элементов имеет пять степеней 
свободы: u1, u2, u3, u4 u5, которые являются перемещениями узлов 
вдоль оси x. Первая степень свободы (u1) запрещена (кинематиче-
ское граничное условие). В четвертом узле в направлении переме-
щения u4 действует сила P4(t). (При решении примеров принима-
лись следующие данные: mi = 100 кг; ki = k/i; k = 105 Н/м; P4 = 
= 103 Н; ci = ηki; η = 10–2 с; i — номер пружины или демпфера). 

Перед составлением уравнений движения системы дадим мате-
матическое описание пружин и демпферов. 
Рассмотрим отдельно типовую пружину с номером i (рис. 1.2).  

 
 
Рис. 1.2. Схема упругого элемента 

Обозначим жесткость этой пружины k[i]. Направление обхода 
узлов выберем вдоль направления горизонтальной оси x, левый 
узел будем считать первым, правый — вторым. (Такая нумерация 
узлов отдельно выделенного элемента называется локальной. Ну-
мерация узлов и степеней свободы на рис. 1.1 соответствует гло-
бальной.) Перемещения узлов (рис. 1.2) обозначим u1
[i], u2
[i]. Будем 
считать, что в узлах приложены внешние силы R1
[i], R2
[i], например, 
реакции других отброшенных элементов.  
Узловые реакции и узловые перемещения нам не известны, так 
как они определяются решением конкретной задачи, но математическую 
связь между ними мы можем определить. Сделать это 
можно следующим образом. 
Во-первых, определим деформационное соотношение. Деформацию 
пружины будет характеризовать абсолютное удлинение 

 
∆[i] = u2
[i] – u1
[i]. 
(1.1) 

Во-вторых, найдем физическое соотношение для пружины. Ему 
будет соответствовать соотношение упругости (закон Гука), которое 
на основании экспериментов позволяет связать внутреннюю 
силу упругости пружины N[i] с ее абсолютным удлинением: 

 
N[i] = k[i] ∆[i], 
(1.2) 

где k[i] — жесткость пружины. 
Далее для получения связи узловых реакций с узловыми перемещениями 
можно воспользоваться либо уравнением равновесия, 
либо принципом минимума полной потенциальной энергии, либо 
принципом возможных перемещений. Воспользуемся принципом 

возможных перемещений. Согласно принципу относительно равновесного 
состояния, работа внутренних сил на возможных перемещениях 
равна работе внешних сил на возможных перемещениях. 
Запишем это для нашего случая (см. рис. 1.2): 

 
N[i] δ∆[i] = R1
[i] δu1
[i] + R2
[i] δu2
[i] 

или с учетом (1.1), (1.2) 

 
k[i] (u2
[i] – u1
[i])(δu2
[i] – δu1
[i]) = 

 
= R1
[i] δu1
[i] + R2
[i] δu2
[i],  
(1.3) 

где δu1
[i], δu2
[i] — любые числа. Затем, как это обычно делается при 
использовании принципа возможных перемещений, сгруппируем в 
(1.3) слагаемые при возможных перемещениях: 

 
δu1
[i] (k[i] (u1
[i] – u2
[i]) – R1
[i]) + δu2
[i] [k[i] (– u1
[i] + u2
[i]) – R2 [i]] = 0. 

Поскольку δu1
[i], δu2
[i] могут быть любыми числами, можно приравнять 
нулю стоящие при них сомножители. Отсюда получаем 
искомую связь узловых реакций с узловыми перемещениями: 

 
R1
[i] = k[i] (u1
[i] – u2
[i]); 

 
R2
[i] = k[i] (– u1
[i] + u2
[i]). 
(1.4) 

Повторим этот вывод, используя векторно-матричную символику. 
Обозначим 
 
q[i] = [u1
[i]   u2
[i]]
т;     δq [i] = [δu1
[i]   δu2
[i]]
т 
(1.5) 

— вектор-столбцы истинных узловых и возможных перемещений. 
Связь удлинения пружины с узловыми перемещениями (1.1) представим 
следующим образом: 

 
∆[i] = B q[i], 
(1.6) 

где B = [–1  1 ]. 
Закон Гука (1.2) запишем в виде 

 
 N[i] = k[i] B q[i]. 
(1.7) 

Тогда формулировка принципа возможных перемещений (1.3) будет 
выглядеть так: 

(B δq[i])
т k[i] B q[i] = (δq[i])
т R[i]  

или  
 
(δq[i])
т (k[i] q[i] – R[i]) = 0,  
(1.8) 

где 

 
k[i] = B
т k[i] B = 
[ ]
[ ]

[ ]
[ ]

i
i

i
i
k
k
k
k



−



−


 
(1.9) 

— матрица жесткости пружины; R[i] = [R1
[i]   R2
[i]]т — вектор-столбец 
узловых реакций. Из (1.8) следует  

 
 R[i] = k[i] q[i]  
(1.10) 

или в развернутом виде 

 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
1
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
2
,
i
i
i
i

i
i
i
i
R
u
k
k
k
k
R
u







−
=






−






 

что соответствует (1.4). 
Аналогичным образом дадим математическое описание отдельному 
демпферу (рис. 1.3), представляющему цилиндр, наполненный 
вязкой жидкостью, и перфорированный поршень, имеющий 
возможность перемещаться внутри цилиндра. Из экспериментов 
на растяжение-сжатие демпферов установлено, что в первом приближении 
внутреннюю силу в демпфере можно считать пропорциональной 
скорости относительного смещения поршня и цилиндра, 
т. е. 

 
 N[i] = 
[ ]
[ ],
i
i
c Δ
 
(1.11) 

где ∆[i] определяется согласно (1.1); c[i] — характеристика демпфера. 

 
 

Рис. 1.3. Схема демпфера 

Воспользовавшись принципом возможных перемещений, для 
равновесного состояния демпфера (рис. 1.3) запишем 

 
с[i] (
[ ]
2
i
u
 –
[ ]
1
i
u
)(
[ ]
2
i
u
δ
 – 
[ ]
1
i
u
δ
) = R1
[i] 
[ ]
1
i
u
δ
 + R2
[i] 
[ ]
2
i
u
δ
. (1.12) 

Затем, как это обычно делается согласно принципу возможных 
перемещений, сгруппируем в (1.12) слагаемые при возможных перемещениях 

 
[ ]

1
i
u
δ
[с[i] (
[ ]
2
i
u
 – 
[ ]
1
i
u
) – R1
[i]] + 
[ ]
2
i
u
δ
[с[i] (
[ ]
1
i
u
− 
 + 
[ ]
2
i
u
) – R2
[i]] = 0. 

Поскольку 
[ ]
1 ,
i
u
δ
 
[ ]
2
i
u
δ
 могут быть любыми числами, можно приравнять 
нулю стоящие при них сомножители. Отсюда получаем 
искомую связь узловых реакций с узловыми скоростями перемещений: 

 

R1
[i] = c[i] (
[ ]
1
i
u
 – 
[ ]
2
i
u
); 

  
R2
[i] = c[i] (
[ ]
2
i
u
− 
 + 
[ ]
2
i
u
) 

или 

 
 

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
1
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
2

i
i
i
i

i
i
i
i
R
u
c
c

R
u
c
c







−
=






−
















. 
(1.13) 

После того как даны математические определения элементов, 
входящих в рассматриваемую систему (см. рис. 1.1), можно приступить 
к составлению разрешающих уравнений движения (см. 
разд. 1.3). 
 

1.2. Переход к степеням свободы  
в глобальной системе координат 

На рис. 1.4 показаны примеры плоской (двумерной) и пространственной (
трехмерной) дискретных механических систем. 
Поскольку плоская система является частным случаем пространственной, 
рассмотрим приемы МКЭ, позволяющие формулировать 
задачи динамики дискретных систем для пространственных 
систем.  

Рис.1.4. Примеры плоской и пространственной дискретных систем 

Дадим математическое описание жесткостных характеристик 
произвольно ориентированной в пространстве отдельной пружины. 
В локальной системе координат (ЛСК), связанной с осью пружины 
x, в качестве обобщенных степеней свободы выбирались перемещения 
узлов 
[ ]
1
i
u
 и 
[ ]
2
i
u
 (см. рис. 1.2) и матрица жесткости 
соответствовала (1.9). Для описания кинематики деформирования 
пружины в пространстве воспользуемся тремя проекциями полного 
перемещения каждого узла на оси X, Y, Z. Таким образом, перемещения 
первого узла будут определяться значениями U1
[i], V1
[i], 
W1
[i], а второго узла — соответственно U2
[i], V2
[i], W2
[i] (рис. 1.5). 
Определим с помощью направляющих косинусов ориентацию 
пружины в пространстве. Вычислим эти косинусы 

 
lX
[i] = (X2
[i] – X1
[i])/l;    lY
[i] = (Y2
[i] – Y1
[i])/l;    lZ
[i] = (Z2
[i] – Z1
[i])/l, 

где X1
[i], Y1
[i], Z1
[i] и X2
[i], Y2
[i], Z2
[i] — координаты в глобальной системе 
координат (ГСК) начального и конечного узлов i-й пружины; 
l — длина пружины,  

 
l = 
[ ]
[ ] 2
[ ]
[ ] 2
[ ]
[ ] 2
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
) .
i
i
i
i
i
i
X
X
Y
Y
Z
Z
−
+
−
+
−
 

 
Рис. 1.5. Определение степеней свободы в ГСК