Статика и динамика дискретных систем

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 

 
 
 
 
 
 

Б.Г. Попов, Н.Н. Генералов 

 

СТАТИКА И ДИНАМИКА 
ДИСКРЕТНЫХ СИСТЕМ 

 

 

Рекомендовано Научно-методическим советом МГТУ им. Н.Э. Баумана 
 в качестве учебного пособия по курсам «Динамика конструкций» 
 и «Строительная механика летательных аппаратов» 
направления подготовки «Ракетные комплексы и космонавтика» 

 

 

 

 

 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2011 

УДК 534.1 (075.8) 
ББК 22.213 
        П58 

Р е ц е н з е н т ы: В.Н. Бакулин, В.С. Васильев  

Попов Б.Г. 
Статика и динамика дискретных систем: учеб. пособие / 
Б.Г. Попов, Н.Н. Генералов. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Бау-
мана, 2011. — 46, [2] с., ил. 

Рассмотрены трехмерные дискретные системы, состоящие из 
набора точечных масс, соединенных упругими и диссипативными 
связями (пружинами и демпферами). Основное внимание уделено 
численным методам решения задач о свободных и вынужденных 
колебаниях, а также алгоритмам интегрирования уравнений дви-
жения. Материал изложен в соответствии с методом конечных 
элементов. Использованы принципы Д’Аламбера и возможных 
перемещений, при записи основных соотношений — векторно-
матричная символика. Приведены тексты программ на языке 
MATLAB и примеры расчета. 
Для студентов старших курсов технических университетов, 
изучающих теорию колебаний, строительную механику и динами-
ку конструкций. 

 

УДК 534.1 (075.8) 
ББК 22.213 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2011 

П58 

Принятые обозначения 

( )
g i  
— нижний индекс, заключенный в круглые скобки, указы-
вает на принадлежность i-му узлу 
[ ]
g i  
— верхний индекс, заключенный в квадратные скобки, ука-
зывает на принадлежность i-му элементу дискретной 
механической системы 
gL  
— нижний индекс L указывает на принадлежность локаль-
ной системе координат 
gG  
— нижний индекс G указывает на принадлежность гло-
бальной системе координат 
т
g  
— верхний индекс «т» обозначает операцию транспониро-
вания 

g
g
d
d t
=

 — верхняя точка обозначает операцию дифференцирования 

по времени t 

( ,
)
g n m  — нижние индексы обозначают размерность матрицы (n — 
число строк, m — число столбцов) 

( , )
n n
E
 — единичная матрица 

Σ
K  
— матрица жесткости незакрепленной конструкции (без 
учета запрещенных степеней свободы) 

Σ
M  
— матрица масс незакрепленной конструкции (без учета 
запрещенных степеней свободы) 

Σ
C  
— матрица демпфирования незакрепленной конструкции 
(без учета запрещенных степеней свободы) 

Σ
q  
— вектор-столбец узловых степеней свободы для незакреп-
ленной конструкции 
K, М, С — матрицы жесткости, масс и демпфирования конструк-
ции ( с учетом запрещенных степеней свободы) 
q 
— вектор-столбец узловых степеней свободы для закреп-
ленной конструкции 
[ ]i
k
 
— матрица жесткости i-го упругого элемента (пружины) 
[ ]i
c
 
— матрица демпфирования i-го демпфера 
0
iq  
— i-й собственный вектор 

i
ω  
— i-я круговая частота 

Введение 

В учебном пособии рассматриваются приемы решения задач 
статики и динамики простых механических систем, состоящих из 
набора пружин, демпферов и точечных масс. Несмотря на просто-
ту расчетных схем, ими достаточно часто пользуются в расчетах 
машиностроительных конструкций. Преимущества таких схем 
особенно четко проявляются на ранних этапах проектирования, 
например, когда требуется дать оценку динамического поведения 
будущей конструкции. 
С методической точки зрения, по мнению автора, именно на та-
ких простейших объектах можно в доступной и наглядной форме 
ознакомить читателя с основными процедурами метода конечных 
элементов (МКЭ). Математическое описание характеристик от-
дельных элементов выполняется весьма просто. Основное внима-
ние уделяется процедурам сборки отдельных элементов, формиро-
ванию разрешающих уравнений и численным методам решения. 
Описание этих процедур и методов ведется с использованием век-
торно-матричной символики, поэтому практически без каких-либо 
изменений алгоритмы пригодны для других более сложных рас-
четных схем, содержащих стержни, пластины, оболочки. 

1. Получение разрешающих уравнений 

В данном разделе дается математическое описание объектов, 
входящих в систему дискретных элементов. Показаны приемы 
сборки отдельных элементов для получения разрешающих урав-
нений статики и динамики дискретных систем. 

1.1. Матрицы жесткости и демпфирования  
в локальной системе координат 

На рис. 1.1 показан пример одномерной дискретной системы, 
состоящей из пяти сосредоточенных масс, упругих связей (пру-
жин) и диссипативных связей (демпферов). Требуется определить 
напряженно-деформированное состояние системы. 

Рис. 1.1. Пример одномерной дискретной системы 

Полная система дискретных элементов имеет пять степеней 
свободы: u1, u2, u3, u4 u5, которые являются перемещениями узлов 
вдоль оси x. Первая степень свободы (u1) запрещена (кинематиче-
ское граничное условие). В четвертом узле в направлении переме-
щения u4 действует сила P4(t). (При решении примеров принима-
лись следующие данные: mi = 100 кг; ki = k/i; k = 105 Н/м; P4 = 
= 103 Н; ci = ηki; η = 10–2 с; i — номер пружины или демпфера). 

Перед составлением уравнений движения системы дадим мате-
матическое описание пружин и демпферов. 
Рассмотрим отдельно типовую пружину с номером i (рис. 1.2).  

 
 
Рис. 1.2. Схема упругого элемента 

Обозначим жесткость этой пружины k[i]. Направление обхода 
узлов выберем вдоль направления горизонтальной оси x, левый 
узел будем считать первым, правый — вторым. (Такая нумерация 
узлов отдельно выделенного элемента называется локальной. Ну-
мерация узлов и степеней свободы на рис. 1.1 соответствует гло-
бальной.) Перемещения узлов (рис. 1.2) обозначим u1
[i], u2
[i]. Будем 
считать, что в узлах приложены внешние силы R1
[i], R2
[i], например, 
реакции других отброшенных элементов.  
Узловые реакции и узловые перемещения нам не известны, так 
как они определяются решением конкретной задачи, но математи-
ческую связь между ними мы можем определить. Сделать это 
можно следующим образом. 
Во-первых, определим деформационное соотношение. Дефор-
мацию пружины будет характеризовать абсолютное удлинение 

 
∆[i] = u2
[i] – u1
[i]. 
(1.1) 

Во-вторых, найдем физическое соотношение для пружины. Ему 
будет соответствовать соотношение упругости (закон Гука), кото-
рое на основании экспериментов позволяет связать внутреннюю 
силу упругости пружины N[i] с ее абсолютным удлинением: 

 
N[i] = k[i] ∆[i], 
(1.2) 

где k[i] — жесткость пружины. 
Далее для получения связи узловых реакций с узловыми пере-
мещениями можно воспользоваться либо уравнением равновесия, 
либо принципом минимума полной потенциальной энергии, либо 
принципом возможных перемещений. Воспользуемся принципом 

возможных перемещений. Согласно принципу относительно рав-
новесного состояния, работа внутренних сил на возможных пере-
мещениях равна работе внешних сил на возможных перемещени-
ях. Запишем это для нашего случая (см. рис. 1.2): 

 
N[i] δ∆[i] = R1
[i] δu1
[i] + R2
[i] δu2
[i] 

или с учетом (1.1), (1.2) 

 
k[i] (u2
[i] – u1
[i])(δu2
[i] – δu1
[i]) = 

 
= R1
[i] δu1
[i] + R2
[i] δu2
[i],  
(1.3) 

где δu1
[i], δu2
[i] — любые числа. Затем, как это обычно делается при 
использовании принципа возможных перемещений, сгруппируем в 
(1.3) слагаемые при возможных перемещениях: 

 
δu1
[i] (k[i] (u1
[i] – u2
[i]) – R1
[i]) + δu2
[i] [k[i] (– u1
[i] + u2
[i]) – R2 [i]] = 0. 

Поскольку δu1
[i], δu2
[i] могут быть любыми числами, можно при-
равнять нулю стоящие при них сомножители. Отсюда получаем 
искомую связь узловых реакций с узловыми перемещениями: 

 
R1
[i] = k[i] (u1
[i] – u2
[i]); 

 
R2
[i] = k[i] (– u1
[i] + u2
[i]). 
(1.4) 

Повторим этот вывод, используя векторно-матричную симво-
лику. Обозначим 
 
q[i] = [u1
[i]   u2
[i]]
т;     δq [i] = [δu1
[i]   δu2
[i]]
т 
(1.5) 

— вектор-столбцы истинных узловых и возможных перемещений. 
Связь удлинения пружины с узловыми перемещениями (1.1) пред-
ставим следующим образом: 

 
∆[i] = B q[i], 
(1.6) 

где B = [–1  1 ]. 
Закон Гука (1.2) запишем в виде 

 
 N[i] = k[i] B q[i]. 
(1.7) 

Тогда формулировка принципа возможных перемещений (1.3) бу-
дет выглядеть так: 

(B δq[i])
т k[i] B q[i] = (δq[i])
т R[i]  

или  
 
(δq[i])
т (k[i] q[i] – R[i]) = 0,  
(1.8) 

где 

 
k[i] = B
т k[i] B = 
[ ]
[ ]

[ ]
[ ]

i
i

i
i
k
k
k
k



−



−


 
(1.9) 

— матрица жесткости пружины; R[i] = [R1
[i]   R2
[i]]т — вектор-стол-
бец узловых реакций. Из (1.8) следует  

 
 R[i] = k[i] q[i]  
(1.10) 

или в развернутом виде 

 
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
1
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
2
,
i
i
i
i

i
i
i
i
R
u
k
k
k
k
R
u







−
=






−






 

что соответствует (1.4). 
Аналогичным образом дадим математическое описание отдель-
ному демпферу (рис. 1.3), представляющему цилиндр, наполнен-
ный вязкой жидкостью, и перфорированный поршень, имеющий 
возможность перемещаться внутри цилиндра. Из экспериментов 
на растяжение-сжатие демпферов установлено, что в первом при-
ближении внутреннюю силу в демпфере можно считать пропор-
циональной скорости относительного смещения поршня и цилинд-
ра, т. е. 

 
 N[i] = 
[ ]
[ ],
i
i
c Δ
 
(1.11) 

где ∆[i] определяется согласно (1.1); c[i] — характеристика демп-
фера. 

 
 
Рис. 1.3. Схема демпфера 

Воспользовавшись принципом возможных перемещений, для 
равновесного состояния демпфера (рис. 1.3) запишем 

 
с[i] (
[ ]
2
i
u
 –
[ ]
1
i
u
)(
[ ]
2
i
u
δ
 – 
[ ]
1
i
u
δ
) = R1
[i] 
[ ]
1
i
u
δ
 + R2
[i] 
[ ]
2
i
u
δ
. (1.12) 

Затем, как это обычно делается согласно принципу возможных 
перемещений, сгруппируем в (1.12) слагаемые при возможных пе-
ремещениях 

 
[ ]
1
i
u
δ
[с[i] (
[ ]
2
i
u
 – 
[ ]
1
i
u
) – R1
[i]] + 
[ ]
2
i
u
δ
[с[i] (
[ ]
1
i
u
− 
 + 
[ ]
2
i
u
) – R2
[i]] = 0. 

Поскольку 
[ ]
1 ,
i
u
δ
 
[ ]
2
i
u
δ
 могут быть любыми числами, можно при-
равнять нулю стоящие при них сомножители. Отсюда получаем 
искомую связь узловых реакций с узловыми скоростями переме-
щений: 

 
R1
[i] = c[i] (
[ ]
1
i
u
 – 
[ ]
2
i
u
); 

  
R2
[i] = c[i] (
[ ]
2
i
u
− 
 + 
[ ]
2
i
u
) 

или 

 
 

[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
1
1
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
2
2

i
i
i
i

i
i
i
i
R
u
c
c

R
u
c
c







−
=






−
















. 
(1.13) 

После того как даны математические определения элементов, 
входящих в рассматриваемую систему (см. рис. 1.1), можно при-
ступить к составлению разрешающих уравнений движения (см. 
разд. 1.3). 
 

1.2. Переход к степеням свободы  
в глобальной системе координат 

На рис. 1.4 показаны примеры плоской (двумерной) и про-
странственной (трехмерной) дискретных механических систем. 
Поскольку плоская система является частным случаем простран-
ственной, рассмотрим приемы МКЭ, позволяющие формулиро-
вать задачи динамики дискретных систем для пространственных 
систем.  

Рис.1.4. Примеры плоской и пространственной дискретных систем 

Дадим математическое описание жесткостных характеристик 
произвольно ориентированной в пространстве отдельной пружи-
ны. В локальной системе координат (ЛСК), связанной с осью пру-
жины x, в качестве обобщенных степеней свободы выбирались пе-
ремещения узлов 
[ ]
1
i
u
 и 
[ ]
2
i
u
 (см. рис. 1.2) и матрица жесткости 
соответствовала (1.9). Для описания кинематики деформирования 
пружины в пространстве воспользуемся тремя проекциями полно-
го перемещения каждого узла на оси X, Y, Z. Таким образом, пере-
мещения первого узла будут определяться значениями U1
[i], V1
[i], 
W1
[i], а второго узла — соответственно U2
[i], V2
[i], W2
[i] (рис. 1.5). 
Определим с помощью направляющих косинусов ориентацию 
пружины в пространстве. Вычислим эти косинусы 

 
lX
[i] = (X2
[i] – X1
[i])/l;    lY
[i] = (Y2
[i] – Y1
[i])/l;    lZ
[i] = (Z2
[i] – Z1
[i])/l, 

где X1
[i], Y1
[i], Z1
[i] и X2
[i], Y2
[i], Z2
[i] — координаты в глобальной сис-
теме координат (ГСК) начального и конечного узлов i-й пружины; 
l — длина пружины,  

 
l = 
[ ]
[ ] 2
[ ]
[ ] 2
[ ]
[ ] 2
2
1
2
1
2
1
(
)
(
)
(
) .
i
i
i
i
i
i
X
X
Y
Y
Z
Z
−
+
−
+
−
 

 
Рис. 1.5. Определение степеней свободы в ГСК