Сборник олимпиадных задач по теоретической механике

Московский государственный технический университет
 имени Н.Э. Баумана

Сборник олимпиадных задач
по теоретической механике

Под редакцией В.В. Дубинина

Рекомендовано редсоветом МГТУ им. Н.Э. Баумана
в качестве учебного пособия

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2006

УДК 531.2+531.8(076.1)
ББК 22.21
       С23
Рецензенты: К.И. Романов, Т.И. Чуканова

Сборник олимпиадных задач по теоретической механике:
Учеб. пособие / В.В. Дубинин, Г.М. Тушева, Н.Л. Нарская и др.;
Под ред. В.В. Дубинина. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2006. – 56 с.: ил.
ISBN 5-7038-2882-1
Приведены условия и решения типовых задач, представленных на
олимпиадах по теоретической механике. Задачи охватывают все основные
разделы механики (статика, кинематика и динамика). В последнем разделе
рассмотрены задачи по динамике точки и механической системы.
Для аспирантов, студентов, участников олимпиад по теоретической
механике и преподавателей кафедр теоретической механики.
Ил. 50. Библиогр. 4 назв.
УДК 537.2+531.8(076.1)
                                                  ББК 22.21

Учебное издание

Владимир Валентинович Дубинин
Галина Михайловна Тушева
Наталия Лазаревна Нарская
Галина Ивановна Дубровина
Юрий Сергеевич Саратов

СБОРНИК ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ
ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Редактор А.В. Сахарова
Корректор Р.В. Царева
Компьютерная верстка  Е.В. Зимакова

Подписано в печать 20.07.2006. Формат  60х84/16. Бумага офсетная.
Печ. л. 3,5. Усл. печ. л. 3,26.  Уч.-изд. л. 2,95. Тираж 300 экз.
Изд № 127. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
105005, Москва, 2-я Бауманская, 5

ISBN 5-7038-2882-1                
        
©
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006

С23

В данном сборнике приведены условия и решения типовых
задач, 
представленных 
на 
внутренних 
олимпиадах 
МГТУ
им. Н.Э. Баумана, московских олимпиадах, проведенных в послед-
ние годы МГТУ им. Н.Э. Баумана, и олимпиадах Уральского госу-
дарственного технического университета (УГТУ–УПИ). Исполь-
зованы задачи из сборника [1]. Задачи охватывают все основные
разделы механики: статика, кинематика и динамика. В последнем
разделе рассмотрены задачи по динамике точки и механической
системы.
Особый интерес представляют задачи по теории ньютонов-
ского удара, так как в учебных курсах этому разделу механики
уделено незаслуженно мало времени. В приведенных задачах
рассматривается удар в механической системе. При определении
скоростей после удара используют общие теоремы динамики, а
также общее уравнение механики и уравнение Лагранжа второго
рода при ударе.

1. СТАТИКА

При решении задач статики прежде всего надо выбрать тело
или систему тел, равновесие которых рассматриваем. Затем необ-
ходимо определить, является ли задача статически определимой.
Необходимым условием статической определимости является
равенство нулю числа степеней свободы S. Число степеней свобо-
ды определяется формулой

1
,
N

i
i
S
k
m
n

=

=
−
−
∑

где N – число составляющих тел; ki – число независимых уравне-
ний равновесия для каждого тела в зависимости от вида системы
сил, действующих на тело; m, n – число неизвестных составляю-
щих реакций внешних и внутренних связей, наложенных на сис-
тему тел соответственно. Если S > 0, то механическая система яв-
ляется механизмом; при S < 0 задача статически неопределима.
В задачах статики прежде всего необходимо понять, каким ме-
тодом будет решаться задача, – методом геометрической (посред-
ством уравнений равновесия для систем сил) или аналитической
(принципом возможных перемещений) статики.
Основой метода геометрической статики являются расчетные
схемы, на которых показаны тела или совокупности тел, освобожденные 
от связей. В олимпиадных задачах обычно не требуется
определять все неизвестные реакции или уравновешивающие силы, 
поэтому высокой оценки могут заслуживать решения, в которых 
минимальным числом действий определены только указанные
в условии искомые величины. При решении задачи, применив аксиому 
о затвердевании, можно рассматривать систему тел или
равновесие одного из тел, не составляя при этом лишних уравнений 
равновесия. Выбирая удачным образом точку или ось для составления 
уравнения моментов и ось для уравнения проекций сил,
можно получить минимальное число уравнений для решения задачи. 
При действии на тело уравновешенной плоской системы трех
непараллельных сил можно применить теорему о трех силах.
Очень внимательно нужно относиться к арифметическим вычислениям 
и тригонометрическим преобразованиям.

Если систему сил, приложенных к телу, удается свести к трем,
эффектное решение достигается путем применения теоремы о трех
силах.
Основой аналитической статики является принцип возможных
перемещений (принцип Лагранжа), позволяющий из одного урав-
нения определить неизвестную величину. Его применяют для сис-
тем, находящихся в равновесии, на которые наложены идеальные
связи. В статических конструкциях, число степеней свободы кото-
рых равно нулю, применяют прием последовательного снятия свя-
зей с добавлением в систему активных сил соответствующих реак-
ций.
Особое внимание следует обратить на задачи с трением сколь-
жения и качения. В этих задачах из уравнений предполагаемого
равновесия надо найти силу трения скольжения Fтр или момент
трения качения Мтр, используя при этом законы трения:

тр
трmax
тр
тр max
0
, 0
,
F
F
M
М
≤
≤
≤
≤

где 
 
тр max
тр max
; 
;
F
f N M
N
=
= δ
 N – нормальное давление на по-

верхность в точке контакта; N > 0; Fтр – сила трения.
Подставляя значения Fтр, Мтр, найденные из уравнений равно-
весия, исследуем эти неравенства. При выполнении этих нера-
венств равновесие в какой-то области изменения исследуемых ве-
личин не нарушено, нет отрыва, скольжения или качения. Если эти
неравенства не выполняются, то равновесие тела невозможно.
Для плоских задач статики можно графически построить об-
ласть равновесия: это геометрическое решение основано на том
условии, что полная реакция плоскости находится внутри конуса
трения.
С-1. (Космодемьянский В.А., МГТУ, 2001) Два однородных
стержня (рис. 1) одинаковой длины 2L, соединенные шарнирно,
расположены в вертикальной плоскости и проходят через шарнир-
но закрепленные на неподвижных опорах втулки А и В.
Найти симметричные формы равновесия системы при условии
АВ = L.
В положении равновесия точке О сообщается малая скорость
по вертикали ε  и система начинает движение. Дайте качествен-
ный анализ дальнейшего движения системы. Устойчива ли най-
денная форма равновесия?

Решение методом геометрической статики. Из условий рав-
новесия системы (рис. 2, а) имеем

2
1
/cos .
N
N
N
P
=
=
=
α

Рис. 1

Из условий равновесия любого из стержней имеем

(
)
cos
0,
O
k
M
F
NOA
PL
=
−
α =
∑

где 
2
;
2 cos
.
2cos
L
OA
N
P
=
=
α
α

а

б
Рис. 2 (начало)

в
Рис. 2 (окончание)

 Следовательно, 
3
1
cos
,
2
α =
 что соответствует значениям уг-

лов 
1
37,5
α =
°  и 
1
37,5
α = −
° .
Решение методом аналитической статики (следствие из
принципа Лагранжа при потенциальных силах). Потенциальная
энергия системы (нулевой уровень выбран на горизонтали АВ)

1
П
2
2
sin
2
sin
             
2cos
(2sin
tg ).

L
Рh
PАC
P L

PL

⎛
⎞
= −
= −
α = −
−
α =
⎜
⎟
α
⎝
⎠

= −
α −
α

 Из условия экстремума 
2
П
1
2cos
0
cos
PL
∂
⎛
⎞
= −
α −
=
⎜
⎟
∂α
α
⎝
⎠
 получаем 
те же значения для угла α , что и найденные выше. Условия
теоремы Лагранжа выполняются для 
1
α = α :

1

2

1
2
3
1

П
1
2
sin
1
0.
cos
PL
α=α
⎛
⎞
∂
=
α
+
>
⎜
⎟
⎜
⎟
∂α
α
⎝
⎠

Следовательно, данная форма отвечает устойчивому равновесию (
рис. 2, б). При 
2
α = α  потенциальная энергия не имеет минимума, 
однако она является аналитической функцией, и в соответствии 
с теоремой Н.Г. Четаева равновесие неустойчиво
(рис. 2, в).
С-2 ([1]). В стержневой системе, расположенной в вертикальной 
плоскости, АС= ОС; стержни 1 и 2 однородны и имеют вес Р1
и Р2 соответственно. Определить силу натяжения пружины, если в
положении системы, изображенном на рис. 3, 
90 ,
ABO
∠
=
°
,
OAB
∠
= α  точки О, С и А лежат на одной прямой.

Рис. 3

Решение методом геометрической статики.   
Из уравнения равновесия стержня АВ (рис. 4, а) 
A
B
M
Y AB
=
−
∑

(
)
2
2
0
P
AB
−
=
 находим 
2 2
B
Y
P
=
.

 Для системы стержней CАВ (
)
OC
CA
l
=
=
 верно 
С
M
=
∑

(
)
1
1
2
cos
cos
2
sin
0
ctg
2
B
B
B
Y l
P l
X l
X
P
P
=
α +
α
−
α =
→
=
+
α
(рис. 4, б).
Для стержня OB′ верно равенство 
(
)
2
O
B
M
X OB
F OB
=
−
=
∑

(
)
1
2
0
2
ctg
B
F
X
P
P
=
→
=
=
+
α  (рис. 4, в).

                         а                                                           б                                        в
Рис. 4

Решение методом аналитической статики (принцип возможных 
перемещений). Проекции возможных перемещений точек А и
В на прямую АВ равны, и, следовательно, возможное перемещение

2
1
2 sin
sin ,
l
l
δϕ
α = δϕ
α  откуда 
2
1
2
.
δϕ = δϕ
Кроме того, мгновенный центр возможных перемещений звена 
2 на рис. 3 совпадает с шарниром О, и 
2
3.
δϕ = δϕ  Тогда из
уравнения работ (рис. 5)

Рис. 5

1
1
2
2
3
cos
cos
sin
0
2
k
k

l
A
P
P l
Fl
αδϕ
δ
= −
−
αδϕ +
αδϕ =
∑

находим

1
2
(
)ctg .
F
P
P
=
+
α

С-3 (УГТУ–УПИ). Брусок весом 100 Н находится на верхней
грани другого бруска весом 200 Н, который в свою очередь располагается 
на горизонтальной плоскости. На верхний брусок под углом 
30° к горизонту действует сила, равная 60 Н. Коэффициенты
трения между брусками и между нижним бруском и опорной
плоскостью равны 0,5 и 0,2 соответственно.
Определить, будут ли бруски двигаться относительно друг друга 
и относительно плоскости.
Решение. Полагаем, что бруски неподвижны; тогда можно
применить уравнения статики. Из уравнений равновесия верхнего
бруска (рис. 6, а)

1
1
1
cos30
0,
sin30
0
kx
ky
F
F
P
F
N
P
P
=
−
° =
=
−
° −
=
∑
∑

находим 
1
30 3
52 H,
F =
≅
 
1
1
2
130 H.
N
P
P
=
+
=
 
Так 
как

1
1
1
0,5 130
65 H,
F
f N
<
=
⋅
=
 условие непроскальзывания выполняется: 
бруски друг относительно друга не скользят.
Аналогично для системы брусков (рис. 6, б) из уравнений

2
2
1
2
cos30
0,
sin30
0
kx
ky
F
F
P
F
N
P
P
P
=
−
° =
=
−
° −
−
=
∑
∑

находим 
2
1,
F
F
=
 
2
1
2
2
330 H.
N
P
P
P
=
+
+
=
 Так как 
2
2
2
F
f N
<
=
0,2 330
66 H,
=
⋅
=
 условие непроскальзывания нижнего бруска по
опорной плоскости также выполняется.

                                            а                                                 б
Рис. 6

С-4 (УГТУ–УПИ). Однородная балка АВ длиной 2L и весом Р
опирается концами А и В на взаимно перпендикулярные шероховатые 
плоскости, углы наклона которых к горизонту равны α и β
(рис. 7). Коэффициент трения концов балки о плоскости равен f.
На балке располагается груз весом Q.

Рис. 7

Найти наименьшее значение расстояния s груза от конца В балки, 
при котором она будет занимать горизонтальное положение.
Аналитическое решение. Рассматриваем равновесие системы,
соответствующее крайнему правому положению груза, в котором
силы трения имеют максимально возможные значения.
 Из уравнений проекций на координатные оси (cos
sin ,
β =
α
tg
)
f
ϕ =

(
)cos
0
kx
A
B
k
F
N
f N
P
Q
=
+
−
+
α =
∑