Расчет планетарно-цевочных редукторов

М.М. Ермолаев, А.В. Чиркин

Расчет планетарно-цевочных  

редукторов

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  

образовательное учреждение высшего образования  

«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  

(национальный исследовательский университет)»

ISBN 978-5-7038-5476-1 

УДК 621.833.61 
ББК 34.44 
 
Е74 

Издание доступно в электронном виде по адресу

https://bmstu.press/catalog/item/6963/

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»

Кафедра «Основы конструирования машин» 

Рекомендовано Научно-методическим советом  

МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 

 
Ермолаев, М. М. 

Е74 
 
Расчет планетарно-цевочных редукторов : учебное пособие / М. М. Ер-

молаев, А. В. Чиркин. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2020. — 62, [2] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-5476-1 

Рассмотрены основные типы планетарно-цевочных передач, приведены зави-

симости для их кинематического расчета и построения профилей зубьев, изложе-
ны методы силового расчета зацепления и различных узлов планетарно-цевочных 
редукторов.

Для студентов, изучающих дисциплину «Детали машин». Может представлять 

интерес для студентов магистратуры, обучающихся по направлению подготовки 
15.04.01 «Машиностроение», а также для аспирантов соответствующего направ-
ления.

УДК 621.833.61 
ББК 34.44 

Предисловие

риалы», 15.05.01 «Проектирование технологических машин и комплексов», 
16.05.01 «Специальные системы жизнеобеспечения», 23.05.01 «Наземные 
транспортно-технологические средства», 23.05.02 «Транспортные средства 
специального назначения», 24.05.01 «Проектирование, производство и экс-
плуатация», 24.05.02 «Проектирование авиационных и ракетных двигателей» 
и изучающих дисциплину «Детали машин».

Цель учебного пособия заключается в формировании знаний о плане-

тарно-цевочных передачах, умений проектирования этих передач для при-
водов различного оборудования, а также в формировании навыков их рас-
чета.

Задачами пособия являются:

•• изучение принципа работы планетарно-цевочных передач, их кинема-

тических схем, конструкций и геометрических характеристик;

•• изучение критериев работоспособности зацепления в планетарно- 

цевочной передаче, освоение методов его расчета по указанным критериям;

•• изучение критериев работоспособности подшипников и прочих узлов 

планетарно-цевочных редукторов, освоение методов их расчета по указан-
ным критериям.

После изучения данного пособия учащиеся будут знать принцип рабо-

ты планетарно-цевочных передач, конструкции и кинематические схемы 
используемых в настоящее время планетарно-цевочных редукторов, гео-
метрические параметры циклоидального зацепления, критерии работоспо-
собности планетарно-цевочных редукторов, уметь назначать оптимальные 
параметры планетарно-цевочных передач, при которых они реализуют наи-
больший крутящий момент на тихоходном валу, оценивать изменение ос-
новных технических характеристик передач в процессе их работы, владеть 
навыками расчета фактических и допустимых значений параметров, харак-
теризующих работоспособность передач (напряжение, скорость скольже-
ния, реакция в опорах), и оценки работоспособности передач по соответ-
ствующим критериям.

Для понимания изложенного в пособии материала необходимо предва-

рительно изучить дисциплины «Сопротивление материалов», «Теория меха-
низмов и машин», а также модули «Соединения» и «Передачи» дисциплины 
«Детали машин». Недостающие сведения читатель может почерпнуть в учеб-
никах и учебных пособиях [1, 2, 4].

Данное учебное пособие предназначено для студентов МГТУ им. Н.Э. Бау- 

мана, обучающихся по специальностям 14.05.01 «Ядерные реакторы и мате-

В конце каждой главы настоящего пособия приведены контрольные во-

просы и задания. Для полного и корректного ответа на эти вопросы и вы-
полнения заданий необходимо не только понимать изложенный материал, 
но и уметь им пользоваться при решении реальных конструкторских задач.

Усвоение материала данного учебного пособия поможет при выпол-

нении курсового проекта по дисциплине «Детали машин» в случае выбора 
темы, связанной с проектированием привода на базе планетарно-цевочного 
редуктора. Усвоение материала пособия необходимо для успешного прохож-
дения промежуточной аттестации во втором семестре изучения дисциплины 
«Детали машин» — защиты курсового проекта.

Введение

Современные машины (технологические, транспортирующие и пр.) су-

щественно отличаются от похожих, казалось бы, устройств середины XX в. 
Развитие электронно-вычислительной техники позволило освободить кон-
структоров-механиков от решения ряда задач. В прошлом веке большая часть 
функций машин выполнялась механически: зубчатые передачи вращали 
валы с требуемой скоростью, кулачковые механизмы обеспечивали заданные 
циклограммы движения рабочих органов, а рычажные механизмы — опреде-
ленные траектории. В современных машинах — станках, промышленных ро-
ботах, автоматических линиях — все эти функции берут на себя электронные 
системы управления, отслеживая фактические траектории и скорости движе-
ния рабочих органов с помощью различных измерительных преобразователей 
(датчиков) и корректируя их положение с помощью электродвигателей. Требу-
емые частоты вращения валов электродвигателей обеспечиваются электрон-
ными устройствами — преобразователями частоты и драйверами. Машины 
стали более модульными. Так, для добавления станку с числовым программ-
ным управлением (ЧПУ) новой подвижности («оси») достаточно устано-
вить на его рабочий стол дополнительный привод (например, поворачива-
ющий заготовку) и подключить его блок управления к системе ЧПУ станка. 

Какие же задачи остались у инженеров-механиков?
Большинство электродвигателей, применяемых в настоящее время, ра-

ботает благодаря тому, что обмотки с током взаимодействуют с магнитным 
полем, создаваемым такими же обмотками или постоянными магнитами. 
Сила этого взаимодействия (сила Ампера) ограничена допустимым током 
в обмотках электродвигателя (зависящим от площади сечения провода) и 
остаточной магнитной индукцией постоянных магнитов. Момент, создава-
емый этой силой на валу (роторе) электродвигателя, зависит и от диаметра 
ротора. Таким образом, размеры электродвигателя существенно влияют на 
максимальный крутящий момент, который можно создать на его валу, и это 
физическое ограничение нельзя обойти за счет схемы управления. С другой 
стороны, частота вращения электродвигателя, ограниченная только возмож-
ностями системы управления и балансировкой привода, может достигать 
весьма больших значений.

Так, серводвигатель мощностью P1 = 0,6 кВт с квадратным фланцем 

60×60 мм (вполне пригодный для использования в приводе промышлен-
ного робота-манипулятора) может создавать на валу крутящий момент до  
T1 = 2 Н ∙ м при максимальной частоте вращения n1 = 3000 мин–1. Если ма-
нипулятор, в котором планируется использовать подобный двигатель, дол-
жен заменить человеческую руку в каком-либо технологическом процессе, 

то такая частота будет излишней. Однако момент, который требуется обе-
спечивать приводу манипулятора длиной l = 1 м при поднимаемой нагрузке 
F = 100 Н (это соответствует возможностям человеческой руки), составит 
T
Fl
2
100
=
=
 Н ∙ м, что делает невозможным использование данного двигате-

ля без механических «усилителей».

Устройство, увеличивающее крутящий момент привода за счет умень-

шения частоты вращения, называется редуктором. Редуктор — пассивное 
устройство, т. е. он не добавляет мощности приводу и не подключается к ка-
кому-либо дополнительному источнику энергии. 

Мощность P2 на выходном (тихоходном) валу редуктора несколько мень-

ше мощности P1, подводимой к его входному (быстроходному) валу, вслед-
ствие потерь в механических передачах, подшипниках и прочих элементах 
редуктора: P
P
2
1
=
η,  где η — коэффициент полезного действия (КПД) ре-

дуктора, принимающий в современных редукторах значения 90…98 %. 

Передаточным числом i редуктора называется отношение частот враще-

ния быстроходного и тихоходного валов:

i
n n
=
1
2
/
.

Крутящий момент на тихоходном валу почти во столько же раз больше 

момента на быстроходном:

T
T i
2
1
=
η.

Полагая η = 0,9, оценим передаточное число редуктора, требующееся для 

усиления серводвигателя привода манипулятора: i
T
T
=
=
2
1
56
/(
)
.
η
 При этом 

максимальная частота вращения механической руки n
n i
2
1
53
=
=
/
 мин–1, 

т. е. скорость вращения составит около 1 об/с, что вполне соответствует воз-
можностям человеческой руки.

Выясним, что будет, если вместо редуктора в приведенном примере по-

добрать электродвигатель большего размера. Серводвигатель с крутящим 
моментом 100 Н ∙ м имеет фланец 220×220 мм, что не позволяет его встро-
ить в габариты манипулятора. Такой двигатель существенно тяжелее и более 
дорогостоящий, а его мощность (15 кВт) явно излишняя для данной задачи.

Редуктор, размещенный между электродвигателем и рабочим органом, 

обеспечивает большую часть технических характеристик привода: номи-
нальный и максимально допустимый крутящие моменты, энергоэффектив-
ность (КПД), точность перемещения (зависящую от люфта в передачах, их 
кинематической точности и плавности), жесткость в различных направле-
ниях. Чем лучше будут указанные характеристики редуктора, тем лучше бу-
дут характеристики привода и машины в целом.

Редукторы на базе эвольвентных передач известны уже более 200 лет 

и давно применяются в мировой промышленности. В 30-х годах XX в. по-
явились передачи с другим типом зацепления и кинематикой, обеспечива-
ющей одновременную работу значительной части зубьев, что обусловливает 
высокие значения их нагрузочной способности, крутильной жесткости и 
малый люфт. Такие передачи называются планетарно-цевочными. 

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ О ПЛАНЕТАРНО-ЦЕВОЧНЫХ  

ПЕРЕДАЧАХ

1.1. Принцип работы планетарно-цевочных передач

Рассмотрим однопоточную эвольвентную зубчатую передачу наружного 

зацепления (рис. 1.1, а). Ее габаритные размеры определяются в первую оче-
редь суммой диаметров d2 колеса и d1 шестерни, а максимальный момент — 
модулем (из условия изгибной прочности зубьев) и межосевым расстоянием 
(из условия контактной прочности зубьев). 

Рис. 1.1. Схемы передач: 

а — эвольвентной однопоточной; б — эвольвентной многопоточной; в — эксцентрико- 
циклоидальной; г — планетарно-цевочной эпициклоидальной; д — планетарно-цевочной  

гипоциклоидальной

Минимально допустимое число зубьев шестерни z1 (17 для прямозу-

бых передач без смещения исходного контура, 8 для косозубых передач со 
смещением исходного контура) не позволяет реализовать большие переда-
точные числа, так как от числа зубьев колеса пропорционально зависят его 
габаритные размеры. Максимальное передаточное число цилиндрических 
эвольвентных передач в тихоходных ступенях редукторов, как правило, не 
превышает 6,3, при этом число зубьев колеса z2 = 100. Среднее число зубьев, 
находящихся в контакте, выражается коэффициентом перекрытия ε, равным 
1,3…1,7 для прямозубых передач и до 2,3 для косозубых. Суммарный коэф-
фициент перекрытия ε
ε
Σ = /z2  определяет долю зубьев тихоходного колеса, 

одновременно участвующих в передаче момента. Поскольку нагрузка делит-
ся между зубьями (хотя и неравномерно), этот параметр монотонно связан 
с максимально допустимым крутящим моментом. 

Для эвольвентных цилиндрических передач εΣ = 0 02
,
, т. е. 98 % зубьев  

в каждый момент времени не участвует в передаче нагрузки. Таким образом, 
в эвольвентной цилиндрической передаче «потенциал» всех зубьев не реа-
лизован.

Допустимый крутящий момент в эвольвентной передаче можно увели-

чить, изготовив ее многопоточной (рис. 1.1, б ) путем добавления нескольких 
шестерен вокруг тихоходного колеса и синхронизации их движения. Если 
общее число потоков (шестерен) составляет zp, то суммарный коэффициент 
перекрытия ε
ε
Σ = z
z
p / 2,  что увеличивает максимально допустимый крутя-

щий момент. Эта схема успешно работает в планетарных передачах. 

Согласно условию соседства, число шестерен, находящихся в зацепле-

нии с колесом, ограничено. Для повышения числа потоков следует умень-
шать диаметр шестерен, т. е. число их зубьев. При этом в те же габариты 
можно будет вписать передачу с большим диаметром колеса. Минимальным 
числом зубьев шестерни можно считать один зуб, однако в таком случае при-
дется заменить эвольвентное зацепление на зацепление с другим профилем.

Если выполнить однозубую шестерню в виде цилиндра (эксцентрика), 

вращающегося вокруг оси, смещенной от его собственной на некоторый 
эксцентриситет e, и придать колесу необходимый для зацепления профиль, 
то получим эксцентрико-циклоидальную передачу (рис. 1.1, в). Такие переда-
чи стали применять в промышленности в начале XXI в., на 200 лет позже 
эвольвентных и на 70 лет позже планетарно-цевочных передач. Коэффи-
циент перекрытия эксцентрико-циклоидальной передачи ε = 0 5
,  меньше, 

чем эвольвентной, однако максимальное число шестерен в многопоточной 
эксцентрико-циклоидальной передаче z
z
p
c
=
+1,  т. е. даже больше числа 

зубьев ее колеса. При этом одновременно в работе участвует половина экс-
центриков, т. е. ε
ε
Σ =
≈
z
z
p
c
/
0 5
, .  Эксцентрики, не участвующие в зацепле-

нии, могут касаться колеса, но не передают на него нагрузку, поскольку зуб 
шестерни не может «тянуть» зуб колеса, а может лишь «давить» на него.

Поскольку форма зуба шестерни представляет собой окружность, его 

«вращение» кинематически эквивалентно плоскопараллельному перемеще-
нию таким образом, чтобы каждая точка профиля шестерни перемещалась 

по окружности радиусом e. Это позволяет легко синхронизировать движе-
ние всех шестерен: достаточно их поместить в общий корпус (обойму) и 
придать ему требуемое плоскопараллельное движение. Однако чаще делают 
наоборот: обойма является выходным колесом, а плоскопараллельное дви-
жение совершает «тихоходное колесо», называемое сателлитом (рис. 1.1, г). 
Поскольку для приведения «зуба шестерни» в требуемое движение ему до-
статочно соединяться с обоймой, «зуб» можно выполнить в виде простого 
ролика — цевки.

Для сопряжения с цевками в обойме профиль сателлита должен быть 

образован эквидистантой к эпитрохоиде. Такие передачи будем называть 
эпициклоидальными. 

Если провести аналогичные рассуждения для передачи с внутренним за-

цеплением, то получим передачу, в которой обойма находится внутри сател-
лита с профилем, образованным эквидистантой к гипотрохоиде (рис. 1.1, д). 
Такие передачи будем называть гипоциклоидальными.

1.2. История возникновения планетарно-цевочных редукторов

Планетарно-цевочные передачи появились в Германии в начале 1900-х го- 

дов, однако не нашли применения в связи со сложностью производства. 
Заслуга создания полноценных планетарно-цевочных передач принадлежит 
немецкому инженеру и изобретателю Лоренцу Брарену. Он работал главным 
конструктором фирмы Friedrich Deckel, производившей затворы фотоаппа-
ратов и станки. Занимая эту должность с 1922 г., он получил множество па-
тентов на изобретения (например, на копировальный станок, который сей-
час хранится в Валь-Гардене), а в 1927 г. разработал планетарно-цевочный 
редуктор (рис. 1.2). В 1930 г. Брарен получил патент на станок для шлифо-

Рис. 1.2. Схема редуктора, запатентованного Лоренцем Брареном (а), и производ-

ство планетарно-цевочных редукторов, 1944 г. (б )

вания циклоидальных колес и, уволившись из компании Ф. Декеля, основал 
собственную фирму Cyclo Lorenz Braren KG в Мюнхене.

С 1938 г. редукторы Брарена нашли широкое применение в авиации 

Германии, их ставили на самолеты «Дорнье», «Юнкерс», «Фокке-Вульф», 
«Хейнкель». «Мессершмитт». В 1939 г. японская фирма Sumitomo приобрела 
лицензию на производство этих редукторов. К началу Второй мировой вой-
ны фирма Брарена насчитывала 1000 сотрудников. В 1944 г. после сильной 
бомбардировки завод в Мюнхене был разрушен и предприятие остановило 
свою деятельность. Восстановлено оно было в 1949 г.

После Второй мировой войны планетарно-цевочные редукторы попали в 

СССР, где начались их исследования. В них принимал участие В.М. Шанни-
ков, написавший впоследствии труд «Планетарные редукторы с внецентро-
идным зацеплением», в котором были обобщены результаты исследований. 
В дальнейшем планетарно-цевочными редукторами занимались В.Н. Куд-
рявцев, И.В. Сигов и другие ученые. Однако широкого распространения 
в СССР планетарно-цевочные редукторы не получили.

В 1974 г. фирма Cyclo стала частью компании Sumitomo, а в 1986 г. объе-

диненная компания отпраздновала продажу в общей сложности трех милли-
онов редукторов за время своего существования. Бурное развитие промыш-
ленных роботов породило спрос на редукторы для них. В 1980 г. специально 
для применения в роботах была создана передача RV (rotary vector — вра-
щающийся вектор). Редукторы с такой передачей стала производить фирма 
Nabtesco (ФРГ). На основе этих редукторов построены многие современные 
промышленные роботы фирмы Fanuc. Редукторы фирмы Sumitomo устанав-
ливались, например, в L-манипуляторы IGM-Robotersysteme. Такой про-
мышленный робот мог поднимать 20 т на плече 3,5 м, при этом погрешность 
его позиционирования составляла 0,02°.

В Словакии в 1994 г. открылась фирма Spinea, создатели которой по-

лучили патент на редуктор, названный ими подшипниковым. С 2000 г. эти 
редукторы устанавливают на промышленные роботы фирмы Kuka. В России 
созданием планетарно-цевочных редукторов занимается фирма АВВИ. Их 
применяют в авиапромышленности и других областях машиностроения.

1.3. Конструкции планетарно-цевочных редукторов

Для реализации планетарно-цевочной передачи необходимо привести 

сателлит в плоскопараллельное движение таким образом, чтобы каждая его 
точка перемещалась по окружности радиусом e. Это можно сделать различ-
ными способами, что обусловливает разнообразие конструкций планетарно- 
цевочных редукторов. Большинство из них соосные, их можно классифи-
цировать по системе В.Н. Кудрявцева [3] с помощью трехбуквенных ко-
дов. Буквы обозначают типы звеньев, с которыми связаны быстроходный 
вал, тихоходный вал и корпус передачи: «K» — колеса, соосные редукто-
ру; «H» — элементы, перемещающие оси колес (водила и эксцентриковые 
валы); «V» — прочие элементы.