Расчет напряженно-деформированного состояния конструкций методом конечных элементов

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

Ю.М. Темис, Х.Х. Азметов

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-
ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Методические указания
к выполнению лабораторных работ по курсу
«Системы автоматизированного проектирования»

Под редакцией И.В. Станкевича

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2012

УДК 539.4
ББК 30.2-5-05:22.251
Т32

Т32

Рецензент С.С. Гаврюшин

Темис Ю.М.
Расчет напряженно-деформированного состояния конструкций 
методом конечных элементов : метод. указания к выполнению 
лабораторных работ по курсу «Системы автоматизированного 
проектирования» / Ю.М. Темис, Х.Х. Азметов ; под
ред. И.В. Станкевича. – М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана,
2012. – 51, [1] с. : ил.

Методические указания предназначены для студентов кафедры
«Прикладная математика», изучающих курс «Системы автоматизированного 
проектирования», и посвящены введению в методику решения 
задач определения напряженно-деформированного состояния
деталей, а также оценке ресурса малоцикловой усталости и оптимизации 
конструкций методом конечных элементов. Предложено семь
заданий, каждое содержит 40 вариантов. Приведены примеры выпол-
нения заданий с пояснениями и рекомендациями.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией НУК ФН МГТУ
им. Н.Э. Баумана.

УДК 539.4
ББК 30.2-5-05:22.251
Учебное издание

Темис Юрий Моисеевич
Азметов Хаким Хасанович

РАСЧЕТ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ
МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

В авторской редакции
Корректор
М.А. Василевская
Компьютерная верстка В.И. Товстоног

Подписано в печать 21.03.2012. Формат 60×84/16.
Усл. печ. л. 3,02. Тираж 300 экз. Изд. № 5.
Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана.
105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.

c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012

РАБОТА № 1. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ
ОПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО
СОСТОЯНИЯ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Определить максимальные напряжения (упругие и упругопла-
стические) и интенсивность пластической деформации в зоне кон-
центрации напряжений и вычислить коэффициент концентрации
напряжений Kσ в детали (рис. 1) при двух типах приложения
нагрузки — перемещением и давлением. Расчетная схема пред-
ставлена на рис. 2. Необходимые исходные данные для расчета
приведены в табл. 1, результаты расчета занести в табл. 2.

Рис. 1. Чертеж детали
Рис. 2. Расчетная схема

3

1. Параметры задачи

1. Задача решается методом Ньютона.
2. Материал из файла VT9.DAT в директории системы РОТОР.
3. Верхний край закреплен по оси Y, верхняя левая точка за-
креплена по обеим осям.
4. По нижнему краю приложена заданная нагрузка (см. вари-
ант).
5. Толщина плоской детали единичная.
6. Температура 20 oС.

Таблица 1
Исходные данные

Номер
вари-
анта

Размер, мм
Тип
элемента*
Нагрузка

a
b
h
R

1
100
10
0
2,5
1
d = 0,70 мм (p = 70,0 кгс/мм2)

2
100
10
0
2,5
2
d = 0,70 мм (p = 70,0 кгс/мм2)

3
100
15
1,5
2,5
1
d = 0,65 мм (p = 60,0 кгс/мм2)

4
100
15
1,5
2,5
2
d = 0,65 мм (p = 60,0 кгс/мм2)

5
100
20
2,5
2,5
1
d = 0,65 мм (p = 65,0 кгс/мм2)

6
100
20
2,5
2,5
2
d = 0,65 мм (p = 65,0 кгс/мм2)

7
100
25
5
2,5
1
d = 0,60 мм (p = 45,0 кгс/мм2)

8
100
25
5
2,5
2
d = 0,60 мм (p = 45,0 кгс/мм2)

9
100
15
0
3
1
d = 0,70 мм (p = 70,0 кгс/мм2)

10
100
15
0
3
2
d = 0,70 мм (p = 70,0 кгс/мм2)

11
100
20
1,5
3
1
d = 0,65 мм (p = 62,5 кгс/мм2)

12
100
20
1,5
3
2
d = 0,65 мм (p = 62,5 кгс/мм2)

13
100
25
3
3
1
d = 0,60 мм (p = 60,0 кгс/мм2)

14
100
25
3
3
2
d = 0,60 мм (p = 60,0 кгс/мм2)

15
100
30
6
3
1
d = 0,50 мм (p = 47,5 кгс/мм2)

16
100
30
6
3
2
d = 0,50 мм (p = 47,5 кгс/мм2)

17
100
15
0
4
1
d = 0,65 мм (p = 62,5 кгс/мм2)

4

Номер
вари-
анта

Размер, мм
Тип
элемента*
Нагрузка

a
b
h
R

18
100
15
0
4
2
d = 0,65 мм (p = 62,5 кгс/мм2)

19
100
20
2
4
1
d = 0,60 мм (p = 55,0 кгс/мм2)

20
100
20
2
4
2
d = 0,60 мм (p = 55,0 кгс/мм2)

21
100
25
4
4
1
d = 0,65 мм (p = 52,5 кгс/мм2)

22
100
25
4
4
2
d = 0,65 мм (p = 52,5 кгс/мм2)

23
100
30
8
4
1
d = 0,55 мм (p = 37,5 кгс/мм2)

24
100
30
8
4
2
d = 0,55 мм (p = 37,5 кгс/мм2)

25
100
20
0
5
1
d = 0,80 мм (p = 67,5 кгс/мм2)

26
100
20
0
5
2
d = 0,80 мм (p = 67,5 кгс/мм2)

27
100
25
2,5
5
1
d = 0,65 мм (p = 52,5 кгс/мм2)

28
100
25
2,5
5
2
d = 0,65 мм (p = 52,5 кгс/мм2)

29
100
30
5
5
1
d = 0,75 мм (p = 52,5 кгс/мм2)

30
100
30
5
5
2
d = 0,75 мм (p = 52,5 кгс/мм2)

31
100
35
10
5
1
d = 0,65 мм (p = 37,5 кгс/мм2)

32
100
35
10
5
2
d = 0,65 мм (p = 37,5 кгс/мм2)

33
100
25
0
6
1
d = 0,80 мм (p = 67,5 кгс/мм2)

34
100
25
0
6
2
d = 0,80 мм (p = 67,5 кгс/мм2)

35
100
30
3
6
1
d = 0,65 мм (p = 55,0 кгс/мм2)

36
100
30
3
6
2
d = 0,65 мм (p = 55,0 кгс/мм2)

37
100
35
6
6
1
d = 0,55 мм (p = 47,5 кгс/мм2)

38
100
35
6
6
2
d = 0,55 мм (p = 47,5 кгс/мм2)

39
100
40
12
6
1
d = 0,60 мм (p = 35,0 кгс/мм2)

40
100
40
12
6
2
d = 0,60 мм (p = 35,0 кгс/мм2)

* Тип элемента — см. Инструкцию по работе в системе РОТОР.

5

Таблица 2
Результаты расчета

Нагрузка
Упругие деформации
Упругопластические деформации

σном,
кгс/мм2
σmax,
кгс/мм2
Kσ
σном,
кгс/мм2
σmax,
кгс/мм2
Kσ
εpl,%

2. Рекомендации

Нижний левый угол детали совместить с началом координат.
Подобрать разбиение линий таким образом, чтобы на линиях
приложения нагрузки (верхняя и нижняя горизонтальные линии)
получилось девять точек. На окружности концентратора устано-
вить количество точек для получения отрезков дуг не более 15o.
На соседних линиях скорректировать количество и сгущение то-
чек.
Определить напряжения σy. Номинальные напряжения опреде-
лить в точке 1 (см. рис. 2). Коэффициент концентрации напряжений
вычислить по формуле

Kσ = σmax
σном
.

3. Пример выполнения задания

Параметры детали: a = 100 мм, b = 45 мм, h = 7 мм, R = 7 мм,
тип элемента 2, d = 0,5 мм, p = 30 кгс/мм2.
Определить номинальные и максимальные напряжения, коэф-
фициент концентрации напряжений и интенсивность пластических
деформаций в зоне концентратора напряжений детали.
Решение
Запускаем в рабочей директории систему РОТОР, набрав в ко-
мандной строке rw.bat. Запускаем генератор сетки WinRotor. Со-
здаем новый проект с именем lab1. Создаем новую деталь. Строим
по размерам контур детали. Выделяем контур детали как один су-
перэлемент.
Подбираем на линиях общую плотность узлов со сгущением 1
с таким расчетом, чтобы на верхней и нижней горизонтальных

6

линиях было девять узлов — 0,2. Модифицируем количество точек
на дуге концентратора для получения дуг не более 15o — с 4 до
12 (если точек более 12, то оставить без изменения). Изменяем
количество точек и сгущение на соседних к дуге линиях. Строим
сетку конечных элементов. Выбираем области для объединения
сеток суперэлементов (одна область из одного суперэлемента) и
объединяем ее. Экспортируем полученную сетку в файл обмена
lab1.tns. Сохраняем все и завершаем работу в генераторе сеток.
Запускаем Транслятор Бинарный-Текстовый и конвертируем
существующий текстовый файл lab1.tns в бинарный файл lab1.rez.
Проводим оптимизацию сетки. Полуширина матрицы изменя-
ется с 139 до 20, т. е. необходимый объем для хранения матрицы
уменьшился почти в 7 раз.
Для определения номеров узлов, необходимых для задания рас-
четной схемы, запускаем модуль Графическое отображение. Ото-
бражаем сетку конечных элементов и проводим сканирование уз-
лов. Так как вертикальный размер детали больше горизонтального,
то ось Y детали будет располагаться горизонтально (рис. 3). Та-
ким образом, необходимые узлы (см. рис. 2) — верхние левый (для
закрепления по двум осям) и правый (для закрепления границы
по оси Y), нижние левый и правый (для задания нагрузки по гра-
нице) — будут располагаться в левых нижнем и верхнем, правых
нижнем и верхнем положениях, соответственно. Определяем но-
мера узлов: 1, 80, 305 и 306 (рис. 4).

Рис. 3. Сетка конечных элементов 
детали
Рис. 4. Определение номеров узлов

Создаем текстовый файл lab1.lds, в котором задаем параметры
задачи. Для варианта с нагрузкой перемещением пример текста
файла приведен в табл. 3.
Для решения задачи запускаем модуль Расчет МКЭ и вводим
имя задачи lab1. Для анализа результатов расчета запускаем модуль

7

Графическое отображение. На рис. 5 показаны исходная и деформированная 
геометрии детали для двух вариантов приложения
нагрузки — перемещением (рис. 5, а) и давлением (рис. 5, б). На
рис. 6 для варианта приложения нагрузки перемещением показано
распределение напряжений σy при упругом и упругопластическом
расчетах.

Таблица 3
Примеры текста файла параметров задачи

Рис. 5. Исходная (1) и деформированная (2) геометрии детали для двух
вариантов приложения нагрузки:
а — перемещением; б — давлением

Для определения номинальных напряжений проводим сканирование 
при отображении соответствующих результатов расчета.

8

Рис. 6. Результаты расчета при нагрузке перемещением:
а — распределение напряжений σy при расчете упругих деформаций; б — рас-
пределение напряжений σy при расчете упругопластических деформаций

Полученные данные заносим в табл. 4 и рассчитываем коэффициенты.


Таблица 4
Результаты расчета

Нагрузка
Упругие деформации Упругопластические деформации

σном,
кгс/мм2
σmax,
кгс/мм2 Kσ
σном,
кгс/мм2
σmax,
кгс/мм2
Kσ
εpl,%

d = 0,5 мм
45,1
188,2
4,2
44,2
112,8
2,6
1,50

p = 30 кгс/мм2
30,1
180,4
6,0
30,1
112,7
3,7
1,48

РАБОТА № 2. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СЛАУ В ЗАДАЧАХ МКЭ

Решение задач МКЭ в общем случае сводится к СЛАУ, объем и
время формирования и решения которой является одним из определяющих 
характеристик для оценки эффективности МКЭ. Для хранения 
и решения СЛАУ разработаны большое количество методов,
отличающихся между собой по таким характеристикам, как эффективность 
хранения, накладные расходы и легкость реализации∗.
В системе РОТОР реализованы шесть методов решения СЛАУ:
ленточный, профильный, минимальной степени, фактор деревьев,
параллельных сечений и вложенных сечений.

1. Параметры задачи

В работе необходимо определить эффективность методов решения 
СЛАУ при расчете заданной конструкции (рис. 1). Общая
схема показана на рис. 2, расчетная схема — на рис. 3. В расчетной
схеме нижний левый узел закреплен по оси Y и задано вращение
вокруг оси Y со скоростью 15 000 об/мин. Тип элемента — осесимметричный. 
По результатам расчета заполнить отчет (рис. 4)
и определить для данной конструкции наиболее эффективный из
шести методов решения СЛАУ.

∗ Джордж А. Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем
уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1984. — 333 с.

10