Пространственная статика. Теория и решение типовых задач

Московский государственный технический университет  
имени Н. Э. Баумана 

 
 
 
 
 
Пространственная статика. 
Теория и решение типовых задач 
 
 
Методические указания  
к выполнению домашнего задания  
по курсу «Теоретическая механика» 
 
 
 
 
 
Под редакцией П. М. Шкапова 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 

УДК 531 
ББК 22.21 
П82 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book793.html 
 
Факультет «Фундаментальные науки» 
Кафедра «Теоретическая механика» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве методических указаний 
 
Авторы: В. В. Варенцов, В. В. Кокушкин, С. Н. Саяпин, П. М. Шкапов 
 
 
 
    Пространственная статика. Теория и решение типовых 
задач : методические указания к выполнению домашнего задания 
по курсу «Теоретическая механика» / В. В. Варенцов и др. ; под 
ред. П. М. Шкапова. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2016. — 32, [4] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4342-0 

Приведены материалы для изучения темы «Пространственная статика» 
курса теоретической механики. Изложены теоретические сведения, необходимые 
студентам для практического выполнения курсового домашнего задания 
на изучение равновесия тел под действием пространственной системы 
сил, даны примеры решения типовых задач. 
Для студентов 1–2-го курсов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих теоретическую 
механику. Методические указания также будут полезны студентам, 
обучающимся по программам бакалавров и специалистов, при подготовке 
к контрольным мероприятиям различной формы. 
 
УДК 531 
ББК 22.21 
 
 
 
 
 

 
 
 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016 
 Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4342-0  
 
   МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2016 

П82 

Предисловие 

В разделе «Статика» курса теоретической механики изучают 

равновесие твердых тел под действием различных систем сил. 
Равновесие тел под действием произвольной пространственной 
системы сил составляет суть этого раздела [1]. В методических 
указаниях рассмотрены основные понятия теоретической механики: 
проекция силы на ось и на плоскость, разложение силы на составляющие, 
момент силы относительно точки и оси, реакции связей. 
При решении задач статики необходимо уметь составлять 
расчетные схемы и уравнения равновесия сил. 

Задачи методических указаний: 
– оказать помощь студентам в освоении теоретического мате-

риала раздела «Пространственная статика» курса теоретической 
механики; 

– на основе подробно рассмотренных примеров показать по-

следовательность решения задач на равновесие тел под действием 
произвольной пространственной системы сил с целью определе-
ния реакции связей; 

– помочь студентам, обучающимся по программам бакалав-

ров и специалистов, выполняющим курсовые домашние задания 
по разделу «Пространственная статика» курса теоретической ме-
ханики, варианты которых представлены в методических указа-
ниях [2]; в качестве дополнительных источников студенты могут 
использовать также пособие [3] и разработанные на кафедре ме-
тодические указания, размещенные в сети Интернет по адресу 
http://hoster.bmstu.ru/~fn3/learning/learning.htm. 

Цель методических указаний — выработка у студентов зна-

ний и умений, позволяющих решать конкретные инженерные за-
дачи в области пространственной статики. 

Усвоение методов решения задач на равновесие тел под дей-

ствием произвольной пространственной системы сил позволит 
студентам в дальнейшем применять эти методы при изучении раз-
дела «Динамика» курса теоретической механики, а также курсов 
«Сопротивление материалов» и «Детали машин», изучаемых в 
высших технических заведениях. 
 

1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ  

1.1. Условия равновесия твердого тела 

Для равновесия свободного твердого тела, к которому прило-

жена система сил 
,
k
F
 в инерциальной системе отсчета необхо-

димо и достаточно, чтобы главный вектор
 
k
k

R
F  и главный 

момент 
(
)
 
O
O
k
k
L
M
F
 
системы 
сил 
были 
равны 
нулю 

(
0, 
0)


O
R
L
 и в начальный момент времени тело покоилось. 

Это условие равновесия можно записать в виде системы  

 

0;

(
)
0.











k
k

O
k
k

F

M
F
   

Для несвободного твердого тела в систему сил, приложенных к 

телу, согласно аксиоме о связях, нужно включить реакции всех 
мысленно отброшенных связей. 

В проекциях на оси декартовой системы координат система 

уравнений равновесия в общем случае пространственной системы 
сил примет вид 

 

0;
0;
0;

(
)
0;
(
)
0;
(
)
0.

kx
ky
kz
k
k
k

Ox
k
Oy
k
Oz
k
k
k
k

F
F
F

M
F
M
F
M
F


















   

В левые части первых трех уравнений этой системы входят проек-
ции активных сил и реакций связей на оси декартовой системы 
координат, а трех следующих — моменты этих сил относительно 
осей координат. 

1.2. Проекции силы на ось и на плоскость 

Проекцией силы на ось называют алгебраическую величину, 

равную произведению модуля силы на косинус угла между силой 
и осью. Если этот угол острый, проекция положительна, если ту-
пой, — отрицательна, а если сила перпендикулярна оси, ее проек-
ция на ось равна нулю (рис. 1.1). 

 

 

Рис. 1.1. Проектирование силы на ось 

 
Например, для сил, изображенных на рис. 1.1, справедливы 

следующие выражения: 

 

1
1
1
1
1

2
2
2
2
2

3
3
3
3
3
3

4
4
4
4
4

cos90
0;  
cos0
;

cos ;  
cos(90
)
sin ;

cos
cos ;  
sin
sin ;

cos0
;  
cos90
0.

x
y

x
y

x
y

x
y

F
F
F
F
F

F
F
F
F
F

F
F
F
F
F
F

F
F
F
F
F


 






   



  


 





 

 

Проекцией силы на плоскость 

называют вектор, начало и конец ко-
торого совпадают с проекцией точки 
начала и проекцией точки конца силы 
на эту плоскость. Если в качестве рас-
сматриваемой 
плоскости 
принять 

плоскость xOy, то проекцией силы F  
на эту плоскость будет вектор 
.
xy
F
 

Модуль проекции равен произведе-
нию модуля силы на косинус угла 
наклона вектора силы к плоскости 
(рис. 1.2): 
cos .


xy
F
F
 

 

 
Рис. 1.2. Проектирование си-
лы на плоскость 

1.3. Разложение силы на составляющие 

При решении задач любую силу можно разложить на состав-

ляющие. В этом случае сама сила является равнодействующей ее 
составляющих. Во многих случаях линии действия составляющих 
сил удобно выбирать параллельными осям декартовой системы 
координат. 

Если сила расположена в плоскости, перпендикулярной ка-

кой-либо одной оси, то ее раскладывают на две взаимно пер-
пендикулярные составляющие, параллельные двум другим осям 
(рис. 1.3). 

Для силы 
,
F  показанной на рис. 1.3, проекции на оси имеют вид 

cos ;


x
F
F
 
sin .


y
F
F
 

При этом  

,


x
y
F
F
F
 

где 
,

x
x
F
F i  

y
y
F
F j  — составляющие силы 
.
F  

В общем случае силу раскладывают на три взаимно перпенди-

кулярные составляющие, направленные параллельно осям коорди-
нат (рис. 1.4).  
 

 

 
Рис. 1.3. Разложение силы 
,
F

лежащей в плоскости xOy, на 
составляющие 
x
F  и 
y
F  

 

Рис. 1.4. Разложение силы F  на со-
ставляющие 
, 
, 
 
x
y
z
F F F  

 

x

Здесь проекции силы F  на оси  

 
y
cos ;  
cos ; 
cos ;






x
z
F
F
F
F
F
F
 

 
,



x
y
z
F
F
F
F
 

где 
,  
,
x
x
y
y
z
z
F
F i
F
F j
F
F k



 — составляющие силы 
.
F  

В некоторых случаях сначала удобно разложить силу на две 

составляющие (рис. 1.5): 

 
,


xy
z
F
F
F  

где 
sin ,  


z
F
F
cos ,


xy
F
F
 а затем заменить силу 
xy
F  ее со-

ставляющими: 
 
.


xy
x
y
F
F
F  

Здесь 
cos ,  
sin ,
x
xy
y
xy
F
F
F
F



  так что 

 
,





xy
z
x
y
z
F
F
F
F
F
F  

где 
,
xy
z
F
F  и 
,  
,  
x
y
z
F
F
F  — составляющие силы 
.
F  

 

Рис. 1.5. Разложение силы F  
на 
составляющие 
,
, 
z
xy
F
F
 

а затем 
xy
F  на составляющие 

,  
x
y
F
F  

 
 

Замечания. Не следует смешивать понятия проекции силы на 

ось и составляющей силы. Составляющая сила является векто-
ром, приложенным в той же точке, что и исходная сила, и равным 

произведению соответствующей проекции силы на орт оси про-
екции, т. е.  

 
;  
,  
.



x
x
y
y
z
z
F
F i
F
F j
F
F k  

Если проекция силы на ось отрицательна, то соответствующая 

составляющая силы направлена в сторону, противоположную по-
ложительному направлению этой оси. 

Таким образом, разложение силы F  по осям декартовой си-

стемы координат имеет вид 

 
.



x
y
z
F
F i
F j
F k  

Модуль этой силы 
2
2
2 .



x
y
z
F
F
F
F
 

1.4. Момент силы относительно точки и оси 

Векторный момент силы относительно точки О равен ре-

зультату векторного произведения радиус-вектора, проведенного 
из точки О в точку приложения силы, на силу (рис. 1.6) 

 
( )
,
O
M
F
r
F


 

где r
OA

 — радиус-вектор. 

Модуль этого момента равен произведению модуля силы на 

плечо h, т. е. на длину перпендикуляра, опущенного из точки О на 
линию действия силы: 

 
( )
.
O
M
F
Fh

 

Моментом силы относительно оси называют скалярную вели-

чину, равную алгебраическому моменту проекции силы на плос-
кость, перпендикулярную оси, относительно точки О пересечения 
оси с плоскостью (см. рис. 1.6): 

 
п
( )
,
 
z
M
F
F h  

где 
п
п
|
|.

F
F
 

Рис. 1.6. К вычислению момента силы F  относительно точки и оси 
 
Момент силы относительно оси считают положительным, ес-

ли, смотря навстречу оси Oz, можно видеть проекцию 
п,
F
 стре-

мящейся вращать тело вокруг оси Oz в сторону, противополож-
ную ходу часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу 
часовой стрелки. При этом момент силы относительно оси равен 
проекции на ось векторного момента силы относительно любой 
точки на этой оси:  
 


( )
( )
.

z
O
z
M
F
M
F
 

Для случая, представленного на рис. 1.6, справедливо выражение 

 
( )
( ) cos .


z
O
M
F
M
F
 

Моменты силы относительно осей декартовых координат мож-

но вычислить по аналитическим формулам 

 

( )
;

( )
;

( )
,










x
z
y

y
x
z

z
y
x

M
F
yF
zF

M
F
zF
xF

M
F
xF
yF

 

где x, y, z — координаты точки приложения силы (точки A на 
рис. 1.6). 

п

Момент силы относительно оси равен нулю, если линия дей-

ствия силы пересекает ось либо параллельна ей, т. е. если сила и 
ось расположены в одной плоскости. 

Замечание. При решении задач статики во многих случаях 

удобно применять теорему Вариньона, согласно которой момент 
равнодействующей системы сил относительно точки (оси) равен 
сумме моментов всех составляющих сил относительно той же точ-
ки (оси). В этом случае при вычислении моментов силы относи-
тельно осей декартовой системы координат можно заменить силу 
ее составляющими, параллельными осям координат, и вычислять 
их сумму моментов относительно соответствующих осей. 

 

 

Рис. 1.7. К определению проекций момента пары сил на оси (а)  
и момента пары сил относительно координатных осей (б) 
 
Для пары сил, показанной на рис. 1.7, векторный момент пары 

сил перпендикулярен плоскости действия пары (
),

M
Ox  его 

можно заменить двумя составляющими 
y
M  и 
:
z
M
 

 
.


y
z
M
M
M
 

Тогда проекции векторного момента пары сил на оси координат 

 
0;

x
M
 
sin ;


y
M
M
 
cos .


z
M
M
 

Таким образом, вычисление момента пары сил относительно 

осей координат соответствует нахождению проекции векторного 
момента пары сил на соответствующие оси.