Примеры расчета плоских рам методом перемещений

Московский государственный технический университет  

имени Н. Э. Баумана 

 
 

 
 

Д. Н. Спицына, В. Ф. Фомичева, С. М. Ганыш  

 
 
 

Примеры расчета плоских рам 

методом перемещений  

 
 

Методические указания  

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

 

УДК 539.3 
ББК 30.121 
 С72 
 
Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/181/book1289.html 
 
Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Прикладная механика» 
 
Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана  
в качестве методических указаний 
 
Рецензент д-р техн. наук, профессор С. С. Гаврюшин 
 
 
Спицына, Д. Н. 
Примеры расчета плоских рам методом перемещений : мето-
дические 
указания 
/ Д. Н. Спицына, 
В. Ф. Фомичева, 
С. М. Га- 
ныш. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015. — 37, 
[7] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4249-2 

Приведены основные положения метода перемещений, представле-
но сравнение метода перемещений с методом сил. Подробно рассмотре-
но применение метода перемещений к расчету плоских рам, даны при-
меры расчета.  
Для студентов машиностроительных специальностей, изучающих дис-
циплины «Строительная механика», «Сопротивление материалов». 
 
УДК 539.3 
ББК 30.121 
 
 
 
 
 
 
 
 

 
 МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 
 Оформление. Издательство 
ISBN 978-5-7038-4249-2  
  
    МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2015 

С72 

Предисловие 

Расчет статически неопределимых плоских рам в настоящее 

время осуществляется либо вручную методами сил или переме-
щений, либо с помощью различных компьютерных программ ме-
тодом конечных элементов. Однако в основе метода конечных 
элементов также лежит метод перемещений, что делает целесо-
образным изучение этого метода в курсах строительной механи-
ки и сопротивления материалов. 

В методе сил неизвестными являются силовые факторы, воз-

никающие в «лишних» связях, а в методе перемещений — пере-
мещения жестких узлов рамы. При расчете рамы вручную вопрос 
о том, какой метод наиболее удобен, решают путем сравнения 
числа неизвестных, которые необходимо найти для построения 
эпюры изгибающих моментов при использовании того или иного 
метода.  

Теоретические основы метода перемещений изложены во мно-

гих литературных источниках, например, [1–4]. Отметим, что в 
упомянутых выше книгах при определении искомых перемещений 
и коэффициентов канонических уравнений использованы разные 
буквенные обозначения, хотя смысл этих уравнений везде один и 
тот же. 

Цель данных методических указаний — ознакомить читателя  

с различными примерами практического применения метода пере-
мещений в расчете плоских рам.  
 
 

1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЧИСЛА НЕИЗВЕСТНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 

При изложении метода перемещений в литературе [1–4] указа-

но, что для проведения расчета необходимо закрепить все жесткие 
узлы рамы, поставив в них заделки, и добавить дополнительные 
опорные стержни, которые запрещают линейные перемещения этих 
узлов. Введенные заделки должны не препятствовать линейным пе-
ремещениям жестких узлов, но исключать возможность их поворо-
та. За неизвестные перемещения принимают действительные углы 
поворота этих узлов и их линейные перемещения. 

Для определения числа линейных перемещений следует пред-

ставить, что во все жесткие узлы рамы и опорные закрепления 
введены шарниры. Полученная таким образом система стержней 
становится «механизмом». Введение дополнительных опорных 
стержней превращает ее в неизменяемую конструкцию. Необхо-
димое число дополнительных стержней равно числу неизвестных 
линейных перемещений узлов. Рама, имеющая три жестких узла, 
показана на рис. 1, а. После введения шарниров эта рама превра-
щается в механизм, представленный на рис. 1, б. 

Если не учитывать изменения длин стержней в результате рас-

тяжения (сжатия), то линейные перемещения Δ всех шарниров, 
врезанных в верхние узлы рамы, будут одинаковы. На рис. 1, в по-
казано, что эти перемещения будут равны нулю при введении од-
ного дополнительного опорного стержня. 

Эквивалентную систему метода перемещений (рис. 2) получа-

ют путем задания угловых перемещений U1, U2, U3 заделкам, вве-
денным в жесткие узлы рамы, и линейного перемещения U4 вве-
денному опорному стержню. 

Если рама симметрична относительно какой-либо оси, то при 

воздействии симметричной внешней нагрузки (рис. 3) углы поворо-
та жестких узлов, расположенных на оси симметрии, равны нулю 
(U1 = 0), а углы поворота узлов, находящихся на равных расстояни-
ях от оси симметрии, равны по модулю и направлены симметрично 
(U2 = U3). Линейное перемещение равно нулю (U4 = 0). 

Рис. 1 

 

 

 

Рис. 2 

 

 

 

Рис. 3 

При воздействии на ту же раму кососимметричной нагрузки 

(рис. 4) угловые перемещения U2 и U3 равны по модулю и направ-
лены в одну сторону, а U1 и U4 не равны нулю. 
 

 

 

Рис. 4 

 

В табл. 1 приведены несколько примеров для сравнения числа 

неизвестных при расчете рам методом сил [5] и методом переме-
щений [4].  

 

Таблица 1 

№ 
п/п 

Рама и вид  

ее нагружения 

Эквивалентные системы и число неизвестных n 

Метод  

сил 

Метод  

перемещений 

1 

2 

 

 

Окончание табл. 1 

№ 
п/п 

Рама и вид  

ее нагружения 

Эквивалентные системы и число неизвестных n 

Метод  

сил 

Метод  

перемещений 

3 

 

 
Чем выше степень статической неопределимости конструкции, 

тем проще выполнить решение методом перемещений. Из табл. 1 
видно, что существуют конструкции, для которых расчет методом 
перемещений намного рациональнее расчета методом сил. 

 

 
 

2. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР ИЗГИБАЮЩИХ МОМЕНТОВ  
В ОСНОВНОЙ СИСТЕМЕ МЕТОДА ПЕРЕМЕЩЕНИЙ 

Для определения коэффициентов канонических уравнений 

необходимо построить в основной системе эпюры изгибающих 
моментов от внешних нагрузок (MF) и от единичных значений ис-
комых перемещений жестких узлов (M1, M2, …). 

Основную систему метода перемещений получают из заданной 

рамы путем введения в ее жесткие узлы дополнительных заделок и 
устранения их линейных перемещений с помощью дополнительных 
опорных стержней. В основной системе каждый стержень рамы 
становится статически неопределимой балкой с двумя заделками 
по концам либо с одной заделкой и одной шарнирной 
опорой. Опорные реакции в этих балках и эпюры изгибающих моментов, 
возникающих при воздействии различных внешних нагрузок 
и единичных перемещениях опор, находят заранее и при проведении 
расчетов рам считают известными.  

В табл. 2 приведены значения опорных реакций и показаны 

эпюры изгибающих моментов для наиболее часто встречающихся 
случаев нагружения вышеуказанных балок. 

Таблица 2 

Схема нагружения 
Эпюра изгибающих моментов 
и реакции в опорах 

Расчетные  
формулы 

 
 

2

2

2

2

(1
);
2

(3
);
2

(3
);
2

(3
)
2

A

C

A

B

FL
M

FL
M

F
R

F
R

= −
β
− β

=
α β
− α

β
= −
− β

α
=
− α

Продолжение табл. 2 

Схема нагружения 
Эпюра изгибающих моментов 
и реакции в опорах 

Расчетные  
формулы 

 
 

2
;
8
5
;
8
3

8

A

A

B

qL
M

R
qL

R
qL

= −

=

=

 

 
 
2

3
;

3

A
A

A
B
A

EI
M
L
EI
R
R
L

=
ϕ

−
= +
= +
ϕ

 

 

2

3
2

3
3
;

3
3

A

A
B

EI
EI
M
L
L
EI
EI
R
R
L
L

= −
Δ = −
ψ

= −
=
Δ =
ψ

 

2

2

2
2

2

2

;

;

2
;

(1
2 ) ;

(1
2 )

A

A

C

A

B

M
FL

M
FL

M
FL

R
F

R
F

= −αβ

= −α β

= α β

= β
+ α

= α
+ β

 

 

2

2

;
12
1
;
2

24

A
B

A
B

C

qL
M
M

R
R
qL

qL
M

=
= −

=
=

= +

 

 

Окончание табл. 2 

Схема нагружения 
Эпюра изгибающих момен-

тов и реакции в опорах 

Расчетные  
формулы 

 

2

4
;

2
;

6

A
A

B
A

B
A
A

EI
M
L
EI
M
L

EI
R
R
L

=
ϕ

=
ϕ

= −
=
ϕ

 

 

2

3
2

6
6
;

12
12

B
A

A
B

EI
EI
M
M
L
L
EI
EI
R
R
L
L

=
=
Δ =
ψ

=−
=
Δ =
ψ

 
 
С помощью данных, приведенных в табл. 2, можно решать 

наиболее часто встречающиеся на практике задачи. Определение 
опорных реакций и эпюр изгибающих моментов для случая произ-
вольного нагружения представлено в пособии [4].