Поперечные колебания однородных балок

А.А. Пожалостин, А.В. Паншина

Поперечные колебания 

однородных балок

Учебное пособие

Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана

Москва

2 0 1 7

ИЗДАТЕЛЬСТВО

им. Н. Э. Баумана
МГТУ

УДК 534.011(075.8)
ББК 22.213
          П46

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/178/book1577.html

Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Теоретическая механика»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом 
МГТУ им. Н. Э. Баумана в качестве учебного пособия

Пожалостин, А. А.
Поперечные колебания однородных балок : учебное пособие /  

А. А. Пожалостин, А. В. Паншина. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 25, [3] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4583-7

Рассмотрены вопросы, связанные с колебаниями распределенных 
одномерных механических систем: поперечные (изгибные) свободные 
и вынужденные колебания с постоянным периодом. 
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей, изучающих 
дисциплину «Теория колебаний».

УДК 534.011(075.8)

 
                                                                                                   ББК 22.213

 
 
© МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017

       © Оформление. Издательство 

ISBN 978-5-7038-4583-7 
 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017

П46

ПРЕДИСЛОВИЕ

Данное учебное пособие предназначено для самостоятельной ра-

боты студентов МГТУ им. Н. Э. Баумана при изучении дисциплины 
«Теория колебаний». 

Цель пособия — ознакомить студентов с основами теории колеба-
ний.
В предлагаемом издании рассмотрены поперечные (изгиб-

ные) свободные и вынужденные колебания однородных прямо- 
линейных балок. Изложены вопросы, связанные с колебаниями рас-
пределенных одномерных механических систем, с приближенными 
методами расчета систем с конечным числом степеней свободы. 

Материал учебного издания сформирован в виде четырех лекций 

с выводами основных уравнений и соотношений и сопровождается 
иллюстрациями. Приведены контрольные вопросы и список литера-
туры.
В результате усвоения материала учебного пособия студенты 
приобретут следующие общепрофессиональные компетенции: спо-
собность и готовность проводить техническое проектирование, уча-
ствовать в разработке технического задания и программы проведения 
экспериментальных работ, принимать участие в научно-исследова-
тельских работах, обрабатывать результаты научно-исследовательской 
работы, оформлять материалы для получения патентов и авторских 
свидетельств, готовить к публикации научные статьи и оформлять тех-
нические отчеты.

Лекция № 1

Поперечные колебания однородных 
прямолинейных балок

Рассмотрим поперечные (изгибные) колебания прямолинейной 

однородной шарнирно опертой балки (рис. 1.1).

Рис. 1.1. Прямолинейная однородная шарнирно опертая балка

Выведем дифференциальное уравнение колебаний балки.
Приняты следующие допущения: рассматриваются малые колеба-
ния балки, материал подчиняется закону Гука, справедлива гипотеза 
плоских сечений, изгиб считается прямым, инерцией вращения эле-
ментов пренебрегаем.
Выделим элемент длиной dx  и изобразим приложенные к нему 

действующие силы и силы инерции Д'Аламбера (рис. 1.2).
Разложим М  и Q  в ряд по степеням dx, ограничиваясь в разложе-
нии членом первого порядка малости.
Используем принцип Д'Аламбера. Согласно этому принципу мате-
риальный элемент длиной dx  движется так, что главный вектор 
и главный момент активных сил, реакций и сил инерции образуют 
равновесную систему сил.

Применяя этот принцип, спроектируем указанные на рис. 1.2 

силы на ось y:

 
−
+
+
+ ∂

∂
−
∂
∂
=
Q
q x t dx
Q
Q
x dx
dx
y
t

o
( , )
µ

2

2
0 .  
(1.1)

Рис. 1.2. Элемент балки и приложенные к нему силы:

µ0

2

2
dx
y
t
∂
∂

 — сила инерции Д'Аламбера; М  — изгибающий момент в сечении x;  

Q  — перерезывающая сила; q x t dx
( , )
 — внешняя сосредоточенная сила; q x t
( , )  — 

интенсивность внешней нагрузки

Приравняем нулю и сумму алгебраических моментов этих сил относительно 
точки A  (см. рис. 1.2):

 
−
+
+ ∂

∂
−
+ ∂

∂




=
M
M
M
x dx
Q
Q
x dx dx
0.  
(1.2)

Преобразуем уравнения (1.1) и (1.2). Слагаемым второго порядка 

малости ∂

∂
Q
x dxdx  в уравнении (1.2) пренебрегаем. Получим

 
q x t
Q
x

y
t
( , )
;
+ ∂

∂
−
∂
∂
=
µ0

2

2
0  
(1.3)

 
∂
∂
−
=
M
x
Q
0.  
(1.4)

Из уравнения (1.4) имеем Q
M
x
= ∂
∂
.

Подставим Q  в уравнение (1.3), тогда

 
∂
∂
−
∂
∂
= −

2

2
0

2

2
M
x

y
t
q x t
µ
( , ).  
(1.5)

Из курса сопротивления материалов известно следующее соотношение:

M
EJ
y
x

x
изг = −
∂
∂

2

2 ,  
(1.6)

где EJ x  — жесткость балки на изгиб; E  — модуль Юнга первого рода; 
J x  — момент инерции сечения относительно оси, перпендикулярной 
плоскости чертежа; у  — прогиб балки, который является функцией 
двух переменных: координаты x  и времени t.

Подставим (1.6) в уравнение (1.5). Получим

 
∂
∂
∂
∂
+
∂
∂
=

2

2

2

2

2

2
x
EJ
y
x

y
t
q x t
x
x
(
)
( , ).
µ
 
(1.7)

Уравнение (1.7) — уравнение поперечных вынужденных колебаний 
прямолинейной балки. Это линейное неоднородное дифференциальное 
уравнение в частных производных 4-го порядка.

Рассмотрим свободные колебания (собственные колебания) балки. 
В этом случае интенсивность внешней нагрузки q x t
( , )
,
= 0  и уравнение (
1.7) примет вид

 
∂
∂

∂
∂
+
∂
∂
=

2

2

2

2

2

2
0
x
EJ
y
x

y
t
x
x
(
)
µ
.  
(1.8)

Уравнение (1.8) — уравнение свободных изгибных колебаний прямолинейной 
балки. Это линейное однородное дифференциальное 
уравнение в частных производных 4-го порядка.

Для решения задачи, т. е. получения единственного решения, надо 

задать граничные и начальные условия.

Так как рассматривается шарнирно опертая балка (см. рис. 1.1), где 

в точке О  — идеальный цилиндрический шарнир, на конце балки — 
шарнирно подвижная опора, условия закрепления концов балки (граничные 
условия задачи) будут следующими:

 
у
t
y l t
( , )
;
( , )
;
0
0
0
=
=

 
M
t
M
l t
изг
изг
( , )
;
( , )
,
0
0
0
=
=
  
(1.9)

т. е. прогибы балки на левой и правой границах должны равняться 
нулю, изгибающие моменты на левой и правой границах также должны 
равняться нулю.
Искомое решение уравнения (1.8) (т. е. функция у х t
( , )) должно 

удовлетворять граничным условиям

у
t
y l t
( , )
;
( , )
;
0
0
0
=
=

 
∂
∂
=

2

2 0
0
y
x
t
( , )
;
∂
∂
=

2

2
0
y
x
l t
( , )
.

Последние два условия получены подстановкой M
EJ
y
x

x
изг = −
∂
∂

2

2  

в условие (1.9).

Найдем нетривиальное решение дифференциального уравнения 
(1.8), т. е. функцию у х t
( , ) ≠ 0 .

Итак, дифференциальное уравнение свободных колебаний однородной 
балки имеет вид

 
∂
∂

∂
∂
+
∂
∂
=

2

2
0

2

2
0

2

2
0
y
x
EJ
y
x

y
t
(
)
µ
.  
(1.10)

Ищем решение по методу Фурье:

 
у x t
f x s t
( , )
( ) ( ),
=
 
 (1.11)

где f x
( )  — функция только координаты сечения x; s t( )  — функция 
только времени t  (временной множитель).

Подставив (1.11), т. е. частное решение, в уравнение (1.10), получим

 

EJ
f
s
f s
0

0
µ

IV = − .  
(1.12)

Разделим обе части равенства (1.12) на произведение fs и получим

 
EJ
f
f
s
s

IV
0

0
µ
= − .

Это равенство возможно тогда и только тогда, когда и левая и правая 
части его равны константе, которую обозначим ±ω2 . Знак «–» следует 
отбросить, так как в этом случае имеет место тривиальное решение 
f x
( ) = 0 . Тогда

 
EJ
f
f

0

0

2
µ
ω

IV
=
;  −
=
s
s
ω2 .

Отсюда следуют дифференциальные уравнения для функций f x
( )  

и s t( ) :

 
f
f
s
s
IV −
=
+
=
λ
ω
4
2
0
0
;
.

  
(1.13)

Решение для f x
( )  ищем в виде 

 
f
Ce
x
=
µ .  
(1.14)

Запишем характеристическое уравнение в виде

 
λ
µ ω
4
0
2

0
0
−
=
EJ
.

Получим

 
λ
µ ω
4
0
2

0
= EJ
.

Введем следующие обозначения:

 
λ
λ
λ
µ ω
=
=
l
l
EJ
;
,
4
0
2 4

0

где λ  — безразмерная величина; λ  — собственное значение краевой 
задачи.

Поскольку ищем решение в виде (1.14), где C ≠ 0 , то µ
λ
4
4
=
.

Отсюда

 
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
µ
λ
1 2
2
2
1
2
3
4
,
;
;
;
;
.
= ±
=
= −
=
= −
i
i

С учетом полученных значений µi i(
, , , )
=1 2 3 4  запишем решение

 
f x
C
C
C
x
C
x
x
x
( )
cos
sin
.
=
+
+
+
−
1
2
3
4
e
e
λ
λ
λ
λ
 
(1.15)

Это решение можно представить в другом виде:

 
f x
A S
x
A T
x
AU
x
A V
x
( )
(
)
(
)
(
)
(
),
=
+
+
+
1
2
3
4
λ
λ
λ
λ

где S T U V
, , ,
 — функции Крылова:

 

S
x
x
T
x
x

U
x
x
V
x
x

=
+
=
+

=
−
=
−

ch
sh

ch
sh

λ
λ
λ
λ

λ
λ
λ
λ

cos
,
sin
,

cos
,
sin
.

2
2

2
2

В следующем разделе будет рассмотрен пример, иллюстрирующий 

полученное решение.

Лекция № 2

Пример свободных поперечных колебаний 
однородной балки

Рассмотрим пример свободных поперечных (изгибных) колебаний 
однородной шарнирно опертой балки.

На рис. 2.1 изображена однородная шарнирно опертая балка дли-
ной l , погонной массой µ0 , жесткостью на изгиб EJ0 .
Допущения: колебания малые, депланация материальных сечений 
отсутствует, справедлив закон Гука.

Рис. 2.1. Свободные поперечные колебания однородной шарнирно опертой 
балки

Дифференциальное уравнение поперечных (изгибных) колебаний 
однородной прямолинейной балки имеет вид

 
EJ
y
x

y
t

0

4

4
0

2

2
0
∂
∂
+
∂
∂
=
µ
.  
(2.1)

Сформулируем граничные условия краевой задачи:

 
у
t
y l t
( , )
;
( , )
;
0
0
0
=
=
 
 (2.2)

 
M
t
M
l t
изг
изг
( , )
;
( , )
.
0
0
0
=
=
  
(2.3)

С учетом выражения для изгибающего момента M
EJ
y
x

изг = −
∂
∂

0

2

2  

условия (2.3) примут вид