Особенности динамики механических систем под действием неконсервативных (циркуляционных) сил

Московский государственный технический университет 
имени Н.Э. Баумана 
 

 

 

 

А.М. Гуськов, Г.Я. Пановко 
 
 
ОСОБЕННОСТИ ДИНАМИКИ 
МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ  
ПОД ДЕЙСТВИЕМ  
НЕКОНСЕРВАТИВНЫХ  
(ЦИРКУЛЯЦИОННЫХ) СИЛ 
 
 
 
 Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия по курсам 
«Основы прикладной теории механических колебаний», 
«Теория устойчивости движения механических систем» 

Москва 
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 
2013 

УДК 531(075.8) 
ББК 22.213 
        Г96 

 

Гуськов А.М. 
Г96 
Особенности динамики механических систем под действием 

 
неконсервативных (циркуляционных) сил : учеб. пособие по  
курсам «Основы прикладной теории механических коле-
баний», «Теория устойчивости движения механических 
систем» / А.М. Гуськов, Г.Я. Пановко. – М.: Изд-во МГТУ 
им. Н.Э. Баумана, 2013. – 53, [3] с.; ил.  

ISBN 978-5-7038-3656-9 

Рассмотрены особенности аналитического и численного анализа 
устойчивости положений равновесия механических систем на основе 
изучения бифуркаций Пуанкаре – Андронова – Хопфа при различ-
ных параметрах нагрузки. 
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специ-
альности «Прикладная механика». 

УДК 531(075.8) 
                                                                                             ББК 22.213 

ISBN 978-5-7038-3656-9 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013

Предисловие 

Настоящее учебное пособие подготовлено для студентов 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, обучающихся по специальности «При-
кладная механика». 
В пособии рассмотрены особенности аналитического и чис-
ленного анализа устойчивости положений равновесия механиче-
ских систем под действием неконсервативных сил на основе изу-
чения бифуркаций Пуанкаре – Андронова – Хопфа при различных 
параметрах нагрузки. В случае неконсервативного нагружения по-
теря устойчивости может сопровождаться возбуждением автоко-
лебаний в отличие от случая действия консервативных сил, когда 
потеря устойчивости проявляется в виде монотонного перехода к 
новому устойчивому положению равновесия. 
При изложении материала авторы базируются на рассмотрении 
механической системы, представляющей собой перевернутый 
плоский двухзвенный маятник, шарнирно закрепленный на непо-
движном основании (в первом приближении такая система описы-
вает динамику ракеты под действием силы тяги двигателя). Выбор 
данной системы в качестве базовой связан с тем, что на ее основе в 
наиболее доступной и наглядной форме можно продемонстриро-
вать и изучить основные особенности анализа устойчивости состо-
яния равновесия механических систем под действием неконсерва-
тивных сил. 
В пособии с необходимой степенью детализации описаны вы-
вод нелинейных дифференциальных уравнений движения двух-
звенного маятника и их приведение к безразмерной форме. Для 
исследования устойчивости тривиального решения, соответству-
ющего положению равновесия – вертикальному положению звень-
ев маятника, использован первый метод Ляпунова. Условия устой-
чивости сформулированы на основе критериев Рауса – Гурвица. 
Изложена методика построения бифуркационных диаграмм Пуан-

каре – Андронова – Хопфа, что позволяет исследовать поведение 
системы в случае потери устойчивости при критических и закри-
тических значениях параметров нагрузки. 
Кроме того, в пособии проанализировано дестабилизирующее 
действие сил внутреннего трения в системах с циркуляционными 
силами (так называемый парадокс Циглера). 
Пособие может быть полезно также аспирантам и преподава-
телям, желающим более глубоко изучить специальные вопросы 
нелинейных колебаний и устойчивости динамических систем. 
Издание подготовлено на основе результатов, полученных при 
выполнении проектов аналитической ведомственной целевой про-
граммы Министерства образования и науки Российской Федера-
ции № 2.1.1/5248 и № 2.1.2/5277, грантов РФФИ № 07-08-00253-а, 
№ 07-08-00592-а, гранта CRDF НОЦ-018. 
 
 

1. Основные сведения об устойчивости  
положений равновесия механических систем.  
Определение циркуляционных сил 

Для обеспечения механической надежности элементов кон-
струкций и деталей машин кроме условий прочности и жесткости 
необходимо соблюдать и условия устойчивости. Под устойчиво-
стью упругих систем подразумевают их способность сохранять 
определенную (исходную) форму равновесия под действием за-
данной нагрузки. 
Когда внешние силы достигают своего критического значения, 
происходит разветвление форм равновесия (бифуркация). Потеря 
устойчивости может проявляться по-разному в зависимости от 
свойств системы: в одних случаях система приобретает новую 
смежную форму равновесия, сколь угодно близкую к исходной 
форме, или несмежную форму равновесия (при статической потере 
устойчивости); в других случаях система из состояния покоя пере-
ходит к колебательному движению (при так называемой динами-
ческой потере устойчивости). В первом случае критические состо-
яния системы можно определять, не рассматривая ее динамику, 
тогда как во втором случае анализ устойчивости необходимо про-
водить с помощью динамических методов. 
Форма равновесия и тип потери устойчивости зависят от вида 
нагрузок (обобщенных сил), действующих в системе. 
Уравнения движения механической системы с конечным чис-
лом степеней свободы могут быть представлены в виде уравнений 
Лагранжа второго рода:  

 

т
1

( ,
)
( ,
) =
( ,
),

=1,..., ,
={ , ...,
} ,
=
,

j
j
j

n

d
T
T
Q
dt
q
q

d
j
n
q
q
dt

∂
∂
−
∂
∂
q q
q q
q q

q
q
q

 
(1) 

где 
( ,
)
T q q– кинетическая энергия системы1; t  – время; {
( ,
),
j
Q q q

,j
j
q
q
}
=1, ...,
j
n  – обобщенные силы, координаты и скорости;  
n  – число степеней свободы. 
В ряде случаев обобщенные силы можно представить в виде 
суммы составляющих, каждая из которых зависит только от обоб-
щенных координат и/или обобщенных скоростей:  

 
( ,
) =
( )
( ,
).
j
j
j
Q
Q
Q
′
′′
+
q q
q
q q

(2) 

Силы 
( ),
j
Q′ q  зависящие только от обобщенных координат, 

называются позиционными. 
Если позиционные силы удовлетворяют условиям взаимности  

 
( )
( ) , ,
=1, ..., ,
j
k

k
j

Q
Q
j k
n
q
q

′
∂
′
∂
=
∂
∂

q
q
 
(3) 

то такие силы называют консервативными. Соотношения (3) экви-
валентны условию равенства нулю работы, совершенной позици-
онными силами на произвольном замкнутом пути в пространстве 
конфигураций:  

 

=1
= 0.

n

j
j
j
Q dq
′
∑
∫
(4) 

Примерами таких сил являются «мертвые» силы веса, силы 
упругости и др. Соотношение (3) или (4) позволяет ввести поня-
тие потенциальной энергии 
( ),
U q
 зависящей от обобщенных ко-
ординат: 

 
( )
( ):
=
.
j
j

U
U
Q
q
∂
′
−
∂
q
q
 
(5) 

____________________ 
1 Матричные векторы и матрицы, привязанные к выбранному арифметиче-
скому пространству, будем обозначать прямым полужирным символом, физиче-
ские векторы, как инвариантные объекты, – прямым полужирным символом со 
стрелкой сверху. 

Следует отметить, что существует класс сил, зависящих также 
от обобщенных скоростей и позволяющих ввести понятие обоб-
щенной потенциальной энергии в следующем виде [1, с. 31]:  

( ,
)
( ,
)
( ,
) =
.
j
j
j

U
d
U
Q
q
dt
q
∂
∂
−
+
∂
∂
q q
q q
q q


В случае линейных позиционных сил их можно представить  
в матричном виде:  

  
=
.
′
−
Q
Cq  
(6) 

Для консервативных сил матрица С симметричная 
т
=
)
(С
С
 и 
потенциальная энергия имеет вид квадратичной формы:  

т
1
( ) =
const.
2
U
+
q
q Cq
 

Матрица С называется матрицей жесткости. В случае, когда 
соотношение (3) или (4) не выполняется, т. е. 

=1

( )
( ) ,
,
=1, ...,
0,
n
j
k
j
j
k
j
j

Q
Q
j k
n
Q dq
q
q

′
∂
′
∂
′
≠
⇔
≠
∂
∂
∑
∫
q
q


позиционные силы называются циркуляционными. (Иногда для 
этих сил используют термин «неконсервативные» [2], но его чаще 
ассоциируют с силами диссипации, поэтому в дальнейшем будем 
говорить о «циркуляционных» силах.) При этом отсутствует понятие 
потенциала сил или потенциальной энергии сил (5). 
В общем случае для линейной зависимости (6) матрица С несимметричная 

т).
≠
(С
С
 Если в матрице С выделить симметричную K 
и антисимметричную N части:  

 
т
т
т
т
1
1
=
),
=
):
=
,
=
,
2
2
+
−
−
K
(С
С
N
(С
С
K
K
N
N
 
(7) 

то матрица K является матрицей жесткости консервативных сил, а 
матрица N – матрицей циркуляционных сил. При этом выполняются 
следующие соотношения:  

 
т
т

=1
=1
=
(
)
= 0,
= 0,

n
n

kj
j
k
j
k
K q
dq
d
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑
∫
∫
q
Kq
q Nq

(8) 

т. е. циркуляционные силы ортогональны вектору обобщенных 
координат. Собственно, именно это свойство и дало название 
«циркуляционные» силы. В работе [3] циркуляционными называются 
позиционные силы, удовлетворяющие свойству  

  
т
( ) = 0.
′
q Q q
 
(9) 

Из соотношений (7)–(9) следует, в частности, что понятие циркуляционных 
сил может быть введено только для механических 
систем с двумя и более степенями свободы: 
2.
n ≥
 Для 
= 2
n
 матрица 
N  имеет следующий вид:  

 
0
1
=
.
1
0
a

−
⎡
⎤

⎢
⎥

⎢
⎥
⎣
⎦
N
 

Тогда очевидно, что условие (9) выполняется:  

{
}
{
}
1
2
1 2
2 1
1
2
1
2
2
1

0
1
=
= (
) = 0.
1
0

q
q
a
а
a
q q
q q
q q
q q
q
q

−
−
⎧
⎫
⎧
⎫
⎡
⎤⎪
⎪
⎪
⎪
−
+
⎢
⎥⎨
⎬
⎨
⎬
⎢
⎥⎪
⎪
⎪
⎪
⎣
⎦⎩
⎭
⎩
⎭
 

Устойчивость положений равновесия механических систем при 
действии только консервативных сил можно исследовать с помощью 
теоремы Лагранжа – Дирихле, не рассматривая динамику системы. 
Иногда для поиска критических значений нагрузки достаточно 
использовать критерий Эйлера: det(
) = 0
K
 или det( ) = 0
C
, 
при этом вопрос об устойчивости соответствующих критических 
состояний системы должен решаться с привлечением дополни-

тельной информации. Присутствие циркуляционных сил приводит 
к необходимости рассматривать задачу об устойчивости положе-
ний равновесия, используя первый или второй метод Ляпунова. 
При этом возможна как статическая бифуркация Эйлера2, так и 
динамическая бифуркация Пуанкаре – Андронова – Хопфа. В аэ-
роупругих задачах с динамической бифуркацией при действии 
циркуляционных сил связывают понятие флаттера. 
Примером циркуляционных сил являются следящие силы, для 
реализации которых необходима система управления3. Отметим, 
что проблема устойчивости механических систем при их нагруже-
нии циркуляционными силами впервые была рассмотрена в 1926 г. 
Е.Л. Николаи [4, 5]. 
Наиболее характерными примерами механических систем, в 
которых возникают циркуляционные силы, являются: 
• конструкции, взаимодействующие с внешними потоками жид-
кости или газа (лопатки турбин и компрессоров, воздушные винты, 
крылья и панели летательных аппаратов, антенны, твэлы и др.), в 
которых возникают, например, аэродинамические силы, пропорци-
ональные углу атаки крыла и приводящие к возбуждению автоколе-
баний; 
• трубопроводы с протекающей жидкостью, в которых в ре-
зультате ее истечения возникают следящие силы, пропорциональ-
ные углу наклона деформированной оси трубопровода к ее неде-
формированному положению; 
• летательные аппараты (ракеты) с реактивными двигателями, 
сила тяги которых приводит к возбуждению колебаний корпуса; 
• вращающиеся валы различных роторных систем (центрифу-
ги, турбины, насосы и др.), неустойчивое вращение которых обу-
словлено наличием внутреннего трения или гидродинамического 
трения в подшипниках скольжения; 
• протяженные вращающиеся элементы, нагруженные следя-
щими поперечными силами и крутящими моментами; 
• системы автоматического регулирования со следящими сила-
ми (силы радиальной коррекции в гироскопических системах и пр.). 

____________________ 
2 Иногда статическую бифуркацию называют дивергенцией. 
3 Здесь имеется в виду ситуация, когда направление действия нагрузок изме-
няется в зависимости от деформации механической системы, вызываемой этими 
же нагрузками. 

Анализу различных проблем устойчивости неконсервативных 
систем посвящена обширная отечественная и зарубежная литера-
тура [1, 2, 6–8]. Тем не менее ряд экспериментальных наблюдений 
не всегда адекватно описывается существующими расчетными 
моделями [8]. 
В дальнейшем исследуются устойчивость положения равновесия 
и закритическое поведение механической системы с двумя 
степенями свободы, находящейся под действием циркуляционных 
сил.