Особенности возбуждения и распространения ультразвуковых волн

Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана 

Н.П. Алешин, А.Л. Ремизов, А.А. Дерябин

Особенности возбуждения  

и распространения ультразвуковых волн

Учебное пособие

УДК 681.2+621.791(075.8)
ББК 34.441
          А 49

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  

по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/47/book1650.html

Факультет «Машиностроительные технологии»
Кафедра «Технологии сварки и диагностики»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Алешин, Н. П.

Особенности возбуждения и распространения ультразвуковых 

волн : учебное пособие / Н. П. Алешин, А. Л. Ремизов, А. А. Дерябин. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 85, 
[3] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-4677-3

Приведены теоретические сведения о возбуждении и распространении 
ультразвуковых волн. Рассмотрены методы расчета элементов 
диаграмм направленности и параметров распространения различных 
типов ультразвуковых волн.

Для студентов кафедры «Технологии сварки и диагностики» МГТУ 

им. Н.Э. Баумана.

УДК 681.2+621.791(075.8)
ББК 34.441

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

 
© Оформление. Издательство     

ISBN 978-5-7038-4677-3 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

А 49

Предисловие

Для комфортной жизни современного человека строятся и экс-
плуатируются объекты, обеспечивающие потребности людей. Это 
холодильные установки, системы транспортировки и переработ-
ки нефти и газа, различные сложные строительные конструкции, 
атомные электростанции. Все эти объекты входят в класс опасных 
производственных объектов, т. е. объектов, аварии на которых мо-
гут привести к гибели людей и тяжелым экологическим послед-
ствиям. Чтобы избежать подобных трагедий, в настоящее время 
широкое применение для таких объектов нашли неразрушающие 
методы контроля. 
Неразрушающий контроль — комплекс мероприятий, направ-

ленных на определение степени поврежденности и оценку остав-
шегося ресурса работы технических средств без вывода этих средств 
из эксплуатации и нарушения их целостности. Самый распростра-
ненный метод неразрушающего контроля — ультразвуковой.

За все время применения ультразвуковых методов, начиная с 

1928 года и до сегодняшнего дня, учеными разных стран (отече-
ственными: С.Я. Соколовым, Л.М. Бреховских, И.А. Викторовым,  
Д.Б. Диановым, В.Т. Бобровым, С.К. Павросом, А.К. Гурвичем, 
И.Н. Ермоловым, М.В. Григорьевым; иностранными: Б.-К. Жэн, 
Л. Лу и др.) было проведено множество научно-исследователь-
ских работ по усовершенствованию методик проведения ультраз-
вуковой дефектоскопии. Ультразвуковая дефектоскопия требует 
от специалиста, выполняющего работы по диагностике, высокого 
уровня теоретических знаний, так как данный метод позволяет 
решать широкий спектр задач от простой толщинометрии до по-
лучения томографических изображений несплошностей и измере-
ния напряжений в материале.

Учебное пособие предназначено для студентов, выполняющих 

научно-исследовательские работы в области ультразвуковой де-
фектоскопии.
Цель пособия — получение дополнительных теоретических 

знаний о возбуждении и распространении ультразвуковых волн.

В результате изучения материала пособия студенты смогут са-
мостоятельно проводить расчеты элементов диаграммы направ-
ленности, параметров распространения различных типов уль-
тразвуковых волн; осуществлять анализ сложных проблемных, 
противоречивых ситуаций, получать новые знания и вырабаты-
вать новые процедуры на основе как логических, так и внелоги-
ческих методов; принимать верные (в том числе интуитивные) 
решения в проблемных ситуациях и условиях неопределенности, 
предвидеть точки резкой смены парадигмы развития и возможные 
изменения в функционировании систем; использовать теоретиче-
ские знания для выполнения самостоятельной научной работы.

Лекция № 1 

Закон Снеллиуса для упругих сред. Отражение 
и трансформация продольных и поперечных волн

Закон Снеллиуса. Критические углы

Закон Снеллиуса представляется в виде отношения скоростей 

распространения и синусов углов распространения соответствую-
щих волн:

 
С
С
С
С
C
l
t

t

l

l

l

l

t
1
2

2

2

2

1

1

1
sin( )
sin(
)
sin(
)
sin(
)
sin
β
α
α
β
=
=
=
=
отр
отр
(
),
βt1

  
(1.1)

где Сl1  — скорость падающей на поверхность металла продольной 
волны; С
С
t
t
2
1
,
отр  и С
C
l
l отр
2
1
,
 — скорости поперечных и продольных 

волн в металле и призме источника ультразвука (условно отражен-
ных от поверхности металла) соответственно; β  — угол падения 
на поверхность металла продольной волны; αt2  и αl 2  — углы рас-
пространения поперечной и продольной волн в металле соответ-
ственно; βl1 , βt1  — углы распространения продольной и попереч-
ной волн в призме источника ультразвука. 

На рис. 1.1 приведено графическое представление закона 
Снеллиуса — отражение, преломление и трансформация ультраз-
вуковых волн на границе двух сред.
Анализ закона Снеллиуса показывает, что существуют три кри-
тических угла. Рассмотрим их.

На рис. 1.1 видно, что, увеличивая угол β, можно добиться си-

туации, когда угол распространения продольной волны в металле 
(в среде 2) αl 2
90
=
°,  т. е.

 
С
С
С
С

l
l
l

l

1

1

2
1
1

2
1
sin(
)
arcsin
,
β
β
=
⇒
=





   
(1.2)

где β1  — первый критический угол, при котором продольная волна 
в металле начинает распространяться вдоль поверхности, ее назы-
вают продольной неоднородной или головной волной (рис. 1.2, а).

Дальнейшее увеличение угла падения продольной волны 

на поверхность металла приводит ко второму критическому углу:

 
С
С
С
С

l
t
l

t

1

2

2
2
1

2
1
sin(
)
arcsin
,
β
β
=
⇒
=





   
(1.3)

где β2  — второй критический угол, при котором поперечная волна 
распространяется вдоль поверхности и вместе с продольной вол-
ной, движущейся вдоль поверхности, формирует поверхностную 
волну Рэлея (рис. 1.2, б).

Третий критический угол напрямую относится к распространению 
в пластине поперечной волны.

Пусть угол падения продольной волны на поверхность металла 

больше первого критического, тогда в глубь пластины будет распространяться 
поперечная волна под углом αt  (рис 1.2, в).
При достижении критического угла αt3  распространения поперечной 
волны со скоростью Сt  продольная волна Сl
(
),  сформированная 
в процессе трансформирования падающей на границу 
раздела сред поперечной волны, начинает перемещаться вдоль поверхности 
металла. Это угол αt3  назвали третьим критическим 
углом (рис. 1.2, г).
Значение третьего критического угла можно рассчитать по 
формуле

 
αt
t

l

С
С
3 =




arcsin
.   
(1.4)

Поведение продольных и поперечных волн при критических 

углах падения продольной волны на поверхность металла требует 

Рис. 1.1. Графическое представление закона Снеллиуса

дополнительных разъяснений. Применение на практике пьезо- 
электрических преобразователей (ПЭП) оказывает на характер 
распространения волн в пластинах существенное влияние. Отечественными 
учеными Л.В. Басацкой и И.Н. Ермоловым проведены 
исследования характера распространения в полупространствах 
продольных и поперечных волн при углах больше критических [5]. 

Важно также рассмотреть вопросы, связанные с третьим критическим 
углом, в частности, рассчитать зависимость амплитуды 
трансформированной продольной волны от угла распространения 
поперечной волны. Первым вопросом является доказательство закона 
Снеллиуса для упругих сред, так как это доказательство в явном 
виде не встречается в литературе.

Доказательство закона Снеллиуса

Согласно работе [1], в отраженных и преломленных волнах частоты 
и проекции волновых чисел на плоскую границу равны соответствующим 
величинам в падающей волне.

г

Рис. 1.2. Критические углы:
а — схема распространения волн при первом критическом угле; б — схема распространения 
волн при втором критическом угле; в — схема распространения поперечной 
волны в пластине при углах падения больше первого и меньше второго критических 
углов; г — схема распространения волн при третьем критическом угле

Волновое число рассчитывают по следующему соотношению:

 
k
f

C
С
=
=
=
2
2
π
π
λ
ω,   
(1.5)

где k — волновое число;  f — частота волны; C — скорость волны; 
λ  — длина волны; ω  — круговая частота.

Волновое число — это отношение 2π радиан к длине волны,  
т. е. это пространственный аналог круговой частоты ω. Размер-
ность волнового числа: рад/м.
Волновое число падающей продольной волны:

 
k
f
C
l
l
1
1

2
= π .   
(1.6)

Волновое число поперечной волны, распространяющейся 

в металле:

 
k
f
C
t
t
2
2

2
= π .   
(1.7)

Волновое число продольной волны, распространяющейся 

в металле:

 
k
f
C
l
l
2
2

2
= π .   
(1.8)

Проекция вектора волнового числа падающей продольной 

волны на ось (ОX), вдоль которой распространяется волна:

 
k
f
C
l x
l
1
1

2
= π
β
sin( ).  
(1.9)

Проекция вектора волнового числа поперечной волны, рас-

пространяющейся в металле на ось, вдоль которой распространя-
ется волна:

 
k
f
C
t x
t
t
2
2
2
2
= π
α
sin(
).   
(1.10)

Проекция вектора волнового числа продольной волны, рас-

пространяющейся в металле на ось, вдоль которой распространя-
ется волна:

 
k
f
C
l x
l
l
2
2
2
2
= π
α
sin(
).  
(1.11)

Так как проекции векторов волновых чисел на ось, вдоль ко-
торой распространяются волны, равны, то, приравняв проекции 
векторов волновых чисел, определяемых формулами (1.9), (1.10), 
(1.11), получаем закон Снеллиуса в виде (1.1).

Отражение вертикально поляризованных волн

Рассмотрим, как зависит от угла распространения поперечной 

волны в пластине амплитуда трансформированной продольной 
волны при падении поперечной волны на границу раздела сред 
(см. рис. 1.2, б).
Далее новые формулы будут представлены без сложных выво-

дов, так как на данном этапе обучения необходимость в решениях 
сложных уравнений отсутствует. Главное — понять, что происхо-
дит с волнами при различных условиях распространения.

Основываясь на работе [1], опишем продольные и поперечные 

колебания следующим образом:

• продольную волну — с помощью скалярного потенциала

 
ϕ =
−
+
−
+
a
ik z
a
ik z
z
z
exp(
)
exp(
);  
(1.12)

• поперечную волну — векторным потенциалом

 
ψ
χ
χ
=
−
+
−
+
b
i
z
b
i
z
z
z
exp(
)
exp(
),   
(1.13)

где a−  и b−  — постоянные, имеющие смысл амплитуд соответ-
ственно продольной и поперечной волн, распространяющихся 
в сторону отрицательных z; a+  и b+  — то же для волн, распростра-
няющихся в сторону положительных z.
Скалярный потенциал — скалярная функция, описывающая 
безвихревые (потенциальные) векторные поля.

Векторный потенциал — потенциал, определяющий вихревую 

часть векторного поля.
Проекции волновых чисел рассчитывают по формулам

 
k
k
z
l
=
−
2
2
ξ ; 
(1.14)

 
χ
ξ
z
tk
=
−
2
2;  
(1.15)

k
f
С
l
l
= 2π ;   
(1.16)

 
k
f
C
t
t
= 2π ;   
(1.17)

 
ξ
α
α
=
=
k
k
l
l
t
t
sin(
)
sin(
).
2
2
  
(1.18)

Граничные условия, необходимые для дальнейшего решения, 
выглядят так:

 
σ
σ
σ
zx
zy
zz
=
=
= 0  
(1.19)

при z = 0, т. е. на поверхности изделия компоненты напряжений σij 
равны нулю.
Эти граничные условия позволяют найти связь между ампли-
тудами:

 
k a
a
p b
b
z(
)
(
)
;
+
−
+
−
−
+
+
= 0

 
χz b
b
p a
a
(
)
(
)
;
+
−
+
−
−
−
−
= 0   
(1.20)

 
p
z
t
= −χ
α
ctg(
),
2
2

где p будем считать вспомогательным числом, применяемым для 
сокращения размеров формул. 
Cистема уравнений (1.20) описывает все случаи отражения 

от свободной границы плоских гармонических волн с поляриза-
цией в плоскости падения. Так, если на границу падает только 

продольная волна ( b+ = 0 ), то, обозначив V
a
a
ll =
−

+  коэффициент 

отражения продольной волны, а V
b
a
lt =
−

+  — коэффициент транс-

формации продольной волны в поперечную, получим:

 
V
k
p
k
p

ll
z
z

z
z
=
−
+
χ
χ

2

2 ;  
(1.21)

 
V
k p
k
p

lt
z

z
z
=
+

2

2
χ
.  
(1.22)