Методические указания к решению задач олимпиады по сопротивлению материалов

Московский государственный технический университет  
имени Н.Э. Баумана 

С.В. Осипов, В.И. Фомин  
 
 
 
 
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ  
К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ ОЛИМПИАДЫ  
ПО СОПРОТИВЛЕНИЮ МАТЕРИАЛОВ 
 
 
 
 
Под редакцией А.А. Горбатовского 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Москва 

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана 

2010 

УДК 539.3/.8 
ББК 30.121 
О-74 
Ре це нз е нт Н.Л. Нарская 

 
Осипов С.В. 
  
 
Методические указания к решению задач олимпиады по 
сопротивлению материалов / С.В. Осипов, В.И. Фомин ; под 
ред. А.А. Горбатовского. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 
2010. — 14, [2] с. : ил. 
 
В методических указаниях даны условия, а также решения и ответы 
десяти задач по сопротивлению материалов, предложенных участникам 
отборочного тура Всероссийской олимпиады (МГТУ им. 
Н.Э. Баумана, март 2008 г.). 
Для студентов машиностроительных специальностей высших 
учебных заведений. 
УДК 539.3/.8 
ББК 30.121 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2010 

О-74 

УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 

Задача 1. Стержень АВ нагружен моментом М (рис. 1, а). После 
соединения стержней АВ и СD муфтой (рис. 1, б) система разгружается. 
Построить график функции ϕ(z) углов поворота сечений вдоль 
оси стержня и характеристику системы, т. е. зависимость угла поворота 
сечения от приложенного в нем момента.  
Дано: М, l, G, Ik.  
 

 
 
Рис. 1 

 
 
Рис. 2 
 

Задача 2. Жесткая квадратная плита толщиной h подвешена на 
четырех одинаковых упругих стержнях (рис. 2). Определить угол 
поворота плиты под действием силы тяжести F.  
Дано: a, h, l, F, A, E, g, ρ.  

Задача 3. Какую максимальную энергию деформации можно 
накопить в упругой системе (рис. 3) приложением заданной осевой 
силы? 
Дано: A, l, F, E.  
 

 
 
 
Рис. 3 

 
 
Рис. 4 
 

Задача 4. В раме (рис. 4) торцы разреза соединяют шарниром 
или совмещением плоскостей сечений с их последующей сваркой. 
Сравнить наибольшие напряжения при обоих случаях соединения. 
Дано: l, E, Ix, Δ. 

Задача 5. Диск толщиной h нагружен радиальными силами 
(рис. 5). Определить изменение площади диска в результате деформации 
в пределах упругости.  
Дано: D, h, E, ν, F. 
 

 
 
Рис. 5 

 
 
Рис. 6 

Задача 6. Упругая квадратная пластина со стороной а и постоянной 
толщиной h нагружена по наружному контуру равномерно 
распределенным изгибающим моментом m (рис. 6). Определить 
наибольший прогиб пластины. 
Дано: a, h, m, E, ν. 

Задача 7. Толстостенная труба (рис. 7) испытывает внецент- 
ренное сжатие заданной силой. Определить изменение площади ее 
поперечного сечения. 
Дано: D, d, F.  
 

 
 
Рис. 7 

 
 
Рис. 8 
 

Задача 8. Винт закручивается моментом M (рис. 8). Как изменится 
шаг винтовой линии? 
Дано: M, d, t. 

Задача 9. Конец стержня смещен на величину f с помощью 
винтового упора (рис. 9). Какую поперечную силу нужно приложить 
в среднем сечении 1, чтобы оно переместилось еще на величину 
f/16?  
Дано: l, E, Jx, f.  

Задача 10. Цилиндрический образец 1 подвергается испытанию 
на кручение (рис. 10). При этом измеряется перемещение f0 
конца жесткого рычага 2, к которому подвешен груз весом F. Затем 
опора 3 убирается и проводится повторное нагружение грузом 

F с измерением соответствующего перемещения f1. Найти упругие 
постоянные G, E, ν материала образца. 
Дано: 
0
1
200 мм, 
10 мм, 
20 H,  
1,97 мм, 
2,49 мм.
l =
d =
F =
f =
f =
 
 

 
 
Рис. 9 

 
Рис. 10 

РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ 

Задача 1. Эпюра углов поворота сечений при нагружении моментом 
исходной системы показана на рис. 11, а, аналогичная 
эпюра при нагружении моментом обратного знака системы без 
зазора — на рис. 11, б. Эпюра ϕ(z) после нагружения, соединения 
стержней и последующей разгрузки системы (рис. 11, в) строится 
путем наложения эпюр, приведенных на рис. 11, а и б. Характеристика 
системы представлена на рис. 11, г. 

Задача 2. Система один раз статически неопределима. Построим 
решение по методу сил. На рис. 12, а изображена эквивалентная 
система, на рис. 12, б — силы 
F
k
N
 (
1,4)
k =
 в стержнях от 

данной нагрузки (веса плиты), на рис. 12, в — силы 
1
k
N  от единичной 
нагрузки в направлении реакции первого стержня. Каноническое 
уравнение 

 
11
1
1
0
p
X +
=
Δ
Δ
 

имеет следующие коэффициенты: 

 

4
1
1
11
1
0

1
2
2
4 ;

l

k
k
k=

l +l +l
l
=
N N
dz
EA
EA
EA
⎛
⎞
⋅
Δ
=
=
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∫
  

 

4
1
1
1
0

2
1
2
.

l
F
p
k
k
k=

F l
=
N N
dz =
EA
EA

−
⋅
⎛
⎞
Δ
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∫
  

Следовательно,  

 
1
1
3
2
;
8
F
X = N = N =
   
3
;
2
F
N =
   
4
,
4
F
N =
 

где 
2.
F = gha
ρ
 

 
Рис. 11 

Рис. 12 
 
Угол поворота плиты можно вычислить по методу Мора или 
по характеру деформации стержней 4 и 2: 

 
2
4
(
)
.
4
4
N
N
l
ghal
=
=
EAa
EA

−
ρ
ϕ
 

Задача 3. В силу упругости накопленная энергия деформации 
U будет равна работе W приложенной силы. В пределах закона Гу-

ка 
1
.
2
F
W =
Fw
 Поэтому перемещение 
F
w  точки приложения силы 

должно быть максимальным. Раскрывая статическую неопределимость, 
находим левую реакцию:  

2
.
5

x
R =
F
l
  

Соответствующее выражение для перемещения: 

 

2
5
2
.
5
F
lx
x
F
w =
l
EA
−
 

Максимум перемещения достигается при 
5
4
x =
l  и равен 

5
.
8
F
Fl
w =
EA
 Следовательно,  

 

2

max
max
5
.
16
F l
U
=W
=
EA
 

 

Рис. 13 

Задача 4. Эквивалентные системы для шарнирного соединения 
и сварки даны на рис. 14, а, б. Соответствующие канонические 
уравнения метода сил имеют вид  

 
11
1
12
2

21
1
22
2

;

0;

X +
X =

X +
X =

Δ
Δ
Δ
⎧
⎨Δ
Δ
⎩
     

11
1
12
2
13
3

21
1
22
2
23
3

31
1
32
2
33
3

;

0;

0.

X +
X +
X =

X +
X +
X =

X +
X +
X =

Δ
Δ
Δ
Δ
⎧
⎪Δ
Δ
Δ
⎨
⎪Δ
Δ
Δ
⎩

 

Коэффициенты 
12
13
0
=
=
Δ
Δ
 в обеих системах равны нулю в 
силу характера деформации рамы. Таким образом, в обоих случаях 

 
2
3
0;
X = X =
     
1
11
,
2
X =
Δ
Δ
 

где 

3

11
8
.
3
x

l
= EI
Δ
 

Следовательно, напряжения не зависят от характера соединения. 
 

 
Рис. 14 
 

Задача 5. Изменение площади диска найдем, используя теоре-
му взаимности работ. Нагрузками первого состояния являются си-
лы F, нагрузкой второго состояния будет постоянное давление p 
на цилиндрической поверхности диска (рис. 15). Согласно упомя-
нутой теореме  

 
3
,
p Ah= Fw
Δ
 

где ΔA — изменение площади диска; w — радиальное перемеще-
ние точек приложения сил F. При действии постоянного давления 
характер напряженного состояния диска — равномерное двухос-
ное сжатие (
1
2
3
0,  
=
=
=
p
σ
σ
σ
−
). Поэтому