Колебания механических систем с конечным числом степеней свободы

А.А. Пожалостин, А.В. Паншина

Колебания механических систем 
с конечным числом 
степеней свободы

Учебное пособие

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

УДК 534.01(075.8)
ББК 22.213
 
П46

Издание доступно в электронном виде по адресу 

 https://bmstu.press/catalog/item/6735/

Факультет «Фундаментальные науки»
Кафедра «Теоретическая механика»

Рекомендовано Научно-методическим советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия 

Пожалостин, А. А.
П46  
Колебания механических систем с конечным числом степеней свободы : учебное пособие / А. А. Пожалостин, А. В. Паншина. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 
2020. — 29, [3] с. : ил. 

ISBN 978­5­7038­5398­6
Рассмотрены вопросы, связанные с малыми свободными колебаниями консервативных систем и систем с вязким сопротивлением и 
конечным числом степеней свободы. Приведены контрольные вопросы 
и задания.
Для  студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана всех специальностей, изучающих дисциплину «Теория колебаний».

УДК 534.01(075.8)
ББК 22.213

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020 

  
© Оформление. Издательство
ISBN 978­5­7038­5398­6 
 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

Предисловие

Учебное пособие предназначено для самостоятельной работы студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана при изучении дисциплины 
«Теория колебаний», которая входит в основную образовательную 
программу подготовки магистров по профилю «Технологическое 
обеспечение качества изделий» (направление «Технологические машины и оборудование») и соответствует новым образовательным 
стандартам МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Цель пособия — ознакомить студентов с основами теории колебаний. 
В издании рассмотрены малые свободные колебания консервативных систем и систем с линейно­вязким сопротивлением с одной 
и двумя степенями свободы. Для консервативных систем при составлении дифференциальных уравнений движения используются 
принцип Гамильтона и уравнения Лагранжа II рода, для неконсервативных систем — уравнения Лагранжа II рода. Рассмотрены частотные уравнения и различные случаи их корней, коэффициенты форм 
собственных колебаний, нормальные координаты, парциальные 
системы и парциальные частоты. Приведен пример использования 
«обратного метода» (который практикуется в курсе сопротивления 
материалов) для составления дифференциальных уравнений движения системы.
Материал учебного издания сформирован в виде пяти лекций. 
Лекции содержат теоретическую часть с выводами основных уравнений и соотношений и примеры решения задач. Материал снабжен иллюстрациями. Приведены контрольные вопросы и задания 
для самопроверки, рассчитанные на разный уровень подготовки 
студентов. Представлен список литературы.

Основные условные обозначения

 Т  
— кинетическая энергия системы
 П  
— потенциальная энергия системы

 S  
— функционал действия

 t  
— время
 q(t)  
— обобщенная координата

q t( ) 
— обобщенная скорость

L q q
( , )   
— функция Лагранжа 

 dq 
— возможное перемещение

 m 
— масса
 k  
— жесткость пружины

 x, y, z  
— декартовы координаты

 m  
— коэффициент вязкого сопротивления

Φ( )q   
— функция Рэлея

 n  
— коэффициент затухания
 w  
— собственная частота системы с одной степенью сво- 

  
 
боды

rk   
— радиус-вектор k-й материальной точки системы
 ail  
— приведенные коэффициенты инерции системы

 cil  
— приведенные коэффициенты жесткости системы

 l1, l2  
— коэффициенты распределения амплитуд (коэффици- 

  
 
енты форм собственных колебаний)

 h, x  
— нормальные координаты

 D  
— определитель матрицы

 w1, w2  
— собственные частоты системы с двумя степенями сво- 

  
 
боды

′
′
ω
ω
1
2
,
  
— парциальные частоты системы с двумя степенями 

  
 
свободы

 GJp  
— крутильная жесткость вала

 EJ0  
— погонная изгибная жесткость балки

 j, y  
— угловые координаты системы

 A, B, a, b — постоянные интегрирования дифференциальных  
  
 
уравнений

Лекция 1. Принцип Гамильтона.  
Уравнения Лагранжа II рода

По мнению академика Л.И. Седова, принцип Гамильтона явля-
ется наиболее общим принципом естествознания. Согласно этому 
принципу, переход материальной системы из одной точки конфи-
гурационного пространства в другую за один и тот же промежу-
ток времени происходит таким образом, что действие S принимает 
экстремальное значение. Для консервативных систем действие S 
выражается функционалом:

  
S
T
dt

t

t
=
−
(
)
∫
Π

1

2
,  
(1.1)

где Т — кинетическая энергия; P — потенциальная энергия ма-
териальной системы; t1, t2 — моменты времени начала и конца 
рассматриваемого движения системы.
Получим уравнения Лагранжа II рода для консервативных 
механических систем исходя из принципа Гамильтона. В со-
ответствии с этим принципом вариация действия S (см. (1.1)) 
равна нулю:

  
δ
δ
S
T
dt

t

t
=
−
(
)
=
∫
Π

1

2
0.  
(1.2)

Пусть механическая система имеет одну степень свободы 
(n = 1). Обобщенная координата системы — q(t).
Введем функцию Лагранжа L q q
T
( , ) =
−Π.  Тогда соотноше-

ние (1.2) примет вид

  
δ
δ
S
Ldt

t

t

=
=
∫

1

2
0.

В соответствии с постулатом об изохронности вариации обобщенной координаты dq  имеем δq t( )
,
1
0
=
 δq t( )
.
2
0
=

Итак, вариация действия S

  
δ
T q q
q
dt

t

t
( , )
.
 −
[
]
=
∫
Π( )

1

2
0   
(1.3)

Запишем вариации кинетической и потенциальной энергий 
системы:

  
δ
δ
δ
δ
δ
T q q
T
q
q
T
q
q
q
q
q
,
;
.



(
) = ∂

∂
+ ∂

∂
= ∂

∂
Π
Π
( )
  
(1.4)

Соотношение (1.3) с учетом (1.4) примет вид

  
δ
δ
δ
δ
∂
∂
+ ∂
∂
− ∂
∂




=
∫
T
q
q
T
q
q
q
q dt

t

t



Π

1

2
0.  
(1.5)

Преобразуем второе слагаемое 
∂
∂
∫
T
q
q dt

t

t



δ

1

2

 из (1.5), интегрируя 

его по частям. Для этого введем обозначения

  
∂
∂
=
=
=
T
q
u
q
dv
v
q


;
;
.
δ
δ

Тогда 

  
du
d
dt
T
q
dt
q
d
dt q
=
∂
∂




=


;
.
δ
δ

Получим

  
∂
∂
= ∂
∂
−
∂
∂




=
∫
∫

T
q
q dt
T
q
q
d
dt
T
q
q dt

t

t

t

t

t

t





δ
δ
δ

1

2

1

2

1

2

  
=
−
∂
∂




∫
0

1

2 d
dt
T
q
q dt

t

t


δ
.   
(1.6)

С учетом (1.6) формула (1.5) примет вид

  
∂
∂
+
∂
∂



 − ∂
∂




=
∫
T
q
d
dt
T
q
q
q dt

t

t


Π

1

2
0
δ
.

В силу произвольности δq ≠ 0  имеем уравнение

  
d
dt
T
q
T
q
q
∂
∂



 − ∂
∂
+ ∂
∂
=

Π
0.   
(1.7)

Уравнение (1.7) есть уравнение Лагранжа II рода для консерва-
тивной механической системы с одной степенью свободы.
Пример 1.1. Точечный груз массой m, прикрепленный на кон-
це пружины, движется по гладкой горизонтальной плоскости 
(рис. 1.1). Пружина невесома, жесткость ее равна k.
Составить дифференциальное уравнение движения системы.

Рис. 1.1. Движение точечного груза

Решение. Составим дифференциальное уравнение движения 
двумя способами:
1) с помощью уравнения Лагранжа II рода;
2) с помощью принципа Гамильтона.
Способ 1. В качестве обобщенной координаты q выберем де-
картову координату груза x, отсчитываемую от его положения рав-
новесия.
Потенциальная энергия системы Π = kx2 2
/ .

Кинетическая энергия системы T
mx
=
2 2
/ .

Подготовим слагаемые для уравнения Лагранжа II рода (1.7). 
Вычислим частные и полные производные кинетической энергии:

  
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂



 =
T
x
T
x
mx
d
dt
T
x
mx
0;
;
.





Обобщенная сила Q
x
kx
= − ∂
∂
= −
Π
.

Подставив в уравнение (1.7) найденные выражения, получим 
дифференциальное уравнение движения системы для обобщенной 
координаты q
x
= : 
  
mx
kx
+
= 0.

Способ 2. Функция Лагранжа для рассматриваемой системы 
имеет вид

  
L x x
T
mx
kx
,
.


(
) =
−
=
−
Π

2
2

2
2

В соответствии с принципом Гамильтона (см. (1.1)) 

  
δ
δ
L x x dt
mx
kx
dt

t

t

t

t

,
,


(
)
=
⇒
−






=
∫
∫

1

2

1

2
0
2
2
0

2
2

или

  
2
2
2
2
0

1

2
mx x
kx x dt

t

t
 
δ
δ
−




=
∫
.  
(1.8)

Представим интеграл в виде суммы двух интегралов и преоб-
разуем первое слагаемое из (1.8):

  
mx x dt

t

t
 
δ

1

2
∫
.  
(1.9)

Проинтегрируем его по частям, введя обозначения x
u
= , δx
dv
=
.

Тогда du
x dt
= 
. И v
x
= δ ,  так как δ
δ
x
d
dt x
=
.

Получим

  
mx x dt
mx x
mx x dt
mx x dt
t
t

t

t

t

t

t

t
 



δ
δ
δ
δ
=
−
=
−
∫
∫
∫
1
2

1

2

1

2

1

2

0
.

С учетом изохронности вариации обобщенной координаты δx  
имеем δx t( )
,
1
0
=
 δx t( )
.
2
0
=

Подставим в уравнение (1.8) полученное первое слагаемое  
(см. (1.9)):

  
−
−
(
)
=
⇒
+
(
)
=
∫
∫
mx x
kx x dt
mx
kx
x dt

t

t

t

t


δ
δ
δ

1

2

1

2

0
0.

В силу произвольности δx  и δx ≠ 0  дифференциальное урав-
нение движения точечной массы примет вид

  
mx
kx
+
= 0.

Лекция 2. Влияние линейно-вязкого сопротивления  
на свободные колебания системы  
с одной степенью свободы

Рассмотрим свободные колебания системы со стационарны-
ми голономными неосвобождающими связями с одной степенью 
свободы, на которую действует линейно-вязкое сопротивление. 
Пусть F
v
kc
k
k
= −µ
 — сила вязкого сопротивления, действующая 
на k-ю точку механической системы. Сила сопротивления зависит 
линейно от скорости vk  точки. Коэффициент сопротивления 
µk =
>
const
0.

Запишем функцию Рэлея

  
Φ = ∑
1
2

2
µk
k
k
v .   
(2.1)

Поскольку скорость k-й точки 

  
v
dr
dt
r
q
dq
dt
r
q q
k
k
k
k
=
= ∂

∂
= ∂

∂
,  
(2.2)

то функция Рэлея (2.1) примет вид

  
Φ =
∂
∂



 =
∂
∂




=
∑
∑
1
2
1
2
1
2

2

2
2
2
2
µ
µ
k
k

k
k
k

k

r
q q
r
q
q
B q q



( )
,

где

  
B q
r
q
k
k

k
( )
.
=
∂
∂




∑µ

2

Для малых отклонений системы от положения равновесия 

(
)
q
q
≈
≈
0
0
, 
 функцию B q
( )  разложим в степенной ряд в окрест-
ности нуля и ограничимся первым слагаемым 

 B q
r
q
B q
B
q
B

q

B
b
k
k

k
q
q
q
( )
( )
( )
=
∂
∂



 =
+ ∂
∂
+
∂

∂
+
≈
=
∑
=
=
=
µ

2

0
0

2

2
0

1
2
0

> 0.

В результате функцию Рэлея для малых отклонений системы 
от состояния равновесия представим в виде квадратичной формы:

  
Φ = 1
2

2
bq .   
(2.3)

Воспользуемся уравнением Лагранжа II рода для неконсерва-
тивной системы

  
d
dt
T
q
T
q
q
q
∂
∂



 − ∂
∂
= − ∂
∂
− ∂
∂


Π
Φ .   
(2.4)

Кинетическую энергию и потенциальную энергию системы 
также разложим с учетом соотношения (2.1) в степенные ряды 
в окрестности нуля ( ≈ )
q
0  и оставим члены не выше второго по-
рядка малости:

  
T
m v
m
r
q
q
A q q
k
k
k
k
k

k
=
=
∂
∂




=
=
∑
∑
1
2
1
2
1
2

2
2

2
2


( )

  
=
+ ∂
∂
+








≈
=
=

1
2
1
2
0
0

2
2
A
A
q
q
q
aq
q
q
...
,


  
(2.5)

где A q
m
r
q
a
A
A
k
k

k
q
( )
;
( )
,
=
∂
∂




=
=
>
∑
=0
0
0

  
Π
Π
Π
Π
( )
...
q
q
q
q
q
q
q
q
=
+ ∂
∂
+
∂

∂

+
≈
=
=
=
0
0

2

2
0

2
1
2

  
≈
+
∂

∂
=

=
0
1
2
1
2

2

2
0

2
2
Π

q

q
cq

q
,   
(2.6)

где в силу устойчивости положения равновесия (
),
q = 0
 около 
которого рассматривается движение системы, 

  
Π
Π
Π
Π
( )
;
;
.
0
0
0
0
0
0

2

2
0
=
=
∂
∂
=
= ∂

∂
>
=
=
=
q
q
q
q
c
q

С учетом формул (2.3), (2.5) и (2.6) уравнение Лагранжа 
II рода (2.4) примет вид

  
aq
bq
cq


+
+
= 0.  
(2.7)