Кинематика точки и простейшие движения твердого тела

Московский государственный технический университет
имени Н.Э. Баумана

Кинематика точки
и простейшие движения
твердого тела

Под редакцией А.А. Пожалостина

Методические указания к выполнению
и защите курсового задания

Москва
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2013

УДК 531.1
ББК 22.21
К41

К41

Авторы: О.П. Феоктистова, Е.Б. Гартиг,
А.А. Панкратов, Ю.Н. Барышников

Рецензент А.В. Горбунов

Кинематика точки и простейшие движения твердого тела : 
метод. указания к выполнению и защите курсового задания / 
О. П. Феоктистова и др. ; под ред. А. А. Пожалостина. —
М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2013. — 46, [2] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-3701-6
Представлены краткие сведения о методах определения основных
кинематических характеристик движения точки в зависимости от способов 
задания ее движения. Разобраны примеры решения задач по кинематике 
точки. Даны определения простейших движений твердого
тела. Указаны способы задания этих движений. Приведены примеры
решений всех типов задач курсового задания по рассматриваемым
разделам кинематики.
Для студентов младших курсов машиностроительных и приборостроительных 
специальностей МГТУ им. Н.Э. Баумана.
Рекомендовано Учебно-методической комиссией Научно-учебного
комплекса «Фундаментальные науки» МГТУ им. Н.Э. Баумана.

УДК 531.1
ББК 22.21

ISBN 978-5-7038-3701-6
c⃝ МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2013

ВВЕДЕНИЕ

Кинематика — это раздел теоретической механики, в котором
изучается механическое движение с геометрической точки зрения,
т. е. без анализа причин, вызывающих это движение [1].
Под механическим движением подразумевается происходящее
с течением времени изменение взаимного расположения матери-
альных тел в пространстве.
Понятия пространства и времени — это первичные понятия
кинематики. Ее аксиомами являются аксиомы геометрии, на основе
которой построена кинематика. В теоретической (классической,
или ньютоновой) механике пространство трехмерное, евклидово.
Абсолютно твердое тело, по отношению к которому рассма-
тривается движение материальных тел, называется телом отсчета.
Тело отсчета (как правило, с ним связывается некоторая система
координат) и часы образуют систему отсчета.
Время в ньютоновой механике считается универсальным, т. е.
течет одинаково во всех системах отсчета. Начало отсчета времени
выбирается произвольно.
Основная задача кинематики заключается в следующем: по
заданному движению (точки, тела или некоторой механической
системы) определить различные кинематические характеристики
этого движения (скорость, ускорение и т. д.). Задать движение ма-
териальной точки (тела или механической системы) означает дать
способ или алгоритм, позволяющий для любого момента времени
однозначно определить положение точки (тела или механической
системы) в пространстве (в заданной системе отсчета).
Цель методических указаний — дать необходимый теоретиче-
ский материал для выполнения курсового задания [1—5] по теме
«Кинематика точки. Простейшие движения твердого тела», а также
привести примеры решения задач, которые могут оказать помощь
при выполнении курсового задания.

3

1. СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Существуют следующие способы задания движения точки: век-
торный, координатный и естественный. Все эти способы взаимо-
связаны между собой, т. е. возможен переход от одного способа
задания движения точки к другому.

1.1. Векторный способ задания движения точки

Движение точки можно задать, если задать ее радиус-вектор
как функцию времени:

¯r = ¯r(t).
(1..1)

Функцию ¯r(t) для определенности будем считать непрерывной
и дважды дифференцируемой.
Такое задание движения точки предполагает, вообще говоря,
наличие системы координат, но не конкретизирует ее. Векторный
способ задания движения точки используется для теоретических
доказательств и определения основных понятий и кинематических
характеристик движения точки.
Конец радиус-вектора ¯r(t) вместе с точкой M движется в про-
странстве по некоторой кривой, которая называется годографом
радиус-вектора, или траекторией точки. Если траекторией точки M
является прямая линия, то движение точки M называется прямо-
линейным, в противном случае — криволинейным.

1.2. Координатный способ задания движения точки

Для задания движения точки координатным способом необхо-
димо ввести системы отсчета с некоторой системой координат и

4

дать зависимости координат точки в виде функций времени. Эти
зависимости называются уравнениями движения точки, заданны-
ми в соответствующей системе координат.

1.3. Задание движения точки в декартовой системе координат

Прямоугольная декартова система координат с началом в точке
O и осями Ox, Oy, Oz показана на рис. 1.1.

Рис. 1.1

Положение точки M в пространстве задается значениями ее
координат x, y, z. Чтобы знать положение точки в пространстве в
любой момент времени, необходимо иметь уравнения движения
точки в виде
x = x(t); y = y(t); z = z(t).
(1..2)
Уравнения (1.2) представляют собой уравнения движения точки 
в прямоугольной декартовой системе координат и одновременно
являются уравнениями траектории точки, записанной в параметрической 
форме, где параметром является время t.
Чтобы найти уравнение траектории в форме непосредственной 
зависимости между координатами x, y, z, из уравнений (1.2)
необходимо исключить время. Тогда траекторию точки описывает
система уравнений вида
f1(x, y) = 0;

f2(x, z) = 0.
(1..3)

5

С телом отсчета может быть связана не только ортогональная
декартова система координат, но и другие системы координат —
сферическая, цилиндрическая, тороидальная и т. д. В связи с тем,
что пространство трехмерное, в этих системах координат положение 
точки также будет определяться тремя параметрами.

1.4. Задание движения точки в полярных координатах

При движении точки в плоскости иногда целесообразно ис-
пользовать полярную систему координат. Положение точки M в
ней определяется координатами r и ϕ, являющимися скалярными
величинами (рис. 1.2).

Рис. 1.2

Расположение полярной оси OP (луча, проведенного на плос-
кости из некоторой точки O, называемой полюсом) выбирается
в плоскости движения точки исходя из удобства решения задачи.
Полярный радиус r — скалярный параметр, равный длине отрезка
OM, т. е. расстоянию от начала координат (полюса O) до точки M.
Полярный угол ϕ — угол между полярной осью и линией OM. По-
ложительное направление для отсчета угла ϕ принимается против
направления движения часовой стрелки.
Для задания движения точки в полярной системе координат
необходимо записать систему уравнений движения в виде
r = r(t);
ϕ = ϕ(t).
(1..4)

6

Система уравнений (1.4) является также параметрической фор-
мой записи уравнения траектории точки. Если из системы (1.4) ис-
ключить время, то уравнение траектории можно получить в форме

f(r, ϕ) = 0.
(1..5)

1.5. Естественный способ задания движения точки

Естественный способ задания движения точки используется,
когда ее траектория известна. Положение точки на траектории
определяется примерно так же, как и положение числа на числовой
оси.
При естественном способе задаются:
1) траектория точки M;
2) начало отсчета (точка M0) дуговой координаты s (натураль-
ного параметра);
3) положительное и отрицательное направление отсчета дуго-
вой координаты s;
4) зависимость дуговой координаты s от времени, т. е.

s = s(t).
(1..6)

Зависимость (1.6) определяет закон движения точки по тра-
ектории и является кинематическим уравнением движения точки,
заданным в естественной форме.
Нельзя путать дуговую координату s с путем, пройденным точ-
кой. Дуговая координата s может быть как положительной, так и
отрицательной и может быть равна нулю в начале отсчета (в точке
M0).
Путь же, пройденный точкой, всегда положителен, так как он
равен сумме всех перемещений точки за соответствующий проме-
жуток времени, и не зависит ни от начала отсчета, ни от направ-
ления отсчета. Так, при движении точки по траектории из начала
отсчета (точки M0) в произвольное положение M и обратно дуго-
вая координата s точки равна 0, а путь — 2 |s|.

2. СВЯЗЬ МЕЖДУ РАЗЛИЧНЫМИ СПОСОБАМИ
ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Как уже указывалось выше, все способы задания движения точ-
ки между собой взаимосвязаны. Рассмотрим несколько примеров.

2.1. Переход от задания движения точки
в полярной системе координат к заданию ее движения
в декартовой системе координат и обратно

Если полагать, что полярная ось OP совпадает с осью Ox
декартовой системы координат и движение точки происходит в
плоскости Oxy, то переход от задания движения точки в поляр-
ной системе координат в форме (1.4) к заданию ее движения в
декартовой системе координат в виде (1.2) будет выглядеть так:

x = r(t) cos [ϕ(t)] ;

y = r(t) sin [ϕ(t)] .
(2..1)

И наоборот, переход от (1.2) к уравнениям движения (1.4) имеет
вид

r =

x(t)2 + y(t)2;

ϕ = arctg [y(t)/x(t)] .
(2..2)

2.2. Связь между координатным и векторным способами
задания движения точки

С учетом уравнений движения (1.2) радиус-вектор точки M
равен

¯r = x(t)¯i + y(t)¯j + z(t)¯k.
(2..3)

8

Из формулы (2.3) следует, что значения координат точки M
есть проекции ее радиус-вектора на оси декартовой системы коор-
динат, т. е.

x = ¯r¯i; y = ¯r¯j; z = ¯r¯k.
(2..4)

Соотношения (2.3) и (2.4) устанавливают взаимный переход от
задания движения точки в декартовой системе координат к вектор-
ному способу и наоборот.

2.3. Связь между координатным и естественным способами
задания движения точки

Рассмотрим переход от координатного способа задания движе-
ния к естественному. Выделим на траектории точки элементарное
дуговое перемещение (дифференциал дуговой координаты) ds (см.
рис. 1.1). Оно представляет собой диагональ прямоугольного па-
раллелепипеда со стороны dx, dy, dz, которые являются элемен-
тарными приращениями прямоугольных координат (дифференци-
алами этих координат). Величина ds равна

ds =

(dx)2 + (dy)2 + (dz)2.
(2..5)

Обозначая производные по времени от координат

dx
dt = ˙x;
dy
dt = ˙y;
dz
dt = ˙z,
(2..6)

выражаем их дифференциалы:

dx = ˙xdt; dy = ˙ydt; dz = ˙zdt.

Подставляя последние равенства в выражение (2.5), получаем

ds =

˙x2 + ˙y2 + ˙z2dt.
(2..7)

Предполагая, что при t = 0 точка Mнаходится в начале отсчета
(s = 0), интегрируем выражение (2.7) в интервалах от 0 до s и от
0 до t и находим закон движения точки вдоль траектории:

s =

t
0

˙x2 + ˙y2 + ˙z2dt.
(2..8)

9

Итак, мы установили, что положение точки определяется раз-
личными пространственными параметрами: радиус-вектором, де-
картовыми координатами, дуговой координатой и др. Быстроту
изменения положения точки в пространстве с течением времени
характеризует векторная величина, которая называется скоростью
точки.

2.4. Скорость точки при векторном способе
задания движения

Пусть движение точки относительно тела отсчета задано ее
радиус-вектором ¯r(t). Тогда, согласно определению, скоростью
точки будет производная радиус-вектора ¯r по скалярному аргу-
менту — времени t:

¯v = d¯r
dt = ¯˙r = lim
Δt→0
Δ¯r
Δt = lim
Δt→0
¯r(t + Δt) − ¯r(t)
Δt
.
(2..9)

На рис. 2.1 показано, как определяется скорость точки.

Рис. 2.1

За приращение времени Δt точка переместилась по траекто-
рии из положения M в положение M1, а радиус-вектор получил
приращение Δ¯r. Когда Δt → 0, точка M1 → M, а вектор Δ¯r, напра-
вленный по хорде MM1, стремится занять положение касательной
к траектории. Поэтому вектор скорости ¯v будет направлен, соглас-
но выражению (2.9), вдоль касательной к траектории в точке M в
сторону движения точки.

10