Книжная полка Сохранить
Размер шрифта:
А
А
А
|  Шрифт:
Arial
Times
|  Интервал:
Стандартный
Средний
Большой
|  Цвет сайта:
Ц
Ц
Ц
Ц
Ц
Доступ онлайн
640 ₽
В корзину
Представлены 40 вариантов задач курсовой работы по курсу теоретической механики на тему "Кинематика сложного движения точки", четыре примера решения типовых вариантов. Для студентов 1-го курса.
Кинематика сложного движения точки : методические указания к курсовой работе по теоретической механике / В. В. Дубинин, Г. М. Тушева, Г. И. Гатауллина, А. В. Ремизов. - Москва : МГТУ им. Баумана, 2007. - 52 с. - Текст : электронный. - URL: https://znanium.com/catalog/product/1946531 (дата обращения: 21.05.2024). – Режим доступа: по подписке.
Фрагмент текстового слоя документа размещен для индексирующих роботов. Для полноценной работы с документом, пожалуйста, перейдите в ридер.
Московский государственный технический университет
имени  Н.Э. Баумана

 КИНЕМАТИКА СЛОЖНОГО
ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ

Методические указания к курсовой работе
по теоретической механике

М о с к в а
Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана
2 0 0 7

УДК 539.3
ББК  22.21
          К16

Рецензент Л.П. Варламова

 Кинематика сложного движения точки: Методические
указания к курсовой работе по теоретической механике /
В.В. Дубинин, Г.М. Тушева, Г.И. Гатауллина, А.В. Ремизов. –
М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007. –  52 с.: ил.

Представлены 40 вариантов задач курсовой работы по курсу теоретической 
механики на тему «Кинематика сложного движения точки», четыре
примера решения типовых вариантов.
Для студентов 1-го курса.
Ил. 26.

                                                                                                          УДК 539.3
                                                                                                ББК 22.21

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2007

К16

ВВЕДЕНИЕ

Студент в выданном варианте курсового задания получает
схему механической системы (механизма), описание схемы (с указанием 
номера варианта задания) и общие условия, в которых указывается, 
что необходимо определить в задании (контрольные вопросы 
вариантов).
На схеме варианта курсового задания положение механической
системы (механизма) указано в момент времени t = 1 c в непод-
вижной системе координат 1 1 1.
x y z  Положение точки М при t = 1 c
студент определяет в подвижной системе координат с помощью
закона относительного движения 
0
( ),
M M
f t
=
 где 
0,
M
M  – на-
чальное и текущее положения точки М. Заданные законы движе-
ния механизма справедливы на расчетном отрезке времени, вклю-
чающем момент времени t = 1 c.
В большинстве вариантов заданий системы совершают движе-
ние в плоскости чертежа. В вариантах 7, 27, 28, 30, 31 системы
пространственные.
Использование ЭВМ при расчетах курсовых заданий согласу-
ется с преподавателем.
Размерность в законах движений линейных величин [ ]
S = м,
угловых [ ]
ϕ = рад, [ ]t = с. Размерность соблюдается следующим
образом:

1) 
1
2
2
1
,
kt k
S
a
bt
ct
de
a rt
+
=
+
+
+
+
 где  [ ]
[ ]
S
r
=
= м, тогда

[ ]
[ ]
a
d
=
= м, [ ]
b = м/с, [ ]
c = м/с2, [ ]
k = с–1, 
1
[
]
0
k
=
 (безразмерная вели-

чина), 
1
[
]
a
= с–2;

2) 
2
1
1
,
b t
c t
ϕ =
+
 где [ ]
ϕ = рад, 
1
[
]
b
= рад/с, 
1
[
]
c
= рад/с2.

Пример. Если 
2
0,1(6
),
S
t
t
=
−
 то b = 0,6 м/с, с = –0,1 м/с2. Если

2
4
,
t
t
ϕ =
−
 то 1b = 4 рад/с, 1c = –1 рад/с2.
В каждом варианте курсового задания, рассматривая движение
точек М и D как сложное, студент решает для точки М «прямую»
задачу, а для точки D – «обратную» задачу (см. примеры).

1. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

Для момента времени t = 1 c выполнить следующее.
1. Определить:
в вариантах 1–6, 8, 10–12, 16–19, 21–24, 26–29, 32–33 угловые
скорость и ускорение звена, несущего на себе точку М, а также
относительное ускорение точки D (по отношению к звену 2);
в вариантах 7, 14, 20 – абсолютные скорость и ускорение точки
D и ее относительное ускорение по отношению к звену 2;
в вариантах 9, 15, 25, 30, 31, 34 – угловые скорость и ускорение
звена 2 и относительное ускорение точки D по отношению к звену 2;
в варианте 13 – угловые скорость и ускорение звена 2 и отно-
сительное ускорение точки (выступа) 
(2)
D
 относительно диска 1;

в вариантах 35–40, связав подвижную систему координат, ука-
занную на схеме механизма, с телом 1, – абсолютные, относитель-
ные и переносные скорости и ускорения, а также кориолисово ус-
корение точки 
( )i
D
 того тела, номер которого i указан при точке.

2. Найти по всех вариантах абсолютные скорость и ускорение
точки М.
3. Изобразить на рисунках схем механической системы (меха-
низма) все векторы скоростей и ускорений точек М и D. Направление 
определяемых угловых скоростей и ускорений звеньев указать
на схемах круговыми стрелками.
В некоторых вариантах задания при точке D индексом i указан
номер звена, которому она принадлежит. В ряде вариантов в качестве 
точки D рассматривается малое кольцо.
Для решения и «прямой», и «обратной» задач для сложного
движения точки используются теоремы сложения скоростей и ускорений


r
e
V
V
V
=
+
   и   
,
r
e
k
a
a
a
a
=
+
+

где V  и a  – абсолютные, 
r
V  и 
r
a  – относительные, 
e
V  и 
e
a  – переносные 
скорости и ускорения точки. Ускорение Кориолиса

2(
),
k
e
r
a
V
=
ω ×
 где 
e
ω  – угловая скорость переносного движения.

Методические указания к выполнению курсовой работы и решению 
задач по теме «Кинематика сложного движения точки»
(Дубинин В.В., Гатауллина Г.И., Тушева Г.М. М., 2005) содержат
примеры подробного решения разнообразных «прямых» и «обратных» 
задач и являются основным руководством при выполнении
этого курсового задания. Проработав эти методические указания,
полезно рассмотреть приведенные ниже примеры решения типовых 
вариантов данного курсового задания.

2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ВАРИАНТОВ
КУРСОВОГО ЗАДАНИЯ

Пример 1. Диск 1 (рис. 1) катится без скольжения по прямолинейной 
направляющей, закон вращения его  имеет вид

2
(3
), [ ]
2
t
t
t
π
ϕ =
−
= c. По пазу 2 на диске движется точка М по закону 
М0М = S = R(1 – coskt), [t] = c. В точке D диска закреплена
шарнирно втулка 3, связанная со стержнем 4, вращающимся вокруг 
оси O(z1), [ ]
ϕ = рад, [S] = м.

Рис. 1

1. Определить абсолютные скорость и ускорение точки М, угловые 
скорость и ускорение стержня и относительное ускорение
точки D при t = 1 с.

2. Составить уравнения для определения величин, указанных в
п. 1, в функции времени; провести расчеты на ЭВМ, построить
графические зависимости.
3. Проверить уравнения п. 2 с помощью уравнений кинематики
точки.

Принять 
0,2
R =
 м, 
4
k
π
=
 рад/с, 
0
1,32 м
.
OD
l
=
=

Решение.

1. а) Определим положение системы при t = 0 с и t = 1 c. С

помощью законов движения 
2
(3
),
2
t
t
π
ϕ =
−
 
0,2 1
cos 4
S
t
π
⎛
⎞
=
−
⎜
⎟
⎝
⎠
 получим 
при t = 0 c  
0
ϕ =
 рад, S = 0 м, при t = 1 c  ϕ = π  рад, S =
= 0,0586 м. Эти два положения изображены на рис. 1. Координаты
точки D равны:

1
1D
sin ,  
(1
cos ),
D
x
l
R
R
y
R
= −
ϕ +
ϕ
=
−
ϕ      
         (1)

при t = 1 с ϕ = π  рад, x1D = l – 
1,32
0,2
0,692
R
π
=
−
π =
 м,

1
0,2(1
cos )
0,4
D
y
=
−
π =
м, 
2
2
1
1 , 
0,8
D
D
OD
x
y
OD
=
+
=
 м, 
o
30 .
α =

б) Будем рассматривать движение точки М как сложное. Не-
подвижную систему координат 
1 1
1
(
)
Ox y z
 свяжем с неподвижной
направляющей, подвижную систему 
0
M M
S
=
– с диском 1. Тогда
относительное движение точки М – прямолинейное движение по
пазу, переносное – плоское движение диска (движение подвижной
системы 
0
M M
S
=
по отношению к неподвижной 
1 1
1
(
)).
Ox y z
Определим абсолютную скорость точки М при t = 1 c с помо-
щью формулы сложения скоростей

( )
( ).
e
r
M
M
M
V
V
V
=
+
 
(2)

Для переносной скорости

( )
,
e
C
MC
M
V
V
V
=
+
(3)

,  
,  
(
) ,  
,
MC
C
MC
V
MC
V
CP
V
MC
R
S
⊥
=
⋅ω
=
⋅ω =
−
ω
ω = ϕ
при t = 1 с 
1 c
(3
2 )
 рад/c
2
2
t
t
=
π
π
ω = ϕ =
−
=
0,  
0,2 2
C
V
π
>
=
=

0,314
=
 м/с, 
(0,2
0,0586)
0,222
2
MC
V
π
=
−
=
 м/с.

Для относительной скорости точки М имеем

( )
sin
;
r
M
V
S
R k
kt
τ =
=
⋅
( )
1 c
1c
0,2
sin
0,111 м/с >0.
4
4

r
t
t
M
V
t
τ
=
=
π
π
=
=

Получим 
0
ω = ϕ >
 и  
0
S >
при
t = 1 c, что означает: круговая
стрелка ω  диска и вектор относи-
тельной скорости направлены в сто-
рону положительного направления
отсчета ϕ и 
.S  На рис. 2 построен
многоугольник скоростей для точки
М по формуле

( ).
r
M
C
MC
M
V
V
V
V
=
+
+
        (4)

Проекции и модуль абсолютной скорости точки  М  равны:

1
1
( ),  
0,314
0,111
0,425
r
Mx
C
Mx
M
V
V
V
V
= −
−
= −
−
= −
 м/с;

1
1
,  
0,222
My
MC
My
V
V
V
=
=
м/с; 

1
1
2
2
,  
0,48 м/с.
M
M
Mx
My
V
V
V
V
=
+
=

Определим абсолютное ускорение точки М:

( )
( )
(
),
e
r
K
M
M
M
M
a
a
a
a
=
+
+
            (5)

где переносное ускорение точки М

( )
,  
,
e
n
n
C
C
M
MC
MC
C
C
a
a
a
a
a
a
a
τ
τ
=
+
+
=
+
       
 (6)

Рис. 2

0,
n
C
a
=
 так как точка С движется прямолинейно, 
C
aτ =

,
C
dV
R
dt
τ
=
=
ϕгде 
2

рад
,
3,14
,
с
ε = ϕ ε = −π ≈ −
при 
0
ϕ <
проекция на

S касательного ускорения точки С отрицательна (
0);
C
aτ <
 
n
MC
a
=

2
,  
,  
.
MC
MC
a
MC
MC
R
S
τ
= ω ⋅
= ε⋅
=
−
 Относительное ускорение

( )
2 cos
,
r
M
a
S
R k
kt
τ =
=
⋅
⋅
          
 (7)

ускорение Кориолиса

(
)
( )
2(
),
K
r
e
M
M
a
V
=
ω ×

где 
(
)
( )
( )
,  
2
sin(
,
).
K
r
r
e
e
e
M
M
M
a
V
V
ω = ω
= ω ⋅
⋅
ω
При t = 1 c рассчитаем модули векторов ускорений:

2
0,2
0,628 м/с ;
C
C
a
aτ
=
=
⋅π =

2
2
(0,2
0,0586)
0,349 м/с ;
4
n
MC
a
π
=
−
=

2
(0,2
0,0586)
0,444 м/с ,
MC
aτ
= π
−
=

где вектор 
n
MC
a
 направлен от точки М к полюсу С, 
MC
a
MC
τ
⊥
 и
направлен в соответствии с круговой стрелкой ε  по отношению к

точке С. Для 
( )
( )
( )
r
r
r

M
Mn
M
a
a
a
τ
=
+
слагаемое 
( )
0,
r
Mn
a
=
 так как относи-
тельное движение точки М прямолинейное;

2
( )
2
1c
0,2
cos
0,087 м/с
0,
16
4

r
t
M
a
S
=
τ
π
π
=
=
⋅
=
>
вектор 
( )
( )
r
r

M
M
a
a
τ
=
 и направлен в сторону положительного отсчета S.

Для 
(
)
K

M
a
 имеем

(
)
2
2
0,111sin90
0,349 м/с .
2

K
M
a
π
=
⋅
=

Направление ускорения 
(
)
K

M
a
 получа-
ем по правилу Жуковского поворотом

вектора 
( )
r

M
V
 на 90° по круговой стрел-

ке 
.
e
ω = ω  На рис. 3 построен вектор-
ный многоугольник для абсолютного
ускорения точки М по формуле

( )
(
).
r
K
n
M
C
M
M
MC
MC
a
a
a
a
a
a
τ
=
+
+
+
+
 (8)
    (8)

Проекции и модуль абсолютного
ускорения точки М равны:

1
( ),
r
n
Mx
C
M
MC
a
a
a
a
=
−
−

1
2
0,628
0,349
0,087
0,192 м/с
Mx
a
=
−
−
=
;

1
1
(
)
2
,  
0,444
0,349
0,793 м/с
K
My
My
M
MC
a
a
a
a
τ
= −
−
= −
−
= −
;

1
1
2
2
2
,  
0,816 м/с .
M
M
Mx
My
a
a
a
a
=
+
=

Замечание. Переносные скорость и ускорение точки М равны
скорости и ускорению точки M ′ диска, с которой в данный мо-
мент (t = 1 c) совпадает точка М, поэтому

( )
( )
,  
,  
.
e
e
M
M
M
M
V
V
a
a
M C
MC
′
′
′
=
=
=

в) Будем рассматривать движение точки D как сложное, чтобы
определить угловые скорость и ускорение стержня ОА. Неподвиж-
ной будем считать систему 
1 1
1
(
),
Ox y z
 подвижную систему коор-
динат Оху скрепим со стержнем ОА.
Абсолютное движение точки D – движение точки диска, со-
вершающего плоское движение, относительное движение точ-
ки D – прямолинейное движение по стержню, переносное движе-
ние ее – вращение стержня 4 вокруг оси О(z1).
Запишем для точки D формулу сложения скоростей:

( )
( ).
e
r
D
D
D
V
V
V
=
+
                 
  (9)

Рис. 3

Абсолютную скорость точки D определим по формуле плоско-
го движения для диска 1:

D
C
DC
V
V
V
=
+
                    
               (10)

и тогда

( )
( ),
e
r
D
C
DC
D
D
V
V
V
V
V
=
+
=
+
        
   (11)

,  
0,2
0,314 м/с,  
0,314 м/с.
2
DC
DC
C
V
DC
V
V
π
= ω⋅
=
⋅
=
=

Скорость 
C
V  найдена ранее. Известны направления векторов

переносной скорости 
( )
(
)
e
D
V
OD
⊥
 и относительной скорости (ско-

рость 
( )
r

D
V
 направлена по OD ) точки D.
На рис. 4 построен многоуголь-
ник скоростей по формулам (9), (10)
и (11).
Проекции членов уравнения (11)
на оси Ox и Oy соответственно име-
ют вид
( )
( )

( )
o

(
)cos
,  

2 0,314 cos30
0,544 м/с;

r
r
C
DC
D
Dx
r
D

V
V
V
V

V

−
+
α = −
=

=
⋅
⋅
=

( )
( )

( )
o

(
)sin
,  

2 0,314 sin30
0,314 м/с.

e
e
C
DC
D
Dy

e
D

V
V
V
V

V

+
α =
=

=
⋅
⋅
=

Угловая скорость стержня 4 равна:

( )

1
1
0,314
,  
0,393 рад/с.
0,8

e
D
V

OD
ω =
ω =
=

Направление 
1
ω        против хода часовой стрелки определено с

помощью вектора скорости 
( )
e

D
V
 при повороте стержня 4 вокруг

оси О(z1).
Угловое ускорение стержня 4 найдем с помощью теоремы Ко-
риолиса для точки D:

Рис. 4

Доступ онлайн
640 ₽
В корзину