Качество системы стабилизации курса самолета

А.М. Наумов

Качество системы стабилизации  
курса самолета

Учебно-методическое пособие

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

УДК 681.5
ББК 22.213
 
Н34

Издание доступно в электронном виде по адресу 
https://bmstu.press/catalog/item/6978/

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»

Кафедра «Прикладная механика»

Рекомендовано Научно-методическим советом
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Наумов, А. М.

Н34  
Качество системы стабилизации курса самолета : учебно- 

методическое пособие / А. М. Наумов. — Москва : Издательство 
МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2020. — 20, [4] с. : ил.

ISBN 978-5-7038-5441-9

Предназначено для самостоятельной подготовки к выполнению 

лабораторной работы «Качество системы стабилизации курса самолета» 
по дисциплине «Управление техническими системами». 
Издание будет способствовать углубленному изучению раздела 
«Качество управления линейными системами автоматического регулирования (
САР)» указанной дисциплины, освоению интеграль-
ного метода оценки качества САР, приобретению навыков по-
строения системы дифференциальных уравнений, описывающих 
поведение САР, синтеза и построения структурных схем, соответ-
ствующих этим уравнениям, редактирования параметров, получе-
ния, визуализации и анализа результатов расчетов, формулировки 
выводов о характере и качестве переходных процессов САР.

Для студентов магистратуры, обучающихся по направлению под-

готовки 15.04.03 «Прикладная механика».

УДК 681.5
ББК 22.213

© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020
© Оформление. Издательство 

ISBN 978-5-7038-5441-9 
МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2020

Предисловие

Учебно-методическое пособие предназначено для студентов 

магистратуры, обучающихся по направлению подготовки 15.04.03 
«Прикладная механика» и выполняющих лабораторную работу по 
дисциплине «Управление техническими системами».

Цель выполнения работы — углубление студентами теоретиче-

ских знаний по разделу «Качество управления линейными систе-
мами автоматического регулирования» указанной дисциплины; 
практическое освоение программного комплекса численного мо-
делирования «МВТУ»; приобретение навыков синтеза и форми-
рования структурных схем механических систем в соответствии 
с аналитическими системами дифференциальных и алгебраиче-
ских уравнений, редактирования параметров, получения, визуали-
зации, анализа, структурирования и использования в дальнейших 
исследованиях полученных результатов расчетов, формулирова-
ния выводов о качестве управления САР. 

Материал пособия базируется на самостоятельно устанавли-

ваемом образовательном стандарте высшего образования МГТУ 
им. Н.Э. Баумана по направлению подготовки «Прикладная ме-
ханика. Магистратура» и соответствует программе дисциплины 
«Управление техническими системами».

Приведенные в пособии сведения помогут студентам в при-

обретении навыков самостоятельной теоретической, аналити-
ческой и исследовательской работы при решении практических 
проблем, навыков и умений составления систем дифференци-
альных уравнений и соответствующих этим уравнениям струк-
турных схем, компьютерного моделирования, редактирования 
и расчета структурных схем механических систем автоматическо-
го регулирования.

Пособие будет способствовать повышению эффективно-

сти работы студентов при подготовке к выполнению лаборатор-
ной работы и ее проведении, при оформлении отчета и защите 
лабораторной работы. На защите студенты должны предъявить 
отчет о работе, оформленный в соответствии с приведенными 
в пособии требованиями, и продемонстрировать теоретические 
знания по данной тематике и навыки практического использо-
вания программного комплекса «МВТУ». Список контрольных 
вопросов и список источников помогут лучше подготовиться 
к защите.

Общие положения

Методы теории автоматического регулирования широко ис-

пользуются в настоящее время при анализе и конструировании не 
только сложных систем автоматического регулирования (САР), но 
и динамических систем вообще (в особенности при анализе устой-
чивости и оптимизации систем).

При этом для расчета требуются экспериментальные данные 

в виде частотных характеристик отдельных элементов системы 
или всей системы в целом. При исследовании современных САР 
применяют методы компьютерного моделирования.

В настоящей лабораторной работе студенты используют 

в качестве среды моделирования программный комплекс (ПК)  
«МВТУ3.7» («Моделирование В Технических Устройствах»). Лабо-
раторная работа позволяет студентам ознакомиться с методикой 
экспериментального исследования качества системы стабилизации 
курса самолета с помощью метода Мандельштама — Папалекси.

Цель работы — формирование у студента умений и навыков 

компьютерного моделирования, овладения базовыми принци-
пами набора структурных схем САР, соответствующих системам 
дифференциальных уравнений, которые описывают поведение 
изучаемого объекта регулирования. Также целью работы является 
формирование навыков редактирования параметров САР и визуа-
лизации результатов расчетов. Эти умения и навыки необходимы 
при выполнении практической работы по определению оптималь-
ных параметров элементов САР, обеспечивающих надлежащее 
качество переходных процессов на основе интегральных методов 
оценки качества.

Продолжительность работы — 4 ч.
Необходимое оборудование — персональный компьютер с уста-

новленным ПК «МВТУ». Он предназначен для исследования ди-
намики и проектирования технических систем и устройств раз-
личного назначения. Математические модели исследуемых систем 
формируются в виде структурных схем, элементы которых описы-
ваются входо-выходными соотношениями, дифференциально-
алгебраическими и разностными уравнениями, логическими ус-
ловиями. Для исследования и проектирования таких систем в ПК 
«МВТУ» реализованы методы имитационного моделирования, по-
исковой оптимизации и статистического анализа, а также частот-
ные и корневые методы анализа и синтеза динамических систем.

Краткие теоретические сведения

Качество системы автоматического регулирования, наряду 

с функциональностью и устойчивостью, является важнейшим по-
казателем ее работоспособности. Оно определяется переходным 
процессом, происходящим в системе после ее возмущения. При 
анализе качественных показателей указанного процесса рассма-
тривают отклик исследуемой системы на типовые воздействия — 
ступенчатую функцию, дельта-функцию, гармонические воз-
действия и др. Если на вход устойчивой системы регулирования 
подается ступенчатое входное воздействие (отклик системы регу-
лирования представлен на рис. 1), то показателями соответствую-
щего переходного процесса (рис. 1, а) являются:

Рис. 1. Отклик системы регулирования на сту-

пенчатое воздействие:

а — график переходного процесса регулируе-
мой величины при ступенчатом воздействии;  
б — график изменения функции, равной квадра-
ту разности между регулируемой величиной x(t) 

и ее установившимся значением x(∞)

1) время переходного процесса Tрег, т. е. время от момента при-

ложения воздействия (точка 0) до момента (точка А), после кото-
рого абсолютная разность между значением регулируемой величи-
ны x(t) и ее установившимся значением x(∞) становится меньше 
некоторой заданной малой величины D (часто значение D выбира-
ют равным 5 % от x(∞));

2) перерегулирование

σ =
−
∞

∞
⋅
x
x
x

max
( )
( )
%;
100

3) число колебаний n регулируемой величины около устано-

вившегося значения за время переходного процесса.

Это так называемые первичные показатели качества переход-

ного процесса. Для удовлетворения требований, предъявляемых 
к качеству динамической системы, необходимо, чтобы показате-
ли переходного процесса не превышали их допустимых значений. 
Чаще всего допустимые значения s находятся в пределах от 0 до 
25 %, допустимое число колебаний n ≤ 2.

Различают прямые и косвенные методы анализа качества систем 
регулирования. Прямые методы — методы непосредственного 
решения дифференциальных уравнений системы (и графического 
построения переходного процесса) — дают наиболее точные 
результаты при исследовании качественных показателей системы. 
Однако применительно к системам регулирования высокого порядка 
они весьма трудоемки.

К косвенным методам, для которых не требуется решения 

дифференциальных уравнений, но которые позволяют установить 
связь между параметрами системы и показателями качества процесса 
регулирования, относятся корневые, частотные и интегральные 
методы.

В данной работе используется интегральный метод, на основании 
которого качество системы устанавливается по минимуму 
квадратичной интегральной оценки:

J
x dt
x t
x
dt
0
2

0

2

0

=
=
−
∞

∞
∞
∫
∫
(
)
[ ( )
( )]
.
∆
 
(1)

Формула (1) определяет площадь (рис. 1, б) под кривой (Dx)2. 

Среди нескольких процессов наиболее качественным считается 
тот, который соответствует наименьшему значению оценки J0.

Для вычисления J0 используем метод Мандельштама — Папа-

лекси. Пусть динамика устойчивой САР характеризуется диффе-
ренциальным уравнением

a x
a x
a
x
a x
n
n

n
n
0
1

1

1

1
0
( )
(
)
( )
...
,
+
+
+
+
=
−
−
 
(2)

причем выходная величина x(t) и все ее производные обращаются 
в нуль при t → ∞ (т. е. система асимптотически устойчива).

Умножив члены уравнения (2) поочередно на x(t), проинте-

грируем полученные уравнения с учетом квадратичных оценок:

J
x dt
J
x
dt
J
x
dt
n
n
0
2

0

1
1
2

0

1
1
2

0

=
=
=

∞
∞

−
−

∞

∫
∫
∫
,
(
)
,...,
(
)
.
( )
(
)
   
 
 
(3)

Интегралы в уравнениях вида

a x
x
dt
a x
x
dt
a xx
dt
n
k
n
k
n
k
0

0

1
1

0
0

0
( )
( )
(
)
( )
( )
...

∞
−

∞
∞

∫
∫
∫
+
+
+
=
 
(4)

при k = 0, 1, 2, …, n – 1 вычисляют по частям до получения чис-
лового результата или одной из оценок J
J
Jn
0
1
1
,
,...,
.
−  После этого 

систему уравнений (4) решают относительно неизвестных квадра-
тичных оценок J0, J1, …, Jn – 1 (см. выражения (3)).

Квадратичные интегральные оценки могут быть использованы 

для выбора параметров системы, обеспечивающих оптимальный 
переходной процесс, который соответствует минимуму интеграль-
ной оценки. Минимизация квадратичной оценки по одному или 
нескольким варьируемым параметрам осуществляется решением 
уравнений

∂
∂
=
∂
∂
=
J
J
0
0
0
0
α
β
,
,...
   
 
(5)

относительно варьируемых параметров a, b, … . Найденные реше-
нием уравнений (5) значения варьируемых параметров при под-
становке в выражение квадратичной оценки J0 должны обеспечить 
ее минимум. Если интегральная оценка J0 не обладает минимумом 
по тем параметрам, которые представляют интерес, то значения 
этих параметров выбирают из допустимых значений с учетом огра-
ничений и других критериев, важных для определения динамиче-
ских свойств системы.

Рассмотрим использование квадратичной интегральной оцен-

ки J0 при выборе оптимального значения одного из параметров си-
стемы стабилизации курса самолета (рис. 2).

Для полета самолета по заданному курсу необходимо угол рас-

согласования между осью курса и продольной осью самолета, так 
называемый угол рысканья y (рис. 2, a), поддерживать равным 
нулю. Кроме того, необходимо регулировать угол между продоль-
ной осью самолета и горизонтальной плоскостью — угол тангажа g 
(рис. 2, б), угол между поперечной осью самолета и горизонталь-
ной плоскостью — угол крена q (рис. 2, в), а также высоту полета 
H, скорость V и мощность, отдаваемую двигателем. Эти величины 
взаимосвязаны, и их автоматическое регулирование проводит-
ся одним автоматом-автопилотом, состоящим из связанных друг 
с другом частей — автомата курса, автомата крена и т. д. Однако 
при небольшом диапазоне изменения этих величин их взаимо-
зависимостью в первом приближении можно пренебречь и рас-
сматривать, например, систему регулирования курса отдельно от 
других частей автопилота. Упрощенная принципиальная схема од-
ного из автоматов курса показана на рис. 3.

Пусть ось движка потенциометра R1 указывает направление 

курса, а ось обмотки потенциометра R1 совпадает с продольной 
осью самолета. Тогда отклонение самолета от заданного курса на 
угол y создает отклонение движка потенциометра R1 на угол y от 
среднего положения. В идеальном случае угол y должен быть ра-
вен нулю и движок потенциометра R1 должен находиться точно 
посередине обмотки. Поэтому установленное значение u0 для вы-
ходного напряжения u потенциометра R1 может быть получено от 
потенциометра R2, подключенного к тому же источнику питания, 
причем движок потенциометра R2 должен находиться точно посе-
редине обмотки. Разность этих напряжений Du = u – u0 поступает 

Рис. 2. Углы рассогласования между осью курса и положением самолета:

a — угол рысканья y; б — угол тангажа g; в — угол крена q

на вход усилителя с коэффициентом усиления k0. На вход того же 
усилителя подается вспомогательное напряжение u′, смысл вве-
дения которого будет выяснен далее. Выходное напряжение уси-
лителя u1 приложено к клеммам якоря двигателя независимого 
возбуждения Д. Пренебрегая индуктивностью цепи якоря и мо-
ментом инерции на валу двигателя Д, можно представить угловую 
скорость вала двигателя: W = k1u1. Через зубчатую передачу с пе-
редаточным отношением q вал двигателя соединен с валом руля 
направления, угол поворота которого обозначен d. Поворот руля 
создает действующий на самолет момент, в первом приближении 
равный rd (r = const). Момент инерции самолета относительно 
вертикальной оси — I. Примем момент вязкого трения в воздуш-
ной среде относительно той же оси пропорциональным угловой 
скорости поворота:

M
N d
dt
тр = −
ψ,

где N — коэффициент пропорциональности между моментом тре-
ния и угловой скоростью, Н⋅м·с/рад.

Тогда уравнение вращательного движения самолета относи-

тельно вертикальной оси (рассматривается плоское движение) бу-
дет выглядеть так:

I d

dt

N d
dt

2

2
ψ
ψ
ρδ
= −
−
.

Рис. 3. Упрощенная принципиальная схема 

автомата курсовой устойчивости 

При d > 0 момент руля действует в направлении уменьшения 

угла y, создавая отрицательное ускорение: d
dt

2

2
0
ψ < .

Обозначим y = x. Поскольку величина Du пропорциональна 

углу y, можно записать: Du = k3y, где k3 = const.

В итоге систему уравнений движения для автопилота курса 

представим в следующем виде:

I d x
dt
N dx
dt
d
dt
q
k u

u
k
u
u

u
k x

2

2

1 1

1
0

3

= −
−

=

=

=
+ ′

=

ρδ

δ

,

,

,

(
),

.

Ω

Ω

∆

∆

 
(6)

Система (6) дифференциальных и алгебраических уравнений 

описывает поведение автомата курсовой устойчивости самолета, 
схема которого приведена на рис. 3.

Практическая часть 

Главной задачей практической части лабораторной работы 

является определение оптимального значения одного из параме-
тров системы стабилизации курса самолета. Как правило, таким 
параметром является некоторый коэффициент усиления в цепи 
обратной связи функциональной схемы САУ. Критерием опти-
мальности подбора этого коэффициента будет служить минимум 
интегральной оценки качества переходного процесса.

Необходимо последовательно выполнить приведенные ниже 

пункты.
1. Изучить теоретическую часть. Особое внимание нужно уделить 
изучению интегрального метода оценки качества. Также необходимо 
ознакомиться со схемой автомата курсовой устойчивости (
см. рис. 3) и выводом системы уравнений (6), описывающих 
его поведение.

2. Привести систему уравнений (6) к виду, удобному для компьютерного 
моделирования. Это необходимо для удобства структурной 
и функциональной схематизации исследуемого объекта. 
Для этого предлагается следующий алгоритм действий.