Исследование механизмов с высшими кинематическими парами

С.Е. Люминарский, И.Е. Люминарский

Исследование механизмов   
с высшими  
кинематическими парами

Методические указания для подготовки  
к рубежному контролю знаний

Под редакцией Г.А. Тимофеева

Федеральное государственное бюджетное  
образовательное учреждение высшего образования  
«Московский государственный технический университет имени Н.Э. Баумана  
(национальный исследовательский университет)»

 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018
 
 Оформление. Издательство
ISBN 978-5-7038-4909-5 
 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2018

УДК 531.8 (075.8)
ББК 34.41
 
Л94

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru 
по адресу: http://ebooks.bmstu.press/catalog/225/book1820.html

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация»
Кафедра «Теория механизмов и машин»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебно-методического пособия

Люминарский, С. Е.

Л94  
Исследование механизмов с высшими кинематическими парами. 

  
Методические указания для подготовки к рубежному контролю зна- 

  
ний / С. Е. Люминарский, И. Е. Люминарский ; под ред. Г. А. Тимо- 

 
феева. — Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Бау мана, 2018. — 

  
51, [1] с. : ил. 

ISBN 978-5-7038-4909-5
Кратко изложен материал разделов «Синтез эвольвентных зубчатых передач», 
«Кинематика планетарных зубчатых механизмов» и «Синтез кулачковых механиз-
мов» дисциплины «Теория механизмов и машин», необходимый для прохождения 
студентами рубежного контроля знаний. Рассмотрены примеры решения типовых 
задач применительно к зубчатым и кулачковым механизмам, предложены задачи 
для самостоятельного решения.  
Для бакалавров и специалистов машиностроительных факультетов МГТУ 

им. Н.Э. Баумана, изучающих дисциплину «Теория механизмов и машин». 

УДК 531.8 (075.8)
ББК 34.41

Учебное издание

Люминарский Станислав Евгеньевич
Люминарский Игорь Евгеньевич
Исследование механизмов  
с высшими кинематическими парами

Редактор Е.К. Кошелева 
Художник Я.М. Асинкритова 
Корректор Л.И. Ильина
Компьютерная графика А.Н. Ивлевой 
Компьютерная верстка Н.Ф. Бердавцевой

Оригинал-макет подготовлен в Издательстве МГТУ им. Н.Э. Баумана.
В оформлении использованы шрифты Студии Артемия Лебедева.
Подписано в печать 15.05.2018. Тираж 100 экз. Формат 70×100/16.
Усл. печ. л. 4,23. Изд. № 341-2017. Заказ

Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1. press@bmstu.ru
www.baumanpress.ru
Отпечатано в типографии МГТУ им. Н.Э. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1.
baumanprint@gmail.com

Предисловие

Механизмы с высшими кинематическими парами имеют ряд достоинств: 
при минимальном числе звеньев позволяют получить необходимый закон 
движения; более точно воспроизводят передаточную функцию; обеспечивают 
большое разнообразие законов движения.
Основой изложенного в учебно-методическом пособии материала 
является многолетний опыт преподавания авторами дисциплины «Теория 
механизмов и машин». 

В пособии представлен материал для самостоятельного изучения 
теории, разбора и самостоятельного решения типовых задач при подготовке 
к прохождению рубежного контроля по теме «Исследование механизмов 
с высшими кинематическими парами». Выполнение заданий рубежного 
контроля предусмотрено учебным планом дисциплины «Теория механизмов 
и машин» для студентов второго курса машиностроительных специальностей.

Цель рубежного контроля — проверка знаний и умений студентов, полу-
ченных на лекциях, семинарских и лабораторных занятиях; стимулирование 
познавательной деятельности; контроль полученных знаний об исследовании 
и синтезе эвольвентных зубчатых и кулачковых механизмов.
При прохождении рубежного контроля студент должен решить пять за-
дач по трем разделам дисциплины «Теория механизмов и машин», а именно: 
«Синтез эвольвентных зубчатых передач», «Кинематика планетарных зубча-
тых механизмов», «Синтез кулачковых механизмов».
В первых трех задачах рубежного контроля выполняются анализ и синтез 
эвольвентных зубчатых передач. При решении этих задач студент должен 
продемонстрировать знание основной теоремы плоского зацепления, свойств 
эвольвенты окружности и эвольвентного зацепления, основных свойств рееч-
ного станочного зацепления. 
Четвертая задача посвящена кинематическому анализу и синтезу пла-
нетарных зубчатых механизмов. При решении этой задачи студент должен 
показать умение определять передаточные отношения планетарных механиз-
мов, направления и значения угловых скоростей звеньев, а также проверять 
геометрические условия соосности, соседства, сборки и т. д. 

В пятой задаче требуется выполнить анализ кулачковых механизмов. При 
решении этой задачи студент должен продемонстрировать умение определять 
скорость и ускорение толкателя, угол давления, минимальный радиус кулачка, 
межосевое расстояние, зоны допустимого расположения центра вращения 
кулачка на фазовом портрете. 

Рубежный контроль знаний по теме «Исследование механизмов с высшими 
кинематическими парами» проводится в виде письменной работы, 
студенты выполняют ее на семинарском занятии в течение 90 мин. Пять 
задач, которые студентам предлагается решить при выполнении рубежного 
контроля, представлены в карте рубежного контроля (см. пример карты 
в приложении 1). В каждой задаче даны пять вариантов ответа, из них после 
решения задачи необходимо выбрать единственный правильный ответ на 
поставленный вопрос. В соответствии с рейтинговой системой, разработанной 
на кафедре «Теория механизмов и машин», за каждую правильно 
решенную задачу студент получает 3 балла. Рубежный контроль считается 
успешно пройденным, если набрано 9 и более баллов. 

1. ЭВОЛЬВЕНТНАЯ ЗУБЧАТАЯ ПЕРЕДАЧА  
(первая, вторая и третья задачи) 

Первые три задачи рубежного контроля предназначены для проверки 
усвоения основных сведений о синтезе плоских механизмов с высшими парами. 
Для решения этих задач необходимо знать основную теорему плоского 
зацепления, свойства эвольвенты окружности и эвольвентного зацепления, 
основные свойства реечного станочного зацепления, расчетные формулы для 
определения параметров эвольвентных зубчатых колес и передач. 

1.1. Основная теорема плоского зацепления

При решении задач рубежного контроля используется следующая теорема.
Основная теорема плоского зацепления: общая нормаль, проведенная в 
точке касания к двум сопряженным профилям, делит линию центров O O
1
2

на части, обратно пропорциональные угловым скоростям ω1 и ω2  (рис. 1.1):

  
u
O P
O P
12
1

2

2

1
=
=


ω
ω
.  
(1.1)

В выражении (1.1) верхний знак (минус) соответствует внешнему зацеплению, 
нижний знак (плюс) — внутреннему зацеплению. 
В задачах рубежного контроля рассматривается только плоское зацепление 
двух сопряженных профилей, при котором оба звена движутся в одной 
плоскости или в параллельных плоскостях. Схема внешнего плоского зацепления 
представлена на рис. 1.1. Точка касания двух профилей обозначена K. 
Если точка K принадлежит первому профилю П1, то ее обозначают K1, если 
второму профилю П2 — то K2. В данный момент времени эти точки совпали, 
но имеют различные по значению и направлению скорости. Скорость vK1  
перпендикулярна линии O K
1
,  скорость vK2  — линии O K
2
.  
В соответствии с основной теоремой плоского зацепления два произ-
вольных профиля П1 и П2 в точке касания K имеют общую нормаль n–n, а 
проекции скоростей точек K1  и K 2  на эту нормаль v
v
K
n
K
n

1
2
=
.  
При решении задач указанная теорема позволяет сравнивать касатель-
ные составляющие скоростей точек K1  и K 2, направленные вдоль общей 
касательной τ–τ. Для случая, представленного на рис. 1.1, v
v
K
K
2
1
τ
τ
>
.

Общая нормаль n–n пересекает линию центров O O
1
2  в точке Р, которая 
является мгновенным центром скоростей в относительном движении двух 

профилей. При внешнем зацеплении точка Р расположена внутри отрезка 
O O
1
2, а угловые скорости ω1  и ω2  направлены в разные стороны (см. рис. 1.1). 

При внутреннем зацеплении точка Р расположена на линии центров вне 
отрезка O O
1
2, а угловые скорости ω1  и ω2  направлены в одну сторону.

Мгновенный центр скоростей в относительном движении двух профилей 
принято называть полюсом зацепления. Скорость любой точки тела при пло-
ском движении равна произведению угловой скорости и расстояния от этой 
точки до мгновенного центра скоростей. Поэтому относительная скорость 
двух профилей в точке касания (скорость скольжения) равна произведению 
относительной угловой скорости и расстояния от полюса до точки касания:

  
v
LKP
ск =
±
(
)
.
ω
ω
1
2
(1.2)

В формуле (1.2) верхний знак (плюс) соответствует внешнему зацеплению, 
нижний знак (минус) — внутреннему зацеплению.

Задача 1.1. На рис. 1.2 приведена схема зацепления двух профилей. Про-
филь звена 1 представляет собой окружность радиусом R = 0,3 м, профиль 
звена 2 — прямую линию. Межосевое расстояние LO O
1 2
0 27
=
,
 м, угловая 

скорость первого звена ω1
10
=
 рад/с.
Определить угловую скорость звена 2 в заданном положении.
Решение. В соответствии с теоремой плоского зацепления общая нор-
маль n–n делит линию центров O O
1
2  на части, обратно пропорциональные 

угловым скоростям двух профилей (рис. 1.3):

  
u
O P
O P
12
1

2

2

1
=
= +
ω
ω
.

Рис. 1.1. Схема внешнего плоского зацепления

Полюс зацепления P лежит вне отрезка O O
1
2, поэтому звенья 1 и 2 образуют 
внутреннее зацепление, и, следовательно, передаточное отношение 
имеет знак плюс.
Рассмотрим прямоугольные треугольники ∆
.
O O A
2
1  и ∆O AB
2
.  Эти треугольники 
равны по двум сторонам: L
L
R
O A
AB
1 =
=
,  LO A
2  — общая сторона. 
Гипотенуза этих треугольников 

  
L
L
R
O A
O O
2
1 2
2
2
0 6
=
+
=
(
)
,  м. 

Тогда (см. рис. 1.3) 

  
α =
=
°
arcsin
.
R
LO A
2
30

В прямоугольном треугольнике ∆O BP
2
 определяем 

  
L
L
O P
O B
2
2
2
2 0 27
=
=
cos
,
α
 м. 

Рис. 1.2. Схема зацепления к задаче 1.1

Рис. 1.3. Схема зацепления прямой с окружностью

Расстояние
  
 L
L
L
O P
O P
O O
1
2
1 2
0 27
=
−
=
,
м.

Следовательно, передаточное отношение 

  
u
O P
O P
12
2

1
2
= +
= .  

Угловая скорость звена 2

  
ω
ω

2
1

12

=
=
U
5 рад/с.

Положительный знак передаточного отношения указывает на то, что угловая 
скорость звена 2 направлена так же, как угловая скорость звена 1.
Ответ: ω2 = 5 рад/с.

Задача 1.2. На рис. 1.4 приведена схема зацепления двух профилей. Профиль 
звена 1 представляет собой окружность радиусом R = 0 3
,  м, профиль 

звена 2 — прямую линию. Межосевое расстояние LO O
1 2
0 27
=
,
 м, угловая 

скорость первого звена ω1
10
=
 рад/с.
Определить значение скорости скольжения двух профилей в заданном 
положении. 

Рис. 1.4. Схема зацепления к задаче 1.2

Решение. Точку контакта двух звеньев, принадлежащую звену 1, обозна-
чим B1,  точку контакта, принадлежащую звену 2, — B2. Звенья совершают 
вращательные движения, поэтому скорость точки B1 перпендикулярна линии 
O B
1
1, скорость точки B2  — линии O B
2
2  (см. рис. 1.4). По теореме о сложении 

скоростей при сложном движении точки 


v
v
v
B
B
B B
1
2
1
2
=
+
. Скорость скольже-

ния vск  звена 1 по звену 2, равную относительной скорости vB B
1 2, определя-
ем по формуле (1.2).

Из решения задачи 1.1 известно, что ∠
= ∠
=
=
°
AO B
AO O
2
2
1
30
α
,  

L
L
O B
O O
2
1 2
0 27
=
=
,
м и ω2
5
=
 рад/с (см. рис. 1.4). Рассматривая ∆O BP
2
,  
получаем 

  
L
L
PB
O B
=
=
2
2
0 9
tg α
,  м.

Скорость скольжения определим по формуле (1.2):

  
 v
PB
ск =
−
=
−
⋅
=
(
)
(
)
,
,
ω
ω
1
2
10
5 0 9
4 5 м/с.

Ответ: vск = 4,5 м/с.

Задача 1.3. На рис. 1.5 представлена схема зацепления двух профилей 
П1 и П2. Точка их контакта, принадлежащая профилю П1, обозначена K1, 
точка контакта, принадлежащая профилю П2, — K 2.  Общая нормаль n–n, 
проведенная в точке касания указанных профилей, пересекается с межосевой 
линией O O
1
2  в точке P.
Указать, какое из приведенных ниже соотношений между скоростями и 
проекциями скоростей точек K1  и K 2  на общую касательную τ–τ, если 
∠
= ∠
=
°
K O P
K PO
1
1
2
2
30  и ∠
=
°
K O P
2
2
90 ,  верное:
1) |
| |
|


v
v
K
K
1
2
τ
τ
=
,  2) |
| |
|


v
v
K
K
1
2
τ
τ
>
,  3) |
| |
|


v
v
K
K
1
2
τ
τ
<
,  4) |
| |
|


v
v
K
K
1
2
>
,  5) |
|
|
|


v
v
K
K
1
2
<
.

Рис. 1.5. Схема зацепления к задаче 1.3

Решение. Поскольку ∆O K P
1
1  — равнобедренный, то ∠
=
°
O K P
1
1
120 . Век-
тор скорости vK1 перпендикулярен линии O K
1
1.  Следовательно, α = 30°  

(рис. 1.6). 

Треугольник ∆O K P
2
2
. — прямоугольный, поэтому ∠
=
°
O K P
2
2
60 . Вектор 
скорости vK2 перпендикулярен линии O K
2
2.  Следовательно, ∠ = ∠
=
°
β
α
30 .

Касательные составляющие скоростей vK1
τ  и vK2
τ  перпендикулярны 
общей нормали n–n. Модули этих скоростей (см. рис. 1.6) определяем по 
формулам

  
|
|
|
|tg


v
v
K
K
n

1
1

τ
α
=
,   |
| |
|tg


v
v
K
K
n

2
2

τ
β
=
. 

По основной теореме плоского зацепления проекции скоростей точек 

K1  и K 2  на общую нормаль n–n равны: 

v
v
K
n
K
n

1
2
=
, поэтому |
| |
|.


v
v
K
K
1
2
τ
τ
=
 

Ответ: соотношение 1 верно.

1.2. Эвольвента окружности, ее уравнение и свойства

В задачах рубежного контроля рассматривается только эвольвентное заце-
пление зубчатых колес. В этом случае профили боковых поверхностей зубьев 
очерчены эвольвентными кривыми. На рис. 1.7 показана эвольвента окружности 
и приведены необходимые обозначения. Рассмотрим основные определения.
Эвольвента окружности — это линия, которую описывает произвольная 
точка Ky, принадлежащая прямой линии NN при ее перекатывании по 
окружности без скольжения. 
Прямая линия NN называется 
производящей прямой, а окружность, 
по которой она обкатывается, — 
основной окружностью. Обозначения 
всех параметров, относящихся 
к этой окружности, имеют нижний 
индекс b.
Угол 
профиля 
эвольвенты 
в 
произвольной точке α y  — это угол 
между касательной к эвольвенте в 
произвольной точке K y  и прямой 
линией, проведенной из точки K y  
к центру основной окружности 
(см. рис. 1.7). Угол ∠
=
K ON
y
y
y
α .

Эвольвентный угол в произвольной 
точке Θ y — это угол между началь-

Рис. 1.6. Направления скоростей точек контакта в зацеплении двух 
звеньев

Рис. 1.7. Эвольвента окружности