Введение в динамику машин

А.С. Гусев

Введение в динамику машин

Конспект лекций

Московский государственный технический университет 

имени Н.Э. Баумана

УДК 531.3(075.8)
ББК 22.213
          Г96

Издание доступно в электронном виде на портале ebooks.bmstu.ru  
по адресу: http://ebooks.bmstu.ru/catalog/181/book1673.html

Факультет «Робототехника и комплексная автоматизация» 
Кафедра «Прикладная механика»

Рекомендовано Редакционно-издательским советом  
МГТУ им. Н.Э. Баумана в качестве учебного пособия

Гусев,  А. С.

Введение в динамику машин. Конспект лекций / А. С. Гусев. — 
Москва : Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017. — 27, [5] с. :  
ил.

        ISBN 978-5-7038-4709-1

УДК 531.3(075.8)
ББК 22.213

 
© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

 
© Оформление. Издательство 

ISBN 978-5-7038-4709-1 
     МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2017

Г96

Рассмотрены методы расчетного анализа динамики мобильных ма-
шин, их узлов и агрегатов.
Для студентов МГТУ им. Н.Э. Баумана, изучающих курсы «Теория 
механических колебаний», «Динамика и надежность машин и кон-
струкций», «Случайные процессы и их анализ».

Предисловие

Настоящее учебное пособие представляет собой краткий конспект 

лекций, прочитанных автором студентам МГТУ им. Н.Э.Баумана, 
МГТУ МАМИ и МГТУ МАДИ, обучающимся по специальностям 
«Динамика и прочность машин и конструкций» и «Прикладная ме-
ханика», соответствует программам курсов «Теория механических ко-
лебаний», «Динамика и надежность машин и конструкций» и «Слу-
чайные процессы и их анализ».

Цель учебного пособия — ознакомить студентов с современ-
ными методами расчетного анализа динамики мобильных машин, 
их узлов и агрегатов.

Основная особенность нагруженности металлоконструкций мо-

бильных машин в эксплуатации состоит в кинематическом характере 
внешних воздействий, обусловленных переездом неровностей пути.

В этой связи рассмотрена задача о движении машины как аб-
солютно жесткого объекта, снабженного упругой системой ударо- 
и виброзащиты и задача о транспортировке гибких объектов типа 
труб, цистерн, мачт и т. п. по дорогам с неровностями пути.

Некоторые задачи динамики трансмиссий мобильных машин 

также сведены к расчетным схемам механических систем с кине-
матическими воздействиями.
В краткой форме детерминистическое рассмотрение задач ди-
намики машин дополнено вероятностными элементами изучае-
мой проблемы.
Все рассмотренные механические системы могут стать основой 
для написания студентами самостоятельных научных работ 
и рефератов, в которых авторы смогут сформулировать собственные 
воззрения на рассматриваемые проблемы.

Изучив материалы учебного пособия, студенты научатся выбирать 
и обосновывать расчетные схемы для различных механических 
систем и проводить их динамический анализ с определением 
реакций этих систем на внешние воздействия, задаваемые амплитудными 
или энергетическими спектрами.
В издании принята сквозная нумерация рисунков и формул.

Цель расчета — не число, 
а понимание.

И.А. Биргер

Лекция 1

ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ ДИНАМИКИ МАШИН

Движение с ускорением w  объекта массой m  происходит под 

воздействием силы, определяемой (рис. 1) как

 



F
mw
=
.   
(1)

 
 

 
Рис. 1  
Рис. 2

Пусть dr — элементарное перемещение объекта за время dt, 

тогда скорость и ускорение определим по формулам:

 
v
r
= ;  w
v
r
=
= ,  
(1)

где точки над символом обозначают оператор дифференцирования 
d
dt .

В соответствии с (1) при вращении объекта относительно центра 
О с ускорением ϕ t( ) на каждую элементарную массу dm, расположенную 
на расстоянии ρ от точки О, действует сила dF
dm
=
ρϕ, 
создающая момент dM
dF
dm
=
=
ρ
ρ ϕ
2  (рис. 2).

Действующий на объект суммарный момент будем определять 

как

 
M
J
=
ϕ,  
(2)

где момент инерции объекта относительно точки О

 
J
dm

m
= ∫ρ2
.   
(3)

Соотношения (1) и (2) выражают основной закон динамики 

объекта при его поступательном движении и вращении относительно 
некоторой точки.

Лекция 2

ОБЩАЯ ДИНАМИКА МОБИЛЬНЫХ МАШИН

Простейшая расчетная модель мобильной машины представлена 
на рис. 3.

Рис. 3

Эта машина состоит из двигателя 1, развивающего момент М1, 
муфты сцепления 2 с жесткостью с и коэффициентом демпфирования 
b, приводного механизма 3 и исполнительного механизма 4 
с моментом сопротивления движению М2. На рис. 3 углы поворотного 
вала обозначены ϕ1 и ϕ2.
Обозначим символом J1 момент инерции движущихся частей 

двигателя, приведенных к его валу, а символом J2 — момент инерции 
движущихся частей исполнительного механизма.
Уравнения, описывающие динамику рассматриваемой машины, 
представим в следующем виде:

 
J
M
b
c

J
M
b
c

1
1
1
1
2

1
2
2









ϕ
ψ
ψ
ψ
ϕ
ϕ

ϕ
ψ
ψ

=
−
−
=
−
(
)

= −
+
+






;
;

,

где ψ — угол закручивания, или

 









ϕ
ψ
ψ

ϕ
ψ
ψ

1
1
1

1

1

2
2
2

2

2

+
+
=

−
−
= −










b
J
c
J
M
J
b
J
c
J
M
J

;

.
 
(4)

Вычитая второе уравнение в (4) из первого, получаем для опре-
деления угла закручивания ψ уравнение

 


ψ
ψ
ω ψ
+
+
=
+
2
0
2
1

1

2

2
n
M
J
M
J ,  
(5)

где 2
1
1
1
1

1
2
0
2

1
2
n
b J
J
b
J
c J
J
c
J
=
+





 ≡
=
+





 ≡
;
.
ω

Далее полагаем

 
M1 = const, M
M
M
i t
2
1
=
+ e ω ,  ψ
ψ
ψ
=
+
( )
0
1 t , 
(6)

где 
M  — амплитуда динамической составляющей процесса 

M
t
2 ( ).
Подставляя выражения (6) в уравнение (5), получаем

 
ψ0
1
= M

c ;

 
ψ
ψ
ω ψ
ω
1
1
0
2
1
2
2
+
+
=
n
M
J

i t
e
.   
(7)

Решение уравнения (7) ищем в виде

 
ψ
ω
ω
1 t
H i
i t
( ) =
(
)e
.   
(8)

Подставляя (8) в (7), находим передаточную функцию

 
H i
M
J
ni
H
iH
ω
ω
ω
ω
(
) =
−
+
≡
+

 /
,
2

0
2
1
2
2
 
(9)

где H1 и H2 — действительные числа.

Подставляя (9) в (8), получаем

 
ψ
ω
ω
β
1
2
t
M
J
H i
t
( ) =
(
)
+
(
)


cos
,

где tg β
( ) = H
H
1
2.

Момент, приложенный к приводному механизму, определим 

как

 

M
c
b
c
i b H i

M
J J
c
b

c
J
b

i t
п
e
=
+
=
+
(
)
(
)

+

−
(
) +

=

=

ψ
ψ
ω
ω

ω

ω
ω

ω
1
1

2

2
2
2

2
2
2
2

cos ω
β
t +
(
).

При отсутствии муфты (т. е. при c → ∞ ) действующий на при-

водной механизм момент вычислим по формуле

 
M
M
J J
t
п
cos
1

2

( ) =
+
(
)

ω
β .

Эффективность работы муфты определяется коэффициентом 
динамичности

 
k
M
M
c
b

c
J
b
=
=
+

−
(
) +
( )
п

п
1

2
2
2

2
2
2
2

ω

ω
ω

.

Получаем k = 1 при ω
ω
=
2
0;  k < 1 при ω
ω
>
2
0;  k > 1 при

ω
ω
<
2
0. То есть условием эффективности виброзащиты явля-
ется условие

 
ω
ω
>
2
0,

при котором происходит защита системы от высокочастотных воз-
действий тем эффективнее, чем меньше коэффициент динамич-
ности.

Лекция 3

ДИНАМИКА МАШИН  

С КИНЕМАТИЧЕСКИМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ

Основная расчетная схема машин, находящихся под воздей-

ствием кинематических возмущений от неровностей дорог, при-
ведена на рис. 4.

Рис. 4

На рисунке h1(t), h2(t), y1(t), y2(t) — кинематические возмуще-

ния от неровностей дорог; c1, c2, b1, b2 — характеристики аморти-
заторов; a, b, l — геометрические параметры; ϕ — угол поворота 
кузова машины; V — скорость машины.

В соответствии с (1) и (2) для определения вертикального пере-
мещения y центра масс O и угла поворота φ кузова машины полу-
чаем следующую систему дифференциальных уравнений:

 

my
c h
y
c
h
y
b h
y
b
h
y

J
ac h









=
−
(
)+
−
(
)+
−
+
−

=

(
)
(
)
1
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2

1

;

ϕ
1
1
2
2
2
1
1
1
2
2
2
−
−
−
+
−
−
−





(
)
(
)
(
)
(
)
y
bc
h
y
ab h
y
bb
h
y




,
  (10)

где m и J — масса и момент инерции подрессоренной массы.

Учитывая, что ϕ =
−
y
y
l

2
1 ,  y
b
l y
a
l y
=
+
1
2, из (10) после несложных 
преобразований получаем следующую систему дифференциальных 
уравнений для определения функций y1(t) и y2(t):

m y
m y
b y
c y
c h
b h

m y
m y
b y
c

1
1
3
2
1
1
1
1
1 1
1
1

3
1
2
2
2
2
2










+
+
+
=
+

+
+
+

;

y
c h
b h
2
2
2
2
2
=
+





 ,

  
(11)

где m
mb
J

l
m
ma
J

l
m
mab
J
l

1

2

2
2

2

2
2
2
=
+
=
+
=
−
;
;
.
При J = mab имеем m3 = 0, к чему обычно стремятся при создании 
машины. Тогда система уравнений (11) распадается на два 
независимых уравнения вида:

 
my
by
cy
ch
bh



+
+
=
+

или

 



y
ny
f t
nh
h
y
+
+
=
( ) =
+
2
2
0
2
0
2
ω
ω ,   
(12)

где ω0
2 = c
m  — квадрат частоты собственных колебаний; n
b
m
= 2
 — 

коэффициент демпфирования.
Определим амплитудный спектр Φ y ω
( )  процесса y(t) (а затем 

и сам этот процесс) по амплитудному спектру Φh ω
( ) процесса h(t), 
который считаем заданным:

 
Φh
i t
h t
dt
ω
π
∞

∞

ω
( ) =
( )

−

+

−
∫
1
2
e
.  
(13)

Тогда

 
h t
d
h
i t
( ) =
( )

−

+
∫
∞

∞
ω
ω
ω
Φ
e
; 
(14)

 
y t
d
y
i t
( ) =
( )

−

+
∫
∞

∞
ω
ω
ω
Φ
e
. 
(15)

Подставляя соотношения (14) и (15) в уравнение (12), получаем 
равенство

 

−

+

−

+

∫
∫
−
+
=
+
( )
( )

∞

∞
ω

∞

∞
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(
)
(
)
.
0
2
2
0
2
2
2
ni
d
ni
d
y
i t
h
i t
Φ
Φ
e
e

Отсюда

 
Φ
Φ
y
h
H i
ω
ω
ω
( )
( )
=
(
)
,  
(16)

где H i
ni
ni
ω
ω
ω
ω
ω
ω
(
) =
+
−
+
2
2

0
2

0
2
2
 — передаточная функция системы, т. е.  

ее реакция на гармоническое воздействие с единичной амплитудой.


Теперь по формуле (15) можем определить искомую функцию y(t).
Если внешнее воздействие f(t) в уравнении (12) задано в виде 

энергетического спектра Sf (ω), то энергетический спектр процесса 
y(t) найдем по формуле

 
S
H i
S
y
f
ω
ω
ω
( )
( )
=
(
)
2
.

В матричной форме уравнения (11) при m3 ≠ 0 имеют вид

 
M y
B y
C y
f t
+
+
=
( ), 
(17)

где матрицы масс, демпфирования и жесткости

 
M
m
m
m
m
B
b
b
C
c
c
= 





= 





= 





1
2

3
4

1

2

1

2

0
0
0
0
;
;
,

а вектор перемещений и воздействий

 
y
y
y
f
f
c h
b h
f
c h
b h
= 





=
=
+
=
+









1

2

1
1
1
1
1

2
2
2
2
2

;
.

Определим вектор амплитудных спектров 


Φ y ω
( )процесса 

y t( )  по вектору амплитудных спектров 


Φ f ω
( )  процесса 


f t( ),  который 
считается заданным:

 




Φ y
i t
f t
dt
ω
π
∞

∞
ω
( ) =
( )

−

+
−
∫
1
2
e
. 
(18)

Имеем

 




f t
d
f
i t
( ) =
( )

−

+
∫
∞

∞
ω
ω
ω
Φ
e
; 
(19)