Математика в экономике

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

О. Я. Шевалдина 

МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

Рекомендовано методическим советом УрФУ 

в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся  

по направлениям подготовки

38.03.01 (080100.62) — Экономика,

38.03.02 (080200.62) — Менеджмент,

09.03.03 (230700.62) — Прикладная информатика, 

38.03.05 (080500.62) — Бизнес-информатика,

38.05.01 — Экономическая безопасность,

036401.65 — Таможенное дело

Екатеринбург 

Издательство Уральского университета 

2016 

УДК 33.4(075.8) 
ББК 65в6я73
          Ш37 
Рецензенты:
главный программист отдела алгебры и топологии ИММ 
УрО РАН канд. физ.-мат. наук С. Э. Нохрин;
кафедра «Высшая и прикладная математика» УрГУПС (зав. 
кафедрой — д-р физ.-мат. наук, проф. Г. А. Тимофеева) 
Научный редактор — ведущий научный сотрудник ИММ 
УрО РАН д-р физ.-мат. наук, проф. В. Т. Шевалдин 

Ш37

Шевалдина, О. Я.
Математика в экономике : учебное пособие / О. Я. Ше-
валдина. — Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 2016. — 
188 с.
ISBN 978-5-7996-1941-1

Пособие содержит теоретические сведения по разделам «Пределы 

и непрерывность функции одной переменной» и «Дифференциальное 
и интегральное исчисление» и предназначено для проведения лекци-
онных и практических занятий. Приводятся фундаментальные поня-
тия и доказательства ряда классических теорем этих разделов.

В пособии приведены начальные сведения о методах математического 

анализа в экономике. Рассматриваются простейшие приложения матема-
тики в экономике (предельный анализ, эластичность функций, максими-
зация прибыли, оптимизация налогообложения предприятий и др.).

Пособие содержит большой набор иллюстративных примеров и задач 

разного уровня сложности с подробными решениями. Предлагаются 
задачи для самостоятельной работы студентов (в том числе с экономи-
ческим содержанием).

Библиогр.: 11 назв. Рис. 30.

УДК 33.4(075.8) 
ББК 65в6я73

 

ISBN 978-5-7996-1941-1
© Уральский федеральный 
     университет, 2016

ГЛАВА 1. ПРЕДЕЛ ФУНКЦИИ  

ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

1.1. Предел функции в точке по Коши  

(на языке логических формул). Геометрическая  

интерпретация. Критерий Гейне

Определение. Окрестностью точки x0 ОR  называют лю-

бой интервал (c; d), содержащий эту точку.

Возьмем число δ > 0. Определим δ — окрестность точки x0 :

 
O
x
x
x
x
x
x
d
d
d
d
0
0
0
0
(
) =
-
+
(
) =
О
-
<
{
}
:
;
:
R
. 

Заметим, что неравенство x
x
-
<
0
d равносильно двойному 

неравенству x
x
x
0
0
-
<
<
+
d
d . Поэтому O
x
x
x
d
d
d
0
0
0
(
) =
-
+
(
)
;
.

Если из окрестности исключить саму точку x0 , то полу-

чим «выколотую» (или «проколотую») окрестность точки x0 , 

обозначаемую O
x



d(
)
0 , то есть 

 
O
x
x
R
x
x



d
d
(
)
:
0
0
0
=
О
<
-
<
{
}.

Очевидно, что O
x
x
x
x
x

∪
d
d
d
(
)
;
;
0
0
0
0
0
=
-
(
)
+
(
)  (рис. 1.1).

МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

)
( 0
x
Od


 

 
d
-
0
x
 
0
x
 
d
+
0
x
 x   

)
( 0
x
Od


d
-
0
x
0
x
d
+
0
x
x

Рис. 1.1. δ — окрестность точки x0

Окрестности бесконечно удаленных точек -Ґ , +Ґ  и Ґ  
определяются следующим образом:

 
O
x
x
D
D
D
-Ґ
(
) = -Ґ
(
) =
О
<
{
}
:
,
:
R
, 

 
O
x
x
D
D
D
+Ґ
(
) =
+ Ґ
(
) =
О
>
{
}
:
,
:
R
, 

где Δ — произвольное действительное число, 

 
O
x
x
D
D D
Ґ
( ) =
О
>
>
{
}
:
:
,
R
0 .

Очевидно, что O
O
O
D
D
D
Ґ
( ) =
-Ґ
(
)
+Ґ
(
)
:

.
Определение. Точка x0 называется предельной точкой 
множества X, X ОR , если в любой ее окрестности найдутся 
точки из множества X, отличные от x0. Множество предель-
ных точек обозначим через X΄. То есть 

 
x
X
X
O
x
0
0
0
О
ў
(
) = "
>
(
) № Ж
ж
из
ц
шч
:
e
e
∩

.

Пример 1.1. Пусть X
a b
c
c
b
=[
) { }
>
;
,

. Любая точка отрез-
ка a b
;
[
]  является предельной точкой множества X, хотя точка 

x
b
0 =
 и не принадлежит X. Вместе с тем точка x
c
0 =
 принад-
лежит X, но не является предельной точкой этого множества. 
Итак, 
ў =[
]
X
a b
;
.
Пример 1.2. Пусть X = Q  — множество рациональных чи-
сел. Тогда 
ў =
X
R , т. е. любая точка множества R (действи-
тельных чисел) является предельной точкой для множества 
рациональных чисел.

Глава 1. Предел функции одной переменной 

5

Предел функции в точке

Пусть f
X
R
x
:
,
®
0 – предельная точка X .

Определение предела функции по Коши 1. Число A  назы-

вается пределом функции f (x) в точке x0 (при x
x
®
0 ), если 

для любого положительного числа ε > 0 найдется положи-
тельное число d
d e
= (
)
,
,
x0
 такое что для всех x
X
О
, удовлет-

воряющих условию 0
0
<
-
<
x
x
d, выполняется неравенство

f x
A
( )-
< e .

В этом случае пишут lim
( )
x
x f x
A
®
=

0
 или f x
A
( ) ®
 при x
x
®
0 .

В логической символике сформулированные условия за-

пишутся в виде:

A
f x
x
x
X
x
x
f x
A
x
x
=
(
) = " >
$ = (
) >
" О
<
-
<
Ю
-
<
(
)

®
lim
( ) :
,
(
( )
)

0
0
0
0
0
0
e
d
d e
d
e . 

Пусть 
0
1
0
2
0
<
Ј
-
-
(
)
d
min
,
x
x
x
x
. На языке окрест-

ностей стремление 
f x
A
( ) ®
 при x
x
®
0  означает, что 

"
( ) $
" О
Ю
( )О
( )
O
a
O
x
x
X
O
x
f x
O
a
e
d
d
e

∩
(
),
(
)
0
0
 (рис. 1.2).

x

d 

1x  
0
x
 
  x
d
+
0
x
 2
x
 

y

e
+
A
 

)
(x
f
 
   
  A 

 
 
 

e
-
A

(
)
0
x
f
 

Рис. 1.2. Геометрическая иллюстрация предела функции в точке 

1 
Коши Огюстен Луи (1789–1857) – французский математик, один 

из наиболее активных творцов современного языка и аппарата классического 
анализа.

МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

Пример 1.3. Пусть f x
x
x
( )
,
,
,
.
=
№
=
м
н
о

1
2
0
2  

Имеем f x
x x
( )
,
-
=
-
=
<
"
№
1
1 1
0
2
e
, т. е. в любой выколотой 
окрестности точки 
x0
2
=
. Поэтому 
lim
( )
x
f x
®
=

2
1 

(рис. 1.3).

y

x
0
2
1

1

Рис. 1.3. Геометрическая иллюстрация примера 1.3

Пример 1.4. Покажем, что lim
x
x
®-
=
2

2
4 .

Возьмем произвольное e > 0 . Имеем x
x
x
2
4
2
2
-
=
-
+
. 

Выделим некоторую, например, 1 — окрестность точки  
x0 = –2: интервал (–3; –1). Для любого x О -
-
(
)
3
1
;
 имеем 

- <
-
< -
5
2
3
x
, 
и 
следовательно, 
x -
<
2
5 . 
Поэтому 

x
x
2
4
5
2
-
<
+
< e . Отсюда x +
<
2
5
e .

δ  — окрестность точки x0
2
2
2
= -
- -
+
(
)
:
,d
d  не должна 

выходить за пределы 1 — окрестности этой точки, поэтому 

берем d
e
=
ж
из
ц
шч
min
,1 5 . Тогда для всех x , удовлетворяющих 

условию 
0
2
5
<
+
<
x
e , 
справедливо 
неравенство 

x
x
x
2
4
2
2
5
5 5
-
=
-
Ч
+
<
Ј Ч
=
d
e
e . Таким образом, lim
x
x
®-
=
2

2
4 .

Построим отрицание определения предела функции по Коши. 

" О
№
(
) =

= $
"
>
$
= ( )О
<
-
<
Щ
-
і

®
A
A
f x

x
x
X
x
x
f x
A

x
x
R,
lim
( ) :

:
(
)

0

0
0
0
0
e
d
d
d
d
d
e0
(
)
(
).

 

Глава 1. Предел функции одной переменной 

7

Пример 1.5. Рассмотрим функцию sgn

,
,
,
,
,
.

x
x
x
x
=

-
<
=
>

м

нп

оп

1
0
0
0
1
0

 

Покажем, что lim sgn
x
x
®0
 не существует. Это означает, что 

"
$
" >
$
= ( )О -
(
)
(
)
(
) Щ
-
і
A
x
x
f x
A
e
d
d
d
d
e
d
d
0
0
0
0
0
:
,
,
(
)
)

.
Ясно, что A  может принадлежать только множеству 

-
{
}
1 0 1
; ;
. 
Пусть 
A
x
=
=
= -
=
1
1
2
1
2
0
,
,
,
e
d
d
. 
Тогда 

xd
e
= - О -
(
)
(
)
(
) Щ - -
=
>
=
1
2 0
0 2
1 1
2
1
2

0
;
;

. Аналогично показывается, 
что A
A
= -
=
1
0
,
 не может быть пределом функции 

sgn x  при x ® 0 .

1

-1

0

x
sgn

x

Рис. 1.4. График функции sgn x 

Определение предела функции по Гейне1

Число A  называется пределом функции f x
( ) в точке x0 
(при x
x
®
0 ), если для произвольной последовательности (xn) 
значений x
X
x
О
{ }
\
0 , сходящейся к точке x0, соответствующая 
последовательность f (xn) значений функции f сходится 
к A , т. е.

A
f x
x
X
x
x
x
f x
A
x
x
n
n
n
n
n
=
(
) = "(
) М
{ }
=
Ю
(
) =
(
)
(
)
®
®Ґ
®Ґ
lim
( ) :
\
lim
lim

0
0
0
.

1 
Генрих Эдуард Гейне (1821 –1881) – немецкий математик. Ученик 
Дирихле. Занимался преимущественно теорией потенциала, теорией 
функций и дифференциальными уравнениями.

МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

Отрицание определения предела функции по Гейне:

" О
№
(
) = $(
) М
{ }
=
Щ
(
) №

®
®Ґ
®Ґ
A
A
f x
x
X
x
x
x
f x
A

x
x
n
n
n
n
n
R
lim
( ) :
\
lim
lim

0
0
0
(
)
(
).

Пример 1.6. Покажем, что функция f x
x
( ) = cos 1  не имеет 

предела при x ® 0 .

Заметим, что D f( ) =
{ }
R \ 0 . Точка x0
0
=
 является пре-

дельной для D f( ) .

Рассмотрим последовательность x
n
n
x
n
n
=
®
® Ґ
№
1
0
0
p
,
,
. 

Соответствующая последовательность значений функции 

f x
n
n

n
(
) =
(
) = -
(
)
cos p
1  (последовательность чисел -
-
1 1
1 1
, ,
, ,) 

 не имеет предела. Следовательно, lim cos
n
x
®Ґ

1  не существует.

Пример 1.7. Покажем, что функция f x
x
( ) = sin 1  не имеет 

предела при x ® 0 .

Заметим, что D f( ) =
{ }
R \ 0 . Точка x0 = 0 является предель-

ной для D (f).

Рассмотрим две последовательности:

ў =
®
® Ґ
x
n
n
n

1
0
p
,
, для нее f x
n
nў
(
) =
=
sin p
0 , 

ўў =
+

®
® Ґ
x
n
n
n

1

2
2
0
p
p
,
, для нее f x
n
nўў
(
) =
+
ж
из
ц
шч =
sin p
p
2
2
1.

Итак, предела (по Гейне) не существует.

Теорема 1 (Критерий Гейне)
Определение предела функции по Коши и определе-

ние предела функции по Гейне эквивалентны.
Доказательство. Необходимость. Пусть существует предел 

функции по Коши: lim
( )
x
x f x
A
®
=

0
. Возьмем произвольную по-

следовательность 
xn
(
) , 
x
X
x
n О
{ }
\
0  и 
lim
n
n
x
x

®Ґ
=
0 . Т. к. 

lim
( )
x
x f x
A
®
=

0
, то по заданному e > 0  найдем d = d (e) > 0, такое 

что для всех х, удовлетворяющих условию 0
0
<
-
<
x
x
d,  вы-

Глава 1. Предел функции одной переменной 

9

полняется неравенство 
f x
A
( )-
< e . Так как lim
n
n
x
x

®Ґ
=
0 , 

то по найденному δ > 0 можно найти N
N
N
=
( ) =
( )О
(
)
d
d e
N  

такое, что " >
-
<
n
N
x
x
n
0
d . Но тогда для этих n имеем 

f x
A
n
(
)-
< e , т. е. lim
n
n
f x
A
®Ґ
(
) =
. Таким образом, сходимость 

по Гейне доказана.

Достаточность. Предположим противное: пусть сущест-

вует предел функции по Гейне lim
( )
x
x f x
A
®
=

0
, но не по Коши. 

Это означает, что $ e0>0, такое что для " d > 0 найдется ўО
x
X ,  

такое что 0
0
0
<
ў-
<
(
) Щ
ў -
і
(
)
x
x
f x
A
d
e
(
)
. Пусть d =
О
1
n
n
,
N . 

Тогда 
для 
каждого 
n  
найдем 
точку 
x
X
n О

0
1

0
0
<
-
<
ж
из
ц
шч Щ
-
і
(
)
x
x
n
f x
A
n
n
(
)
e
. Заметим, что неравен- 

ство 
x
x
n
x
n
x
x
n
x
x
n
n
n
-
<
Ы
-
<
<
+
№
0
0
0
0

1
1
1 ,
. 
Так 
как 

lim
lim
n
n
x
n
x
n
x
®Ґ
®Ґ
-
ж
из
ц
шч =
+
ж
из
ц
шч =
0
0
0

1
1
, то по теореме 5 о пределе про-

межуточной последовательности [13, с. 61] получаем 
lim
,
n
n
n
x
x
x
x

®Ґ
=
№
0
0 . 
Поэтому, 
по 
определению 
Гейне, 

lim
n
n
f x
A
®Ґ
(
) =
, но по построению f x
A
n
(
)-
і e0 , что противо-

речит тому, что число A  является пределом функции f 
по Гейне.

1.2. Предел функции в бесконечности

Пусть f
X
:
® R , множество X  не ограничено (не ограни-

чено сверху, не ограничено снизу), x0 = Ґ  ( x0 = +Ґ, x0 = -Ґ ). 
Будем считать x0 обобщенной предельной точкой множест-
ва X. Пусть AОR .

Определение

A
f x
x
X
x
f x
A
x
=
(
) = " >
$
=
( ) >
" О
>
Ю
-
<
(
)
(
)
®Ґ
lim
( ) :
( )
e
e
e
0
0
D
D
D
 — 

предел функции по Коши.

МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

A
f x
x
X
x
f x
A
x
n
n
n
n
n
=
(
) = "(
)О
= Ґ Ю
(
) =
(
)
®Ґ
®Ґ
®Ґ
lim
( ) :
lim
lim
 
— 

предел функции по Гейне.

Аналогично 

A
f x
x
X
x
f x
A
x
=
(
) = " >
$
=
( )О
" О
>
Ю
-
<
(
)
(
)
®+Ґ
lim
( ) :
( )
e
e
e
0
D
D
D
R
, 

A
f x
x
X
x
f x
A
x
=
(
) = " >
$
=
( )О
" О
<
Ю
-
<
(
)
(
)
®-Ґ
lim
( ) :
( )
e
e
e
0
D
D
D
R
.

Упражнение. Записать последние два определения предела 

функции по Гейне.

Замечание. lim
( )
x
f x

®+Ґ
, вообще говоря, может не совпадать с 

lim
( )
x
f x

®-Ґ
.

Так, lim
, lim
x
x
x
x

®+Ґ
®-Ґ
=
= -
arctg
arctg
p
p
2
2 .

Геометрическая иллюстрация предела функции в бесконечности

На рис. 1.5 D і
{
}
max
,
x
x
1
2 . Для "
>
Ю
( )-
<
x
x
f x
A
:
D
e . 

Иначе: " >
$
=
( ) >
" О
Ґ
( ) Ю
( )О
( )
(
)
e
e
e
0
0
D
D
D
x
X
O
f x
O
A

.

Прямая y
A
=
 является горизонтальной асимптотой графика 
функции.

у

e
+
A

D
-
1x  
x
x
D
=
2
 

A
y =

)
(x
f

e
-
A

x

Рис. 1.5. Геометрическая иллюстрация предела функции  

в бесконечности