Системы счисления и представление чисел в ЭВМ

Министерство образования и науки Российской Федерации 

Уральский федеральный университет 

имени первого Президента России Б. Н. Ельцина 

А. П. Шаманов 

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ  

И ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЧИСЕЛ В ЭВМ 

Учебное пособие 

Рекомендовано методическим советом УрФУ для студентов,  

обучающихся по направлениям подготовки  

38.03.05 «Бизнес-информатика»,  

09.03.03 «Прикладная информатика»,  

38.03.01 «Экономика», 38.03.02 «Менеджмент»,  

38.05.01 «Экономическая безопасность»,  

38.05.02 «Таможенное дело» 

Екатеринбург 

Издательство Уральского университета 

2016 

УДК 511.11:004.4(075.8) 
ББК 22.131я73 + 32.972я73 
         Ш19 

Рецензенты:
заведующий сектором канд. физ.-мат. наук Д. Г. Ермаков (Институт 
математики и механики им. Н. Н. Красовского УрО РАН);
заведующий кафедрой «Информационные технологии и математическое 
моделирование» проф., д-р физ.-мат. наук А. Н. Кра‑
совский (Уральский государственный аграрный университет)

Ш19

Шаманов, А. П.
Системы счисления и представление чисел в ЭВМ : 
учебное пособие / А. П. Шаманов. — Екатеринбург : Изд-
во Урал. ун-та, 2016. — 52 с.
ISBN 978-5-7996-1719-6

В данном пособии дано описание позиционных систем счисления, 

показаны правила выполнения арифметических операций, описаны 
методы перевода чисел из одной системы счисления в другую, показано 
представление как целых, так и дробных чисел. Помимо этого 
рассмотрены методы представления числовой информации в ЭВМ.

Пособие предназначено в качестве дополнительного источника для 

студентов практически всех специальностей, изучающих курсы дисциплин «
Информатика» или «Архитектура ЭВМ».

Библиогр.: 10 назв. Табл. 10. Рис. 1.

УДК 511.11:004.4(075.8) 
ББК 22.131я73 + 32.972я73 

ISBN 978-5-7996-1719-6
© Уральский федеральный  
     университет, 2016

ВВЕДЕНИЕ 

С

овременный компьютер и другие устройства вычислительной 
техники основаны на использовании двоичной 

системы счисления. В двоичной системе счисления используется 
всего два символа — 0 и 1, а записи, сформированные из них, 
достаточно длинны и достаточно плохо воспринимаются человеком. 
Для их интерпретации используется шестнадцатеричная 
система, записи которой значительно короче и легче воспринимаются 
человеком. Перевод же из шестнадцатеричной системы 
в двоичную и наоборот весьма прост и нагляден, и при описании 
устройств вычислительной техники везде, где это возможно, ис-
пользуется шестнадцатеричная система счисления. Поэтому для 
правильного понимания работы вычислительных систем необ-
ходимо знание двоичной и шестнадцатеричной систем счисле-
ния. И уж тем более оно необходимо при написании програм-
мных продуктов.

1. СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 

1.1. Понятие системы счисления 
П

редставление целых положительных чисел с помощью 
письменных знаков (символов) называется нумераци-

ей. Письменные знаки (символы), используемые при нумера-
ции, называются цифрами. Необходимо четко делать различие 
между числом и символом (группой символов), которым поль-
зуются для его письменного воспроизведения. Например, с од-
ной стороны, для изображения числа «пять» могут использовать-
ся цифра 5 (десятичная система нумерации), цифра V (римская 
система нумерации) или группа символов 101 (двоичная сис-
тема нумерации). С другой стороны, группа символов 10 мо-
жет обозначать число «десять» в десятичной системе или число 
2 в двоичной системе. Иными словами, значение символа за-
висит от системы нумерации и его положения в записи, тогда 
как с числом всегда связана определенная количественная ха-
рактеристика.

Совокупность правил записи чисел (способ соединения цифр 

для обозначения числа) называется системой счисления. Систе-
мы счисления подразделяются на позиционные и непозиционные.

| 5 |

Непозиционные системы счисления возникли раньше по-

зиционных. Они характеризуются тем, что в них символы, обо-
значающие то или иное число, не меняют своего значения в за-
висимости от своего местоположения в записи этого числа. 
Классическим примером такой системы является римская си-
стема счисления. В ней для записи чисел используются буквы 
латинского алфавита. Значения основных цифр римской сис-
темы приведены ниже:
I — единица, V — пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — 
пятьсот, M — тысяча.

Для получения количественного эквивалента числа в рим-

ской системе необходимо просто сложить количественные экви-
валенты входящих в него цифр. Исключение составляет случай, 
когда младшая цифра стоит перед старшей — в такой ситауции 
количественный эквивалент младшей цифры берут со знаком 
«минус». Некоторые примеры чисел в римской системе счисле-
ния и их десятичные эквиваленты приведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1 

Некоторые числа в римской системе счисления 

Число в римской системе
Значение в десятичной системе

 III
1 + 1 + 1 = 3

 IV
5–1 = 4

 XII
10 + 1 + 1 = 12

 XLV
–10 + 50 + 5 = 45

 CDXVIII
–100 + 500 + 10 + 5 + 1 + 1 + 1 = 418

 MMDXCVII
1000 + 1000 + 500 – 10 + 100 + 5 + 1 + 1 = 2597

Непозиционные системы счисления имеют два существен-

ных недостатка:

• с увеличением изображаемых чисел требуется неограни-

ченное число новых символов;

| 6 |

• процедура выполнения арифметических операций в та-

ких системах счисления чрезвычайно сложна.

Поэтому в настоящее время непозиционные системы счи-

сления практически не используются.

1.2. Позиционные системы счисления 

Позиционные системы счисления характеризуются следую-

щими понятиями:

• Для записи любого числа используется ограниченный на-

бор символов. Число используемых символов называется 
основанием позиционной системы счисления.

• Устанавливается взаимно-однозначное соответствие 

между набором цифр и числами натурального ряда 0, 1, ..., 
p — 1, где p — основание системы счисления. Таким обра-
зом, численный эквивалент любой цифры меньше осно-
вания системы счисления.

• Место каждой цифры в числе называется позицией (отсю-

да, собственно, название таких систем — позиционные).

• Номер позиции цифры в числе называется разрядом. Ну-

мерация разрядов начинается с нуля и выполняется спра-
ва налево. Разряд 0 называется младшим разрядом.

• Каждой цифре, в зависимости от ее позиции, ставится 

в соответствие количественный эквивалент, определяе-
мый по формуле 

 
αk = ak pk,  
(1.1) 

где αk — количественный эквивалент цифры, находящейся  
                     в позиции k;

ak — численный эквивалент цифры, находящейся в разряде k;
p — основание системы счисления;
k — номер позиции цифры (ее разряд).

| 7 |

• Само значение числа (его количественный эквивалент) 

определяется как сумма вычисленных по формуле (1.1) 
количественных эквивалентов всех цифр, входящих в за-
пись числа.

• Для выполнения операции сложения каждой паре чисел, 

каждое из которых соотносится с какой-либо одной циф-
рой, ставится в соответствие число, являющееся результа-
том их сложения. Аналогично, для выполнения операции 
умножения каждой такой паре чисел ставится в соответ-
ствие число, являющееся результатом их умножения. Эти 
соответствия оформляются в виде таблицы сложения и та-
блицы умножения.

Таким образом, любое целое положительное число может 

быть представлено в виде 

 
an‑1an‑2 … a1a0 =  an‑1 pn‑1 +  an‑2 pn‑ 2 +  …  +  a1 p 1 +  a0 p 0,  
(1.2) 

где ai — цифра данной системы счисления (0 ≤ ai <p);

n — число разрядов при написании числа;
p — основание системы счисления (некоторое положительное 

              целое число).

В качестве основания системы счисления может быть ис-

пользовано любое натуральное число p>1. При заданном осно-
вании системы счисления p каждому натуральному числу со-
ответствует единственное представление вида (1.2) и каждому 
представлению вида (1.2) соответствует единственное натураль-
ное число. Естественно, при этом лидирующие нули не учиты-
ваются, например 000655 и 655 — это эквивалентные записи од-
ного и того же числа.

Проиллюстрируем сказанное на привычной нам десятич-

ной системе. Набор цифр для десятичной системы счисления: 
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Основание системы p = 10. Любое чи-
сло в десятичной системе согласно формуле (1.2) представля-
ется в виде 

| 8 |

A10 = an‑1an‑2… a1a0 = an‑1 ∙ 10n-1 + an‑2 ∙ 10n‑2 + … + a1 ∙ 10 1 + a0 ∙ 10 0,

где каждое ai — одна из цифр множества {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Например, 
625 = 6 ∙ 10 2  +  2 ∙ 10 1  + 5 ∙ 10 0  =  6 ∙ 100 + 2 ∙ 10 + 5 

или 

1309 = 1 ∙ 10 3 + 3 ∙ 10 2 + 0 ∙ 10 1 + 9 ∙ 10 0  = 1000 + 3 ∙ 100 + 9.

Таблицы умножения и сложения чисел и выполнение ариф-

метических операций в десятичной системе известны с началь-
ной школы и здесь не приводятся.

Далее мы будем рассматривать три системы счисления: дво-

ичную, десятичную и шестнадцатеричную. Это вызвано следу-
ющим:

• компьютер работает только с двоичной информацией;
• человек производит вычисления, используя десятичную 

систему;

• двоичная информация плохо воспринимается человеком, 

для ее интерпретации удобнее использовать шестнадца-
теричную систему.

1.3. Двоичная система счисления 

Набор цифр для двоичной системы счисления: {0, 1}. Осно-

вание системы p = 2. Любое число в двоичной системе представ-
ляет собой последовательность нулей и единиц. Для того что-
бы подчеркнуть, что это именно двоичная запись, в конце числа 
можно (но не обязательно) поставить нижний индекс 2 или сим-
вол b (от английского binary — «двоичный»). Последнее обозна-
чение является обязательным при задании двоичных констант 
на языке Assembler. Например, 

| 9 |

5 = 1012 = 101b

или 

1025 = 100000000012 = 10000000001b.

Согласно формуле (1.2) число в двоичной системе представ-

ляется в виде 

 
A2 = an‑1an‑2 … a1a0 = an‑1 ∙ 2n‑1 + an‑2 ∙ 2n‑2 + … + a1 ∙ 21 + a0 ∙ 20,  (1.3) 

где каждое ai — одна из цифр 0 или 1.

Например, 
1012 = 1 ∙ 22  +  0 ∙ 21  + 1 ∙ 20  =  1 ∙ 4 + 1 

или 

101002 = 1 ∙ 24 + 0 ∙ 23 + 1 ∙ 22  + 0 ∙ 21 + 0 ∙ 20  = 1 ∙ 16 + 1 ∙ 4 = 20.

В формуле (1.3) разложение двоичного числа по степеням 

«двойки» выполнено в десятичной системе. То же самое разло-
жение можно записать, используя только цифры двоичной си-
стемы 

 
A2 = an‑1… a2a1a0 =  (an-1 ∙ 10n-1 + … + a2 ∙ 10 10 + a1 ∙ 10 1 + a0 ∙ 10 0)2.  (1.4) 

Те же самые числа при использовании выражения (1.4) бу-

дут выглядеть следующим образом:

1012 =  (1 ∙ 10 10 + 0 ∙ 10 1 + 1 ∙ 10 0)2 

и 

101002 =  (1 ∙ 10 100 + 0 ∙ 10 11 + 1 ∙ 10 10 + 0 ∙ 10 1 + 0 ∙ 10 0)2.
Таблицы умножения и сложения чисел и арифметические 

операции в двоичной системе счисления выполняются подоб-
но тому, как это делается в десятичной системе, с той лишь раз-
ницей, что при этом используются свои таблицы умножения 
и сложения (табл. 1.2).

| 10 |

Таблица 1.2 

Таблицы сложения и умножения двоичных чисел 

 Таблица
сложения

 Таблица

умножения

 0
 1
 0
 1

 0
 0
 1
 0
 0
 0

 1
 1
10
 1
 0
 1

 

Все арифметические операции могут выполняться столби-

ком.

Пример 1.1. Сложить числа 101 и 11011.
Решение:

1 0 1  = 
5

 + 

1 1 0 1 1  = 2 7
- - - - -
- -

1 0 0 0 0  = 3 2

 

Пример 1.2. Умножить числа 101 и 11011.
Решение:

1 1 0
1
1  = 
2 7

×

1
0
1  = 
5

¯
¯ ¯ ¯
¯
¯
¯ ¯ ¯

1 1 0
1
1
1 3 5

1 1
0 1 1

¯ ¯ ¯
¯ ¯ ¯
¯
¯
¯ ¯ ¯

1 0 0
0 0 1
1
1  = 1 3 5