Типовые математические схемы моделирования. Примеры и задачи

Министерство образования и науки Российской Федерации
Уральский федеральный университет
имени первого Президента России Б. Н. Ельцина

Л. П. Мохрачева

ТИПОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ 
СХЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ. 
ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ

Учебное пособие

Рекомендовано методическим советом
Уральского федерального университета
для студентов направления подготовки 
08.04.01 — Строительство

Екатеринбург
Издательство Уральского университета
2018

УДК 510.67(075.8)
ББК 22.12я73
          М86
Рецензенты:
М. П. Кащенко, д‑р физ.‑мат. наук, проф., завкафедрой физики 
Уральского государственного лесотехнического университета;
А. П. Танкеев, д‑р физ.‑мат. наук, проф., главный научный сотруд‑
ник ИФМ УрО РАН

Научный редактор — С. И. Тарлинский, канд. физ.‑мат. наук, доц. 
кафедры высшей математики ИнФО УрФУ

 
Мохрачева, Л. П.
М86    Типовые математические схемы моделирования. Примеры и за‑
дачи : учебное пособие / Л. П. Мохрачева. — Екатеринбург : Изд‑во 
Урал. ун‑та, 2018. — 144 с.

ISBN 978‑5‑7996‑2362‑3

Рассмотрены математические схемы некоторых детерминированных 
и стохастических математических моделей. Для каждой из схем приведе‑
ны примеры математических моделей из различных предметных областей 
и их решения. Использованы аналитические и численные методы получе‑
ния результатов. Представлены компьютерные программы для численных 
расчетов и задачи для самоконтроля.

Библиогр.: 13 назв. Рис. 21. Табл. 14. Прил. 1.

УДК 510.67(075.8)
ББК 22.12я73

ISBN 978‑5‑7996‑2362‑3 
© Уральский федеральный
 
     университет, 2018

Предисловие

Н

астоящее пособие предназначено для первоначально‑
го знакомства с математическими методами модели‑
рования. Объем пособия соответствует семестрово‑
му курсу «Методы математического моделирования» (18 часов 
лекций и 18 часов практических занятий), который читается 
автором магистрантам строительного института, обучающим‑
ся по различным образовательным программам.
Ограниченный объем курса стал причиной выбора только 
нескольких типовых математических схем, знакомство с ко‑
торыми может представлять практическую ценность для маги‑
странтов. Ориентация на практическое использование знаний 
и навыков, которые могут быть получены при изучении кур‑
са, определяет структуру изложения материала в пособии. Из‑
учение типовых моделей происходит в следующей последова‑
тельности:
1) знакомство с математическим аппаратом, использован‑
ным для описания модели;
2) изучение методов решения математической модели;
3) программная реализация алгоритмов решения в рамках 
доступных математических пакетов;
4) анализ полученных результатов и планирование вычис‑
лительного эксперимента.

Предисловие

В пособии представлены примеры конкретных расчетов для 
непрерывных и дискретных детерминированных моделей, неко‑
торых моделей оптимизации, непрерывных стохастических мо‑
делей, а также статистических регрессионных моделей.
В конце каждого раздела приведены задачи для самокон‑
троля.
Автор надеется, что пособие будет полезным студентам и ма‑
гистрантам при изучении и практическом применении мето‑
дов математического моделирования в различных предметных 
областях.

1. Понятие математической модели.  
Некоторые типовые схемы математического 
моделирования

1.1. Формальная математическая модель  
объекта моделирования

Рассмотрим схему

 

Y(y1, y2, ..., yn)     
 
       
H(h1, h2, ..., hm)

V(v1, v2, ..., vl)

X(x1, x2, ..., xk),

где прямоугольником обозначен объект (процесс) моделирова‑
ния, X x
x
xk
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) — множество внешних воздействий на мо‑
делируемый объект, V v
v
vl
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) — множество воздействий 
внешней среды, H h
h
hm
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) — множество внутренних со‑
стояний объекта, Y y
y
yn
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) — множество выходных пара‑
метров (реакций) моделируемого объекта. Обычно множество 
внешних воздействий X x
x
xk
1
2
,
, ...,
 
 
 
(
) содержит управляемые па‑
раметры. Однако в общем случае все множества Х, Y, V, H могут 
содержать как детерминированные, так и стохастические пере‑
менные. Рассматривая эти множества как некоторые формаль‑
ные векторы 





X
V
H
Y
,
,
,
 
 
 
, запишем равенство 





Y
F X
V
H t
=
(
,
,
, )
 
 
 , 
где t — время, F — некоторый оператор, определение структуры 
которого и является целью моделирования. Приведенное выше 
равенство является формальной математической моделью. Если 

1. Понятие математической модели. Некоторые типовые схемы математического моделирования 

в нем отсутствует время, то модель называется статической, в от‑
личие от приведенной выше динамической модели. Структура 
оператора F может быть аналитической, численной или стати‑
стической. В связи с этим математические модели можно разде‑
лить на аналитические, численные и статистические.

1.2. Общая схема создания  
математической модели и работы с ней

Математическая модель создается на основе содержательной 
модели, которая отражает существенные свойства моделируе‑
мого объекта или процесса и содержит описание входных па‑
раметров (управляемых или стохастических), внутренних па‑
раметров и выходных параметров. Создание математической 
модели происходит путем формализации содержательной моде‑
ли в виде уравнений, систем уравнений различных видов, нера‑
венств или отношений. На этом этапе можно использовать ти‑
повые математические схемы моделирования.
Дальнейшая работа с созданной моделью содержит:
1) ее качественный анализ с целью разработки методов ре‑
шения или возможных упрощений, а также тестирования для 
частных случаев с использованием точных решений;
2) обоснование выбора конкретного алгоритма для получе‑
ния количественных результатов, в том числе обязательно оцен‑
ку точности вычислительного метода.
Реализация выбранных численных методов требует создания 
компьютерных программ. Для не слишком сложных моделей 
тексты этих программ можно получить с использованием ма‑
тематических пакетов, таких как MathCAD или Mathematica.
Наличие конкретных компьютерных программ делает воз‑
можным проведение вычислительного эксперимента, целью ко‑
торого является проверка адекватности данной модели и полу‑
чение дополнительной информации.

1.3. Типовые математические схемы моделирования

1.3. Типовые математические схемы моделирования

В пособии рассматриваются следующие типовые математи‑
ческие схемы моделирования:
1) непрерывно‑детерминированные D‑схемы. Эти схемы 
применяются для описания различных моделей в теории уп‑ 
равления. Математической моделью является задача Коши для 
обыкновенного дифференциального уравнения или системы 
обыкновенных дифференциальных уравнений, а также уравне‑
ний в частных производных с различными начальными и крае‑
выми условиями. В моделях оптимального управления и неко‑
торых других моделях оптимизации решения находятся при 
ограничениях на функции, которые имеют линейный, нели‑
нейный или дифференциальный характер;
2) дискретно‑детерминированные F‑схемы (конечные авто‑
маты). С помощью этих схем описываются модели устройств 
контроля и управления, имеющие дискретный характер работы 
во времени. Математическая модель состоит из задания началь‑
ного состояния автомата и из уравнений, задающих значения 
выходных параметров в данный момент времени в зависимо‑
сти от значений входных параметров и внутренних состояний 
в данный или предшествующий моменты. Вместо уравнений 
могут быть использованы таблицы или графы;
3) стохастические модели. В стохастических моделях все или 
часть переменных множеств Х, Y, Н являются случайными ве‑
личинами. В пособии рассматриваются модели регрессионного 
типа, имеющие большое значение при статистическом анализе 
наблюдений и непрерывно‑стохастические модели (Q‑схемы), 
которые применяются для описания систем массового обслу‑
живания.

2. Непрерывно‑детерминированные схемы 
математического моделирования (D‑схемы)

2.1. Эволюционные модели
П

римерами использования этих схем могут служить мо‑
дели эволюции биологических систем, статические 
и динамические модели математической физики, 
а также модели процессов в конкретных предметных областях 
и некоторые модели оптимизации (например, оптимального 
управления). Модели оптимизации будут рассмотрены в сле‑
дующем разделе.

ПРИМЕР 1. Простейшей эволюционной моделью является 
модель динамики популяции (модель Мальтуса).

Математическая модель

Математической моделью является задача Коши для линей‑
ного дифференциального уравнения первого порядка 

 
dN t
dt
t
t
N t
N
N
( )
,
,
=
( )- ( )
(
)
( )
( ) =
a
b
0
0  

где N t( ) — численность популяции, a t( ) — коэффициент раз‑
множения, b t( ) — коэффициент смертности. Данное уравнение 
допускает разделение переменных.

2.1. Эволюционные модели

Решение

Разделяем переменные dN t

N t
t
t
dt
( )
.
( )

=
( )- ( )
(
)
a
b
 Интегрируя 

правую и левую части уравнения, получаем общий интеграл

 
dN t
N t
N t
t
t
dt
C
C
( )
ln
ln
,
.
( )

=
( ) =
( )- ( )
(
)
+
№
т
т a
b
0

Таким образом, общее решение имеет вид 

 
N t
Ce
t
t
dt
( ) =
т
( )- ( )
(
)
a
b
. 

Из начального условия следует 

 
N
Ce
t
t
dt
t

0

0
=
т
( )- ( )
(
)

=
a
b

 и C
N e
t
t
dt
t
=
т
-
( )- ( )
(
)

=

0

0
a
b
. 

Если коэффициенты a t( ) и b t( ) являются константами, то ре‑
шение имеет вид 
 
N t
N e

t
( ) =
-
(
)
0
a b .

Анализ результата

Если a
b
> , то численность популяции неограниченно возрас‑
тает. При a
b
<  численность снижается, и при a
b
=  численность 
остается постоянной. Если коэффициенты a t( ) и b t( ) зависят 
от времени, то картина может быть существенно иной. Напри‑

мер, если a t
t
( ) = cos ,  b
p
t
t
( ) =
+
ж
из

ц
шч
sin
,
4
 то решение имеет вид 

 
N t
N e

t
t
( ) =

-
+
ж
из

ц
шч+
ж
из

ц
шч

0
4
4
sin
cos
cos

.

p
p

На рис. 2.1 представлен характер этой зависимости при 

N 0
50
=
.