Теория вероятностей и математическая статистика

ТЕОРИЯ 

ВЕРОЯТНОСТЕЙ 

И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ 

СТАТИСТИКА

Е.А. КОГАН
А.А. ЮРЧЕНКО

Москва

ИНФРА-М

202УЧЕБНИК

Рекомендовано Межрегиональным учебно-методическим советом 

профессионального образования в качестве учебника для студентов 

высших учебных заведений, обучающихся по направлениям подготовки 15.03.01 

«Машиностроение», 38.03.01 «Экономика» 

(протокол № 8 от 29.04.2019)

УДК 519.2(075.8)
ББК 22.171:22.172я73
 
К57

Р е ц е н з е н т ы :

Куликов Г.М., доктор физико-математических наук, профессор, профессор 
Тамбовского государственного технического университета;

Толмачев П.И., доктор экономических наук, профессор, заведующий 
кафедрой мировой экономики Дипломатической академии 
Министерства иностранных дел Российской Федерации

ISBN 978-5-16-014235-7 (print)
ISBN 978-5-16-106292-0 (online)
© Коган Е.А., Юрченко А.А., 2019

Коган Е.А.

К57  
Теория вероятностей и математическая статистика : учебник / 

Е.А. Коган, А.А. Юрченко. — Москва : ИНФРА-М, 2023. — 250 с. — 
(Высшее образование: Бакалавриат). — DOI 10.12737/textbook_5cde5
4d3671a96.35212605.

ISBN 978-5-16-014235-7 (print)
ISBN 978-5-16-106292-0 (online)
Учебник написан в соответствии с типовой программой курса «Теория 
вероятностей и математическая статистика». Дано систематическое 
изложение основных разделов элементарного курса теории вероятностей 
и математической статистики, посвященных случайным событиям, одно-
мерным и двумерным случайным величинам и законам их распределения, 
предельным теоремам теории вероятностей. Рассмотрены понятия и методы 
математической статистики, наиболее часто используемые при статистической 
обработке опытных данных. Приведено большое количество 
типовых задач и задач для самостоятельного решения.

Соответствует требованиям федеральных государственных образовательных 
стандартов высшего образования последнего поколения.

Для студентов различных направлений подготовки в области гуманитарных 
и естественных наук. Может быть использован студентами для самостоятельной 
работы и преподавателями для проведения практических 
занятий.

УДК 519.2(075.8)

ББК 22.171:22.172я73

Предисловие

Учебное пособие написано в соответствии с типовой программой 
дисциплины «Теория вероятностей и математическая 
статистика» и предназначено для студентов, обучающихся прежде 
всего по направлениям подготовки 15.03.01 «Машиностроение», 
38.03.01 «Экономика», а также может использоваться для других 
направлений подготовки в вузах различного профиля.
К основным целям освоения дисциплины «Теория вероятностей 
и математическая статистика» следует отнести:
 
• воспитание у студентов общей математической культуры;
 
• развитие способности студентов к индуктивному и дедуктив-
ному мышлению наряду с развитием логики и математической 
интуиции;
 
• умение студентами развивать навыки самостоятельного 
изучения учебной и научной литературы, содержащей матема-
тические сведения и результаты;
 
• формирование у студентов требуемого набора компетенций, со-
ответствующих его направлению подготовки и обеспечивающих 
его конкурентоспособность на рынке труда.
Основными задачами освоения дисциплины «Теория вероят-
ностей и математическая статистика» являются:
 
• освоение студентами основных понятий, вероятностных мо-
делей и методов, формирующих общую математическую подго-
товку, необходимую для успешного решения прикладных задач;
 
• подготовку студентов к профессио нальной деятельности в со-
ответствии с квалификационной характеристикой бакалавра 
по направлению.
Следует иметь в виду, что дисциплина «Теория вероятностей 
и математическая статистика» взаимосвязана логически и содер-
жательно-методически со многими дисциплинами базовой и вари-
ативной частей образовательных программ: с дискретной матема-
тикой, физикой, надежностью технических систем, метрологией, 
стандартизацией и сертификацией, моделированием систем массо-
вого обслуживания, экономикой и менеджментом, с исследованием 
операций и методами оптимизации и др. Поэтому в результате 
освоения курса студент должен:
знать
 
• основные теоретические понятия, предусмотренные программой 
курса (понятие случайного события и различные определения 

вероятности появления случайного события, связь и различие 
между ними, основные теоремы теории вероятностей и след-
ствия из них, понятие случайной величины и основные законы 
распределения, числовые и функцио нальные характеристики 
случайной величины, предельные теоремы теории вероятностей, 
понятие о выборочном методе в статистике, построение точечных 
и интервальных оценок случайной величины, постановку и ме-
тоды решения задачи оценки правдоподобия статистических 
гипотез, элемен ты корреляционного и регрессионного анализа);
уметь
 
• применять понятия, модели и методы теории вероятностей и математической 
статистики к решению стандартных прикладных 
задач;
владеть
 
• методикой корректного применения вероятностно-статистических 
методов для решения профессио нальных задач.
В некоторых учебных курсах, например в [8, 13] и др., содержится 
строгое изложение теории вероятностей и математической 
статистики на теоретико-множественной основе. Другой распространенный 
возможный подход, более наглядный и доступный студентам 
технических и гуманитарных вузов, которого придерживаются 
авторы данного учебника, состоит в определении основных понятий 
теории вероятностей и математической статистики в рамках 
так называемой элементарной теории вероятностей (в которой 
предполагается, что каждое испытание может заканчиваться только 
одним из исходов или, как говорят, одним из элементарных событий). 
Такое изложение принято, например, в широко известных 
учебных пособиях Е.С. Вентцель и В.Е. Гмурмана [1–3, 6–7].
Учебник написан на основании многолетнего опыта чтения 
лекций по данному курсу и апробирования ранее издававшихся 
учебно-методических материалов для студентов МАМИ (ныне — 
Московский политехнический университет) и Дипломатической 
академии МИД России.
Отличительной чертой учебника является максимальное приближение 
излагаемого материала к лекционным и практическим 
занятиям. Поэтому рассмотрение основных понятий и методов 
сопровождается большим количеством подробно разобранных иллюстративных 
примеров решения различных типовых задач, отражающих 
специфику специальностей политехнического университета. 
Также в большом объеме приведены дополнительные задачи 
разных типов для самостоятельного решения и необходимые справочные 
сведения. Учебник представляет собой полный замкнутый 

курс, содержащий одновременно всю минимально необходимую 
информацию для практического освоения дисциплины и приобретения 
нужных компетенций. По этой причине он может быть использован 
одновременно и студентами для самостоятельной работы, 
и преподавателями для проведения практических занятий.

Раздел I. 
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Предметом теории вероятностей является изучение закономер-
ностей, проявляющихся в массовых однородных случайных явле-
ниях.
Систематическое исследование задач, относящихся к массовым 
однородным случайным явлениям, и зарождение теории вероят-
ностей как математической дисциплины относится к XVI–XVII вв. 
и связано прежде всего с попытками создания теории азартных игр. 
Они оказались исключительно наглядной моделью случайных яв-
лений, и именно им были посвящены работы Джеронимо Кардано 
(1501–1576), Христиана Гюйгенса (1629–1695), Блеза Паскаля 
(1623–1662), Пьера Ферма (1601–1665) и др.
В последующие два века теория вероятностей применялась 
главным образом для создания теории страхования, теории ошибок 
наблюдений, теории стрельбы, для решения задач статистики наро-
донаселения.
Выдающаяся роль в развитии теории вероятностей в этот пе-
риод принадлежит таким крупнейшим математикам, как Якоб Бер-
нулли (1654–1705), Абрахам де Муавр (1667–1754), Пьер Симон 
Лаплас (1749–1827), Карл Гаусс (1777–1855), Симеон Пуассон 
(1781–1840).
Огромный вклад в развитие теории вероятностей в XIX–XX вв. 
и превращение ее в строгую математическую дисциплину внесен 
математиками знаменитой Петербургской математической школы: 
П.Л. Чебышёвым (1821–1894), А.А. Марковым (1856–1922), 
А.М. Ляпуновым (1857–1918) и позднее С.Н. Бернштейном (1880–
1968), А.Я. Хинчиным (1894–1959), А.Н. Колмогоровым (1903–
1987), Б.В. Гнеденко (1912–1995) и др.
Область применения вероятностных и статистических методов 
на современном этапе развития науки и общества необычайно ши-
рока. Эти методы применяются в теоретической физике, особенно 
в ядерной физике и квантовой механике (где изучаемые закономер-
ности объективно носят вероятностный характер), в метеорологии, 
в статистической теории радиосвязи, в теории надежности, в теории 
автоматического регулирования, при планировании и организации 
производства, при контроле качества продукции и др. К традици-
онным областям применения теории вероятностей и математи-

ческой статистики в естественных науках и в технике добавились 
вероятностные и статистические задачи из области лингвистики, 
социологии, экономики, управления и других наук.
Поэтому изучение основных понятий и методов теории веро-
ятностей и математической статистики является обязательной со-
ставной частью общеобразовательной математической подготовки.

Глава 1. 
СЛУЧАЙНЫЕ СОБЫТИЯ

Теория вероятностей занимается изучением закономерностей, 
проявляющихся в массовых однородных случайных явлениях (со-
бытиях).
Событием вообще называют качественный или количественный 
результат опыта, осуществленного при определенной совокупности 
условий. Различают события достоверные, невозможные и случайные.
Событие называется достоверным, если оно при осуществлении 
определенной совокупности условий произойдет обязательно, и не-
возможным, если оно заведомо не может произойти.
Случайным называют событие, которое при осуществлении 
определенной совокупности условий может либо произойти, либо 
не произойти.
Случайные события могут быть несовместными, совместными, 
равновозможными, зависимыми и независимыми. Они могут быть 
подразделены также на элементарные (простые, неразложимые) 
и сложные (разложимые на простые).
Случайные события называются несовместными, если появ-
ление одного из них исключает появление других событий в том же 
опыте.
События называются равновозможными, если есть все осно-
вания считать, что ни одно из них не является более возможным, 
чем другое. Практически о равновозможности событий можно 
судить по тому, соблюдаются ли в опыте условия симметрии. 
Пусть, например, опыт сводится к подбрасыванию монеты. Если 
монета правильной круглой формы и выполнена из однородного 
материала, так, что геометрический центр симметрии монеты со-
впадает с центром масс, если монета подброшена строго верти-
кально вверх и падает на идеально гладкую поверхность и т.п., 
то нет никаких оснований предпочесть выпадение герба выпа-
дению решки. Оба возможных исхода испытания можно считать 
равновозможными.
Несколько случайных событий образуют полную группу, если 
в результате испытания произойдет хотя бы одно из них. Если со-
бытия, образующие полную группу, попарно несовместны, то в ре-
зультате испытания появится только одно из них. Следовательно, 
если события образуют полную группу, то появление хотя бы од-
ного из них есть достоверное событие.

Например, если испытание состоит в проверке двух лотерейных 
билетов, то возможны четыре исхода: оба билета оказались проиг-
рышными, на первый билет выпал выигрыш, а второй билет ока-
зался проигрышным, наоборот — первый билет проигрышный, 
а на второй — выпал выигрыш, оба билета оказались выигрыш-
ными. Эти четыре возможных исхода полностью описывают си-
туацию, связанную с проверкой двух лотерейных билетов, и обра-
зуют полную группу событий. Одно из них (заранее неизвестно, 
какое именно) произойдет обязательно.
Чтобы сравнивать случайные события между собой по степени 
возможности их появления, связывают каждое событие с неко-
торым числом, которое тем больше, чем более возможно событие. 
Это число и называют вероятностью появления данного события 
A и обозначают через P(A). Следовательно, вероятность — это чи-
словая мера степени возможности появления случайного события.
Существуют различные подходы к определению вероятности 
появления случайного события. Соответственно этому различают 
определение вероятности:
 
• классическое;
 
• статистическое;
 
• геометрическое;
 
• аксиоматическое.

1.1. КЛАССИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ 
ВЕРОЯТНОСТИ

Существует целый класс опытов, которые заканчиваются только 
одним из возможных исходов, для которых применим непосред-
ственный подсчет вероятностей их возможных исходов. Эти опыты 
могут быть продемонстрированы на примере простейшей схемы 
урн (так называемой урновой модели).
Пусть в урне находится n шаров разного цвета, например m 
белых и (n – m) черных. Шары тщательно перемешаны, одинаковых 
размеров и массы, неразличимы на ощупь. Проводится испытание, 
состоящее в извлечении наудачу одного шара из урны.
Назовем все возможные исходы испытания элементарными исходами. 
В соответствии с принятыми предположениями они образуют 
полную группу попарно несовместных, равновозможных исходов. 
Те элементарные исходы, при которых интересующее нас 
событие произойдет, называются благоприятствующими данному 
событию (или просто благоприятными исходами).

Если A — случайное событие, состоящее в извлечении, например, 
белого шара из урны, то вероятность этого события может 
быть найдена на основе следующего определения.
Вероятностью события A называется отношение числа m элементарных 
исходов, благоприятствующих появлению данного события, 
к общему числу n всех равновозможных несовместных исходов, 
образующих полную группу:

 
( )
m
P A
n
=
. 

Это определение называется классическим. Оно применимо 
лишь к испытаниям с конечным числом равновозможных исходов.
Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства.
1. Вероятность достоверного события A = U, ( )
1
P U
= . Действи-
тельно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход 
испытания благоприятствует его появлению. В этом случае m = n. 
Следовательно, m = n и ( )
1
P U
= .
2. Вероятность невозможного события A = V, ( )
0
P V
=
. В самом 
деле если событие невозможно, то ни один из исходов испытания 
не благоприятствует его появлению. Поэтому m = 0, следовательно, 
( )
0
P V
=
.
3. Вероятность случайного события A есть положительное 
число, заключенное между нулем и единицей, удовлетворяющее двой-
ному неравенству 0
( )
1
P A
<
< . Очевидно, случайному событию 
благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных ис-
ходов испытания 0
m
n
<
<
, следовательно, 0
/
1
m
n
<
< .
4. Вероятность любого события A есть неотрицательное число, 
удовлетворяющее двойному неравенству 0
( )
1
P A
≤
≤ . В самом деле, 
любые события включают в себя не только случайные, но и досто-
верные и невозможные события. Поэтому справедливо нестрогое 
двойное неравенство 0
( )
1
P A
≤
≤ .

1.2. ЭЛЕМЕНТЫ КОМБИНАТОРИКИ

Для непосредственного подсчета вероятности появления со-
бытия на основе классического определения применяются, как 
правило, формулы комбинаторики (раздела математики, изучаю-
щего вопросы о том, сколько различных комбинаций (соединений) 
можно составить из заданного числа объектов).
Большинство задач комбинаторики решается с помощью двух 
основных правил: правила суммы и правила произведения.