Основы кондуктивного теплопереноса

МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ 
НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ 
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ 
Кафедра теоретической механики 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
И.В. Мирошниченко, М.А. Шеремет  
 
 
ОСНОВЫ  
КОНДУКТИВНОГО ТЕПЛОПЕРЕНОСА 

 
Учебное пособие 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Томск 
Издательство Томского государственного университета 
2022 

Мирошниченко И.В., Шеремет М.А. Основы кондуктивного теплопереноса 

2 

УДК 536.2 
ББК 22.2 
        М64 
 
 
Мирошниченко И.В., Шеремет М.А.  
М64 Основы кондуктивного теплопереноса : учеб. пособие. – 
Томск 
: 
Издательство 
Томского 
государственного 
университета, 2022. – 110 с. 

ISBN 978-5-907442-95-5 
 
В учебном пособии кратко излагаются основы теории теплопроводности 
и приводятся подробные решения практических задач. Приведены 
расчетные уравнения, таблицы, задачи, вопросы для самоконтроля после 
каждой главы и список литературы. 
Учебное пособие предназначено для студентов направления «Механика 
и математическое моделирование» механико-математического факультета, 
а также может быть полезно для всех студентов технических специальностей 
при самостоятельном изучении. 
 
УДК 536.2 
ББК 22.2 
 
Рецензенты: 
А.М. Бубенчиков – д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры  
теоретической механики Томского государственного университета; 
А.Г. Коротких – д-р физ.-мат. наук, профессор НОЦ И.Н. Бутакова  
Томского политехнического университета 
 
Рассмотрено и утверждено УМК ММФ ТГУ 
Протокол № 3 от «28» марта 2022 г. 
Председатель УМК ММФ Е.А. Тарасов 
 
 
 
 
 
 
 
© Мирошниченко И.В., Шеремет М.А., 2022 
ISBN 978-5-907442-95-5  
 
© Томский государственный университет, 2022 

Предисловие 

3 

 
 
 
Предисловие 
 
Ни один предмет не имеет более обширной связи с 
развитием промышленности и естественных наук; ибо 
действие тепла присутствует всегда, оно влияет на 
процессы искусства и проявляется во всех явлениях 
вселенной. 
Жан-Батист Жозеф Фурье.  
«Аналитическая теория тепла» 
 
Современный уровень жизни человечества во многом стал возможным 
благодаря стремительному развитию теории тепломассо-
обмена. Решение большинства задач энергетики, микроэлектроники, 
авиационной и космической техники неразрывно связано с 
успехами в области тепло- и массообмена. В этой связи глубокое 
понимание процессов, протекающих в различного рода технологи-
ческих установках, позволяет как разрабатывать новые модели 
техники, так и совершенствовать уже имеющиеся.  
Процессы теплопереноса осуществляются за счет различных, 
принципиально отличающихся механизмов. Принято выделять 
конвективный 
теплообмен, 
теплопроводность 
и 
излучение.  
В настоящем учебном пособии, главным образом, речь пойдет о 
явлении теплопроводности. Теплопроводность – процесс переноса 
теплоты, при котором обмен энергией происходит в твердых телах 
или неподвижных жидкостях (т.е. отсутствует конвективное дви-
жение в результате макроскопического перемещения среды) из 
области высокой температуры в область низкой температуры 
вследствие наличия температурного градиента в системе. Разли-
чают стационарные и нестационарные процессы теплопроводно-
сти. Нестационарные процессы  теплопроводности (в отличие от 
стационарных процессов) характеризуются изменением темпера-
туры тела как в пространстве, так и во времени. 
Настоящее учебное пособие состоит из предисловия и трех 
глав. Первая глава посвящена изучению основных положений и 

Мирошниченко И.В., Шеремет М.А. Основы кондуктивного теплопереноса 

4 

понятий теории теплопроводности. В ней также представлены 
краткие сведения из термодинамики, необходимые для усвоения 
курса теплопроводности. 
Во второй главе кратко излагается теория стационарной тепло-
проводности и приводится подробное решение характерных задач. 
По мнению авторов пособия, такой формат изложения материала 
позволяет студентам лучше усваивать теорию и способствует раз-
витию навыков решения практических задач.  
Третья глава посвящена процессам нестационарной теплопро-
водности. Вводятся основные определения и приводится решение 
наиболее важных задач. Показаны общие физические закономер-
ности рассматриваемых процессов. Студенты смогут ознакомиться 
с методами решения задач нестационарной теплопроводности, в 
которых тело стремится к термическому равновесию. 
Приведенный в конце учебного пособия список литературы 
позволяет читателю подробно изучить все интересующие его во-
просы, ответы на которые он не смог найти в данном пособии.  

Глава 1. Основные положения и понятия теории теплопроводности 

5 

 
 
 
Глава 1 
Основные положения и понятия  
теории теплопроводности 

 
1.1. Краткие сведения из термодинамики 
 
Раздел науки, изучающий связь между теплом и другими фор-
мами энергии, включая механическую работу, называется термоди-
намикой. Термодинамика имеет дело с системами, находящимися в 
состоянии равновесия, и вычисляет энергию, передаваемую для пе-
ревода системы из одного состояния равновесия в другое. Рассмот-
рим характерный пример (рис. 1). Слиток золота массой 1 кг, нагре-
тый до температуры 1000 °C охлаждается в воздухе до температуры 
20 °C. Удельная теплоемкость золота с = 129 Дж/(кгК). 
 

 
 
Рис. 1. К задаче охлаждения слитка золота 
 
Согласно термодинамике, внутренняя энергия слитка изменит-
ся путем теплопередачи, т.е. тело отдает соответствующее количе-
ство теплоты: 

Мирошниченко И.В., Шеремет М.А. Основы кондуктивного теплопереноса 

6 





2
1
1 129
980
126 кДж,
Q
U
mc T
T
 


 
 
 

 
где T1 – начальная температура тела, T2 – конечная температура 
тела, c – удельная теплоёмкость вещества тела, m – масса тела, 
Q  – количество теплоты. Величина U в данном случае отрица-
тельна (тело отдает энергию). 
Однако термодинамика не может определить, сколько времени 
потребуется, чтобы температура слитка упала до 20 °C. Время 
охлаждения зависит от различных факторов, среди которых температура 
воздуха и его физические свойства, движение воздуха и 
др. Все эти факторы учитываются при решении задачи с точки 
зрения теории тепломассообмена. 
Рассмотрим еще один пример. Мы можем определить количество 
теплоты, которую теряет термос при охлаждении со 100 до 
60 °C горячего чая, находящегося внутри термоса, с помощью 
термодинамического анализа. Но среднестатистического покупателя 
или разработчика термоса в первую очередь интересует, 
сколько времени пройдет, прежде чем горячий чай внутри остынет 
до 60 °C, и термодинамический анализ не может ответить на этот 
вопрос. Определение скорости передачи тепла в систему или из 
системы и, следовательно, времени охлаждения или нагрева, а 
также изменение температуры является предметом теории тепло-
массообмена.  
Сформулируем далее основные понятия и определения, необходимые 
для всеобъемлющего понимания процессов теплообмена, 
а также приведем несколько практических примеров. 
Количество теплоты (теплота) Q  – это скалярная величина, 
характеризующая энергию, которую получает (теряет) тело при 
теплообмене. Единицей измерения количества теплоты в системе 
СИ является джоуль (Дж). В джоулях также измеряется энергия. 
Сам термин «теплота», а также связанные с ним выражения, такие 
как тепловой поток, отвод тепла, поглощение тепла, скрытая теп-
лота, источник тепла и др., широко используются сегодня, и по-
пытка заменить «тепло» в этих устойчивых выражениях «тепловой 
энергией» не имеет смысла. Они глубоко укоренились в нашем 

Глава 1. Основные положения и понятия теории теплопроводности 

7 

лексиконе и используются как обычными людьми, так и учеными, 
не вызывая недопонимания. Например, выражение «тепловой по-
ток» понимается как передача тепловой энергии, а не поток «жид-
кообразного» вещества, называемого теплом. В данном учебном 
пособии мы будем называть тепловую энергию теплом, а передачу 
тепловой энергии – теплопередачей. 
Пусть n тел образуют замкнутую систему, т.е. тела обменива-
ются энергией исключительно друг с другом. Также предполагаем, 
что внутренняя энергия рассматриваемых тел изменяется только в 
процессе теплообмена. Тогда вследствие закона сохранения энер-
гии можно записать общее уравнение теплового баланса: 

1
0.

n

i
i
Q




 
 

Для понимания физического смысла данного уравнения рас-
смотрим случай n = 2. Уравнение теплового баланса имеет вид 

1
2
0.
Q
Q




 
В этом случае если, например, первое тело отдало определен-
ное количество энергии, то второе тело получило это же количе-
ство энергии. Вследствие замкнутости системы ни один джоуль не 
вышел за пределы рассматриваемой системы. 
Применим уравнение теплового баланса для решения практиче-
ской задачи. Смешаем 900 г воды при температуре 100 °C и 500 г 
воды при температуре 10 °C. Нужно определить установившуюся 
температуру смеси. 
Искомую температуру обозначим через T. Уравнение теплового 
баланса будет иметь вид 





1
2
1
1
2
2
0.
Q
Q
cm T
T
cm
T
T








 
Откуда 

1 1
2
2

1
2
68 C.
m T
m T
T
m
m






 

Удельная теплоемкость c – это энергия, необходимая для изме-
нения температуры единицы массы вещества на один градус. Нас, 
как правило, будут интересовать два вида удельной теплоемкости: 
удельная теплоемкость при постоянном объеме сv и удельная теп-

Мирошниченко И.В., Шеремет М.А. Основы кондуктивного теплопереноса 

8 

лоемкость при постоянном давлении сp. Единица измерения 
удельной теплоемкости Дж/(кг°C) или Дж/(кгK). Данные две 
единицы измерения идентичны, так как изменение температуры на 
1 °C эквивалентно изменению температуры на 1 K.  
Удельный объем v – скалярная физическая величина, обратная 
плотности вещества : 

1 .
v    

Если удельный объем вещества при изменении температуры 
или давления не изменяется, то такое вещество называется несжи-
маемым. Удельные теплоемкости сv и сp для несжимаемых веществ 
одинаковы: сp = сv = с. Большинство твердых и жидких веществ 
можно рассматривать как несжимаемые (в определенном прибли-
жении). 
Количество теплоты, как уже было отмечено, будем обозначать 
Q . Количество теплоты, переданное в единицу времени, называ-
ется тепловым потоком (скоростью передачи тепла) и обозначает-
ся Q. Единица измерения теплового потока Вт или Дж/с. 
Если известно изменение теплового потока во времени, то ко-
личество теплоты Q  за интервал времени Δt можно определить по 
формуле 

0
.

t
Q
Q dt


 

 

Если же Q = const, то Q
Q
t



. 

Количество теплоты Q , проходящее через поверхность в единицу 
времени, называется плотностью теплового потока q 

,
Q
q
F

 

здесь F – площадь поверхности теплообмена. 
Единица измерения плотности теплового потока Вт/м2. 

Глава 1. Основные положения и понятия теории теплопроводности 

9 

Задача 1 
 
Алюминиевый шар диаметром 5 см нагревают от температуры 
20 °С до температуры 100 °С за 15 мин (рис. 2). В данном интервале 
температур плотность и удельную теплоемкость алюминия 
можно принять равными ρ =  2697 кг/м3 и ср = 930 Дж/(кгК) соответственно. 
Определить: 
1. Количество теплоты, переданное шару. 
2. Тепловой поток, проходящий через поверхность шара. 
3. Плотность теплового потока, проходящего через поверхность 
шара. 
 

 
 
Рис. 2. К задаче 1 
 
Решение. 
1. Количество теплоты, переданное алюминиевому шару, пойдет 
на изменение его внутренней энергии 



2
1 .
p
Q
U
mc
T
T
 



 

2. Массу шара определим, зная плотность и объем шара: 

3
3
3,14
2 697
(0.05)
0.176 кг.
6
6
m
V
d

 
 




 

Мирошниченко И.В., Шеремет М.А. Основы кондуктивного теплопереноса 

10 

3. Зная массу, удельную теплоемкость и разницу температур, 
получим 



2
1
0.176 930 80
13.1 кДж.
p
Q
U
mc
T
T
 







 

Алюминиевому шару необходимо передать 13.1 кДж энергии, 
чтобы нагреть его с 20 до 100 °С. 
4. Для нахождения теплового потока, проходящего через по-
верхность шара, необходимо количество теплоты разделить на 
временной интервал: 

13100
14.55 Вт.
900
Q
Q
t






 

5. Плотность теплового потока – передача тепла в единицу вре-
мени через единицу площади. Следовательно, плотность теплово-
го потока в этом случае равна 




2
2
2
14.5
1847 Вт м .
3.14
0.05

Q
Q
q
F
d






 

В теории тепломассообмена большое внимание уделяется раз-
мерностям соответствующих физических величин, единицы изме-
рения которых можно определить, зная единицы измерения базовых 
физических величин (табл. 1). В качестве основной системы единиц 
чаще всего используют Международную систему единиц (СИ). 
 
Т а б л и ц а  1 
Единицы измерения базовых физических величин 
 
Величина 
Единица измерения 
Символ 

Длина 
Метр 
м 

Масса 
Килограмм 
кг 

Время 
Секунда 
с 

Температура 
Кельвин 
K 

 
Поскольку при использовании системы единиц СИ часто при-
ходится работать с достаточно большими или, наоборот, малыми 
значениями физических величин, то для удобства представления, 
как правило, используют стандартные префиксы (табл. 2). 
Для измерения температуры существуют различные темпера-
турные шкалы (Цельсия, Кельвина, Фаренгейта и др.).