Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих исследователей

Москва  2020

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 

«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ ЭКОНОМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ ПРОМЫШЛЕННЫМИ ПРЕДПРИЯТИЯМИ  

ИМ. В. А. РОМЕНЦА

Кафедра промышленного менеджмента

И. М. Рожков
И. А. Ларионова
Н. А. Исаева 

ЭКОНОМЕТРИКА

Продвинутый курс для начинающих исследователей

Учебное пособие

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4012

УДК 330.43 
Р63

Р е ц е н з е н т 

канд. техн. наук, доцент А. И. Широков

Р63 

Рожков И.М.
 
Эконометрика. Продвинутый курс для начинающих 
исследователей 
: 
учеб. 
пособие 
/ 
И.М. 
Рожков, 
И.А. Ларионова, Н. А. Исаева. – М. : Изд. Дом НИТУ 
«МИСиС», 2020. – 268 с.

ISBN  978-5-907227-16-3

Изложенные в учебнике эконометрические методы обеспечивают 

преемственность статистических дисциплин и основываются на мето-
дах математической статистики. Пред-ставлены примеры примене-
ния рассмотренных эконометрических методов при моделировании 
экономических показателей.

Учебник предназначен для студентов, обучающихся в магистрату-

ре по направлениям 38.04.01 «Экономика», 38.04.02 «Менеджмент» 
и 09.04.03 «Прикладная информатика».

УДК 330.43 

 И.М. Рожков, И.А. Ларионова,

Н.А. Исаева, 2020

ISBN  978-5-907227-16-3
 НИТУ «МИСиС», 2020

Оглавление

ПРЕДИСЛОВИЕ  ............................................................. 10

Глава 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ  
И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ................................... 11

1.1. Функция распределения .......................................... 11

1.1.1. Характеристики распределений .......................... 12

1.1.2. Нахождение оценок параметров  
распределения ........................................................... 15

1.2. Непрерывные распределения .................................... 17

1.2.1. Нормальное распределение ................................. 17

1.2.2. Логарифмически нормальное распределение ........ 21

1.2.3. Гамма-распределение ........................................ 23

1.2.4. Бета-распределение ........................................... 28

1.2.5. Распределение Вейбулла .................................... 34

1.3. Дискретные распределения ...................................... 36

1.3.1. Биномиальное распределение ............................. 36

1.3.2. Полиномиальное распределение .......................... 39

1.3.3. Гипергеометрическое распределение ................... 39

1.3.4. Геометрическое распределение ........................... 41

1.3.5. Распределение Паскаля ..................................... 41

1.3.6. Распределение Пуассона .................................... 42

1.4. Аппроксимация выборочных распределений .............. 44

1.5. Мощность критерия при проверке статистических 
гипотез. Наилучший выбор критической области .............. 48

1.6. Проверка статистических гипотез с применением 
критериев значимости ................................................... 53

1.6.1. χ2-распределение Пирсона  ................................. 53

1.6.2. t-распределение Стьюдента  ................................ 55

1.6.3. F-распределение Фишера  .................................. 57

1.6.4. Критерий значимости t ...................................... 59

1.6.5. Критерий значимости χ2  .................................... 62

1.6.6. Критерий значимости F ..................................... 63

1.6.7. Критерий Бартлетта .......................................... 64

1.6.8. Критерий Кочрена ............................................. 65

1.6.9. Проверка гипотезы о законе распределения 
случайной величины .................................................. 65

Глава 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ 
ЗАВИСИМОСТЕЙ ............................................................ 69

2.1. Виды зависимости между  
случайными величинами ............................................... 69

2.2. Задачи регрессионного  
и корреляционного анализа ............................................ 71

2.3. Предпосылки, лежащие в основе корреляционного  
и регрессионного анализа ............................................... 73

2.4. Корреляционный момент и парный коэффициент 
корреляции .................................................................. 74

2.5. Свойства парного коэффициента корреляции .............. 77

2.6. Интерпретация коэффициента корреляции ................ 80

2.7. Корреляционное отношение ..................................... 81

2.8. Частный и множественный коэффициенты  
корреляции .................................................................. 84

2.8.1. Частный коэффициент корреляции ..................... 84

2.8.2. Множественный коэффициент корреляции........... 86

2.9. Техника вычислений при использовании метода 
наименьших квадратов .................................................. 88

2.9.1. Экспериментальные данные представлены  
в виде последовательности точек .................................. 88

2.9.2. Исходные данные представлены в виде графика 
зависимости .............................................................. 91

2.9.3. Метод моментов ................................................ 93

2.10. Способы равных сумм и равных площадей ................ 94

2.10.1. Результаты эксперимента заданы 
последовательностью точек ......................................... 94

2.10.2. Результаты эксперимента заданы  
непрерывной кривой .................................................. 96

2.11. Метод выравнивания ............................................. 97

2.12. Двумерный линейный регрессионный анализ.  
Основные этапы ............................................................ 99

2.12.1. Оценка параметров уравнения регрессии ...........100

2.12.2. Проверка смысла полученного уравнения ..........101

2.12.3. Проверка адекватности полученного  
уравнения опытным данным ......................................102

2.12.4. Определение погрешности параметров  
регрессии, построение доверительной области  
для линии регрессии .................................................103

2.12.5. Определение степени тесноты  
найденной связи .......................................................104

2.12.6. Пример оценки корреляционных  
характеристик .........................................................105

2.13. Пример двумерного линейного регрессионного  
анализа в среде MS Excel ..............................................109

2.14. Пример двумерного линейного регрессионного  
анализа в среде STATISTICA .........................................113

2.15. Примеры расчета доверительных зон  
для линейной регрессии ................................................117

2.15.1. Зона с прямолинейной границей .......................117

2.15.2. Зона с криволинейной (гиперболической)  
границей .................................................................118

2.16. Использование конечных разностей  
для определения показателя степени  
аппроксимирующего многочлена ...................................121

2.17. Подбор эмпирической формулы путем проверки 
выполнения необходимых условий для существования 
некоторых характерных зависимостей ............................123

2.18. Предпосылки метода наименьших  
квадратов ...................................................................127

2.19. Проверка случайного характера остатков ................128

2.20. Проверка гипотезы о несмещенности  
коэффициентов регрессии .............................................130

2.21. Гомоскедастичность .............................................133

2.21.1. Диагностика гетероскедастичности ...................135

2.21.2. Тест ранговой корреляции Спирмена .................136

2.21.3. Тест Фишера – Снедекора ................................137

2.21.4. Тест Уайта .....................................................138

2.21.5. Критерий Бартлетта .......................................139

2.21.6. Параметрический тест  
Гольдфельда – Квандта ..............................................140

2.21.7. Способы устранения гетероскедастичности ........142

2.22. Автокорреляция и ее тестирование  ........................143

2.22.1. Проверка гипотезы о наличии  
автокорреляции с помощью критерия Стьюдента ..........144

2.22.2. Тест Дарбина – Уотсона для проверки  
гипотезы о наличии автокорреляции ...........................147

2.22.3. Тест серий (Бреуша – Годфри) ..........................150

2.22.4. Q-тест Льюиса – Бокса ....................................150

2.23. Проверка гипотезы о нормальном  
распределении остатков ................................................151

2.24. Общий порядок конструирования многомерной 
зависимости ................................................................153

2.25. Многомерный линейный регрессионный анализ. 
Основные этапы ...........................................................154

2.26. Отсев незначимых переменных с использованием 
шагового регрессионного анализа ...................................164

2.27. Использование чистой регрессии  
при выборе вида зависимости между  
несколькими параметрами ............................................165

2.28. Каскадный регрессионный анализ  .........................165

2.29. Преодоление проблем межфакторной  
корреляции .................................................................168

2.29.1. Способы устранения мультиколлинеарности ......169

2.29.2. Использование критерия Фишера – Снедекора 
для определения совместного предельного  
вклада группы переменных ........................................170

2.30. Системы одновременных уравнений .......................173

2.30.1. Косвенный метод наименьших  
квадратов ................................................................174

2.30.2. Схема расчетов в косвенном методе 
 наименьших квадратов .............................................175

2.30.3. Идентификация параметров системы ................177

2.31. Фиктивные переменные. Тест Чоу ..........................179

2.31.1. Фиктивные переменные ..................................179

2.31.2. Тест Г. Чоу ....................................................183

Глава 3. ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ  ..........................................185

3.1. Общие сведения о временных рядах ..........................185

3.2. Стационарные временные ряды ...............................187

3.3. Автокорреляционная функция ................................188

3.4. Аналитическое выравнивание временного  
ряда (выделение неслучайной компоненты) .....................191

3.5. Сглаживание методом скользящих средних ...............192

3.6. Динамические эконометрические модели ..................195

3.7. Моделирование сезонных и циклических  
колебаний ...................................................................200

3.8. Изучение взаимосвязей временных рядов ..................205

Глава 4. СИТУАЦИОННЫЙ ПОТЕНЦИАЛ  
ПРЕДПРИЯТИЯ ДЛЯ ОЦЕНКИ РЕЗУЛЬТАТИВНОСТИ  
ЕГО ФУНКЦИОНИРОВАНИЯ НА ПРИМЕРЕ  
МЕТАЛЛУРГИИ .............................................................210

4.1. Модели прогноза экономических показателей ............210

4.1.1. Линейные регрессионные модели .......................210

4.1.2. Нелинейные регрессионные модели  
общего вида .............................................................211

4.1.3. Производственные функции ..............................212

4.2. Переменные, влияющие на основные показатели 
предприятия ...............................................................214

4.2.1. Аналитические коэффициенты,  
используемые при оценке обеспеченности  
предприятия оборотными и внеоборотными 
средствами ...............................................................214

4.2.2. Оценка корреляционных зависимостей  
между добавленной стоимостью производимой 
предприятием продукции и величиной оборотных 
и внеоборотных средств  .............................................217

4.2.3. Расчет корреляционных матриц  
зависимостей основных производственных  
потенциалов и рассматриваемых аналитических 
коэффициентов ........................................................220

4.3. Модели управления основными  
производственными потенциалами .................................223

4.3.1. Схема расчета показателя  
добавленной стоимости  .............................................223

4.3.2. Базовые положения, применяемые  
при разработке модели прогноза добавленной  
стоимости. Выбор управляющих переменных ...............225

4.3.3. Модель прогноза основных потенциалов  
в виде полных полиномов второго порядка 
от аналитических коэффициентов ...............................226

4.3.4. Решение задачи оптимизации величин 
прогнозируемых потенциалов ....................................228

4.4. Управление производственными потенциалами 
с применением оценочного вектора и имитационного 
моделирования ............................................................231

4.4.1. Способы перехода от частных показателей 
к интегральным ........................................................231

4.4.2. Оценочный вектор основанного  
на добавленной стоимости потенциала  
предприятия ............................................................234

4.4.3. Разделение экспериментальных точек  
кризисного и устойчивого состояний при построении 
моделей прогноза значений основного потенциала 
предприятия ............................................................236

4.4.4.  Формирование дифференциальных  
распределений плотности вероятности  
рассматриваемых показателей с помощью  
имитационных экспериментов  ...................................237

4.5. Разработка способа оценки экономического  
состояния предприятия с использованием  
ситуационного потенциала ............................................242

4.5.1. Оценочный вектор ситуационного  
потенциала, основанного на добавленной  
стоимости ................................................................242

4.5.2. Определение граничных значений 

для координат оценочного вектора ..............................245

4.5.3. Выявление предкризисных и кризисных 
состояний предприятия с применением оценочного  
вектора ситуационного потенциала .............................252

4.6. Оценка результативности функционирования 
предприятия  ..............................................................256

ПОСЛЕСЛОВИЕ .............................................................259

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК ..................................261

ПРЕДИСЛОВИЕ 

В отечественной литературе известно достаточное количество 

фундаментальных книг по прикладной математической стати-
стике, и в частности по эконометрике, являющейся ее разделом. 
Тем не менее мы решили написать еще одну книгу по экономе-
трике, что вызвано следующими причинами.

Поскольку ведущие авторы настоящей работы прошли путь 

от младших научных сотрудников до докторов наук, они име-
ют представление об объеме знаний и навыков по эконометрике 
и прикладной математической статистике, необходимых начи-
нающим исследователям, для которых написана эта книга. Ав-
торы старались сделать так, чтобы язык, которым написана эта 
книга, был понятен даже ученикам старших классов средней 
школы, которые интересуются математикой.

Была поставлена задача заинтересовать молодого специалиста 

рассматриваемым предметом. Для этого мы «приподняли крае-
шек занавеса» над проблемами, имеющимися в данной области.

Книга ориентирована на студентов, аспирантов, молодых на-

учных сотрудников, а также работников металлургической от-
расли, которая хорошо знакома авторам.

Главы 1–3 книги написаны И. М. Рожковым и И. А. Ларионо-

вой, глава 4 – Н. А. Исаевой.

Книга посвящена, кандидату технических наук, старшему на-

учному сотруднику ГНЦ РФ ФГУП «ЦНИИчермет им. И. П. Бар-
дина» Юрию Михайловичу Максимову – представителю кафедры 
металлургии стали НИТУ «МИСиС», где его работы по приклад-
ной математической статистике в течение многих лет использова-
лись в качестве учебных пособий для аспирантов и молодых науч-
ных сотрудников. Эти работы широко использованы в настоящем 
учебнике, они нужны для понимания принципов математической 
статистики. Также приведены рекомендации по практическому 
применению необходимых пакетов прикладных программ в сре-
дах MS Excel и STATISTICA для формирования по фактическим 
данным дифференциальных распределений, их аппроксимации 
стандартными функциями и выбора закона распределения, наи-
более близкого к фактическому.

О том, чего нет в настоящей книге, но совершенно необходимо 

знать начинающему исследователю, написано в послесловии.

ГЛАВА 1. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ 

И ЗАКОНЫ ИХ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ

При написании главы 1 использованы источники [1–15]. При 

этом главными из них являются работы [1] и [9]. Перейдем к из-
ложению основного материала.

Случайной величиной называется величина X, которая прини-

мает то или иное значение в процессе статистических испытаний 
либо наблюдений, причем заранее не известно, какое значение.

Дискретной называют случайную величину, которая принима-

ет отдельные изолированные возможные значения хi с определен-
ными вероятностями. Число возможных значений дискретной ве-
личины случайно и может быть конечным или бесконечным.

Непрерывной называют случайную величину, которая может 

принимать все значения хi из некоторого конечного или беско-
нечного промежутка. Число возможных значений непрерывной 
случайной величины бесконечно.

Примеры дискретных случайных величин:
 – число молекул газа в сосуде;
 – число вызовов на телефонной станции;
 – число бракованных гвоздей и т.д.

Примеры непрерывных случайных величин:
 – химический состав стали;
 – механические свойства стали и т.д.

Случайная величина считается заданной, если задан закон ее 

распределения.

1.1. Функция распределения

Для построения адекватной математической модели объекта 

необходимо знать законы распределения параметров, характе-
ризующих его функционирование. При этом под законом рас-
пределения понимают связь между возможными значениями 
случайной величины и соответствующими им вероятностями. 
Эта связь выражается интегральной функцией распределения:

ин( )
(
),
F
x
P X
x
=
≤

показывающей вероятность того, что случайная величина Х 
не превышает некоторого заданного наперед числа х, называемо-
го квантилью.

Плотностью распределения вероятностей непрерывной слу-

чайной величины X называют функцию f(x) – первую произво-
дную от функции распределения Fин(x):

f(x)=F′ин(x).

Закон распределения конкретного параметра определяется 

природой контролируемой величины. Обычно функцию распределения 
для описания изменения той или иной характеристики 
системы выбирают на основе имеющихся представлений о механизме 
рассматриваемого явления. Затем на основании имеющихся 
экспериментальных или статистических данных делают 
оценку параметров распределения и в заключение осуществляют 
статистическую проверку гипотезы об адекватности выбранной 
модели распределения реальному распределению. Когда нет 
достаточно надежных теоретических оснований для выбора статистической 
модели распределения, аппроксимирующее распределение 
выбирают по данным оценки параметров распределения 
с последующей проверкой адекватности.

Вид функции распределения предпочтительнее выбирать 

на основе представлений о физической природе рассматриваемого 
явления, так как в этом случае исключаются возможные 
большие погрешности при распространении найденных закономерностей 
за пределы изученного интервала варьирования случайной 
величины.

Прежде чем перейти к описанию функций распределения непрерывных 
и дискретных одномерных случайных величин и 
областей применения этих распределений, остановимся на тех 
характеристиках распределений, которые будут нами в дальнейшем 
использоваться. 

1.1.1. Характеристики распределений

Рассмотрим характеристики положения центра распределения 
на оси значений изучаемой случайной переменной. Математическое 
ожидание или среднее значение случайной величины

x
MX = ν
.

В случае непрерывной случайной величины

( )
,
MX
xf x dx

∞

−∞
= ∫

где f(х) – плотность распределения величины х.

Если же х – дискретная случайная величина, то

(
),
i
i

i
MX
x p x
=∑

где р(xi) – вероятность появления i-го значения величины х.

Медиана – значение случайной величины, соответствующее 

сере дине упорядоченного по величине ряда значений переменной. 
В случае непрерывной случайной величины медианой является 
такая точка z, при которой

( )
0,5,

z
f x dx

−∞
=
∫

а в случае дискретной переменной

(
)
0,5.

i
i
x
z
p x

≤
=
∑

Если общее число n значений дискретной случайной величины 
нечетно, то медиана равна значению случайной величины 

с индексом 
1

2

n
i
+
=
. При четном n медиана равна 

1
2
2

1
2
n
n
x
x
+




+







.

Мода – значение случайной величины, отвечающее макси-

мальной плотности вероятности f(х) в случае непрерывной слу-
чайной величины, или значение случайной величины, имеющей 
максимальную вероятность в том случае, когда случайная вели-
чина дискретна.

Кроме характеристик положения центра пользуются еще ря-

дом других характеристик, описывающих рассеяние, симме-
трию и островершинность распределения. Эти характеристики 
можно представить с помощью моментов распределения.

На практике чаще всего применяют моменты двух видов: на-

чальные и центральные. Начальным моментом s-го порядка дис-
кретной случайной величины X называют сумму вида

( )
.
s
s
x f x dx

∞

−∞
=
ν
∫

а в случае непрерывной случайной величины 

( )
.
s
s
x f x dx

∞

−∞
=
ν
∫

Таким образом, начальный момент s-го порядка есть матема-

тическое ожидание s-й степени случайной величины X:

.
s

s
MX
ν =

Очевидно, что начальный момент первого порядка случайной 

величины X равен математическому ожиданию νx.

Центральным моментом s-го порядка случайной величины 

X называют математическое ожидание s-й степени отклонения 
случайной величины X от ее математического ожидания νx:

(
) .
s

s
x
M X
µ
ν
=
−

Для дискретной случайной величины s-й центральный мо-

мент равен

(
)
(
),
S

s
i
x
i

i
x
p x
µ
ν
=
−
∑

а для непрерывной – интегралу:

(
)
( )
.
S
s
i
x
x
f x dx

∞

−∞
µ =
− ν
∫

Центральный момент второго порядка μ2, именуемый диспер-

сией, служит в качестве меры рассеяния:

2
2

2
(
) .
x
DX
M X
ν
= σ = µ =
−

Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины. 

Корень квадратный из дисперсии называют средним квадрати-
ческим отклонением или стандартом:

x
DX
σ =
.

Стандарт имеет размерность случайной величины.

В качестве относительной характеристики рассеяния исполь-

зуют коэффициент вариации, представляющий собой отноше-
ние среднего квадратического отклонения к математическому 
ожида нию случайной величины:

x

x

σ
γ = ν
.

Центральный момент третьего порядка μ3 используется 

для числового измерения асимметрии распределения. Если 
распреде ление симметричное, то μ3 = 0. Если же правое плечо 
распреде ления длиннее левого, то величина μ3 положительная, 
если же левое плечо длиннее правого, то величина μ3 отрица-
тельная. Чтобы иметь дело с безразмерной характеристикой, ве-
личину μ3 делят на 
3
x
σ . Полученный показатель называют коэф-

фициентом асимметрии (skewness):

3/2

3
2
/
.
Sk = µ
µ

В качестве характеристики островершинности служит коэф-

фициент эксцесса (еxcess):

2
4
2
/
3.
Ex = µ
µ −

1.1.2. Нахождение оценок параметров 

распределения

В тех случаях, когда параметры распределения случайной 

переменной X неизвестны, их оценивают на основе эксперимен-
тальных или статистических данных. Поскольку значения оце-
нок зависят от вошедших в выборку значений случайной вели-
чины, они являются также случайными величинами.

Оценки по возможности должны обладать следующими свой-

ствами: состоятельностью, несмещенностью и эффективностью.

Оценку а называют состоятельной, если при неограничен-

ном увеличении числа наблюдений n она стремится по вероят-
ности к значению а. Если она при этом не дает систематической 
ошибки, т.е. если выполняется условие Ma = a, то такую оценку 
назы вают несмещенной. Несмещенную оценку называют эффек-
тивной, если она имеет наименьшую дисперсию по сравнению 
с другими несмещенными оценками параметра а.

ˆ

Оценки параметров распределения чаще всего находят, пользу-

ясь методом моментов или методом наибольшего правдоподобия.

Метод моментов в большинстве случаев более прост, и им 

удобно пользоваться. Он заключается в том, что искомые чис-
ловые характеристики распределения выражают через моменты 
низших порядков, которые затем заменяют их оценками, полу-
ченными по результатам наблюдений. Количество составленных 
таким образом уравнений должно равняться числу оцениваемых 
параметров распределения. Решая совместно эти уравнения, по-
лучают требуемые оценки. Применение метода иллюстрируется 
ниже при нахождении параметров гамма-распределения.

Применение метода моментов иногда приводит к малоэффек-

тивным оценкам.

Метод наибольшего (максимального) правдоподобия часто 

тре бует более сложных вычислений, чем метод моментов, од-
нако лучше пользоваться им, так как он всегда приводит к со-
стоятельным, асимптотически нормальным и асимптотически 
эффективным оценкам. Правда, иногда оценки могут иметь не-
большое смещение.

Метод наибольшего правдоподобия предполагает принятие 

в качестве оценки неизвестного параметра такого его значения, 
появление которого на основе имеющихся данных наиболее вероятно. 
По методу наибольшего правдоподобия в качестве оценки 
параметра θ, от которого зависит плотность вероятности, принимают 
такое его значение, при котором достигается максимум 
функции правдоподобия:

 
(
) (
)
(
)
(
)
1
2
,
,
...
,
,
,
n
i

i
L
f x
f x
f x
f x
=
θ
θ
θ =
θ
∏
 
(1.1)

где x1, x2, …, xn – результаты n независимых наблюдений исследуемой 
случайной величины; 

(
)
,
i
f x
θ  – плотность распределения, определяемая формулой 

в соответствии с принятой мо делью распределения, зависящей 
от параметра θ.

Для нахождения максимума возьмем частную производную 

lnL по θ и приравняем ее нулю:

ln
0.
L
∂
=
∂θ

Решая это уравнение относительно θ, находим оценку θ максимального 
правдоподобия.

Если плотность распределения определяется несколькими параметрами, 
то их оценки находят, вычисляя частные производные 
от логарифма функции правдоподобия по каждому из искомых 
пара метров, приравнивая эти производные нулю и решая 
совместно полученные уравнения относительно искомых параметров.


Перейдем к рассмотрению непрерывных распределений.

1.2. Непрерывные распределения

1.2.1. Нормальное распределение

Из применяемых в математической статистике распределе-

ний наиболее часто пользуются нормальным распределением. 
Широкое применение этой модели обусловлено тем, что соглас-
но централь ной предельной теореме распределение среднего n 
независимых случайных величин, распределенных по любому 
закону с конеч ными математическими ожиданиями и дисперси-
ями, прибли жается к нормальному, когда число n наблюдений 
в выборке стремится к бесконечности. Распределение выборочно-
го среднего стремится к нормальному и при относительно неболь-
ших n, если распределения всех независимых случайных величин 
не сильно отклоняются от нормального и их дисперсии приблизи-
тельно равны друг другу. Таким образом, если случайную вели-
чину можно рассматривать как результат большого числа неза-
висимых равновеликих воздействий, то есть основания считать, 
что она имеет нормальное, или гауссово, распределение.

Примерами 
нормально 
распределенных 
величин 
могут 

служить ошибки измерения, результаты испытания стали 
на прочность и ударную вязкость, часовая производительность 
мартеновских печей, масса слитков, отлитых в однотипные из-
ложницы, и др. Кроме того, часто при соблюдении некоторых 
(в каждом случае своих) условий нормальным рас пределением 
аппроксимируют дру гие распределения.

Нормальное (гауссово) распределе ние определяется следую-

щими выражениями: