Физические свойства твердых тел

Москва  2021

МИНИС ТЕРС ТВО НАУКИ И ВЫСШ ЕГО О Б РА З О ВА Н И Я РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ АВТОНОМНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ 
ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ 
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ «МИСиС»

ИНСТИТУТ НОВЫХ МАТЕРИАЛОВ И НАНОТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра физического материаловедения

В.Ю. Введенский
Е.А. Шуваева
А.С. Перминов

ФИЗИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА  
ТВЕРДЫХ ТЕЛ

Сборник задач

Рекомендовано редакционно-издательским 
советом университета

№ 4086

УДК 539.2 
 
В24

Р е ц е н з е н т 
доц. Е.Н. Сидорова

Введенский В.Ю.
В24  
Физические свойства твердых тел : сборник задач / 
В.Ю. Введенский, Е.А. Шуваева, А.С. Перминов. – М. : 
Изд. Дом НИТУ «МИСиС», 2021. – 56 с.
ISBN 978-5-907227-28-6

Задачник соответствует дисциплине «Физические свойства твердых 
тел», которая относится к одному из базовых курсов по всем материаловедческим 
и физическим направлениям подготовки бакалавров. 
В целях освоения практической части курса проводятся практические 
занятия, в рамках которых предусматривается решение различных задач, 
связанных с оценкой возможного значения того или иного свой-
ства, например теплоемкости, электрического сопротивления и т.п., 
анализом закономерностей изменения различных физических свойств 
металлических материалов в зависимости от термической обработки, 
нагрева и других воздействий, анализом влияния изменения их микро-
структуры и фазовых превращений. В задачник включено четыре раз-
дела, в которых рассматриваются соответственно тепловые, магнитные, 
электрические и упругие свойства металлических материалов. Краткое 
теоретическое введение к каждому разделу с некоторыми необходимы-
ми формулами позволяет решать часть задач без предварительного про-
слушивания соответствующих разделов лекций.
Предназначен для обучающихся в бакалавриате по направлениям 
подготовки 22.03.01 «Материаловедение и технологии материалов» 
(профили «Физическое материаловедение», «Металловедение и терми-
ческая обработка металлов», «Физико-химия процессов и материалов»), 
03.03.02 «Физика» (профиль «Физика конденсированного состояния») 
и 28.03.03 «Наноматериалы» (профиль «Композиционные наноматери-
алы»). Может быть рекомендован в качестве учебного пособия для об-
учающихся по другим техническим направлениям подготовки.

УДК  539.2

 В.Ю. Введенский, Е.А. Шуваева, 
А.С. Перминов, 2021
ISBN  978-5-907227-28-6
 НИТУ «МИСиС», 2021

Содержание

Предисловие .................................................................. 4
1. Тепловые свойства твердых тел......................................... 5
1.1. Основные формулы ................................................... 5
1.2. Задачи ................................................................... 12
2. Магнитные свойства твердых тел .................................... 18
2.1. Основные формулы ................................................. 18
2.2. Задачи ................................................................... 23
3. Электрические свойства твердых тел ............................... 30
3.1. Основные формулы ................................................. 30
3.2. Задачи ................................................................... 37
4. Межатомное взаимодействие и физические свойства. 
Двухатомная модель твердого тела ..................................... 42
4.2. Основные формулы ................................................. 42
4.2. Задачи ................................................................... 48
Библиографический список ............................................ 55

Предисловие

Сборник содержит более 150 задач по различным разделам 
курса «Физические свойства твердых тел». Целью пособия явля-
ется демонстрация возможности практического применения тео-
ретических представлений физики твердого тела.
Развитие науки в настоящее время обусловливает очень 
быстрое совершенствование наукоемких технологий. Следу-
ет обратить внимание на практическое ориентирование совре-
менного материаловедения. Повышение качества подготовки 
обучающихся технических вузов в результате изучения физи-
ческих свойств твердых тел приобретает большую значимость, 
а одним из аспектов повышения качества образования является 
приобретение способности использовать базовые теоретические 
знания фундаментальных разделов физики для решения про-
фессиональных задач. В сборнике приводятся задачи с реаль-
ным профессиональным и техническим содержанием. Решение 
задач поможет обучающимся понять физический смысл раз-
личных свойств реальных материалов, разобраться с влиянием 
различных факторов, таких как изменение структуры, фазового 
состояния, анизотропии, температуры, давления и т.п., на фор-
мирование физических свойств твердых тел.

1. ТЕПЛОВЫЕ СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ

1.1. Основные формулы

Различают несколько видов теплоемкости. 
Теплоемкость тела C, Дж/К, определяется как отношение 
количества теплоты Q, поглощаемой телом при бесконечно ма-
лом изменении его температуры T, к этому изменению: 

 
C = δQ/dT. 
(1.1)

Удельная теплоемкость Суд, Дж/(кг · К):

 
Суд = С/m, 
(1.2)

где m – масса тела.

Молярная теплоемкость Cm, Дж/(моль · К):

 
 Cm = C/(m/М) = C/(N/NA), 
(1.3)

где М – молярная масса;
N – общее число атомов в теле;
NA – число Авогадро.

Объемная теплоемкость Соб, Дж/(м3 · К):

 
Соб = С/V, 
(1.4)

где V – объем тела.

Теплоемкость в расчете на одну частицу Счаст, Дж/К:

 
Счаст = С/N. 
(1.5)

Различают также теплоемкости для разных условий передачи 
тепла. Из теории теплоемкости газов известно, что для каждого 
вещества имеются две характерные величины – удельная тепло-
емкость при постоянном давлении Cр и удельная теплоемкость 
при постоянном объеме CV, причем Cр > CV. Поскольку экспери-
менты, как правило, проводятся в условиях атмосферного давле-
ния, то в большинстве случаев измеряется именно теплоемкость 
при постоянном давлении. Следует заметить, что поскольку те-
пловое расширение твердых тел очень мало, разница между Cр  
и CV также не существенна.

Теплоемкость при постоянном объеме:
 
CV = (∂U/∂T)V=const, 
(1.6)
где U – внутренняя энергия.

Теплоемкость при постоянном давлении:
 
Cp = (∂H/∂T)p=const, 
(1.7)
где H – энтальпия.

Линейный закон дисперсии, который связывает угловую частоту 
колебаний атомов ω и волновой вектор k: 

 
ω(k) = υзвk, 
(1.8)

где υзв – скорость распространения звука в среде.

В соответствии с теорией теплоемкости Дебая решеточную составляющую 
теплоемкости можно определить так:

 
(
)

3
4
/

2
0

e
9
d ,
e
1

x
T

Vm
x
T
x
C
R
x
θ


=
∫


θ


−

  
(1.9)

где параметр x = ħω/kBT, здесь ħ – постоянная Планка, отнесенная 
к 2p; kB – постоянная Больцмана;
q – характеристическая температура Дебая;
R – газовая постоянная.

Температура Дебая определяется следующим выражением:

 

1/3
2

зв
зв
B
B
B

max
2
6
,
v
v
k
k
k







ω
π
π
θ =
=
⋅
⋅
=
λ
Ω



 
(1.10)

где W – объем, который приходится на один атом в элементарной 
ячейке,
l – минимальная длина волны нормальных колебаний атомов 
в решетке.

При Т > q возбуждены все частоты нормальных колебаний, и 
повышение энергии колебаний при нагреве осуществляется в результате 
увеличения амплитуды. Новые нормальные колебания 
не появляются. При Т < q в процессе охлаждения часть нормаль-
ных колебаний начинает «вымерзать». Температура Дебая может 
быть определена следующим образом:

1/3
1/2

зв
B
B

2
6
2
,
Е
v
k
k














π
π
θ =
≅
Ω
ρ
λ


 
(1.11)

где Е – модуль Юнга, 
r – плотность твердого тела.

Температуру Дебая можно определить из полуэмпирической 
формулы Линдемана:

 
q = а (Тпл/(А · W2/3))1/2, 
(1.12)

где А – атомная масса, а.е.м.; 
W – объем, приходящийся на атом, Å3,
Тпл – температура плавления материала, К,
а = 137 (а.е.м.)1/2 × К1/2 × Ǻ.

Интеграл в формуле (1.9) нельзя выразить через элементарные 
функции и следует определять численными методами. Рассмотрим 
предельные случаи для низких и высоких значений 
температуры.
1. Малые значения температуры: T << q. 
В этом случае верхний предел интеграла q/T можно приравнять 
к бесконечности. Тогда интеграл станет постоянной величиной, 
не зависящей от температуры. В этом случае решеточная 
составляющая теплоемкости определяется следующим образом:

 
CVm = (12p4/5)   R   (T/q)3 ≈ 234   R   (T/q)3  
(1.13)

Уравнение (1.13) называется законом Т3 Дебая (иногда используют 
название «закон кубов Дебая»).
2. Большие значения температуры: T ≥ q. 
В этом случае x = ħω/kBT << 1, ex ≈ 1 + x и интеграл в формуле 
(1.9) приближенно равен (q/T)3/3, тогда

CV = 3R ≈ 25 Дж/(моль · К) 

Этот результат совпадает классической теорией (законом Дю-
лонга – Пти).
Если тип связи и кристаллическое строение химического соединения 
или промежуточной фазы переменного состава незначительно 
отличаются от аналогичных свойств компонентов, 

то их теплоемкость при Т > q может быть определена в соответствии 
с правилом аддитивности Неймана – Коппа, согласно 
которому молярная теплоемкость соединения (промежуточной 
фазы, твердого раствора) равна сумме атомных теплоемкостей 
компонентов:

 
1
1
2
2,
m
m
m
С
x C
x C
=
+
 
(1.14)

где x1 и x2 – стехиометрические коэффициенты компонентов в 
соединении.

Правило Неймана – Коппа выполняется для большинства интерметаллических 
соединений с точностью примерно 6 % в области 
значений температуры, превышающих температуру Дебая. 
Кроме того, это правило применимо к промежуточным фазам и 
твердым растворам, причем в тем большей степени, чем ниже 
энергия их образования (связи).
Зависимость 
электронной 
составляющей 
теплоемкости 
от содержания второго компонента в случае переходных металлов 
в наименьшей степени подчиняется правилу Неймана – Коп-
па, поскольку переходные металлы имеют сложное электронное 
строение.
Правило аддитивности справедливо также для гетерогенной 
системы, только в этом случае с его помощью учитывается 
не вклад отдельных компонентов в общую теплоемкость, а вклад 
соответствующих фаз. Причем, как и  в случае теплоемкости соединений, 
твердых растворов и проч., это правило применимо 
только при значениях температуры, превышающих температуру 
Дебая:

 
Cуд = q1Суд1 + q2Суд2, 
(1.15)

где q1 и q2 – массовые доли соответствующих фаз;
Суд1 и Суд2 – удельные теплоемкости фаз.

Явление теплопроводности описывается законом Фурье: плотность 
теплового потока jQ  пропорциональна градиенту температуры 
grad T и направлена противоположно ему:

 
jQ = –l grad T, 
(1.16)

где l – коэффициент теплопроводности, Вт/(м · К).

Плотность потока тепла jQ  – это вектор, параллельный направлению 
потока тепла и равный по абсолютной величине количеству 
тепловой энергии, пересекающей за единицу времени 
единичную площадь, перпендикулярную потоку. 
Коэффициент теплопроводности определяется в соответствии 
с классической теорией теплопроводности:

 

об
1
,
3 C
v l
λ =
⋅ ⋅
 
(1.17)

где υ – скорость частицы, которая является носителем тепла в 
твердом теле (это либо скорость звука для фононного механизма 
переноса тепла, либо скорость свободных электронов 
для электронного механизма переноса тепла);
l – длина свободного пробега частицы.

Явление термического расширения заключается в том, что 
при нагревании металлы и сплавы меняют свои линейные размеры 
и объем. Это происходит как вследствие изменения среднего 
расстояния между атомами (истинного термического расширения), 
так и в результате различных фазовых превращений. Величину 
термического расширения характеризуют температурным 
коэффициентом линейного pacширения a (ТКЛР). Среднее 
значение ТКЛР α  в температурном интервале DТ определяют 
так:

 
0
,
1
l
l
T
∆
α =
⋅ ∆
 
(1.18)

где Dl – изменение длины образца с ростом температуры,
l0 – первоначальная длина образца.

Аналогично определяется и температурный коэффициент 
объемного расширения материалов:

.
d
1
d
V
T

V
T V
α =
⋅

Для поликристаллических образцов и монокристаллов с кубической 
решеткой между коэффициентами a и aV существует 
простая связь: aV = 3a.
Важным свойством потенциала межатомного взаимодействия 
U(r), где r – расстояние между центрами соседних атомов, явля-

ется его асимметричность. Для аналитического описания потенциала 
целесообразно использовать величину смещения атомов 
из положения равновесия x (x = r – r0, где r0 – равновесное межатомное 
расстояние). В этом случае потенциал взаимодействия 
можно описать степенным рядом:

 

2
3
0
1
1
( )
...,
2
3
U x
U
fx
gx
=
+
−
+
  
 (1.19)

где g – константа материала, которую часто называют коэффициентом 
ангармонизма, g = 3γ f /r0, здесь γ – постоянная Грю-
найзена; f – квазиупругий коэффициент (сила при единичном 
смещении атома, f ≡ U″(0)).

Тогда, силу взаимодействия можно описать следующим образом: 

 


2.
U
F
fx
gx
x
∂
= −
= −
+
∂
  
(1.20)

При нагреве атомы начинают колебаться около положения 
равновесия. Рассматривая атомы как классические гармонические 
осцилляторы, примем среднюю энергию тепловых колебаний 
на одну степень свободы атомов 
B
k T
ε =
. С другой стороны, 
кинетическая энергия колебаний составляет 
2
1
,
2 fx
 где 

2
x  – среднее во времени значение квадрата амплитуды колебаний 
атомов. Приравнивая эти виды энергии, получим:

 

2
B
1
;
2
k T
fx
=
  
(1.21)

 

2
B
2
.
k T
x
f
=

 
 (1.22)

Далее вычислим среднее за период колебаний смещение атомов 
из положения равновесия x . За период колебаний среднее 
значение F равно нулю (
0
F =
). Тогда из (1.20) следует:

2
0;
F
fx
gx
= −
+
=

 

2
gx
x
f
=
  
(1.23)

Подставляя в (1.23) значение 

2
x  из (1.22),  получаем

 

2
B
2
.
k
g
x
T
f
=

 
 (1.24)

Так как 

0

1
dx
dT r
α =
⋅
, то

 

2
2
0
0

B
B .
2
3
k
k
g
f r
fr
γ
α =
=

 
 (1.25)

Таким образом, выражение (1.25) показывает, что коэффициент 
термического расширения прямо пропорционален постоянной 
Грюнайзена, которая является показателем типа сил связи 
в решетке, с одной стороны, и ангармоничности колебаний атомов, 
с другой.